高等数学反例集

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无穷极数中的几个典型反例

无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1）比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。

所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。

而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。

当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。

（2）根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。

(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。

由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。

故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。

注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。

二、交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。

例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。

1(1,2,)n n u u n +≥= ，但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。

例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。

高等数学中反例的研究

关键词洛必达法则 ; 反例 ; 极限中图分类号 O172
1 问题的提出
讨论洛必达法则的反例 , 并不是说洛必达法则是错误的 , 若当你非常仔细的考察法则的条件和 ( x ) ≠0 不满足时 , 结论可能不成立 , 这里提出来 , 以便引起大家结论时 , 你就会发现 , 当条件中 F′ 的关注 . 洛必达法则[ 1 ] :设 ( 1) lim f ( x ) = ∞, lim F ( x ) = ∞;
( x ) / F′ ( x ) , ( f ( x ) = λ( x ) - sin λ( x ) , F ( x ) = f ( x ) / F ( x ) 应用洛必达法则 , 我们必须考虑 f ′
λ( x ) ]) . f ( x )φ [ co s
( x) = λ ( x) - λ ( x ) co s λ( x ) = λ ( x ) [ 1 - co s λ( x ) ] f′ ′ ′ ′ ( x) = f ′ ( x )φ λ( x ) ] + f ( x )φ ( u) ・ λ( x ) ] ・ λ ( x) F′ [ co s ′ [ - sin ′ ( x ) [ 1 - co s λ( x ) ]φ[ co s λ( x ) ] - λ ( x ) f ( x )φ ( u) sin λ( x ) =λ ′ ′ ′ ( x ) { [ 1 - co s λ( x ) ]φ[ co s λ( x ) ] - f ( x )φ ( u) sin λ( x ) } =λ ′ ′ ( x ) → ∞, 消去共同因子λ ( x) 得当 x →0 时λ ′ ′ ( x) λ( x ) f′ 1 - co s = ( x) λ( x ) ]φ[ co s λ( x ) ] - f ( x )φ ( u) sin λ( x ) F′ [ 1 - co s ′

高等数学中的一些反例

高等数学中的一些反例1 高等数学中的反例在高等数学中，反例就是指一些能够证明一个命题不成立的具体实例。

因此，反例在数学领域中具有重要的作用。

在这篇文章中，我们将会探讨一些高等数学中的反例。

2 无理数的乘积是有理数首先，我们考虑一个看似显然的命题，即两个无理数的乘积一定是一个有理数。

这个命题的错误之处在于，我们无法保证这两个无理数是代数无关的。

下面给出一个反例：假设x = √2，y = 1 / √2，那么显然 x、y 都是无理数。

但是它们的乘积为：xy = (√2) (1 / √2) = 1因此，这个反例表明了两个无理数的乘积并不一定是一个有理数。

3 常数项级数收敛的级数和绝对收敛接下来，我们来思考一下另一个命题：如果一个常数项级数收敛，那么它的级数和一定是有限的。

而这个命题也是错误的。

我们可以通过下面这个反例来证明：考虑级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...显然，这个序列的部分和为：S_n ={ 1 (n 为奇数 ){ 0 (n 为偶数 )因此，该序列的极限不存在。

但是，如果我们对该序列取绝对值，那么它会变成一个常项级数，即：1 + 1 + 1 + 1 + ...该级数显然是发散的。

因此，这个反例说明了一个常数项级数收敛不一定意味着它的级数和是有限的，也不意味着它的级数和绝对收敛。

4 现代几何的反例在现代几何中，我们经常会面临一些看似正确的命题，但是它们在特殊情况下并不成立。

例如，如果一个三角形的两条边长一样，那么这个三角形一定是等腰三角形。

这个命题在大多数情况下是正确的，但存在以下反例：考虑一个由两个直角三角形组成的三角形。

其中直角边分别为2和1，斜边长度为√5，这个三角形显然不是等腰三角形。

这个例子说明了即使在看似简单的几何命题中，也可能存在反例。

5 常微分方程的反例最后，我们来看一个常微分方程的例子，来说明反例在应用数学中的重要性。

考虑一个简单的一阶常微分方程：y' = y^2 - 1这个方程可以通过分离变量得到解：2arctanh(y) = x + C其中，arctanh(y) 表示双曲正切的反函数。

