电路分析 频率响应 多频正弦稳态电路共50页文档

周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路 的稳态响应的方法就称为谐波分析法。 采用谐波分析法的好处： （1）当直流分量作用时，因为直流稳态下电容相 当开路、电感相当于短路，所以计算其产生的稳态响 应分量是很简便的。 （2）由于各次谐波分量均为正弦信号，所以就可 以采用前面谈到相量法来计算各次谐波单独作用时产 生的稳态响应分量。
R1 C R2 L
i2 U0
I（0）
+ I1 (0)
I2 (0)
R2
（b）
解
1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定
2) U0=10V单独作用，电路如图(b)
I1(0) 0 ; I 2(0) U 0 10 2.5 A ; R2 4 I (0) I 2(0) 2.5 A
u (t ) [10 100 2 cos t 50 2 cos(3 t 30 )]V
f(t) f(t)
o
t
o
t
2. 1非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
（1） 非正弦周期电流的产生
当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
i
i1 u ( t)
R1 C R2 L
i2
I1(0) 0 ;
I1(1) 7.0745 A
I1(3) 4.7448.42 A
I 2(0) 2.5 A ;
I 2(1) 22.37 26.57 A
I (0) 2.5 A

U Au 2 U 1
(4) 电流转移函数
· I1
+ · U1 –
N0w
+ · U2 –
ZL
· I2
I Ai 2 I
1
N0w
+ · U2 –
ZL
策动点函数 转移函数
网络函数 H(jw) = |H(jw)|(w)
频率特性
|H(jw)| —— 幅频特性 (w) —— 相频特性
RC电路：对所有频率都是电容性电路。 RL电路：对所有频率都是电感性电路。 RLC电路：某些频率是电容性；某些频率是电感性；
LC电路：对某些频率是纯电感性；对某些频率是纯电容性。 某些频率是纯电阻性（谐振状态）。
· U U Z = ·= u – i I I = |Z|Z
Z(jw) = R(w) + jX(w)
输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。
Z(jw) = R(w) + jX(w) = |Z(jw)|Z(w)
+ U
·
· I
N0
– Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 与频率 w 的关系称为 阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。
[例] 电路如图，求ab端输入阻抗。 解： Zab = R2 + jwL + R1 jwC 1 R1 + jw C
a
R1 R2 jwL
R1 = R2 + jwL + 1 + jwCR1 R1 – jwCR12 = R2 + jwL + 1 + (wCR1 )2
b
1 jwC

Z 与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。
2、Y(j)=G() +jB() B() > 0 B() < 0 容性 感性
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一. 无源单口网络阻抗的 性质 ·
U U Z = ·= u – i I I = |Z|Z
· IN0Fra bibliotek+ · U
–
阻抗模 |Z| 可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有 效值的比值关系；由阻抗辐角 Z 可以确定端口上电压与电流的相 位关系。
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2. 幅频特性和相频特性 网络函数可表为为：
H ( j ) H ( j ) ( )
其中： |H(jω)|是H(jω)的模, 它是响应相量的模与 激励相量的模之比, 称为幅度-频率特性或幅频 响应 ；
(ω)是H(jω)的辐角, 它是响应相量与激 励相量之间的相位差, 称为相位-频率特性或相 频响应。
确定了无源单口网络的阻抗 Z，也就确定了无源单口网络在 正弦稳态时的表现。 同理，确定了无源单口网络的导纳 Y ，也就确定了无源单口网 络在正弦稳态时的表现。
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例：电路如图，求ab端输入阻抗。 R1 解： a jC Zab = R2 + jL + 1 R1 + jC R1 = R2 + jL + 1 + jCR1 R1 – jCR12 = R2 + jL + 1 + (CR1 )2
激励相量
H(jω)
响应相量
网络函数H(jω)是由电路的结构和参数所决定的, 并 且一般是激励角频率的复函数。反映了电路自身的特性。 显然, 当激励的有效值和初相保持不变而频率改变时, 响 应将随频率的改变而变化,其变化规律与H(jω)的变化规律 一致。也就是说,响应与激励频率的关系决定于网络函数与 频率的关系。故网络函数又称为频率响应函数, 简称频率 响应。

