难点15__三角函数的图象和性质

三角函数图像与性质知识点总结The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴： x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称轴：x ＝k π(k ∈Z) 对称中心：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0 (k ∈Z)3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。

三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。

2. 学会绘制和分析三角函数的图象。

3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

4. 能够应用三角函数的性质解决问题。

二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。

2. 三角函数的图象绘制方法。

3. 三角函数的周期性性质。

4. 三角函数的奇偶性性质。

5. 三角函数的单调性性质。

三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。

2. 三角函数图象的绘制和分析。

3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。

4. 利用例题和练习题巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。

2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。

3. 第三课时：三角函数的周期性性质。

4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。

5. 第五课时：三角函数的单调性性质。

六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 学会应用周期性解决实际问题。

3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。

七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 周期性在实际问题中的应用。

3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。

八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。

2. 相位变换的理解和应用。

九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。

2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。

十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。

3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。

十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。

2. 学会应用正切函数解决实际问题。

3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=－x·cos x的部分图象是( )友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函 数性 质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图： 五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。

三角函数的图象和性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:(1) 函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; (2) 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; (3) 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; (4) 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）; 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）. 三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求下列函数的最值： (1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin 2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π).[题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2. (3)y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2; 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π], ∴当x-3π=0 即x=3π时 y max =2; 当x-3π=3π 即x=32π时 y min =1. [例2] 求下列函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3-- ; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x . [题解] (1)∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π] (k ∈Z). (2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 , ∴x ∈R , 1cos ≤y ≤1.[例3] 已知函数f(x)=2asin 2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。

难点攻略：三角函数的图象与性质作者：陈菊仙来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期三角函数的图象和性质是高考的传统必考内容，也是每年高考的热点. 三角函数的图象与性质（包括三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性）是三角函数的核心内容，是解决实际问题的工具.笔者特别研究了2013年三角函数部分的考题，发现除了经典的常考问题，较往年也有较大的变化和创新——越来越多的体现新课改、风格新颖的问题，试题难度也由以前的中低档开始加深难度，更突出与其他知识结合、体现对实际背景问题的迁移能力的考查.重点难点重点：三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域、值域（最值）、周期性、奇偶性、对称性及单调性；函数y=Asin（ωx+φ）+k的模型（图象变换、性质）及应用.难点：三角函数线、图象变换及三角函数的图象与性质的灵活运用，与其他知识结合的综合问题.方法突破1. 基本思路灵活运用三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换法（平移、对称、伸缩），注意数形结合、整体思想在解题中的运用，以及对于选择题的解题技巧的运用.2. 基本策略（1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或三角函数的图象来求解.（2）求解涉及三角函数的值域（最值）：①利用有界性；②转化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式再根据图象或者单调性求解；③运用换元法：令sinx=t（或cosx=t），根据角度的取值范围来确定t的取值范围；④对于含参数问题，以及对以上知识的逆用.（3）求形如y=Asin（ωx+φ）+k的三角函数的单调区间、对称中心（轴），通常运用整体的思想，将ωx+φ整体代换.（4）确定y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式的步骤：A，k取决于函数的最大（小）值；ω取决于周期；求φ可用特殊点代入法，但注意尽量选最值点代入，当代入的值是零点的时候要注意0，π，2π的区别.。

高考数学难点突破_难点15__三角函数的图象和性质首先，我们从正弦函数和余弦函数的图象开始讲解。

正弦函数的图象是一条连续的波浪线，其中最高点和最低点分别是1和-1，它在原点处与x轴相交。

余弦函数的图象与正弦函数相似，最高点和最低点也是1和-1、但是，余弦函数在原点处最低点，与x轴相交，而在最高点之后和最低点之前，它与x轴需要再次相交。

接下来，我们来看正切函数和余切函数的图象。

正切函数的图象是一个周期为π的波浪线，它在原点处有一个垂直渐近线，与x轴相交。

余切函数的图象与正切函数相似，但它在原点处有一个水平渐近线，与y轴相交。

此外，我们还可以根据周期、对称轴和图象的极值来判断函数的图象。

对于正弦函数和余弦函数来说，它们的图象是关于y轴对称的，并且有一个周期为2π。

对于正切函数和余切函数来说，它们的图象是关于原点对称的，并且有一个周期为π。

在了解了三角函数的图象之后，我们接下来来看几个重要的性质。

首先是函数的奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)；余切函数是奇函数，即cot(-x)=-cot(x)。

