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例5、证明：A B A ~ B (第14条)
证明：对任意 x ，
x A B
x A xB
x A x ~ B
x A ~ B
故 A B A ~ B
例6、证明 A ( B A) A B 。 证明：A ( B A) A ( B ~ A)
例6、求以下集合的幂集。
(4) A 1,{2,3}
解： ( A) ,{1},{2,3} , A P
(5) A { , 2},{2}
P 解： ( A) , { , 2} ,{2} , A
第二节 集合的基本运算
内容：集合的运算，文氏图，运算律。
(4) {}
例3、确定下面命题的真值： (5) {a, b} a, b, c, a, b, c (6) {a, b} a, b, c, a, b, c 真值T 真值 F 真值T 真值 F
(8) {a, b} a, b, a, b
(7) {a, b} a, b, a, b
{ 解： x | x是素数 2 x 20}
例2、用列举法表示下列集合。
(1) S1 {x | x 2 x 5}
解： S1 {2,5} (2) S2 {x | x是十进制的数字} 解： S2 {0,1, 2,9}
例2、用列举法表示下列集合。
(3) S3 {x | x Z 5 x 10}
( x A) x ( B C ) ( x A) x B x C
( x A x B) ( x A x C )
( x A B) ( x A C )
x ( A B) ( A C )
(3) 除特殊情形外，一般，表示两个集合
的圆是相交的，
(4) 圆中的阴影的区域表示新组成的集合。
2、用文氏图表示集合的有关运算。
例2、用文氏图表示下列集合。
(1) A B
2、用文氏图表示集合的有关运算。
例2、用文氏图表示下列集合。
(2) ~ A B
2、用文氏图表示集合的有关运算。
例2、用文氏图表示下列集合。
1、集合——具有某种特定性质的事物的总体。
集合用大写的字母标记
其中的对象称元素，用小写字母标记
A {a1 , a2 , an }
表示集合 A 含有元素 a1 , a2 , an
注意： (1) a A 或 a A (2) 集合中的元素均不相同
{a, b, c},{a, b, b, c},{c, a, b}
A B {x | x A x B} A B {x | x A x B}
(当 A B 时，称 A, B 不交)
(以上定义加以推广，
A A A
i 1 i 1 n i 1 i 1
n
2
An An
{x | x A1 x A2 x An }
2
A A A
{x | x A1 x A2 x An })
A B {x | x A x B} ~ A E A {x | x E x A} (其中E 为全集)， A B ( A B) ( B A) ( A B) ( A B)
则 A B, B C ，但 A C 。
二、幂集。 1、n 元集( n 个元素的集合)的 m 元(m n)子集。 例如： A {a, b, c} 为3元集。
0元子集： (只有一个)，
1 1元子集： {a},{b},{c} (共 C3 3 个)， 2 2元子集：{a, b},{a, c},{b, c}(共 C3 3个)，
{a, c},{b, c},{a, b, c}}
若 A有 n个元素，则 P( A)有 2n 个元素。
例6、求以下集合的幂集。
(1) A
解：P( A) { } (2) A { } 解：P( A) { , A}
(3) A ,{ }
P 解： ( A) ,{ }, { } , A
~ E ~ E
10、双重否定律：~ (~ A) A
以上恒等式的证明思路：
欲证 P Q，即证对任意 x ， P x Q 。 x
例4、证明分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) 。 对任意 x，x A ( B C ) 证明：
表示同一个集合。
(3) 集合的元素可以是任何类型的事物， 一个集合也可以作为另一个集合的元素。 例如： a,{b, c}, b,{b} A
2、集合的表示法。
(1) 列举法(将元素一一列出)
A 例如： {2,3, 4,5}
(2) 描述法(用谓词概括元素的属性)
B 例如： {x | x Z 2 x 5}
集合论简介
集合论是研究集合一般性质的数学分支，它的 创始人是康托尔( G, Cantor ，1845－1918)。在 现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都 是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个 分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。 集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算 机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程 序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操 作系统等都有重要应用。
A ( B C ) ( A B) ( A C )
三、集合运算律。
5、同一律： A A , A E A 6、零律：A E E , A 7、互否律：A ~ A E (排中律)，
A ~ A (矛盾律) 8、吸收律：A ( A B) A ， A ( A B) A
3元子集：{a, b, c} (共 C 1 个)。
3 3
0 1 n 一般，n 元集共有子集 Cn Cn Cn 2n 个。
2、集合 A 的幂集， 记 P ( A) —— A 的全体子集为元素的集合。 例5、 A {a, b, c} ，求 P( A) 。
解：P( A) { ,{a},{b},{c},{a, b},
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(1) 小于5的非负整数集
{ 解： x | x N x 5}
(2) 奇整数集合 解：{x | x 2n 1 n Z}
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(3) 10的整倍数集合，
{ 解： x | x 10n n Z}
(4) {3,5,7,11,13,17,19}
故 A ( B C ) ( A B) ( A C )
除基本运算外，还有以下一些常用性质 (证明略)
11、 A B A，A B B 12、 A A B ， A B B
13、 A B A 14、 A B A ~ B
15、 A B B A B
解： S3 {6, 7,8,9,10} (4) S 4 x, y | x 0 ( y 1 y 2) 解： S 4 0,1 , 0, 2
例3、确定下面命题的真值： (1) (2) (3) { } 真值T 真值 F 真值T 真值T
(5) A B
{2, 4,5}
(6) ~ ( A B)
(7) ( A B) ~ C (8) ( A B) ( A C )
{3}hn Venn)。 1、文氏图。
(1) 用大矩形表示全集 E ，
(2) 矩形内的圆表示集合，
二、文氏图 ( John Venn) 。 1、文氏图。
重点：(1) 掌握集合的运算
A B, A B, A B, ~ A, A B
(2) 用文氏图表示集合间的相互
关系和运算，
(3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合 A, B 的并集 A B，交集 A B，相对补集
A B ，绝对补集 ~ A ，对称差 A B 。
A B A A B
除基本运算外，还有以下一些常用性质 (证明略)
16、 A B B A
18、 A A 19、 A A
“ ”的交换律
“ ”的结合律
17、( A B) C A ( B C )
20、 A B A C B C
三、集合运算律。
9、德摩根律：
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C ) ~ ( B C ) ~ B ~ C ~ ( B C ) ~ B ~ C
三、集合运算律。
9、德摩根律：
A 例1、设 E {1, 2,3, 4,5} ， {1, 4}， B {1, 2,5}， {2, 4} ，求出以下集合。 C
(1) A B
{1}
{1,5}
{2,3,5} {1, 2,3,5}
(2) B C
(3) ~ A (4) B ~ A
A 例1、设 E {1, 2,3, 4,5} ， {1, 4}， B {1, 2,5}， {2, 4} ，求出以下集合。 C
B A B A B A
B A B A B A
4、集合间的关系。
(2) 对任意集合 A有 A A
(3) 两集合 A, B 相等，记作 A B
A B A BB A
5、特殊的集合。
空集 全集 E(或 U )
A E ( A 为任一集合)
例4、A, B, C 为集合，若 A B 且B C ，
有可能 A C 吗，有可能 A C 吗？
解：两种情形都有可能。 设 A {a}, B {a} , C {a}, {a} ， 则 A B, B C ，有 A C 。
