解三角形学案高三公开课

9.4解直角三角形学案一学习目标：1理解解直角三角形的概念，会选择正确的方法解直角三角形。

2能运用锐角三角比解直角三角形。

二知识回顾：在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边，则边之间的关系为，角之间的关系为，角与边之间的关系为，三自主预习：1解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。

2解直角三角形的两种情况。

（1）已知，求第三边及两锐角。

（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。

四导学探究：在Rr△ABC中，共有六个量，三条边a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C是已知的，其它的五个量都是未知的。

（1）已知∠A，∠B，能求出其它的三个量a，b，c吗？（2）已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？（3）已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？你有什么发现？bA例1在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝17.5，c ＝62.5，解这个直角三角形。

例2在Rt △ABC 中，∠C ＝900,c ＝128，∠B ＝520，解这个直角三角形（边长精确到0.01）练一练：1 在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝12，b ＝24，解这个直角三角形。

2在Rt △ABC 中，∠C ＝900，（1）已知c＝15，∠B＝600，求a；（2）已知∠A＝350，a＝24，求b，c五当堂达标；1在Rt△ABC中，∠C＝900，BC＝a，AC＝b，且3 a＝4b，则∠A的度数是（）A 53.70B 53.130C 53013′D 53048′2已知Rt△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，斜边上的高为1，则△ABC三边的长分别为（）A a＝22，b＝2，c＝4，B a＝3，b＝2， c ＝7C a＝332，b＝2，c＝334，D a＝2,b＝332,c＝3342已知在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C所对的边，由下列条件解直角三角形。

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

9.4解直角三角形导学案
学习目标：1、通过本节课的学习能对上节课的知识有更加深刻的认识；
2、通过本节课的学习能熟练的选择关系式解直角三角形。

（本课重点）
课前延伸：1、直角三角形中锐角A的正弦、余弦、正切、余切的定义；
2、什么叫做解直角三角形；
3
B a
C 课内探究：
（一）已知两边，解直角三角形。

Rt△ABC 中，已知AC=3m,斜边AB=6, 解这个直角三角形。

讨论：还有那几个量需要求？顺序是怎样的？
解题过程：
（二）已知一锐角一边，解直角三角形。

1、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,AC=3m,解这个直角三角形。

2、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,BC=4m,解这个直角三角形。

3、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,AB=6m,解这个直角三角形。

通过前面四道题目的学习你会选择合适的关系式解直角三角形了吗？和我们分享
一下吧。

做题过程中有什么需要注意的吗？
课堂小结：
这节课你收获了什么？有什么疑问？
当堂达标：
1.在Rt△ABC中，∠C为直角，已知AC=2, AB=4，求∠A的度数。

2. 在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=60°,AB=8,求AC的长度。

课后延伸：
如图，在△ABC中，∠ABC=118°,BC=4，求AC边上的高。

B
A C。

高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。

解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。

通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。

2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。

然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。

因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。

三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。

高三数学 解三角形（1） 精华学案【课前预习,听课有针对性】（5m ）1．在ABC ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cosC ＝ .答案：16652．在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 条件. 答案：充要3．在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 . 答案：钝角三角形4．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =5．在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++ 3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ . 答案：3π 【及时巩固,牢固掌握知识】（20——30m ）A 组 夯实基础，运用知识6.ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件 的ABC ∆（ C ）A ．有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定7.在ABC ∆中，若其面积222S =，则C ∠=_______。

6π8.在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为，则ABC ∆外接圆的直径是_________。