数学分析课程中的几个反例-FudanUniversity

数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。

也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。

虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。

但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。

Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：(0()sin n n n )f x a b ∞==∑x ，b a <<<10，。

1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的。

设(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕϕϕ(x ) = 0.33。

显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且。

2/1)(≤ϕx 注意当y x ,21,[+∈k k 或]1,21[++k k 时，成立|||)()(|y x y x −=−ϕϕ。

Van Der Waerden 给出的例子是：)(x f = ∑∞=ϕ010)10(n nn x 。

由n n x 10)10(ϕ≤n1021⋅，及∑∞=⋅01021n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞−∞∈x 一致收敛。

所以在连续。

)(x f ),(+∞−∞现考虑在任意一点x 的可导性。

由于的周期性，不妨设，并将x 表示成无限小数)(x f )(x f 10<≤x x = 0.a 1a 2…a n …。

若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。

“反例法”在高等数学教学中的应用

，ｌ，ｌ
散；但它们的和 ∑Ｕ＋ｎ０是收敛级数。ｎ ∑Ｖ＝学员在学习的过程中，常常误以为由收敛级数的线性性质可以推出两个发散级数的 “ 线性性质 ”。通过此例，可以
让学员很快明白两个发散级数的和可能是个收敛级数，这就
提高了课堂教学效率。
“ 反例法＂在高等数学教学中的应用
齐莲敏
（襄樊广播电视大学，湖北襄樊４１２）４０１
［内容提要］本文通过对高等数学中典型问题的反例研究，说明在高数教学中应用 “ 反例法 ”能有效提高教学质量，能提高学生分析问题和解决问题的能力。［关键词】反例；分析；实函；代数［中图分类号］Ｇ７２［文献标识码］Ａ［文章编号］１０．４７（００１０２－２０８７２２１）０．０００
连续必然可导。（是个错误命题）这反例：Ｙｌ在ｘ０处连续，但不可导。因为在该点的＝ｘｌ＝
念与定理的含义，提高教学质量。１．连续基数的概念
通常情况下，学员在学习实变函数之前，总会从直觉上感到：较长的线段比较短的线段含有更多的点。这种错误的直觉会使学员在实变函数的后续学习中绕很多弯路。下面但这个反例却可以使初学实函的人很快明确：一个较长的线短并不比另一个较短的线段含有更多的点，而是含有同样多的
的周长为４，表面看来好象 “ 后者比前者含有更多的点” ｇ实际上，只要从原点出发作射线，即可建立前者与后者的点的一一对应。也就是说，ｘ＋２１与ｘ＋２４上面的点一样２ｙ＝２ｙ－＿．

高等数学教学中的反问题及反例

高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。

在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。

二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。

在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。

例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。

三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。

在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。

例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。

四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。

通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。

同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。

五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。

“反例”在高中数学教学中的应用

“反例”在高中数学教学中的应用【摘要】众多反例集知识性与趣味性于一体，让学生在“惊奇”中发现不同，在“警醒”后学到知识。

在新课程改革大趋势下，我们一线教师必须担负起提高教学效率的重任，而反例的应用就是其中一种很好的方法。

【关键词】反例高中数学教学效率一，反例在数学中的重要意义在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。

要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。

而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。

在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展。

常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。

1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式+1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如+1的自然数是素数的猜想..一百多年后,欧拉指出+1=4294967297=6700417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数.二，反例在高中数学教学中的重要作用：1．反例是概念教学中不可或缺的组成部分概念教学是数学教学中的重要板块，几乎每一部分知识的构建都是从概念部分开始。

