新课标2018届高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线专题能力训练17椭圆双曲线抛物线理

高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。

自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。

大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。

专题五：分析几何。

6.直线、圆、圆锥曲线■要点重温…………………………………………………………………………· 1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)； (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k ＝tan α的图象(如图22)．图22[应用1] 已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 2．直线方程的几种形式：点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．[应用2] 若直线在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0或y ＝2x 3．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒： A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，A 1A 2≠B 1B 2，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案] 1513265．圆的方程：(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(3)以线段P 1P 2为直径的圆方程：(x －x 1)(x －x 2)＋ (y －y 1)(y －y 2)＝0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．[应用5] (1) 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.(2)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程． [答案] (1)－1(2)x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或 x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0 6．直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l ＝2r 2－d 2. (2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系． [应用6] 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为12，所以直线AB 的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －3＝0.故选A. [答案] A7．(1) 圆锥曲线的定义和性质[应用7] (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.19 B ．125 C.15D ．13(2)若x 2m ＋y 2n＝1表示椭圆，则m ，n 应满足的关系是________.(3)已知椭圆的离心率为12，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．[解析] (1)由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴M (1,4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故选A.[答案] (1)A (2)m ＞0，n ＞0，m ≠n (3)x 216＋ y 212＝1和 x 2434＋ y 2433＝18．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2D ．1∶3[解析] 由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2. [答案] C[应用9] 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2kk －k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k k －k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1C [因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝|3＋2|5＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．32 C ．12D ．1C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜率为－b 2x 中a 2y 中＝－－12×1＝12，选C.] 4．若抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ．32C ．1D ．2D [设抛物线的焦点为F (0,1)，AB 的中点为M ，准线方程为y ＝－1，则点M 到准线的距离d ＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝3，即点M 到准线的距离的最小值为d min ＝3，所以点M 到x轴的最短距离d ′min ＝d min －1＝2，选D.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的点，点M 为圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1上的动点，点N 为圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1上 的动点，则|PM |＋|PN |的最大值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ． 20B [由题可知，(|PM |＋|PN |)max ＝|PC 1|＋|PC 2|＋2＝12，故选B.]6．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1、C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5 B ．5－1 C.5＋1 D ．5＋12D [如图所示，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以AN ＝F 2N ＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，所以在Rt△F 1F 2N 中，cos∠NF 1F 2＝2b 2c ＝b c ，在Rt△F 1AN 中，cos∠F 1NA ＝2a 2b ＝a b ，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c ＝a b ，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解之得e ＝1＋52，故选D.]7．已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4B [因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率相同，所以e ＝c a ＝52，解得b a ＝12，即双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0，又因为OM ⊥MF 2，△OMF 2的面积为16，所以12|OM |·|MF 2|＝|MF 2|2＝16，解得|MF 2|＝4，即右焦点F 2(c,0)到渐近线x －2y ＝0的距离为4，所以c5＝4，解得c ＝45，a ＝4552＝8,2a ＝16，即双曲线C 2的实轴长为16.故选B.]8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152xB [依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.]9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝2x －4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－25 5，2＋25 5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－25 5∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋25 5，4B [点M 既在圆C 上，又在圆D 上，所以圆C 和圆D 有公共点，圆C 的圆心为(a,2a －4) ，半径为1，圆D 的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距a 2＋a －4＋2＝5a 2－12a ＋9 ，满足⎩⎨⎧5a 2－12a ＋9≤35a 2－12a ＋9≥1，解得：0≤a ≤125，故选B.]10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0)D ．(9,0)A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0), 则PA ：x 1x ＋y 1y ＝4；PB ：x 2x ＋y 2y ＝4; 即x 1x 0＋y 1y 0＝4；x 2x 0＋y 2y 0＝4；因此A 、B 在直线x 0x ＋y 0y ＝4上，直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝4，又x 0＋2y 0－9＝0，所以(9－2y 0)x ＋y 0y ＝4⇒y 0(y －2x )＋9x －4＝0即y －2x ＝0,9x －4＝0⇒y ＝89，x ＝49，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，选A.] 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，点C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1→·B 1F 2→＝2，且CF 1⊥B 1F 2，则椭圆的方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2，B 1F 1→·B 1F 2→＝(－c ，－b )·(c ，－b )＝－c 2＋b 2＝2①，CF 1→⊥B 1F 2→，可得CF 1→·B 1F 2→＝0，即有⎝⎛⎭⎪⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝－32c 2＋b 22＝0②，解得c ＝1，b ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2，可得椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋c (0≤m <a b )，联立双曲线方程，消去x ，得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 4＝0，所以y 1＋y 2＝－2b 2mc b 2m 2－a 2①，y 1y 2＝b4b 2m 2－a2②.因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即m 2y 1y 2＋mc (y 1＋y 2)＋c 2＋y 1y 2＝0，代入①②整理，得b 4m2－2b 2m 2c 2＋c 2b 2m 2－a 2c 2＋b 4＝0,0≤m 2＝b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2.由b 4－a 2b 2≥0，得(c 2－a 2)2－a 2c 2≥0，即c 4－3a 2c 2＋a 4≥0，e 4－3e 2＋1≥0，解得e ≥1＋52；由b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2，得b 4－a 4－a 2c 2<0，即(c 2－a 2)2－a 4－a 2c 2<0，c 4－3a 2c 2<0，所以c a< 3.综上所述，e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3.]14．已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．[解] (1)易知椭圆右焦点F (1,0)，∴c ＝1，抛物线x 2＝43y 的焦点坐标(0，3)，∴b ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1 .(2)易知m ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1 ⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0. ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →得：λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2.∴λ1＋λ2＝－2－1m ·y 1＋y 2y 1·y 2＝－83.15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝43y 的焦点．(1)若A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设点P (－4,0)，连接PA 交椭圆C 于另一点E ，求证：直线BE 与x 轴相交于定点M ；(2)设O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点M 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS →·OT →的取值范围．