8 相量法

第八章 相 量 法 习 题一、 选择题1．在图8—1所示的正弦稳态电路中，电流表1A 、2A 、3A 的读数分别为3A 、10A 、6A ，电流表A 的读数为＿＿＿。

A.．19A ； B ．7A ； C ．13A ； D ．5A2．在图8—2所示的正弦稳态电路中，电压表1V 、2V 、3V 的读数分别为3V 、10V 、6V ，电压表V 的读数为＿＿＿。

A ．5V ；B ．7V ；C ．19V ；D ．13V3．在正弦电路中，纯电感元件上电压超前其电流090的相位关系＿＿＿。

A ．永远正确；B ．在电压、电流为关联参考方向的前提下才成立；C ．与参考方向无关；D ．与频率有关4．在图8—3所示电路中，L X R =，且501=U V ，402=U V ，则电路性质为＿＿＿。

A ．感性的；B ．容性的； Ｃ．电阻性的； Ｄ．无法确定5．在图8—4所示正弦电路中，设电源电压不变，在电感L 两端并一电容元件，则电流表读数＿＿＿。

A ． 增大；B ．减小； Ｃ．不变； Ｄ．无法确定二、填空题1．正弦量的三要素是＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿。

2．在图8—5所示正弦稳态电路中，I=＿＿＿A 。

3．在图8—6所示正弦稳态电路中，电流表的读数为2A ，u 的有效值为＿＿＿V ，i 的有效值为＿＿＿A 。

4．在图8—7所示正弦稳态电路中，电流表的读数为1A ，u 的有效值为＿＿＿V ，i 的有效值为＿＿＿A 。

5．在图8—8所示正弦稳态电路中，Ω=-==100C L X X R ，00/2=RI A ， 则电压=U＿＿＿V 。

三、计算题1． 在图8—9所示电路中，21U U U +=，则1R 、1L 、2R 、2L 应满足什么关系？2．在图8—10所示的正弦电路中，电流表1A 、2A 的读数分别为4A 、3A ，试求当元件2分别为R 、L 、C 时，总电流i 的有效值是多少？3．在图8—11所示的正弦电路中，电压表1V 、2V 读数分别为6V 、8V ，试求当元件2分别为R 、L 、C 时，总电压u 的有效值是多少？4．在图8—12所示RL 串联电路中，在有效值为220V 、50=f Hz 的正弦电源作用下，4.4=I A 。

第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。

引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。

这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。

解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。

8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。

相量法的运算公式
相量的运算公式包括：
1.相量的加减法：
a+b = (a_x + b_x) + (a_y + b_y) j
a-b = (a_x - b_x) + (a_y - b_y) j
其中，a_x和a_y分别为向量a在x轴和y轴上的分量，b_x和b_y分别为向量b在x轴和y轴上的分量，j为虚数单位。

2.相量的乘法：
a*b = (a_magnitude * b_magnitude) * exp(j * (a_angle +
b_angle))
其中，a_magnitude和b_magnitude分别为向量a和b的模长，a_angle和b_angle分别为向量a和b与实部轴之间的夹角，exp为指数函数，j为虚数单位。