在概念教学中适当运用反例，有利于突出概念的关键特征，加深学生对概念本质属性的理解，提高概念学习的效率。

例如在双曲线的概念的教学中，课本的双曲线的定义是：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于｜｜）的点的轨迹叫做双曲线。

在实际学习中，学生总是把注意力放在“差”和“绝对值”上，而忽略了括号中“常数小于｜｜”的要求，而“常数小于｜｜”的要求不仅是双曲线的定义的重要组成部分，也是考题最容易考察的知识点。

我们在教学中也可以先不用急着把“（常数）小于｜｜”的重要性先强加给他们，而是在概念给出后及时给出一个不考虑（常数）小于｜｜的反例：是平面内两个定点，ｐ点是平面内一个动点，并且满足｜｜＝６，那么ｐ点轨迹是什么？学生经过思考后发现，p点轨迹是两条射线，有了这个反例，学生就会发现，双曲线定义中“（常数）小于｜｜”和“差”“绝对值”同样重要，在以后对类似题目的处理就不会忘掉考虑“定值小于｜｜”的要求了。

数学分析中反例

数学分析中反例
数学分析中的反例是指能够证明某个命题或定理不成立的
具体例子。

下面给出几个常见的数学分析中的反例：
1. 极限的反例：对于函数
$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x$趋于0时，$f(x)$的极限不存在。

这个反例说明了对于一些函数，即
使在某个点附近的取值趋近于某个数，但并不意味着函数
在该点处有极限。

2. 连续性的反例：考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$。

在定义
域中除了$x=0$外，$f(x)$是连续的。

然而，$f(x)$在
$x=0$处不连续，因为在该点处没有定义。

这个反例说明了
函数在某个点处连续并不意味着函数在整个定义域上都连续。

3. 一致收敛的反例：对于函数序列$f_n(x)=x^n$，当
$x\in[0,1)$时，序列逐点收敛于0。

然而，这个序列在该
区间上不一致收敛，因为对于任意的$\varepsilon>0$，存
在某个$x\in[0,1)$，使得$|f_n(x)-
0|=|x^n|>\varepsilon$对于所有的$n$都成立。

这个反例
说明了逐点收敛并不意味着一致收敛。

4. 可导性的反例：考虑函数$f(x)=|x|$。

在$x=0$处，
$f(x)$不可导，因为在该点处左导数和右导数不相等。

这
个反例说明了函数在某个点处可导并不意味着函数在整个
定义域上都可导。

这些反例帮助我们更好地理解数学分析中的概念和定理，并且指出了一些常见的误区和陷阱。

论高等数学中的反例

论高等数学中的反例摘要高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，而重视和恰当的使用反例可以有效的帮助学生学习高等数学。

因此，本文主要对高等数学中的反例进行了一定程度的探究，论述了反例的来源和构造，围绕高等数学中一些典型的反例进行分析，详细说明了反例在高等数学学习中的重要作用及应用，为学生学习高等数学提供了一种辅助方法。

关键词高等数学，数学研究，反例.Abstract The higher maths is an important curriculum of training students’abstract including capability 、logic ideation capability 、operation capability and space fancy capability ,moreover it is attaching important to and using contrary cases that can effectively help students study higher mathematics.Hence ,This paper holds an exploration on opposite case by focusing on the functions and application of constructing contrary cases in higher maths studying. it is claimed that constructing contrary cases is an effective aid to higher mathematics studying.KeyW ords higher mathematics, mathematics research, contrary cases0 前言“以例外证明规律”，这是一句人所共知的格言。