[解] (1)证明：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线x 2＝43y 的焦点为(0，3)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 由题意可知直线PA 存在斜率，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，代入椭圆方程可得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，有－12<k <12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (x 1，－y 1)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3①，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3②直线BE 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，可得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2，将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式，整理可得x M ＝2x 1x 2＋4x 1＋x 2x 1＋x 2＋8③将①，②代入③整理可得x M ＝k 2－－128k2－32k 2＋k 2＋＝－1∴直线BE 与x 轴相交于定点M (－1,0)．(2)当过点M 的直线ST 的斜率为0时，S (－2,0)，T (2,0)，此时OS →·OT →＝－4.当过点M 的直线ST 的斜率不为0时，设直线ST 的方程为x ＝my －1，且设点S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1x 24＋y 23＝1，消去x 整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 从而OS →·OT →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1－1)(my 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2＋3m 2＋4－6m 23m 2＋4＋1＝－12m 2－53m 2＋4 ＝－4＋113m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－54综上所述，OS →·OT →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线
能力突破训练
.(全国Ⅲ,理)已知双曲线(>>)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,
则的方程为()
.已知()是双曲线上的一点是的两个焦点.若<,则的取值范围是()
.
.
.
.
.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点.已知,则的焦点到准线的距离为
()
.已知双曲线(>),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近
线相交于四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为()
.设双曲线(>>)的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的一
个交点为,设为坐标原点.若(∈),且,则该双曲线的离心率为()
.
.
.
.
.双曲线(>>)的渐近线为正方形的边所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边
长为,则.
.(全国Ⅰ,理)已知双曲线(>>)的右顶点为,以为圆心为半径作圆,圆与双曲线的一条渐
近线交于两点.若∠°,则的离心率为.
.
如图,已知抛物线,圆(),过点()(>)作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切为切点.
()求点的坐标;
()求△的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相
切,称该公共点为切点.
.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点()2，3，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0.又由其过点()2，3，则有323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.(2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y≠0)．故选D.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线C 1: x 22－y 2＝1与双曲线C 2: x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等 答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1，则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为y ＝±22x .由于实轴长度不同，故离心率e ＝c a不同．故选D.(2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.()1，2D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|,||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点，B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12 B.5－12 C.22D.32答案 B解析 由题设圆的半径r ＝a ＋c2，则b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B.(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x 答案 B解析 由题意可设渐近线方程为y ＝ba x ，则直线l 的斜率k l ＝－ab ，直线方程为y ＝－a b⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ， 整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P 的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q . (1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)由题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝3－23＝33. (2)依题知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23， 所以原点到直线AB 的距离为d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k . 所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －62， 即kx －y －62k ＋1＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62， 所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍， 即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为y －1＝－126⎝⎛⎭⎪⎫x －62，将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0， 设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634，解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1262⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233在椭圆C 上，||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b 2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时，||MN ＝433， 此时S △MON ＝233不符合题意，舍去；当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2， 原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k2×43()k 2＋12＋3k 2， 由S △OMN ＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( ) A.62B.52C. 3 D ．2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2()c ，0到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中，||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4ba ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．36 B ．16 C ．20 D ．24 答案 B解析 设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22B ．±1C ．±63 D ．±62答案 C解析 由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，线段AB 的中点为M ()x 0，y 0. 由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2答案 A解析 设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∴点A 到直线l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______． 答案 7解析 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8， 即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________． 答案x 225＋y 216＝1 解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， 且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程．解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1, a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则y 1＋y 2＝－23m4＋m2，①y 1y 2＝－14＋m2，②由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1， ③由①②③解得m ＝±22. 所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3， 即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m 2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上． 当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m(x －1)，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1， 又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)， 由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3， 所以N (3,2)．B 组 能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的部分B ．椭圆的部分C ．双曲线的部分D ．抛物线的部分 答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2B ．2C ．－ 2 D. 2 答案 B解析 在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时，t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线PA 和PB 的斜率之和为0， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， ①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴， 则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4,||PQ 2||MN ＝42＝2 2.方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ， 则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k2，则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2.14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1， 消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ， 所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。