其次是函数的同号性。

在第一象限，所有的三角函数的值都是正的；在第二象限，只有正弦函数的值是正的；在第三象限，只有正切函数的值是正的；在第四象限，只有余切函数的值是正的。

最后，我们来看一下函数的增减性和极值。

对于正弦函数来说，在(0,π/2)区间上是增函数，在(π/2,π)区间上是减函数，在(π,3π/2)区间上是增函数，在(3π/2,2π)区间上是减函数。

对于余弦函数来说，情况与正弦函数相反。

对于正切函数来说，在(0,π/4)和(π/2,3π/4)区间上是增函数，在(π/4,π/2)和(3π/4,π)区间上是减函数。

对于余切函数来说，情况与正切函数相反。

在解决涉及三角函数的问题时，可以运用三角函数的图象和性质，进行数据的分析和判断。

三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。

2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。

2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。

三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。

2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。

四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。

2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。

五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。

2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。

3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。

2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。

3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。

七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。

2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。

3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。

八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。

2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。

3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。

九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。

2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。

三角函数的图象与性质一、知识网络三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.（2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 .（ⅱ）为偶函数；为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 .（ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） .（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称轴.认知：①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.②正切函数的个性：（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.2、基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3、y＝的图象（1）五点作图法（2）对于A，T，，的认知与寻求：①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.：由T＝得出. ③：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：（1）∵∴，即所求函数的值域为 .（2）由∴∴注意到这里x∈R，，∴∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里令sinx＋cosx＝t则有且由于是有∵∴因此，所求函数的值域为 .（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时同理，当亦有 . ∴所求函数的值域为 .（6）令则易见f（x）为偶函数，且∴是f（x）的一个正周期. ①只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0， ]时，又注意到，∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.而在[0， ]上，递增. ③亦递增④∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.∴即⑤于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx 与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）＝＝∴所求最小正周期 .（2）＝＝＝∴所求周期 .（3）＝＝＝ .注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为 .（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .（5）注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .点评：对于（5），令则由知，是f（x）的一个正周期.①又∴不是f（x）的最小正周期. ②于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.例3、已知函数的部分图象，（1）求的值；（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：（1）令，则由题意得f（0）＝1∵∴注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”得：由此解得∴所求， .（2）由（1）得令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：例4、（1）函数的单调递增区间为。

专题十五 三角函数的图象与性质 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-—三角函数奇偶性与周期性的综合运用例题13.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32【答案】D【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.考点二 数学运算-求三角函数的值域例题14、函数y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 的值域为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54【解析】y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤y ≤54，所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54。