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7. 函数 f ( x) 在 x0 点附近有界，但 lim f ( x ) 不存在。
x → x0
函数如果在某一点的极限存在，则在该点附近一定有界，但是反之结论不真。例
⎧− x + 1, 0 < x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 0, x=0 ⎪− x − 1, − 1 < x < 0 ⎩
在（-1，1）内恒有 f ( x) < 1 ，但是
可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。 6. 由于使用极限“ ε ─ δ ”定义不准确产生的反例。函数 f ( x) 定义在 ( a, b) 上， x0 ∈ ( a, b) ，对任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 x − x 0 < δ 时，恒有 f ( x) − A < ε ，其中 A 是常数。但是 lim f ( x ) ≠ A 。
2
n→∞
n→∞
12. lim x n = a , 而 lim x n ≠ a 的数列.
n→∞ n →∞
例： x n = sin( nπ +
π
4
) .
lim x n = lim sin(nπ +
n→∞ n →∞
π
4
) =
2 , 但是 lim x n 不存在. 因为 n →∞ 2 2 , 2
n = 2k , k = 1,2,......时，x n =
目
录
高等数学部分：第一章函数与极限……………………………………………………………………… 2 第二章一元函数的连续性………………………………………………………………11 第三章一元函数的导数…………………………………………………………………15 第四章中值定理与导数的应用…………………………………………………………20 第五章多元函数…………………………………………………………………………28 第六章积分………………………………………………………………………………40 第七章级数…………………………………………………………………………‥…48
n →∞
4
⎧ n ⎪ x n = (−1) , 1 ⎪ n 例：数 ⎨ y n = ( −1) − ⎪ 1n n z = ( − 1 ) + ⎪ n n ⎩
n=1,2,3,……
有 y n ≤ x n ≤ z n , n = 1,2,....., lim( z n − y n ) = lim
n →∞
g ( x) =
1 f ( x) ，两函数均在区间 ( 0,1) 内无界，而 = x 却在区间 ( 0,1) 2 x g ( x)
5. 有单值反函数的非单调函数。
2
例： f ( x ) = ⎨
⎧ x, x为有理数; ⎩− x, x为无理数.
f ( x) 是非单调函数，但是存在单值反函数；
⎧ x, x为有理数; f −1 ( x) = ⎨ ⎩− x, x为无理数.
2 = 0, n →∞ n
但是极限 lim x n = lim ( −1) 不存在.
n n→∞ n →∞
本例说明,极限存在准则 1 中条件 lim y n = lim z n 不能更换成 lim( z n − y n ) = 0,
n→∞ n →∞ n→∞
9. lim ϕ ( x) = A, limψ ( x) = B, 但是 limψ (ϕ ( x)) ≠ B 的复合函数.
=
1 1 1 1 1 1 n −1 + lim[( − )+( − ) + ...... + ( − )] k →∞ n n n +1 n +1 n + 2 k k +1 n −1 1 = + =1 . n n 1 n+i
n=1,2,……, i 是确定的正整数．当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小
1 ⎧ ⎪ 1− i2 , ⎪ n −1 例１： x ni = ⎨( n + 1) ⎪ 1 ⎪ n ⎩
因此
limψ (ϕ ( x)) 不存在.
x →0 n→∞
10.数列 x n 收敛于零, y n 是另一数列,而 lim x n y n = k ≠ 0 例： x n =
n→∞
1 , yn = 2n n 2
n →∞ n →∞
显然 lim x n = 0, lim y n 不存在 , 然而 lim x n y n = 1 , 即数列 x n y n 收敛于 1. 11.两数列 x n , y n , 有 lim x n y n = 0 , 但是数列 x n , y n 都不收敛于零.
p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ ( x) − 0 = 对于
p 1 ≤ = x − 0 < δ = ε , 所以 lim ϕ ( x) = 0 . x →0 q q