专题能力训练22直线与圆及圆锥曲线专题能力训练第35页1.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.(2017河北邯郸一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).〚导学号52534177〛4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.(2017河北张家口4月模拟,文20)已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,①y1y2=-4,②∵|AF|=|FB|,∴=-2,③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.〚导学号52534178〛6.(2017陕西渭南二模,文20)已知点A(0,-2),椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且=1,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,当△POQ的面积最大时,求直线l的方程.解(1)设F1(-c,0),F2(c,0),由条件=1,知-c2+4=1,得c=,又,所以a=2,b2=4-3=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故可设y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将l:y=kx-2代入+y2=1中得(4k2+1)x2-16kx+12=0,当Δ=16(4k2-3)>0时,即k2>,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,从而|PQ|=,又点O到直线PQ的距离为d=,所以△POQ的面积S△POQ=×d×|PQ|=.设=t,则t>0时,S△OPQ=,因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.〚导学号52534179〛。

第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。

专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.(2017全国Ⅲ,理5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是() A.B.C.D.3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.84.已知双曲线=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=15.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.7.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l 与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.思维提升训练11.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1012.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.13.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.15.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B 是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q 两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.A解析由条件知F1(-,0),F2(,0),=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),-3<0. ①=1,=2+2.代入①得,∴-<y0<3.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.4.D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),,,∴e=同理,当点P的坐标为时,e=故该双曲线的离心率为6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=又tanθ=,,解得a2=3b2,∴e=8.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+此时>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且综上所述,的取值范围是10.解(1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=()+2,=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2=2∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H,|PH|==1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由得x D=由得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.思维提升训练11.A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,所以|AB|=又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4).所以|FN|==6.13.y=±x 解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.14.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值15.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m。