9.在ABC ∆中，112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ . 答案：12-B 组 提高能力，灵活迁移10.在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则ABC ∆是 ．11.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C --=．13.在ABC ∆中，已知||||2,AB AC ==且1AB AC ⋅=,则这个三角形的BC 边的长为 ．【应对高考,寻找网络节点】（10m ）14.（朝阳二模13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .解法1：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ，1000BC . 则222(1000)22cos120x x =-. 解得100033x . 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为10003 m 3. 解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ，1000BC .则1000sin120sin 30x ，解得100033x . 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为10003 m 3. 解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ，1000BC .过点A 做BC 的垂线，垂足为D .因为AB AC ，所以得到Rt ABD ，且500BD ，30B. 所以35002x . 解得100033x. CB 世博轴 ·A 中国馆 120º CB 世博轴· A 中国馆 D所以中国馆到世博轴其中一端的距离为 m 3. 【温故知新，融会而贯通】（10m ）15.（东城二模15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 23A C +=（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值．解：（Ⅰ）因为cos 23A C +=，又ABC π++=，所以sin sin()2223B AC π+=-=．…………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．…………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．………11分 解得1c =．…………13分【今日小结】【尝试回忆，高效贮备知识】（坚持每日睡前3m ）1.知识的再梳理：2.题型的再回忆：3.方法、技能与易错点重现：4.数学思想方法：。

《解三角形》教学设计崇明中学汤杰【教学目标】1、掌握正弦、余弦定理的内容，灵活运用正、余弦定理解三角形问题。

2、学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题，提升合情推理探索数学规律的数学思维能力。

3、在学习过程中激发学生学习兴趣，激发学生的探索精神。

【教学重点】正、余弦定理的灵活运用、解三角形中边角互化问题。

【教学难点】解三角形中的综合问题。

【教学过程】120，运用，学生课前完成，教师边角互化多向思维应用研究综合提升考点3、解三角形的实际问题研究例题2、如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。

一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为min/50m。

在甲出发min2后,乙从A乘缆车到B,再从B匀速步行到C。

假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路AC长为m1260,经测量：1312cos=A,53cos=C。

1）求索道AB的长；2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考点3例题教师引导学生审清题意，要求学生先独立思考，然后请学生讲解自己的想法与做法。

教师板书解答过程。

旨在通过本例题让学生学会建立数学模型解决实际问题，让学生在解决问题过程中体验学习数学的乐趣，与此同时也提升了学生的分析解题的能力。

课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请让学生思考和总结，然后派代表回答。

及时进行总结，同时检查学生本节课的【教学设计说明】1、教材内容分析:解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。

所以通过本章学习，学生应该能够通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形，能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。

()()()CB AC B A CB A tan tan cos cos sin sin -=+-=+=+ 解三角形的常见题型导学案 班级： 姓名：练习3、(范围问题）、已知函数().cos 22sin 312x x x f +-=()()()()的取值范围。

求，且的对边分别为，，的角设集合；时的的最大值及取得最大值求c b A f a c b a x x f +==∆,01,,,C B A ABC 21三、易错分析、及简便算法的形状为（）求中，已知在三角形ABC ,cos sin 2)sin()(sin ABC .2∆=-++A A A B A BA. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.直角或等腰三角形 四、小结（1）出现“在△ABC 中”字样，一般都是解三角形问题，必定结合正弦定理或者余弦定理解题； （2）一个等式中同时出现A 、B 、C 三个角，必用π=++C B A 来转化，形式如下： （3）一般情况下，已知条件中边多用余弦定理，角多用正弦定理； （4）三角形解的个数：可通过“大边对大角，小边对小角”来取舍； （5）三角形中的常用结论：○若sin2A ＝sin2B ，则三角形为等腰三角形或直角三角形； ○若sinA ＝sinB ，则三角形为等腰三角形； ○若sinA ＝cosB,则 作业：完成此卷 课后作业：1、已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b=sin （A+C ），cos （A ﹣C ）+cosB=c ．（1）求角A 的大小；（2）求b+c 的取值范围．注意：此题辨析应该用解范围为题的哪种方法？ 2、（2014全国Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角为60=∠MAN ，C 点的仰角45=∠CAB ，以及75=∠MAC ，从C 点测得60=∠MCA 已知山高BC=100m ，则山高MN=3、.若====C ,6,3,3则πA b a4、设===∆B 6A ,tan ,,,,,，求若的对边分别为的内角πA b a c b a CB A ABC====∆A 3,3,1,,C B A .1则，若的对边为，，的内角πC c a c b a ABC 656.ππ或D 3.πC 65.πB 6.πA BB A -2A 2ππ=+=或45-ABC中，若2b c。

