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利用高斯公式，
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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证明 先对 是简单区域的情况进行证明。
设闭区域 在 xoy 坐标面上的投影区域为 Dxy .
由1 , 2 和 3 三部分组成,
1 : z z1 ( x , y )
z
2 3
1
2 : z z2 ( x , y )
3 : 为柱面上的一部分．
移项即得
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二、曲面积分与曲面无关的条件
定义：设 G 是一空间区域，L 是 G 内任一简单闭曲 线，如果对 G 内任意两个以 L 为边界曲线的曲面Σ1， Σ2 ，都有
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例 4：设函数 u( x , y , z ) 和 v ( x , y , z )在闭区域 上具有一阶及 二阶连续偏导数，证明 v u v u v u v uvdxdydz u dS ( )dxdydz , n x x y y z z
v 其中Σ 是闭区域 的整个边界曲面，取外侧， 为函数 n
v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数。
2 2 2 符号 2 2 2 ，称为拉普拉斯(Laplace)算子， x y z
这个公式叫做格林第一公式．
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v v v v 证 cos cos cos , n x y z v v v v u dS u( cos cos cos )dS n x y z v v v [( u ) cos ( u ) cos ( u ) cos ]dS x y z
0
xydydz ( y e
2
xz 2
)ห้องสมุดไป่ตู้zdx
sin( xy )dxdy
3 ydxdydz
3 dx
1
0
1
1 x 2
0
dz
2 z
0
2
184 ydy 35
xz 2
I 2 xydydz ( y e
)dzdx sin( xy )dxdy
2 2 Q r 3y P r 3 x , , 5 5 y r x r 2 2
R r 2 3 z 2 , 5 z r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0, 5 x y z r
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2
xz 2
)cos sin( xy )cos )dS ，
其中 为抛物柱面 z 1 x 2 和平面 y z 2 ， y 0 所围区 域在 xoy 平面上方的部分的表面， 取外侧， cos , cos , cos 是 在点 ( x , y , z ) 处外法向量的方向余弦。
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由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
使用Guass公式时应注意:
1、判断是否满足高斯公式的条件：
（ 1 ）Σ 是分片光滑的闭曲面；
1
2
则称曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 在G 内与曲面
无关。否则称与曲面有关.
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连通区域的类型
设有空间区域 G ,
• 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
这里 z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) ， 1 取下侧, 2 取上侧, x 3 取外侧．
o
Dxy
y
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根据曲面积分的计算法
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z1 ( x , y )]dxdy , D
y z x 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r 2 2 2 2 2 2 Q R r 3 z P r 3 x r 3y , , z , y 5 5 5 r x r r
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区域 .
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函数 P ( x , y , z ), 定理2. 设 G 是空间二维单连通区域 ，
Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 G 内具有连续一阶偏导数，
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z
或
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
这里 是 的整个边界曲面的外侧， cos , cos , cos 是 上点 ( x , y , z )处的外法向量的方向余弦 .
其中 是以原点为中心， 边长为 a 的轴向正方体的整 个表面的外侧。
解:
由高斯公式
1上
z
3后
I (1 1 1) dxdydz
2左 2右 y 1下
x
3 dxdydz 3a 3
3前
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例 2：计算 I ( xy cos ( y e
xy
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根据三重积分的计算法 z 2 ( x , y ) R R dV dxdy dz z1 ( x , y ) z z D xy
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy . D
x2 y2 z2 思考: 本题 改为椭球面 2 2 2 1 时, a b c 应如何计算 ?
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1 3 3 d x d y d z R
此步可用高斯公式
例3*：计算曲面积分
2 2 2 x y z 其中 r x 2 y 2 z 2 , : 2 2 2 1 取外侧 . a b c x y z 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 , x y z r5
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z
(1)当原点不在 Σ 所包围的区域内时 根据高斯公式 I 0dV 0. (2)当原点在 Σ 所包围的区域内时
1
y
x
在 Σ 内作辅助小球面 1 : x 2 y 2 z 2 2
xy
R dV R( x , y , z )dxdy. z
同理
P dV P ( x , y , z )dydz , x
Q dV Q ( x , y , z )dzdx , y
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1 xy
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z2 ( x , y )]dxdy , D