考点三 直观想象-利用三角函数图象解三角不等式 例题15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z【解析】由2sin x －1≥0得sin x ≥12， 画出y ＝sin x 的图象和直线y ＝12.可知sin x ≥12的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .二、学业质量测评一、选择题1．（2012·全国高一课时练习）若函数[]cos cos ,0,2y x x x π=+∈的大致图像是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】30,2232,0222x y cosx cosx cosx x x πππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪<<⎪⎩或，cos y x =在[0，)2π为减函数，在3(2π，2]π为增函数，并且函数值都大于等于0，只有D 符合，故答案为：D2．（2018·全国高一课时练习）函数sin 2y x =-，x ∈R 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】设()sin2,y f x x ==- 则()()()sin2sin2,f x x x f x -=--==- 故函数函数sin2y x =-，x R ∈是奇函数，由2,2T ππ== 故函数sin2y x =-，x R ∈是最小正周期为π的奇函数. 故选A.3．（2018·全国高一课时练习）函数2cos 1y x =+的定义域是（ ）A ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由2cos 1x +⩾0得1cos 2x -,∴222233k x k ππππ-+，k ∈Z. 故选D.4．（2012·全国高一课时练习）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（ ）A ．sin()2y x π=+ B ．cos()2y x π=+ C ．cos(2)2y x π=+ D ．sin(22)y x π=+【答案】D【解析】由题意得，函数的周期为π，只有C,D 满足题意，对于函数cos(2)sin 22y x x π=+=-在[,]42ππ上为增函数， 函数sin(2)cos 22y x x π=+=在[,]42ππ上为减函数，故选D. 5．（2018·全国高一课时练习）函数2sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．关于y 轴对称B ．关于直线6x π=对称C ．关于点(0,0)对称D ．关于点(,0)6π-对称 【答案】D 【解析】当0x =时，2sin33y π==0，且无法取到最值，选项A ,C 错误；当6x π=时，2sin 333y ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭0，且无法取到最值，选项B 错误； 当6x π=-时，2sin 033y ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，函数值为0，关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称； 本题选择D 选项.6．（2016·全国课时练习）下列不等式中正确的是（ ） A ．3π2πtantan55> B ．tan 4tan 3>C ．tan 281tan 665︒>︒D ．13π12πtan tan 45⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】3πtan05<，2πtan 05>，所以A 选项错误；因为π33π,π4π22<<<<，所以tan 30,tan 40<>，故B 选项正确；()()tan 281tan 79,tan 665tan 55︒=-︒︒=-︒，正切函数tan y x=在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 281tan 665︒<︒，C 选项错误； 13ππtan πtan 3πtan 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12π2πtan tan 2π55⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πtan 5⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，正切函数tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以 13π12πtan tan 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.7．（2016·全国课时练习）函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数的最小正周期为π，且在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．函数的最小正周期为π2，且在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 C ．函数的最小正周期为π，且在π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D ．函数的最小正周期为π2，且在π7π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D【解析】对于函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππtan 2223f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()ππtan π2tan 233x x f x ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以它的最小正周期为π2，当π7π,1212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ3π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故选D.8．（2016·全国课时练习）若3tan 1x <≤-，则x 的取值集合为（ ）A ．ππ2π,2π,34k k k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z B ．π3π2π+,2π+,24k k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z C ．πππ,π,34k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z D ．πππ,π+,34k k k ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦Z 【答案】C【解析】在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭这个周期内，3tan 1x <≤-所对应的区间是ππ,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故在R 上，3tan 1x -≤-的解集为πππ,π,34k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z .9．（2016·全国课时练习）函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】222211cos sin 11sin sin 1sin sin sin 24y x x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当sin 1x =-时，min 2;y =-当1sin 2x =时，max 14y =.所以值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 10．（2016·全国课时练习）下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11sin168cos77︒<︒<︒B ．sin168sin11cos77︒<︒<︒C ．sin11cos77sin168︒<︒<︒D ．sin168cos77sin11︒<︒<︒ 【答案】A【解析】∵()sin168sin 18012sin12︒=︒-︒=︒，()cos77cos 9013sin13︒=︒-︒=︒， 由正弦函数的单调性得sin11sin12sin13︒<︒<︒，即sin11sin168cos77︒<︒<︒.11．（2016·全国课时练习）当ππ44x -≤≤时，函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有 （ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为2，最小值为1-C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为0 【答案】D 【解析】∵ππ44x -≤≤，∴ππ042x ≤+≤. ∴π02sin 24x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，函数()f x 有最小值0，最大值2. 