正弦分量（谐波分量）。
洋 （2）电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波，但频率不一 大学 定成整数倍——最一般的情况。
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10.4 正弦稳态的叠加
中在多个正弦电源作用下线性非时变电路的稳态响应 ⇐ 叠加定理
国 f0(t)
y0(t)
分解
线
叠加
海f1(t)
性
y1(t)
f (t)
电
y(t)
f2(t)
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10.6 RLC电路的谐振
中1. 谐振的定义
国 含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、
电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
海 I
R,L,C
洋 U
电路
U =Z=R I
大 ¾电路处于无功功率完全补偿，频率特性出现尖峰现象 学 Z( jω) = R(ω) + jX(ω) ⇒ X(ω) = 0
励推广至不同频率激励或连续变化的频率激励下响应的情况.
方法：相量法+叠加定理
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10.1 基本概念
中多频正弦稳态电路：多个不同频率正弦激励下的稳态电路。 国 多频正弦激励的分类:
（1）电路的激励原本为非正弦周期波：方波、锯齿波等。对其
海 进行傅里叶分解，得到含有直流分量和一系列频率成整数倍的
国 R +1/ jωC
=
R
∠(− Arctgω RC)
1+ (ω RC)2
海洋大学 幅频关系 |Z|=
R
1+ (ω RC)2
相频关系 ϕZ = − A纯电阻性转为电容性
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10.3 正弦稳态网络函数

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【例】已知一个二端网络
u (t ) 100 100 cos t 50 cos 2t 30 cos(3t )
i (t ) 10 cos(t 60 ) 2 cos(3t 135 )

二 +
u
_
i
端
网 络
试求该二端网络的平均功率P
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2. 幅频特性和相频特性 网络函数可表为为：
H ( j ) H ( j ) ( )
其中： |H(jω)|是H(jω)的模, 它是响应相量的模与 激励相量的模之比, 称为幅度-频率特性或幅频 响应 ；
(ω)是H(jω)的辐角, 它是响应相量与激 励相量之间的相位差, 称为相位-频率特性或相 频响应。
I I 2 I 2 I 2 I 2 0 1 2 N 2 2 2 2 U U U U U 0 1 2 N
周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流分 量和各次谐波分量后，可用上述公式计算该非正弦波电 流（电压）的有效值。
A
0
T/2
T
t
其中
2 T 1 T Ak f (t ) cos ktdt A0 f (t )dt 0 T 0 T 2 T Bk f (t ) sin ktdt T 0
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u(t )
u ( t)
U1m u1 u1与方波同频率, 称为方波的基波
u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。
式中, P1和P2分别为uS1和uS2 单独作用时电阻吸收的平 均功率。上式中第三项：
T 2R T 2R i1 (t )i2 (t )dt I m1I m 2 cos(mt 1 ) cos(nt 2 )dt 0 T 0 T

c
1 RC
例2 高通滤波器
滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
U i
C
R
U O
高通滤波器的传递函数
H j Uo
Ui
R
R 1
jCR 1 jCR
j C
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H j Uo
Ui
R
R 1
jCR ห้องสมุดไป่ตู้ jCR
j C
幅频特性
H ( j)
CR
1 RC 2
H
相频特性
（） 90 tg 1 RC 90
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10.3 正弦稳态网络函数
1、网络函数
在电路分析中, 电路的频率特性通常用正弦稳态电路的 网络函数来描述。 在单一激励的情况下，网络函数定义为：
响应相量
H ( j) 激励相量
激励相量
响应相量
H(jω)
网络函数H(jω)是由电路的结构和参数所决定的, 并 且一般是激励角频率的复函数。反映了电路自身的特性。 显然, 当激励的有效值和初相保持不变而频率改变时, 响 应将随频率的改变而变化,其变化规律与H(jω)的变化规律 一致。也就是说,响应与激励频率的关系决定于网络函数与 频率的关系。故网络函数又称为频率响应函数, 简称频率 响应。
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1 1
2
c
1 RC
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例3 带通滤波器(双RC电路)
RC
Ui
R
1 π3 2
H ( j)
C
Uo
0
0
( )
π 2
H ( j) U2 1 •
3 ( j)
RC
U1
3

线性时不变稳态电路单一频率的正弦激励多频正弦稳态分析仍可采用相量法但只能逐个频率求解最后需用叠加方法求结果实际中的多频正弦激励非正弦周期信号可分解为直流和多个倍频分量多个非倍频正弦波激励101定义网络函数
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第十章 频率响应 多频正弦稳态
动态电路的响应是随频率变化的
k 1 k 1


U km cos( k 1 t u k ) I km cos( k 1t i k )
k 1

U km cos( k 1 t u k ) I nm cos( n 1 t i n )
2.非正弦周期信号电路的功率
u 设： ( t ) U 0 U km cos( k 1t u k )
k 1
+ u(t) -
i(t) N0
i ( t ) I 0 I km cos( k 1t i k )
k 1
无源二端网络