n→0
ψ ( x), 显然有 limψ ( x) = 1, 然而
⎧1 x为有理数; ⎩0 x为无理数
ψ (ϕ ( x)) = ⎨
区间 ( 0,1) 内有界。例 2： f ( x ) = tan x,
⎛ π⎞ g ( x) = cot x ，两函数均在区间 ⎜ 0, ⎟ 内无界，而 f ( x) g ( x) = 1 却 ⎝ 2⎠
在区间 ⎜ 0,
⎛ π⎞ ⎟ 内有界。 ⎝ 2⎠ 1 , x
例 3：f ( x) = 内有界。
⎧1 x为有理数 , 它以任意有理数（或无理数）为周期，从而为无理数 x 0 ⎩
g ( x) = cos x. f ( x)以1为周期，g(x)以2π 为周期，而f ( x) +
g ( x) = x − [ x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。例 1：f ( x ) = 0,
x →a n→ A x→a
例：
p ⎧1 ⎪ , x = , p, q是互质整数, q > 0; ϕ ( x) = ⎨ q q ⎪ x为无理数 ⎩ 0,
ψ ( x) = ⎨
⎧1, x ≠ 0; ⎩0, x = 0.
因为对任给 ε > 0, 存在 δ = ε , 对 a = 0 的 δ 邻域内的任何一点 x, 若 x 为无理数,则 ϕ ( x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数
n→∞
两个数列对应项乘积作成的新数列收敛于零, 并不意味着这两个数列本身也必须收敛于
5
零. 因为乘积趋于无穷小,往往只需其中一个因子趋于无穷小, 而另一个保持有界就足够了. 例： x n = 1 + cos nπ , y n = 1 − cos nπ . 数列 x n , y n 都不收敛, 但是 lim x n y n = lim sin nπ = 0 .
g ( x) = x ，在区间 ( −∞, +∞ ) 内 f ( x) 有界， g ( x) 无界，而 f ( x) g ( x) = 0
却在区间 ( −∞, +∞ ) 内有界。例 2： f ( x ) = e ,
−x
g ( x) = x ，在区间 ( 0, +∞ ) 内 f ( x) < 1 , 而 g ( x) 是无界的，
x →+∞
f ( x) g ( x) = xe − x ，因为 lim xe − x = 0 ，从而易见 f ( x) g ( x) 在区间 ( 0, +∞ ) 内是有界的。
4. 无界函数之和（差，积，商）未必无界。例 1： f ( x ) = 1 −
1 , x
g ( x) =
1 ，两函数均在区间 ( 0,1) 内无界，而 f ( x) + g ( x) = 1 却在 x
n = 2k + 1, k = 1,2,......时，x n = −
2 2
13. 关于无穷小量、非无穷小量四则运算的反例． a. 由无限多个无穷小量之和生成的非无穷小量．有限多个无穷小量之和是无穷小量，这个性质不能推广到无限多个．将无限多个无穷小量累加起来，就可能根本改变它们原有的特性．
⎧ 1 ⎪ ⎪ i (i + 1) 例１： xni = ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎩ n
x → x0
例： f ( x) = sin x, A = 1 在 x0 = 0 点，对作给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 x − x 0 < δ 时，总有
f ( x) − A = sin x − 1 ≤ 0 < ε
但是 lim f ( x ) = sin 0 = 0 ≠ 1 。
x → x0
上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。
所以由连续函数的介值定理知存在 x n ∈ ⎢
⎡ 1 1 ⎤ , ⎥ ，使得 f ( x n ) = a ⎣ 2k nπ 2k n −1π ⎦
n→∞
显然，对于数列 {x n } 有 lim x n = 0, 且 lim f ( x n ) = a,
n→∞
1) 满足 lim x n ≠ ∞ 的无界数列。
时 x n =0，即 x n 不收敛，所以 lim x n ≠ ∞ 。
n→∞
2) 数列 {x n } ， { y n } ， {z n } 存在关系： y n ≤ x n ≤ z n , n = 1,2,....., lim( z n − y n ) = 0, 但是
n →∞
极限 lim x n 却不存在.
n→∞
n≤i
n=1,2,……, i 是确定的正整数．
n>i
显然 lim x ni = 0 ．当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量 x n1 , x n 2 ,...... ．但是这无限多个无穷小量的和