12．（2016·全国课时练习）要得到函数[]3sin ,0,2πy x x =-∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称 【答案】B【解析】由于()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称，所以要得到函数3sin ,y x =-[]0,2πx ∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象关于x 轴对称.二、填空题13．（2018·浙江省诸暨市牌头中学高一课时练习）函数()23s 34f x in x cosx =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式， 可得()22311cos 3cos 344f x x x x x =-+-=-+= 23(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 14．（2016·辽宁高一课时练习（文））①函数y ＝cos （23x ＋2π）是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝2；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝8π是函数y ＝sin （2x ＋54π）的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝tan （2x ＋3π）的图象关于点（12π，0）成中心对称图形．其中正确命题的序号为__________. 【答案】①④⑤【解析】①函数22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，而2sin 3y x =-是奇函数，故函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，故①正确；②因为sinx ，cosx 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令 α=3π，β=136π，则3tanβ=tan 136π=tan 6π3tanα＞tanβ，故③不成立． ④把x=8π代入函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得y=-1，为函数的最小值，故x ＝8π是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=tan （2x+3π）图象的对称中心在图象上，而点（12π，0）在图象上，所以⑤成立 15．（2016·全国课时练习）函数cos y x =在区间[]π,a -上为增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(]π,0-【解析】因为cos y x =在[]π,0-上是增函数，在[]0,π上是减函数， 所以只有π0a -<≤时满足条件，故(]π,0a ∈-．16．（2012·全国高一课时练习）函数y =√log 12tanx 的定义域是______．【答案】{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z} 【解析】要使函数有意义，必须log 12tan x ≥0， ∴0<tan x ≤1，∴k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴该函数的定义域是{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z}．三、解答题17．（2019·全国高一课时练习）已知函数f （x ）＝2sin （2x 6π-）+a ，a 为常数 （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最小值为﹣2，求a 的值． 【答案】（1）π；（2）a ＝－1． 【解析】（1）∵f （x ）＝2sin （2x 6π-）+a ， ∴f （x ）的最小正周期T 22π==π． （2）当x ∈[0，2π]时，2x 6π-∈[6π-，56π]，故当2x 66ππ-=-时，函数f （x ）取得最小值，即sin （6π-）12=-， ∴f （x ）取得最小值为﹣1+a ＝﹣2， ∴a ＝﹣1．18．（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)2)4x π+(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间4[,]33ππ上的图象(只作图不写过程)．【答案】（1）π.，5,,88k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】(1)T＝＝π.令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，则2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)列表：2x＋ππ2ππxf(x)＝sin0－0描点连线得图象如图：19．（2016·全国课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）()sin cos f x x x =+；（2）()1cos cos 1f x x x =-- 【答案】（1）偶函数 （2）既是奇函数又是偶函数【解析】（1）函数的定义域为R ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以此函数是偶函数．（2）由1cos 0x -≥且cos 10x -≥，得cos 1x =，从而2πx k =，k ∈Z ， 此时()0f x =，故该函数既是奇函数又是偶函数.20．（2016·全国课时练习）比较下列各组数的大小．（1）cos870,cos890︒︒；（2）37π49πsin ,sin 63⎛⎫-⎪⎝⎭. 【答案】（1）cos870cos890︒>︒（2）37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭【解析】（1）()cos870cos 2360150cos150.︒=⨯︒+︒=︒()cos890cos 2360170cos170.︒=⨯︒+︒=︒∵余弦函数cos y x =在[]0,180︒︒上是减函数， ∴cos150cos170︒>︒，即cos870cos890︒>︒.（2）37πππ49πππsin sin 6πsin ,sin sin 16πsin ,666333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴ππsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭. 21．（2012·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝2a sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋b 的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．【答案】a ＝12－3b ＝－23＋3，或a ＝－12＋3，b ＝19－3【解析】∵0≤x ≤2π，∴－3π≤2x －3π≤23π. ∴－32≤sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1.若a >0，则21{35a b a b +=-+=-，解得1263{23123a b =-=-+，若a <0，则25{31a b a b +=-+=，解得1263{193a b =-+=-综上可知，a ＝12－3，b ＝－23＋3a ＝－12＋3b ＝19－322．（2018·全国高一课时练习）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π 56π 43π 116π73π 176πy1- 1 3 1 1- 1 3（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）)31,3 【解析】(1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=． 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩, 令5262k ππωφπ⋅+=+，即5262k ππφπ+=+，k Z ∈， 据此可得：23k πϕπ=-，又2πφ<，令0k =可得3πφ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =． 令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． sint s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的条件是3s ⎫∈⎪⎪⎣⎭， 所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)31,3m ⎡∈⎣， 即实数m 的取值范围是)31,3．。

