北师大版必修4高中数学第二章平面向量数量积考点解析素材

§6 平面向量数量积的坐标表示1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P 98～P 99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)a 2＝x 21＋y 21，即|a |(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝ (4)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．直线的方向向量给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.( )(3)两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22的使用范围是a ≠0且b ≠0.( )【解析】 (1)错误．如a ＝(－1，－1)，b ＝(2,2)，显然cos θ＝a ·b|a |·|b |＜0，但a 与b 的夹角是180°，而并非钝角．(2)正确.AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)正确．两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22有意义需x 21＋x 22≠0且y 21＋y 22≠0，即a ≠0，且b ≠0.此说法是正确的．【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型](1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(a ＋c )·b .【精彩点拨】 根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a 的坐标，进而求(a ＋c )·b.【自主解答】 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)法一：a ＋c ＝(4,3)，∴(a ＋c )·b ＝4＋6＝10. 法二：(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝10＋0＝10.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.[再练一题]1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：(1)(2a－3b)·(a＋2b)；(2)(a＋b)2.【导学号：69992025】【解】法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10,5)，a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.(2)∵a＋b＝(10，－5)，∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.(1)(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2＝2×20＋30－6×45＝－200.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.已知(1)求|a＋2b|；(2)若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．【精彩点拨】(1)利用|a|＝x21＋y21求解．(2)利用cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解．【自主解答】(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝(－3)2＋(－6)2＝3 5.(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝5 2.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a与c的夹角为2 3π.1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos θ＝a·b|a||b|，计算cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.[再练一题]2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．【解】a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－1 2.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，所以a·b ＜0，且a 与b 不反向． 由a·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b ＞0且a ，b 不同向．由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．[探究共研型]探究1 【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由向量长度的坐标表示可得|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 探究2 求向量的坐标一般采用什么方法？ 【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 的坐标和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标表示，然后求模．【自主解答】 (1)a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， 所以a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－6＋5＝－1，所以c ＝a ＋b ＝(1,6)，所以|c |＝12＋62＝37.求向量的模的两种基本策略1．字母表示F 的运算利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示F 的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2， 于是有|a |＝x 2＋y 2.[再练一题]3．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝ . (2)已知|a |＝10，b ＝(1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标．【解析】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，a ∥b ，所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 所以|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5. 【答案】 4 5(2)设a 的坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x 2＋y 2＝10，解得⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45或⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝－45，所以a ＝(25，45)或a ＝(－25，－45)．1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 a ·b ＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 【答案】 A2．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ·b 的夹角θ＝( )【导学号：66470057】A ．120°B ．30°C ．150°D ．60°【解析】因为a·b＝(－3，－1)·(1，3)＝－23，|a|＝(－3)2＋(－1)2＝2，|b|＝12＋(3)2＝2.所以cos θ＝a·b|a|·|b|＝－232×2＝－32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.【答案】 C3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝. 【解析】法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)，所以(a＋b)(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.法二：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7.【答案】－74．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝. 【解析】∵a⊥b，∴－3＋x＝0，∴x＝3.【答案】 35．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．【解】(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b·c＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，∵(a＋λb)⊥a，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，得λ＝5 2.(3)法一：设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b| ＝1×2＋2×(－2)12＋22×22＋(－2)2＝－1010. ∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝12＋22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－22. 法二：∵a·b ＝(1,2)·(2，－2) ＝－2，|b |＝2 2.∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a·b |b|＝－222＝－22.。

“平面向量”误区警示“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.①向量此是育向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向相同，但它们可以不重合.⑶若AB II CD ,则筑段AB//CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线解析:」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.(5)若 a // b, b II 6, flja II c解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.⑹若|a| = |6|,则a=6无a=-b解析：也131=1 bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.当孑与B不共线时，a = b或d=—6都不能成立.⑺草住向董都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.⑻若I 3 | =0,则3 =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1)a ・ b = a - b o a lib ; (2)a,b反向o "・b = — a - bf —> f —> f —> f f f⑶么丄b o a + b = u — b ；(4) a = b <=>"・/? = b-cA. 1B.2C. 3D. 4评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180°)：两向量垂直时，夹角为90° ,因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2•已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是_____________评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。

详解示例：平面向量数量积的有关概念一.两个向量的夹角： 对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π时，，垂直。

二.平面向量的数量积： 如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅_________（答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____ （答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____； （4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ （答：30）三.向量b 在向量a 上的投影:为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512） 四.∙的几何意义： 数量积∙等于的模||a 与在上的投影的积。

五.向量数量积的性质： 设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：(1)0a b a b ⊥⇔∙=；(2)当，同向时，∙＝a b ，特别地，222,a a a a a a =∙==；当与反向时，∙＝－a b ；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，θ为锐角可以推出0a b ⋅>,但0a b ⋅>不一定可以推出θ为锐角；当θ为钝角时，a ∙b ＜0，且 a b 、不反向， θ为钝角可以推出0a b ⋅<,但0a b ⋅<不一定可以推出θ为钝角;(3)非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b θ∙=；④||||||a b a b ∙≤。