（1）瞬时功率p(t)
k 1
us(t)(v) … 20 0
T
1 F 15
… t(s)
+ us(t) (b)
5
+ uR(t) -
(a) 周期矩形脉冲
例：如图 (a)所示周期矩形脉冲作用于图(b)电路，周期 T=6.28 s，求uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波） 解： 将us(t)作傅氏展开： 基波角频率 1
2 2 1rad / s T 6.28
设周期信号u(t)的傅立叶展开式为：
u( t ) U 0 U km cos( k1t k )
k 1

1 则其有效值U T

2.由于感抗、容抗都是频率的函数，因此对应不同频率其感抗、容抗具有 不同的相量模型，所以各响应分量不能用同一个相量模型。
三、非正弦周期信号作用下电路的稳态响应
具体步骤如下：
1.将给定的非正弦周期电压源或电流源利用傅里叶级数分 解成直流分量和各次谐波之和。
2.分别求直流分量及各次谐波单独作用时的响应分量。
一、相同频率正弦激励下电路的正弦稳态响应 二、不同频率正弦激励下电路的稳态响应 三、非正弦周期信号作用下电路的稳态响应
说明：
当正弦电源频率相同时，各响应分量都是同频率的正弦波，同 频率正弦波之和仍为一同频率的正弦波，因此，所求的响应为正弦 稳态响应。
当正弦电源频率不相同时，各响应分量是些不同频率的正弦波， 不同频率正弦波之和不再是正弦波，因而这一总的响应不是按正弦 规率变化，所以不能称为正弦稳态响应，只能称为稳态响应。
•
•
U C U L 500 800V
例5 求如图所示电路的谐振频率。
解: •
•
•
•
I 2IC IC 3IC
•
•
U jωL I
1
•
IC
jωC
•
jωL(3 I C )
1
•
IC
jωC
j 3ωL
1
•
I
C
ωC
•
Z
U
•
I
jωL
1 3ωC
ω0 L
1 3ω0C
0
ω0
1 3LC
U L QU
Q UL 10 100 U 0.1
U L ω0 LI0
L UL ω0 I0
10 1mH， 104 1
或
QR 1000.1

T
2
T
0
f ( t ) cos ktdt
T
2
[ 2 A cos ktdt
T
T T A cos ktdt ] 2
T T A sin
=
f ( t ) sin ktdt [ 2 A sin ktdt ktdt ] 0 T 0 4A 2 k 1,3,5, k k 2,4,6, 0 4A 1 1 f (t) [sin t sin 3t sin 5t ] 3 5


1
C
C
1
o
45

90
※滤波器介绍
根据频率特性分类
◇低通 ◇高通 ◇带通 ◇带阻 ◇全通
根据是否有源分类
◇无源滤波器 ◇有源滤波器
根据实现手段分类
◇模拟滤波器 ◇数字滤波器
2、一阶高通电路 + + C u1 u2 R _ _
Au U2 U
1
+
U1
j 1 C
一阶高通电路统一的频率特性：
Au
Au
k 1 j C
1 0.707
o
90

k
Au k 1 1 j C
C
1

arctg C
45


o
1
C
例: 试设计截止频率C=103rad/s的低通和高通滤波电路。 解：根据前面对各种RC滤波电路特性的讨论，则需要 使电路参数满足条件
2 2
Z
Z
2 2
R (L) L z arctg R
Z
Z
Z R (L)
2 2

|Z(jw)| —— 幅频特性 (w) —— 相频特性
+ u1 频率特性
R C
+
u2
|Au| 1
0.707

0
- π/4
ωC
ω
–
–
0
ωC 幅频特性
- π/2 ω
（b）相频特性
二. 无源单口网络导纳的性质 I· I Y = ·= i – u U U = |Y|Y Y(jw) = G(w) + jB(w) Y(jw) = |Y(jw)|Y(w)
= |Z(jw)|Z(w) = 90˚ 纯电感性电路 = –90˚ 纯电容性电路 = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < < 90˚ 电感性
|Z(jw)| = R2(w) + X2(w) X(w) Z(w) = arctg R(w)
+ U
·
· I
N0
–
– 90˚ < < 0˚ 电容性
+ U
·
· I
N0
–
阻抗与导纳的关系 1 1 Y= = – Z Z |Z|
= |Y|Y
Y = 90˚ 纯电容性电路 Y = –90˚ 纯电感性电路 Y = 0˚ 纯电阻性电路
0˚ < Y < 90˚ 电容性
0˚ > Y > –90˚
电感性
输入导纳 Y (jw) 可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。
输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。
Z(jw) = R(w) + jX(w) = |Z(jw)|Z(w)
+ U
·
· I
N0
– Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 与频率 w 的关系称为 阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。