三角函数的图像与性质教案三角函数的图象与性质教学目标：1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，以及如何用它们研究复合函数的性质。

2.熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象形状。

3.理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并能使用这两种变换研究函数图象的变化。

重点难点：重点是通过复，能够运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，需要重点明确。

难点是在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这增加了问题的综合性和难度。

教学过程：三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，需要熟练、准确地掌握。

特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点。

在复“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用，这样才能把性质理解透彻。

一、三角函数性质的分析1.三角函数的定义域正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域是全体实数，但是余切函数的定义域是x≠kπ(k∈Z)。

函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同。

例如，求函数f(x)=sin(2x+π/3)的定义域，可以通过解2x+π/3的定义域，即x∈(-∞,+∞)得到f(x)的定义域为(-∞,+∞)。

2.三角函数的值域正弦函数、余弦函数的值域是[-1,1]，而正切函数的值域是全体实数，但是余切函数的值域是x≠kπ(k∈Z)。

对于复合三角函数的值域问题，需要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域。

例如，对于函数f(x)=sin(2x+π/3)，先对2x+π/3进行反三角函数变换，得到x=arcsin[(y-π/3)/2]，然后再根据arcsin函数的定义域和值域得到f(x)的值域。

总之，需要熟记常用的一些函数的定义域和值域，以便在解题时能够快速准确地判断。

2.设 $\theta$ 是第二象限角，则必有 $\cos\theta0$，因此选项 B 正确。

三角函数的图象与性质(解析版)三角函数的图象与性质(解析版)三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解析几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对三角函数的图象与性质进行解析，便于读者更好地理解与掌握三角函数的特点。

一、正弦函数的图象与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。

我们可以通过数学方法推导出正弦函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。

1. 图象特点：正弦函数的图象是一条在坐标平面上连续波动的曲线。

它的振幅表示峰值与谷值之间的差距，周期则代表两个峰值或谷值之间的距离。

2. 周期性：正弦函数的一个周期内，曲线的形状相同，并且可以无限延伸。

周期为2π，即当x增加2π时，曲线的形状重复出现。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

这意味着当自变量x取负值时，函数值会发生变号。

4. 对称性：正弦函数关于原点对称，即f(x) = -f(x + π)。

这意味着以原点为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。

二、余弦函数的图象与性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。

与正弦函数相似，余弦函数也有周期性、奇偶性和对称性等特点。

1. 图象特点：余弦函数的图象是一条波动的曲线，与正弦函数相比，它的最高点与最低点位置不同。

余弦函数的振幅表示波峰与波谷之间的差距，周期代表两个波峰或波谷之间的距离。

2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，当自变量x增加2π时，曲线的形状重复出现。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。

这意味着当自变量x取负值时，函数值保持不变。

4. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即f(x) = f(π - x)。

这意味着以y轴为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。

三、正切函数的图象与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的图象是一条连续的波动曲线。

我们也可以通过数学方法推导出正切函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。

三角函数的图象与性质遂溪县第四中学 叶小灵【要点梳理】1.三角函数的图象和性质2.周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ，则称f (x )为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的 .3、当函数)),(0,0)(sin(+∞-∞∈>>+=，x A x A y ωϕω表示一个振动量时，则 叫做振幅， 叫做周期， 叫做频率， 叫做相位， 叫做初相。

4、三角函数中奇函数一般可化为y ＝Asin ωx 或y ＝Atan ωx ，偶函数一般可化为y ＝Acos ωx ＋b 的形式．【典例分析】考点一：三角函数的定义域方法：求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线、三角函数图象和数轴求解.例1、求下列函数定义域.(1) y ＝lg （x sin -x cos ） (2) y=1cos 2-x (3)y=1sin 1log 2-=xy变式、函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为______ __ ．考点二：三角函数的值域（最值） 方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 例2、求下列函数的值域. （1）x x y cos sin 3+= （2π≤x ） （2）x x y sin 2cos 2+= （4π≤x ）变式：求下列函数的值域. （1）]3,0(),3cos(ππ∈+=x x y （2）)66)(32sin(2πππ<<-+=x x y例3、求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．变式：)4cos(32π+-=x y 的最大值为________．此时x ＝_____________.考点三：三角函数的单调性方法：求形如)sin(ϕ+=wx A y 或)(cos ϕ+=wx A y （其中ϕ>0）的单调区间时，只需把ϕ+wx 看作一个整体，代入x y sin =或x y cos =的相应单调区间内解不等式即可，若w 为负则要先把w 化为正数． 例4、已知],0[),2sin(sin )(ππ∈-+=x x x x f ，求)(x f 的单调递增区间．变式1、函数)32sin()(π+-=x x f 的单调递减区间为___________． 2、函数)4(cos )(2π+=x x f 的单调递增区间为___________．考点四：三角函数的奇偶性与周期性方法：1、判断函数的奇偶性：首先要看函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而确定其奇偶性．2、求三角函数的周期：（1）利用周期函数的定义．（2）利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T=2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T=π|ω|.一般地，)sin(φω+=x y 或)cos(φω+=x y 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半.（3）利用图象．例5、函数1)4(cos 2)(2--=πx x f 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数例6、函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π变式：1、函数f(x)＝2sin xcos x 是 ( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2、函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数考点五：三角函数的对称性方法：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 例7、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12例8、若0＜∂＜π2，)42sin()(∂++=πx x f 是偶函数，则∂的值为________．变式1、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.2、函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.3、函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ＝________.【课后练习】1、已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数2、函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，323、x x y sin sin -=的值域是（ ）A ．]0,1[-B ．]1,0[C ．]1,1[-D ．]0,2[-4、y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 5、已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A .2πB .4π-C .4πD .34ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是________________．6、sin3 y x。