相量法拓展：
1.相量法不仅适用于平面向量，在空间向量中同样适用，只是需要增加z轴分量。

2.相量法不仅适用于电学领域中的交流电路分析，还适用于机械学、热力学的分析，以及计算机图形学中的向量运算等领域。

3.利用相量法，可以求解平面图形的面积、角度、垂直平分线、内心、外心等问题。

（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。

2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。

3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。

4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。

5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。

⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。

2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。

三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。

§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。

1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。

图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。

图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。

2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。

若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。

复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。

图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。

若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。

除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。

图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。

电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。

● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。

● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。

讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。

本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。

本章共用4课时。

● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。

周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。

周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。

第八章相量法一、填空题1、正弦电压()cos()u u t t ωθ=+，对应的相量表示为 。

2、若()10cos(31430)i t t =- ()5sin(31430)u t t =-,则i u 与的相位差为 。

3、已知正弦交流电压010cos(31430)V u t =+，该电压有效值U = 。

4、在纯电感交流电路中，电压与电流的相位关系是电压_____电流900，感抗X L =_____,单位是____。

5、在纯电感正弦交流电路中，若电源频率提高一倍，而其他条件不变，则电路中的电流将变______。

6、在纯电容正弦交流电路中，已知I=5A,电压cos(314)V U t =，电容量C=_____。

7、在纯电容正弦交流电路中，增大电源频率时，其他条件不变，电容中电流I 将____。

8、一个感抗20Ω的纯电感两端电压是10c o s (30)V ,u t ω=+则通过它的电流瞬时值为__ _A 。

二、选择题1、两个同频率正弦交流电的相位差等于1800时，则它们相位关系是____。

A 、同相B 、反相C 、相等 2、正弦交流电的最大值等于有效值的___倍。

A 、2 B 、 2 C 、 1/2 3、在纯电容正弦交流电路中，复容抗为____。

A 、c j ω- B 、 c j ω/- C 、 c j ω/ 4、在纯电容正弦交流电路中，下列各式正确的是_____。

A 、C i U C ω=B 、I UC ω∙∙= C 、I U C ω= D 、/i U C = 5、若某元件的端电压为05cos(31435)V u t =+，电流02cos(314125)A i t =+，i u 、 为关联方向， 则该元件是___。

A 、电阻B 、电感C 、电容 6、任意一个相量乘以j 相当于该相量 。

A 逆时针旋转90o B 顺时针旋转90o C 逆时针旋转60oD 逆时针旋转60o 三、判断题1、正弦量的初相角与起始时间的选择有关，而相位差则与起始时间无关。

CH8 相量法本章介绍相量法。

主要内容有：复数，正弦量，相量法的基础，电路定律的相量形式。

§8-1 复数教学目的：复习复数的基本知识，为学习相量法做基础。

教学重点：复数；旋转因子。

教学难点：旋转因子。

教学方法：自学。

教学内容：一、复数的表示形式1．代数形式：F=a+jb 模：F =22b a + 复角：=θarctan ab 2．三角形式：F=F （cos θ+sin θ） 模：F 复角：θ 3．指数形式：F=F eθj 模：F 复角：θ4．极坐标形式：F=F ∠θ模：F 复角：θ二、复数的运算 教材P 175~1741．复数的加减 2．复数的乘除3．复数的有理化运算三、旋转因子 e θj 教材P 175§8-2 正旋量教学目的：复习正弦量的三要素，学习正弦量的有效值，以及同频正弦量的相位差。

教学重点：正弦量的三要素，同频正弦量的相位差。

教学难点：相位差的计算。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：一、正旋量的三要素1．定义：教材P 1762．三要素：教材P 177~176 i ψ≤180ο3．ω、T 、f ： 教材P 177二、正旋量的有效值1．有效值定义：根据焦耳-愣次定律，当周期电流信号i(t)流过R 时，一个T 内电阻所消耗的能量为：1ω=⎰T dt t p 0)(=⎰Tdt t Ri 02)(；直流电流I 流过电阻R 时,在相同时间T 内，该电阻消耗的能量为：2ω=⎰Tdt RI 02=RI 2T 。

如果上述两种情况中，电阻R 消耗的能量相同，即 1ω=2ω 则有RI 2T=⎰Tdt t Ri 02)( 即：I=⎰T dt t i T 02)(1。

2．有效值与最大值的关系：I m =2I三、同频正旋量的相位差1．相位差：同频正旋量的相位差等于它们的初相之差，与记时零点的选取、变化无关。

2．取值：12ψ≤π（设12ψ与U 1与U 2的相位差） （1）12ψ>0 U 1超前U 212ψ（U 2滞后U 112ψ） （2）12ψ<0 U 1滞后U 212ψ（U 2超前U 112ψ） （3）12ψ=0 U 1、U 2同相 （4）12ψ=π± U 1、U 2反相 （5）12ψ=±2πU 1、U 2正交 [例1]：已知u 1=2202cos(ωt-120°)，u 2=2202cos(ωt+120°) ，求相位差。

相量法的运算公式相量法是一种用于描述物理量的方法，它将物理量表示为大小和方向的向量，可以方便地进行运算。

在相量法中，有一些常用的运算公式，下面我们来逐一介绍。

1. 向量加法公式向量加法公式是相量法中最基本的公式之一，它表示两个向量相加的结果。

设有两个向量A和B，它们的大小分别为a和b，方向分别为α和β，则它们的和向量C的大小为c，方向为γ，有如下公式： C = A + Bc = √(a² + b² + 2abcos(α-β))γ = tan⁻¹[(asin(α-β))/(acos(α-β))]其中，cos(α-β)表示向量A和向量B之间的夹角余弦值，asin(α-β)和acos(α-β)分别表示向量A和向量B之间的夹角的正弦值和余弦值。

2. 向量减法公式向量减法公式是向量加法公式的逆运算，它表示两个向量相减的结果。

设有两个向量A和B，它们的大小分别为a和b，方向分别为α和β，则它们的差向量C的大小为c，方向为γ，有如下公式：C = A - Bc = √(a² + b² - 2abcos(α-β))γ = tan⁻¹[(asin(α-β))/(acos(α-β))]其中，cos(α-β)表示向量A和向量B之间的夹角余弦值，asin(α-β)和acos(α-β)分别表示向量A和向量B之间的夹角的正弦值和余弦值。

3. 向量点乘公式向量点乘公式是用于计算两个向量之间的数量积，它表示两个向量的大小和夹角的乘积。

设有两个向量A和B，它们的大小分别为a 和b，方向分别为α和β，则它们的点积为c，有如下公式：C = A·Bc = abcosθ其中，cosθ表示向量A和向量B之间的夹角余弦值。

4. 向量叉乘公式向量叉乘公式是用于计算两个向量之间的向量积，它表示两个向量所在平面的法向量。

设有两个向量A和B，它们的大小分别为a和b，方向分别为α和β，则它们的叉积为C，有如下公式：C = A×BC = absinθn其中，sinθ表示向量A和向量B之间的夹角正弦值，n表示向量A 和向量B所在平面的法向量。

第8章相量法8.1 复习笔记一、复数相关知识点1．复数的表示形式如图8-1-1所示，在复平面内有一个向量F，可以用以下几种方式表示：（1）代数形式（2）三角函数形式F＝|F|（cosθ＋jsinθ）（3）指数形式F＝|F|e jθe jθ＝cosθ＋jsinθ（欧拉公式）（4）极坐标形式F＝|F|∠θ图8-1-12．复数运算设有两个复数分别为F1＝a1＋jb1，F2＝a2＋jb2。

（1）加减运算F1±F2＝（a1＋jb1）±（a2＋jb2）＝（a1±a2）＋j（b1±b2）复数的加减运算在复平面上符合平行四边形求和法则，如图8-1-2所示。

图8-1-2 复数的加减运算（2）乘法运算所以|F1F2|＝|F1||F2|arg（F1F2）＝arg（F1）＋arg（F2）（3）除法运算所以（4）旋转因子①e jθ＝1∠θ，若则②e jπ/2＝j，e－jπ/2＝－j，e jπ＝－1，e j2π＝1。

二、相量法基础（1）正弦量的表达式：u（t）＝U m cos（ωt＋φ）。

式中，U m为振幅，ω为角频率，φ为初相，三者称为正弦量的三要素。

有效值即其均方根值相量：表征正弦时间函数的复值常数。

（2）有效值相量：U▪＝U∠φu，复值常数的模表示有效值，由此可知（3）正弦量的相量表示法：分为有效值相量和最大值相量。

例如，正弦量其有效值相量I▪＝10∠50°A。

其对应的最大值相量三、电路定律的相量形式（1）KCL、KVL定律的相量形式∑I▪＝0∑U▪＝0（2）电路元件VCR的相量形式①电阻元件：U▪＝R I▪。

即电阻上的电压和电流同相位，相量图如图8-1-3所示。

图8-1-3②电感元件：U▪＝jωL I▪。

即电感上的电压超前电流90°，相量图如图8-1-4所示。

图8-1-4③电容元件：U▪＝I▪/（jωC）即电容上的电压滞后电流90°，相量图如图8-1-5所示。