专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

《解三角形》教学设计高三数学组一、教材分析：解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考能够看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有显现，因此本节课的重点确实是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。

因此通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。

二、学情分析：本班是美术重点班，学生平均分可能是六七十分，基础一样，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，关于一些解题技术、解题方式学生也已经遗忘了很多，因此解三角形关于学生来讲也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步温习和把握。

三、教学目标：知识与技术：把握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定明白得斜三角形问题。

进程与方式：培育学生学会分析问题，合理选用定明白得决三角形问题。

培育学生合情推理探讨数学规律的数学思维能力。

情感态度价值观：激发学生学习爱好，在教学进程中激发学生的探讨精神。

四、教学方式：探讨式教学、讲练结合五、教学重难点教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。

五、教学进程教学环节教学内容师生活动设计意图高考定位明确方向课题：解三角形【最新考纲】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【重难点】三角形中的两解问题、边角互化、恒等变换问题．教师引导,把握高考方向，强调复习重难点。

通过高考考纲，让学生熟悉本节课高考考点，以便更好的备考高考。

教学环节教学内容师生活动设计意图公式定理基础运用【典例精讲】考点1正、余弦定理的简单运用1.【2015高考北京，文11】在C∆AB中，3a=，6b=，23π∠A=，则∠B=．2.【2016高考全国I卷】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a=，2c=，2cos3A=，则b=（）（A）2（B）3（C）2 （D）33.【2013全国II卷】ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ=，则ABC∆的面积为（）（A）232+（B）31+（C）232-（D）31-变式在ABC∆中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a＝2，b＝32，A＝30°，则B＝．考点1是正余弦定理的简单运用，学生课前完成，教师课堂上和学生核对答案，并要求学生思考每道题考察的知识点是什么？变式1教师引导学生思考角B的值到底有几个？从而总结如何解答三角形的两解问题.例2要求两位同学上台学生课前完成例1，目的是让学生提前梳理公式，而课堂上要求学生回答每道题考察的知识点是什么？是为了更深化学生对公式的理解，而变式1的训练，是引导学生对三角形两解的问题进行总结，强调大边对大角情况。

学案12 解三角形（1）【课前预习,听课有针对性】（5m ）1．在ABC ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cosC ＝ .答案：16652．在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 条件. 答案：充要3．在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 . 答案：钝角三角形4．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A = ()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =5．在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ . 答案：3π【及时巩固,牢固掌握知识】（20——30m ）A 组 夯实基础，运用知识6.ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆（ C ）A ．有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定7.在ABC ∆中，若其面积222S =，则C ∠=_______。

6π8.在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为，则ABC ∆外接圆的直径是_________。

答案：23939.在ABC ∆中，112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ . 答案：12-B 组 提高能力，灵活迁移10.在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则ABC ∆是 ．11.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=．13.在ABC ∆中，已知||||2,AB AC ==且1AB AC ⋅=,则这个三角形的BC 边的长为 ．【应对高考,寻找网络节点】（10m ）14.（朝阳二模13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型 通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世 博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据 此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .解法1：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以ABACx ，1000BC.则222(1000)22cos120x x =-. 解得100033x. 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为10003m 3. CB世博轴·A 中国馆120º解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ，1000BC .则1000sin120sin 30x，解得100033x . 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3. 解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以ABAC x ，1000BC .过点A 做BC 的垂线，垂足为D . 因为ABAC ，所以得到Rt ABD ，且500BD ，30B.所以5002x . 解得100033x. 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3. 【温故知新，融会而贯通】（10m ）15.（东城二模15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos2A C += （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值． 解：（Ⅰ）因为cos2A C +=A B C π++=，所以sinsin()222B A C π+=-=．…………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．…………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．………11分 解得1c =．…………13分CB世博轴·A 中国馆D【今日小结】【尝试回忆，高效贮备知识】（坚持每日睡前3m）1.知识的再梳理：2.题型的再回忆：3.方法、技能与易错点重现：4.数学思想方法：。