专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数的性质的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为（）A．{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B．{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C．{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D．{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选：A.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈[π4,2π3]，则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为（ ） A ．[0,3√32]B ．[0,√32] C ．[0,√3]D ．[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可. 【解答过程】由题意，f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时，有2x -π6∈[π3,7π6]，当2x -π6=π2，即x =π3时，f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32； 当2x -π6=7π6，即x =2π3时，f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选：A.【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为（ ） A ．[−2,2]B ．[−√3,√3]C ．[−1,1]D ．[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案 【解答过程】解：函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6)，∵x ∈R ，∴cos (x −π6)∈[−1,1]，∴函数的值域为[−1,1]， 故选：C ．【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x ∈[−π3,2π3]，则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为（ ）A ．12B ．1C ．74D ．√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14，根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1]，结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值，加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14，当x∈[−π3,2π3]时，x+π6∈[−π6,5π6]，∴cos(x+π6)∈[−√32,1]，∴当cos(x+π6)=1时，y max=94−14=2；当cos(x+π6)=−12时，y min=−14；∴y max+y min=2−14=74.故选：C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解．【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．故选：D．【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π12=4π．故A，B，C错误.故选：D.【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π2)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f(x)，进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω=2ππ=2，得f(x)=cos(2x+π6)，所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32．故选：A.【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是（）A．f(x)=sin|2x|B．f(x)=cos(2x+π6)C．f(x)=|cosx|D．f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在(0,π2)为增函数，不符题意，故A错；对于B，f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π，x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6)，不是减函数，不符题意，故B错；对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在(0,π2)为减函数，符合题意，故C对；对于D，f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，不符题意，故D错；故选：C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（）A．−πB．−π2C．π4D．2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，故A错误;若φ=kπ+π2=−π2，解得k =−1∈Z ，故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4，解得k =−14∉Z ，故C 错误;若φ=kπ+π2=2π，解得k =32∉Z ，故D 错误;故选:B.【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．y =sinxB ．y =|sinx |C ．y =tanxD ．y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ，∵y =sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =sinx 为奇函数，A 错误；对于B ，∵y =|sinx |定义域为R ，|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |，∴y =|sinx |为偶函数，B 正确；对于C ，∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z )，即定义域关于原点对称，tan (−x )=−tanx ，∴y =tanx 为奇函数，C 错误；对于D ，∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =cos (x −π2)为奇函数，D 错误. 故选：B.【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x )=cos x +cos2x 是（ ） A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最小值为-98 C ．奇函数，且最小值为-98D ．偶函数，且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ，f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x )， 故函数f (x )为偶函数，因为-1≤cos x ≤1，则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98， 所以，f (x )min =-98，f (x )max =2+1-1=2.故选：B.【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3)，再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3)，因为其为奇函数，则−2m −π3=k π,k ∈Z ，解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3)，向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3)，由于是奇函数，因此，得−2m −π3=k π,k ∈Z ，m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0，则当k =−1时，m 的最小值是π3，故选：B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12,0)B ．(7π12,0)C ．(−5π12,0)D ．(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ，求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ，可得x =k π4+π6,k ∈Z ，当k =0时，x =π6，当k =1时，x =π4+π6=5π12，当k =2时，x =8π12=23π， 当k =−1时，x =−π4+π6=−π12， 当k =−2时，x =−4π12=−13π， 当k =−3时，x =−7π12，所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心， 故选：D.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．[43,116)B ．(43,116]C ．[1312,1912)D ．(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π，进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π， 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6， 所以2π≤2ωπ−π6<3π， 解得1312≤ω<1912．故选：C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6)，则结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B ．f (x )的图象关于直线x =−π3对称C ．f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D ．f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心；C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A ：f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0，故(5π3,0)不是对称中心，错误；B ：f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1，故x =−π3不是对称轴，错误；C ：在x ∈(−π,π)，则12x −π6∈(−2π3,π3)，故f(x)=0，可得12x −π6=0，所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点，错误；D ：在x ∈[−π2,0]，则12x −π6∈[−5π12,−π6]，故f(x)=sin (12x −π6)递增，正确. 故选：D.【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象（ ） A ．关于点(−5π3,0)对称B ．关于点(π2,0)对称 C ．关于直线x =−π3对称D ．