2.6 平面向量数量积的坐标表示备课资料一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +⇔++≤(x 12+y 12)(x 22+y 22).不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).例1 (1)已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是__________;(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1,则2x-y 的最大值是__________. 解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).∵|m ·n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222•+y x ,即2(x 2+y 2)≥(x+y)2=16.∴x 2+y 2≥8,故x 2+y 2的最小值是8. (2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.由|m ·n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5)2(22•++y x =5,即|t+4|≤5. 解得-4-5≤t≤5-4.故所求的最大值是5-4. 答案:(1)8 (2)5-4例2 已知a .,b∈R ,θ∈(0,2π),试比较θθ2222sin cos b a +的大小. 解:构造向量m =(θθsin ,cos ba ),n =(c osθ,sinθ),由|m ·n |≤|m ||n |,得 (θθθθsin sin cos cosb a +)2≤(θθ2222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2θ), ∴(a+b)2≤θθ2222sin cos b a +. 同类变式:已知a .,b∈R ,m,n∈R ,且mn≠0,m 2n 2＞a 2m 2+b 2n 2,令M=22n m +,N=a+b,比较M 、N的大小.解:构造向量p=(mbn a ,),q =(n,m),由|p ·q |≤|p ||q |,得(m m b n n a ⨯+⨯)2≤(2222m b n a +)(m 2+n 2)=222222m n n b m a +(m 2+n 2)＜m 2+n 2, ∴M＞N. 例 3 设a .,b∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na +b,n∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m∈Z },C={(x,y)|x 2+y2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=∅与(a ,b)∈C 能同时成立.解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++=+)2(144)1(,153222b a n b na设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a.,b),n =(n,1).由|m ·n |2≤|m |2|n |2,得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2),∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)n 4-6n 2+9≤0.解得n=±3,这与n∈Z 矛盾,故不存在a.和b 满足条件. 二、备用习题1.若a =(2,-3),b =(x,2x),且a ·b =34,则x 等于( ) A.3 B.31 C.-31D.-32.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是( )A.m ＞21B.m ＜21C.m ＞-21D.m ＜-21 3.若a =(c osα,sinα),b =(c osβ,sinβ),则( )A.a ⊥bB.a ∥bC.(a +b )⊥(a .-b )D.(a +b )∥(a -b )4.与a =(u,v)垂直的单位向量是( ) A.(2222,υυυ++-u u u ) B.(2222,υυυ+-+u u u )C.(2222,υυυ++u uu ) D.(2222,υυυ++-u u u )或(2222,υυυ+-+u u u )5.已知向量a =(c os23°,c os67°),b =(c os68°,cos 22°),u =B+t b (t∈R ),求u 的模的最小值.6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.7.已知△ABC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC 的面积. 参考答案:1.C2.D3.C4.D5.解：|a |=οοοο23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理|b |=1. 又a ·b =c os23°c os68°+c os67°c os22° =c os23°c os68°+sin23°sin68°=c os45°=22, ∴|u |2=(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21. 当t=-22时,|u |min =22.6.解：由已知(a +3b )⊥(7a .-5b )⇔(a +3b ）•(7a -5b )=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0.①又(a -4b )⊥(7a -2b )⇔(a -4b )·(7a .-2b )=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0.②①-②，得46a ·b =23b 2,即a ·b =2||222b b =.③ 将③代入①,可得7|a .|2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2,有|a |=|b |,∴若记a 与b 的夹角为θ,则c osθ=21||||2||||||2==•b b b b a b a .又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°. 7.分析:S △A.BC =||||21AC AB sin ∠BAC ,而|AB |,|AC |易求,要求sin∠BAC 可先求出c os∠BAC. 解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5, ∴c ||||AC AB =524032⨯⨯+⨯=53∴sin∠BAC=54.∴S △ABC =21|||AC |sin∠BAC=21×2×5×54=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.。

用数目积解题易错点解析平面向量的数目积是高中数学的重要观点之一. 在学习这一内容时，受实数运算性质的影响，简单产生思想定势，假如进行简单的类比，则会产生知识上的负迁徙. 下边解析几例加以说明 .1． 忽视向量夹角的范围致错例 1 若两向量 e 1， e 2 知足e 12 ， e 21 ， e 1， e2 的夹角为 60 ，若向量 2t1 2e 7e 与向量 e 1 t e 2 的夹角为钝角，务实数t 的取值范围．错解： 设向量 2t e 1 7e 2 与向量 e 1 t e 2 的夹角为，由 为钝角，知 cos 0 ，故（ 2t e 1 7e 2 ）·（ e 1 t e 2 ）＝ 2t e 1 2 (2t 2 7) e 1·e 2 7t e 2 22t 2 15t7 0，解得7 t1 ．2解析： 本题忘了清除 cos 1 ，即清除两向量反向时 t 的值．正解： 由上边可知，7 t1，再设向量 2t e 17e 2 与向量 e 1 t e 2 反向，则22t 12（ 1t 2 ）（k 0 ），e7ek e e2t，t14，14进而k即当 t7 解得22 时，两向量夹角为π．，tkk14.t 的取值范围是7， 14 14， 1 ．2222． 乱用实数的运算性质致错例 2 已知平行四边形 ABCD 中， AC 2·BD 2 AB 4 AD 4 ，求 DAB 的度数．错解： 设 ABa ， ADb ，则 AC ab ， BDba ，222222) 2a 442( a ·b ) 2a 444AD 4，由 AC ·BD (a b ) ·(b a )(b abb AB故 a ·b 0 ，DAB 90 ．解析： 一般来说，关于向量m ，n ， (m ·n ) 222，事实上，(m ) ·(n )· 222 2≤22，而上述解答两次运用了等式(m ·n ) 222．m ·cos (m ) ·(m ) ·(n )( m n )n (n )正解：2222(a 222222)24( a·b)2AC ·BD(a b) ·( b a ) b 2a·b)·(a b 2a·b) (a ba 44222a4444．b 2a ·b 4(a·b) b AB AD·21222，则a b，2a·b 4(a·b)a b2cos DAB·2 ．a ba b2故 DAB为45或135．例 3已知 a，b 都是非零向量，且向量a3b与 7a5b垂直，a4b与 7a2b垂直，求a 与b的夹角．错解：由题意可得 (a 3b·)(7a 5b)0 ，①(a 4b)·(7 a 2b) 0 ，②将①，②式睁开并相减，得46a·b23b2，③因 b0 ，故 a1b，④2将a 1b代入②，得 a2b2，则 a b ，设a与 b 夹角为， cos·1 b21 ，a b222 a b b20≤ ≤180，故60．解析：上边解法从表面上看结果是正确的，但仔细解析就会发现，上边解法中有一个原则性的错误，即由③得出④．前式的两头均为实数，尔后式的两头均为向量，我们并无学过向量除法，即便b0 ，也不可以随意约去，这是实数运算与向量运算的重要差别之一．正解：由上边解法，有46a·b23b2， 2a·b b2，将 2a·b b2代入①或②均可得： a 2b2，则 a b ．设 a 与 b 的夹角为，则 cos· 1．a ba b20 ≤ ≤180 ，故60 ．3．忽视共线向量致错例 4 已知同一平面上三向量a， b，c ，两两向量所成的角皆相等．且a2，b3，c 6 ，求 2a 3b 6c的值．错解：易知 a，b， c皆为非零向量，设 a， b， c 两两所成的角都为，则 3360 ，故120，·a b cos1203．a b同理， b·c9 ，c·a 6 ．由 2a3b6c 29b236c22(6a·b18b·c12c·a )889 ，4a22a3b6c889 ．解析：上述解法只考虑到了一种状况，还应试虑当向量a， b， c 共线同向时，两两向量所成角都为0 ，相同切合题意，此时2a 3b6c 2 a 3 b 6 c 49 ．4．混杂向量平行与线段（直接）平行致错例 5已知点A(01)，， B(10)，， C (12)，， D (21)，．求证： AB ∥ CD ．错证：AB(11) CD(11)，，，，又 1(1) (1)1 0 ，AB∥ CD ，AB∥ CD ．解析：本题错误的原由是混杂了向量的平行和线段（直线）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量．因此， A， B， C， D 四点共线时， AB 与 CD 仍为平行向量，但此时线段AB 与 CD 不平行，由于线段（直线）的平行不包含重合的状况，因此本题的正确证法，应在原证法基础上增添：又AB(11)，，而11 (1)1 0．，， AC (11)AB 与 AC 不平行．A， B， C 三点不共线．AB ∥ CD ．。

也谈高考热点—数量积 数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有cos (0)a b a b ααπ⋅=≤≤r r r r 与1212a b x x y y ⋅=+r r 两种。

用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处 。

因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。

以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下一、求长度例1 设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，()||1,,,a a b c a c =-⊥⊥u u r r r r r r ,则222a b c ++r r r 的值是分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。

解析：()()0,0a b c a b c a c b c a c a c -⊥⇒-⋅=⋅-⋅=⊥⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，故0b c ⋅=r r ()2222220()21a b c a b c a b c b c b c b c ++=⇒-=+⇒-=+=++⋅=+=r r r r r r r r r r r r r r r r 由， 所以2222222a b c a b c ++=++=r r r r r r评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。

这是解决向量长度的一种重要方法。

二、求角例2 已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 分析： 要求两向量夹角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。

解：,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2=⋅++x x 有实根，则2||4a a b -⋅r r r ≥0，设向量,a b r r 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ⋅⋅r r r r ≤221||1412||2a a =r r ，∴θ∈],3[ππ，选B. 评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。

第二章平面向量
本章概览
三维目标
1.经历平面向量基本概念的形成过程，提高运用向量解决问题的能力，培养应用意识.
2.探索平面向量的线性运算及其几何意义，感受处理向量问题的思维过程，培养应用数形结合思想解决问题的能力.
3.探索平面向量基本定理及其坐标表示，体验用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法，逐步认识向量的科学价值及应用价值.
4.探讨平面向量数量积的含义、应用及其意义，知道向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，体会它们之间的联系.
5.经历用向量方法解决几何问题、物理问题的过程，体会向量的工具作用，归纳用向量解决问题的思维方法，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
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