解三角形专题导学案一、知识点梳理1.正弦定理： 正弦定理的变形：2.余弦定理：余弦定理的变形：3.三角形面积公式：4. 三角形中的常见结论：(1)π=++C B A(2)在三角形中大边对大角，大角对大边。

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

(4)有关三角形内角的三角函数式：;_________ , _________ _______(1)===c b a ，边化角：; _________ sin , ________ sinB , ________sin )2(===C A 角化边：;_________:_______:_______:: )3(=c b a 比例关系：.________________;_____________;__________222===c b a ._____________cosC ___;__________cosB ___;__________cos ===A )(21)1(边上的高表示a h ah S a a =._____________________________________)2(===S ;cos )cos( ;sin )sin(C B A C B A -=+=+)(2sin sin sin 外接圆的半径为其中ABC R R CcB b A a ∆===二、小题热身656.323.34.36.,sin 2.1ππππππππ或或或或）等于（则中，若在D C B A B A b a ABC =∆3.2.3.2.32cos ,2,5.,,,,.2D C B A b A c a c b a C B A ABC ）（则，已知的对边分别为的内角====∆65.32.3.6.,sin sin 3sin sin sin .3222ππππD C B A B C A B C A c b a C B A ABC ）（则，、、所对的边分别为、、中，角在==-+∆13.21.37.57.,3,1,60.4D C B A a A S b A ABC ABC ）的长为（所对的边则角中，在===∆∆三、例题解析考点1 利用正、余弦定理解三角形面积问题.,24,sin 2sin ,23,4,221.3sin 21的面积的最大值求）若（的面积；求）若（的面积；求）若（；）（，、、、、，、ABC a ABC C B a ABC c b a A b B a c b a C B A ABC ∆=∆==∆=+==∆的大小求角若所对的边分别为角中在锐角例考点2 利用正、余弦定理解三角形周长问题.,24,3,2334,221.2222的周长的最大值求）若（的周长；求的高为边）若（周长；，求面积为）若（；）（，已知、、、、内、ABC a ABC AB a ABC ABC a A bc a c b c b a C B A ABC ∆=∆=∆∆==-+∆的大小求角所对的边分别为角例四、课堂训练.,5221.sin sin sin sin sin sin ,,,,1222的面积求，）若（；）（，，、ABC c b a C B A C C B A c b a C B A ABC ∆=+=--=∆的大小求角332若所对的边分别为角中在.22,4,31.sin sin )sin (sin ,,,,,2周长的最大值，求的外接圆半径为）若（的大小；求边）若（）（）若（所对的边分别为中，角、在ABC ABC b A c B A b C A c a c b a C B A ABC ∆∆==-=+-∆π五、高考真题6.4.3.2.,4,,Ⅲ2018222ππππD C B A C c b a ABC C B A ABC ）（则的面积为若的内角】年全国卷【=-+∆∆.,32,6,,,,,Ⅱ2019的面积为则，若的对边分别为的内角】年全国卷【ABC B c a b c b a C B A ABC ∆===∆π.2337ⅡⅠ.)cos cos (cos 2,,,,,Ⅰ2016的周长，求的面积为，）若（；）求（已知的对边分别为的内角】年全国卷【ABC ABC c C c A b B a C c b a C B A ABC ∆∆==+∆.1ⅡⅠ.sin b 2sin ,,,,,Ⅲ2019面积的取值范围，求为锐角三角形，且）若（；）求（已知的对边分别为的内角】年全国卷【ABC c ABC B A CA a c b a CB A ABC ∆=∆=+∆。

解三角形一.正弦定理：1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.判断三角形解的个数：△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解；②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <<sin 时，有两个解。

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理1.余弦定理：=2a )cos 1(2)(2A bc c b +-+= =2b )cos 1(2)(2B ac c a +-+= =2c )cos 1(2)(2C ab b a +-+=注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： =A cos=B cos=C cos注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 222。

3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是 角 ②若222c b a =+时,角C 是 角 ③若222c b a <+时,角C 是 角练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;5.应用用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题； ④作答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

高三数学学案《解三角形》2010.10.12一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二 【知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ca ，cos A ＝sin B ＝cb ，tan A ＝ba 。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式： （1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A B A c +；（4）△＝2R 2sinAsinBsinC 。

（R 为外接圆半径） （5）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

高三一轮 3.7 解三角形【教学目标】1。

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2。

本部分是高考中的重点考查内容,主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题.【重点难点】1。

教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】cos A ≠..的最大值ac 0B <∠(2)(1)2cos 由可知A =-02cos A A <∠+7.(20162cos (cos 全国课标已知C a ((((1)2cos cos 2cos sin sin (0,C a C A A B A C π++∴+∈(2)c =若2(2)7a =由余弦定理即1∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a〈b a≥b a〉b 解的个数一解两解一解一解知识点3 三角形常用面积公式(1)S＝错误!a·h a(h a表示边a上的高）;(2）S＝12ab sin C＝12ac sin B＝错误!bc sin A；(3）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为内切圆半径)．名师点睛：1．必会结论引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理识别能力和解题效率。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构.1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【解析】由题意，在△ABC 中,∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°。

24.4解直角三角形(31)初稿【学习目标】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形【知识回顾】1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系(3)锐角之间关系【例题学习】1、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？2、一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，精确到0．1米）【巩固训练】3、如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB多少米？（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，结果精确到0.1米）4、小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，精确到1米）ABC D 150° h【作业】1、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosA 的值是（ ） 3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A ．833mB ． 4 mC ．43 mD ．8 m4、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B ．83米C ．833米 D ．433米 5、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？6、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．7、若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A 到B 处约需时间几分。

期末复习 - ----《解三角形》一、 【知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。

3．三角形的面积公式：（1）S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（4）S ＝2R 2sinAsinBsinC 。

（R 为外接圆半径）4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

《解三角形复习课》教案第一课时教学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形面积公式的应用，并结合三角形有关知识解决与三角形面积有关的问题。

本节课体现了前面所学知识的生动运用，让学生多参与，使学生在具体的解题中灵活把握正弦定理与余弦定理的特点，能够不拘一格，尝试多种解法。

重点难点：选择适当的正弦、余弦定理、面积公式解决解三角形问题。

教学过程：一、 课程引入回顾正弦定理、余弦定理，三角形面积公式及他们的适用条件与需要注意的部分。

课堂练习：二、 应用示例变式训练：4452cos o ABC a b B A ABC B∆===∠∆（1）在中，已知，，求（）在中，已知三边长AB=7，BC=5，AC=6，求2ABC a b b c ∆=+例 在中，（），求A与B满足的关系)()3,2cos sin sin ,ABC a b c a b c ab A B C ABC ∆+++-==∆ 在中，已知（且试确定的形状变式训练：tan 1cos 5292(3)ABC A B C a b c C CCA CB a b c ABC ∆=∙=+=∆在中，角、、的对边分别为，，，（）求（）若，且，求求外接圆半径思考题：三、课时小结72tan tan tan 2a b c c A B A B S a b ∆∆=+=∙-∆=+ABC 例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是、、，边，且ABC的面积为的值10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。

设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值A B C。