教学过程一、考纲解读通常设置一个小题与一个大题,约占20分．其规律是涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质一个小题,直线、圆与圆锥曲线(特别是椭圆)的综合问题一个大题．在解答题中,以“交汇型问题”、“参数问题”和“轨迹问题”为主要题型,需要重视与加强．复习中,要以椭圆的定义、标准方程与几何性质为突破口,通过类比与对比的方法把握双曲线与抛物线．从思想方法的高度把握圆锥曲线问题．其涉及的主要思想方法有：(1)待定系数法；(2)数形结合法；(3)分类讨论法；(4)函数与方程思想．二、复习预习圆锥曲线与方程①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.③了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.三、知识讲解考点1 椭圆椭圆的定义、几何图形、标准方程椭圆简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、通径）.考点2 双曲线双曲线的定义、几何图形、标准方程双曲线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线、通径）考点3 抛物线抛物线的定义、几何图形、标准方程抛物线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径公式）考点4 直线与圆锥曲线位置关系1.解答题中侧重用代数方法解题，考查直线与圆锥曲线的位置关系(解答题中直线与双曲线位置关系几乎不考),有关轨迹问题、最值问题、参数范围问题、定值问题等.2.韦达定理在解决直线与圆锥曲线的位置关系的应用,应注意考虑这几个方面：（1）设交点坐标，设直线方程；（2）联立直线与椭圆方程，消去x或y，得到一个关于y或x一元二次方程，利用韦达定理；（3）利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题。

解答题以考查学生的运算求解能力、推理论证能力，常涉及函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等基本数学思想，用到待定系数法、代入法、消元法等。

6.直线、圆、圆锥曲线■要点重温…………………………………………………………………………· 1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)； (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k ＝tan α的图象(如图22)．图22[应用1] 已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.【导学号：07804189】[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 2．直线方程的几种形式：点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．[应用2] 若直线在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0或y ＝2x 3．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒： A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，A 1A 2≠B 1B 2，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． [答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案] 1513265．圆的方程：(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(3)以线段P 1P 2为直径的圆方程：(x －x 1)(x －x 2)＋ (y －y 1)(y －y 2)＝0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．[应用5] (1) 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.(2)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程． [答案] (1)－1(2)x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或 x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0 6．直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l ＝2r 2－d 2. (2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系． [应用6] 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为12，所以直线AB 的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －3＝0.故选A.[答案] A7．(1) 圆锥曲线的定义和性质[应用7] (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.19 B ．125 C.15D ．13(2)若x 2m ＋y 2n＝1表示椭圆，则m ，n 应满足的关系是________.【导学号：07804190】(3)已知椭圆的离心率为12，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．[解析] (1)由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴M (1,4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故选A.[答案] (1)A (2)m ＞0，n ＞0，m ≠n (3)x 216＋ y 212＝1和 x 2434＋ y 2433＝18．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2D ．1∶3[解析] 由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2. [答案] C[应用9] 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解] 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2kk －k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k k －k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1C [因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝|3＋2|5＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )【导学号：07804191】A.x 29－y 216＝1 B ．x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．32 C ．12D ．1C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜率为－b 2x 中a 2y 中＝－－12×1＝12，选C.] 4．若抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ．32C ．1D ．2D [设抛物线的焦点为F (0,1)，AB 的中点为M ，准线方程为y ＝－1，则点M 到准线的距离d ＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝3，即点M 到准线的距离的最小值为d min ＝3，所以点M 到x轴的最短距离d ′min ＝d min －1＝2，选D.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的点，点M 为圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1上的动点，点N 为圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1上 的动点，则|PM |＋|PN |的最大值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ． 20B [由题可知，(|PM |＋|PN |)max ＝|PC 1|＋|PC 2|＋2＝12，故选B.]6．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1、C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B ．5－1C.5＋1 D ．5＋12D [如图所示，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以AN ＝F 2N ＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，所以在Rt△F 1F 2N 中，cos∠NF 1F 2＝2b 2c ＝b c ，在Rt△F 1AN 中，cos∠F 1NA ＝2a 2b ＝a b ，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c ＝a b ，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解之得e ＝1＋52，故选D.]7．已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4B [因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率相同，所以e ＝c a ＝52，解得b a ＝12，即双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0，又因为OM ⊥MF 2，△OMF 2的面积为16，所以12|OM |·|MF 2|＝|MF 2|2＝16，解得|MF 2|＝4，即右焦点F 2(c,0)到渐近线x －2y ＝0的距离为4，所以c5＝4，解得c ＝45，a ＝4552＝8,2a ＝16，即双曲线C 2的实轴长为16.故选B.]8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152xB [依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.]9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝2x －4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－25 5，2＋25 5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－25 5∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋25 5，4B [点M 既在圆C 上，又在圆D 上，所以圆C 和圆D 有公共点，圆C 的圆心为(a,2a －4) ，半径为1，圆D 的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距a 2＋a －4＋2＝5a 2－12a ＋9 ，满足⎩⎨⎧5a 2－12a ＋9≤35a 2－12a ＋9≥1，解得：0≤a ≤125，故选B.]10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0)D ．(9,0)A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0), 则PA ：x 1x ＋y 1y ＝4；PB ：x 2x ＋y 2y ＝4; 即x 1x 0＋y 1y 0＝4；x 2x 0＋y 2y 0＝4；因此A 、B 在直线x 0x ＋y 0y ＝4上，直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝4，又x 0＋2y 0－9＝0，所以(9－2y 0)x ＋y 0y ＝4⇒y 0(y －2x )＋9x －4＝0即y －2x ＝0,9x －4＝0⇒y ＝89，x ＝49，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，选A.] 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，点C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1→·B 1F 2→＝2，且CF 1⊥B 1F 2，则椭圆的方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2，B 1F 1→·B 1F 2→＝(－c ，－b )·(c ，－b )＝－c 2＋b 2＝2①，CF 1→⊥B 1F 2→，可得CF 1→·B 1F 2→＝0，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝－32c 2＋b 22＝0②，解得c ＝1，b ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2，可得椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.【导学号：07804192】⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋c (0≤m <a b )，联立双曲线方程，消去x ，得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 4＝0，所以y 1＋y 2＝－2b 2mc b 2m 2－a 2①，y 1y 2＝b4b 2m 2－a 2②.因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即m 2y 1y 2＋mc (y 1＋y 2)＋c 2＋y 1y 2＝0，代入①②整理，得b 4m2－2b 2m 2c 2＋c 2b 2m 2－a 2c 2＋b 4＝0,0≤m 2＝b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2.由b 4－a 2b 2≥0，得(c 2－a 2)2－a 2c 2≥0，即c 4－3a 2c 2＋a 4≥0，e 4－3e 2＋1≥0，解得e ≥1＋52；由b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2，得b 4－a 4－a 2c 2<0，即(c 2－a 2)2－a 4－a 2c 2<0，c 4－3a 2c 2<0，所以c a< 3.综上所述，e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3.]14．已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．[解] (1)易知椭圆右焦点F (1,0)，∴c ＝1，抛物线x 2＝43y 的焦点坐标(0，3)，∴b ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1 .(2)易知m ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1 ⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0. ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4. 又由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →得：λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2.∴λ1＋λ2＝－2－1m ·y 1＋y 2y 1·y 2＝－83.15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝43y 的焦点．(1)若A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设点P (－4,0)，连接PA 交椭圆C 于另一点E ，求证：直线BE 与x 轴相交于定点M ；(2)设O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点M 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS →·OT →的取值范围．[解] (1)证明：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线x 2＝43y 的焦点为(0，3)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 由题意可知直线PA 存在斜率，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，代入椭圆方程可得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，有－12<k <12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (x 1，－y 1)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3①，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3②直线BE 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，可得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2，将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式，整理可得x M ＝2x 1x 2＋4x 1＋x 2x 1＋x 2＋8③ 将①，②代入③整理可得x M ＝k 2－－128k 2－32k 2＋k 2＋＝－1 ∴直线BE 与x 轴相交于定点M (－1,0)．(2)当过点M 的直线ST 的斜率为0时，S (－2,0)，T (2,0)，此时OS →·OT →＝－4.当过点M 的直线ST 的斜率不为0时，设直线ST 的方程为x ＝my －1，且设点S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1x 24＋y 23＝1，消去x 整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 从而OS →·OT →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1－1)(my 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2＋3m 2＋4－6m 23m 2＋4＋1＝－12m 2－53m 2＋4 ＝－4＋113m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－54综上所述，OS →·OT →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。