关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x )为正弦函数，由此条件得出f (x )的解析式，再根据平移得出g (x )的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π，即T =4π，ω=2πT ，ω=12, 因为f (x )为奇函数，根据0<φ<π可知φ=π2，f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心：12x −π6=k π(k ∈Z )，x =2k π+π3(k ∈Z )，故A 正确，B 错误;对称轴：12x −π6=π2+k π(k ∈Z )，x =2k π+4π3(k ∈Z )，故C 、D 错误;故选：A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是（ ） A ．[0,π3]B ．[π12,7π12]C ．[π3,5π6]D ．[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6)，2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选：C.【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ，若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减，则实数m 的取值范围（ ）A ．[π6,π4]B ．[π3,π2]C ．[π6,π4)D ．[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1，由x ∈[m ,π4]，则2x +π6∈[2m +π6,2π3]，由题意，[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2]，则π2≤2m +π6<2π3，解得π6≤m <π4. 故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a =log 168，b =πln0.8，c =sin2.5，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ，又πln0.8，sin2.5分别可看做y =πx ，y =sinx 的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为ln0.8估值困难，故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值，最后求得答案.【解答过程】由题意，a =log 168=log 2423=34=0.75， 设f (x )=lnx +1x −1，则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+54−1>0，所以ln0.8>−14，因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增，所以πln0.8>π−14，又(π−14)−4=π，(34)−4=25681≈3.16，所以(34)−4>(π−14)−4，因为y =x−4在(0,+∞)单调递减，所以34<π−14，所以πln0.8>34，故b >a ， 因为3π4<2.5<5π6，函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减，所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4，所以12<sin2.5<√22，所以sin2.5<34，即c <a ，所以c <a <b ， 故选：A.【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．37 B ．34C ．14D ．1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π，进而解不等式求解即可.【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以7π4≤12T =πω，解得0<ω≤47，因为x ∈(0,7π4)，所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减， 所以，函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π，解得ω≤37，所以ω的取值范围是ω∈(0,37]，即ω的最大值为37. 故选：A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路： (1)熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间； (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6)，从而利用T =2π|ω|求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3]，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为−1.【解答过程】（1）因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π；令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得：[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ， 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得：[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ，单调增区间为[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，单调减区间为[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ；（2）已知x ∈[−π6,π4]，所以2x +π6∈[−π6,2π3]，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值，最大值为2， 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f (x )取得最小值，最小值为-1， 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2，最小值为−1.【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）图象的一条对称轴为直线x =−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．(1)求f (x )；(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域．【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8， 所以T =π2，故ω=2πT=4，又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12， 则4×(−π12)+φ=π2+k π，k ∈Z ，即φ=5π6+k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π6， 故f(x)=4sin (4x −π6)；（2）因为x ∈[−π24,π4]，所以4x −π6∈[−π3,5π6]，所以sin (4x −π6)∈[−√32,1]，所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4]， 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值；(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π]，求sin2x 0的值．【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3)，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据正弦函数的性质即得；（3）由题可得sin (2x 0-2π3)=513，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】（1）因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3)． 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π，∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ，∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π，所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)；（2）由（1）知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)，∵x ∈[π4,π2]，∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3，故f (x )min =1,f (x )max =2； 另解：∵x ∈[π4,π2]， ∴t =2x -π3∈[π6,2π3]，∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增，在[π2,2π3]上单调递减， ∴当t =π2时，(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2， ∴当t =π6时，(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1； （3）∵f (x 0-π6)=1013，∴sin (2x 0-2π3)=513， 由x 0∈[3π4,π]，得2x 0-2π3∈[5π6,4π3]，∴cos (2x 0-2π3)=-1213， ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326． 【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足f (3A4)=-1，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4)，从而可求出最小正周期，再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间，（2）由f (3A4)=-1，求得A =π3，再由圆的性质可得C =2π3，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d ，分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4，0<cd ≤43，从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】（1）[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4)， ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )，得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z )，所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). （2）由于f (3A4)=-1，根据（1）得√2cos (2×3A 4+π4)=-1，∵0<A <π2，∴A =π3，C =2π3.分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4，c 2+d 2-2cd cos2π3=4，∴a 2+b 2=4+ab ，c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∴4+ab ≥2ab ，4-cd ≥2cd ，解得0<ab ≤4，0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd )， 所以S 的取值范围是(0,4√33].。