曲线积分与曲面积分习题课

三重积分
当 R3上区域时,




f ( M )d f ( x , y , z )dV
当 R3上空间曲线时,

曲线积分

f ( M )d f ( x , y , z )ds.
曲面积分
当 R3上曲面S时,
S


f ( M )d f ( x , y , z )dS .
2
24
3 3 . 24 3 sin t cos tdt 0 2
2 2
例４

计算
I [ f ( x , y , z ) x ]dydz [2 f ( x , y , z ) y ]dzdx [ f ( x , y , z ) z ]dxdy, 其中 f ( x , y , z ) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第一卦限部分的上侧． z 解 利用两类曲面积分之间的关系 1
R[ x , y, z( x , y )]dxdy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算 定积分
Stokes公式 计算 曲面积分 Guass公式
计算 重积分
积分概念的联系


f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
联 系
计
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS

f ( x , y , z )ds
2 f [ x, y, z( x, y )] 1 z x z2 y dxdy Dxy
R( x , y , z )dxdy


{ P , Q , R} { f x , f y ,1}dxdy

将在xoy面投影 { P , Q , R} { f x , f y , 1}dxdy .
0
i 1
n
定积分
当 R1上区间[a , b]时, f ( M )d f ( x )dx .
a b


二重积分
当 R2上区域D时,
D


f ( M )d f ( x , y )d .
曲线积分
当 R2上平面曲线L时,
L


f ( M )d f ( x , y )ds.
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y

Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
L
Pdx Qdy (
D
Q P )dxdy x y
Pdx Qdy
非闭
闭合 I (
Q P )dxdy x y
解 由 I ( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy
P 2 知 ( x 2 xy ) 2 x y y
y
1
A
Q 2 4 ( x y ) 2x x x
推广
A( M )为空间向量场

推广
divAdv

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy x y z P Q R

( A n)ds
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ( )dv x y z
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
P Q 题 (4) 在D内, y x
曲面积分
对面积的曲面积分 定 义
n
对坐标的曲面积分
n
f ( x , y, z )ds lim f ( i ,i , i )si R( x , y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy x, y )d [
D a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx , (d面元素)
dy
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dV

b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
z1 ( x , y )
AMOA

OA
y
M
Q P ( )dxdy AMOA x y D
m
D
m 2 dxdy a , 8
x
o
A(a ,0)
x
O A 0 0 dx (e
I
AMOA
a
m ) 0 0,
m 2 m 2 a 0 a . 8 8
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 dx , (ds线元素(曲))
a
b
L f ( x, y )dx a
b
f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影))
f ( x , y , z )ds f [ x , y , z ( x , y )] D
（三）场论初步
梯度
u u u gradu i j k x y z

通量 Pdydz Qdzdx Rdxdy 散度
P Q R divA x y z

环流量 Pdx Qdy Rdz 旋度
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
xy
1 z x z y dxdy
2 2
(ds面元素(曲))
R( x , y , z )dxdy f [ x , y , z ( x , y )]dxdy D
xy
(dxdy面元素(投影))
其中
L Pdx Qdy ( P cos Q cos)ds
L f ( x, y )ds
f [, ] 2 2 dt

计
LPdx Qdy
[ P (, ) Q(, )]dt

算
三代一定
( )
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
a
b
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z
z f ( x, y)
S (1 1 f x2 f y2 )d
D
f ( x , y )ds
L
o
x
D
L
y
例 3
求柱面 x y 1在球面 x y z 1内
2 2 2
2 3
2 3
的侧面积.
解
由对称性
L
S 8 zds 1 x 2 y 2 ds
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
二、典型例题
例 1 计算 I

L
( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy ,
其中 L 为由点O ( 0,0) 到点 A(1,1) 的曲线 y sin x . 2
思路:
I
( x, y) ( x0 , y0 )
I Pdx Qdy
L
P Q P Q D y x y x 非闭 补充曲线或用公式 I Pdx Qdy 0 L 闭合
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D 格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
的法向量为n {1,1,1},
1 1 1 1 cos , cos , cos . 3 3 3

o
y
x
1
1 I { [ f ( x , y , z ) x ]dydz 3 1 1 [2 f ( x , y , z ) y ]dzdx [ f ( x , y , z ) z ]}ds 3 3
x y ax , y 0 .
2 2
解
P x (e sin y my ) e x cos y m y y
Q x (e cos y m ) e x cos y x x
P Q 即 y x
(如下图)
I
L O A

OA
P Q 即 , y x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 0 x dx 0 (1 y )dy . 15
例 2 计算
I (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ,