2016_2017学年高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值学案含解析北师大版选修2_2

3．3.2 利用导数研究函数的极值(二)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？假设存在，分别为多少？思考3 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？梳理(1)函数的最大(小)值的存在性假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________________的曲线，该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值．(2)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤如下：①求f(x)在开区间(a，b)内所有____________；②计算函数f (x )在____________和________处的函数值，其中最大的一个为____________，最小的一个为____________．类型一 求函数的最值命题角度1 不含参数的函数最值问题 例1 求以下函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．反思与感悟 求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 求函数f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]的最值．命题角度2 含参数的函数最值问题例2 函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．假设导函数恒不等于0，那么函数在区间上是单调函数，最值在端点处取得；假设导函数可能等于0，那么求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)假设f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．类型二 由函数的最值求参数例3 函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．反思与感悟 函数在某区间上的最值求参数的值(X 围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．类型三 与最值有关的恒成立问题例4 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)求a 的取值X 围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.假设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值X 围．1．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D．π＋13．函数f (x )＝ax 3＋c ，f ′(1)＝6，且函数f (x )在[1,2]上的最大值为20，那么c ＝________. 4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，那么a 的取值X 围是( ) A ．[0,1) B ．(0,1)C ．(－1,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125．函数f (x )＝2ln x ＋a x2(a >0)，假设当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，那么实数a 的取值X 围是________．1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；假设函数在一个开区间内只有一个极值，那么这个极值就是最值．2．最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立〞问题可转化为函数最值问题．答案精析问题导学 知识点思考1 极大值为f (x 1)，f (x 3)，极小值为f (x 2)，f (x 4)． 思考2 存在，f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (x 3)．思考3 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 梳理 (1)连续不断 (2)①极值点 ②极值点 端点 最大值 最小值 题型探究例1 解 (1)f (x )＝2x 3－12x ， 所以f ′(x )＝6x 2－12 ＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2. 因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82， f (－2)＝82，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82；当x ＝3时，f (x )取得最大值18. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0， 解得x ＝2π3或x ＝4π3.因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32， f (4π3)＝2π3－32， 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 跟踪训练1 解 ∵f (x )＝3e x－e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x－(e x x 2＋2e xx )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)． ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 例2 解 f ′(x )＝e x－2ax －b ， 那么g (x )＝e x－2ax －b ，g ′(x )＝e x －2a ，x ∈[0,1]，当g ′(x )min ＝e 0－2a ＝1－2a ≥0， 即a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )min ＝g (0)＝1－b ； 当g ′(x )min ＝g ′(0)＝1－2a <0，g ′(x )max ＝g ′(1)＝e －2a >0，即12<a <e2时，令g ′(x )＝0， 得x ＝ln 2a ，当x (x ∈(0,1])变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：↘g (x )min ＝g ＝2a －2a ln 2a －b ；当g ′(x )max ＝g ′(1)＝e －2a ≤0， 即a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (x )min ＝g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (x )min ＝g (ln 2a ) ＝2a －2a ln 2a －b ；当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .跟踪训练2 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 3x －y －2＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2－2ax ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3.综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.例3 解 由题设知a ≠0，否那么f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 跟踪训练3 解 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ， 令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2. 当x ∈(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，故a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.例4 解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝ln x ＋1x，所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)因为g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e. 即a 的取值X 围为(0，e)． 跟踪训练4 解 因为f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x， 所以xf ′(x )＝x ln x ＋1，所以xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，那么g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，所以x ＝1是g (x )的极大值点也为最大值点， 所以g (x )≤g (1)＝－1. 所以a ≥g (x )max ＝－1.综上可知，a 的取值X 围是[)－1，＋∞. 当堂训练1．D [f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.] 2．C [因为y ′＝1－cos x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，那么函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π， 应选C.] 3．4解析 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0， 即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4.4．B [∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，∴a >0， 又∵函数在(0,1)上有最小值， ∴0<a <1，所以0<a <1.应选B.] 5．[e ，＋∞)解析 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 那么g ′(x )＝2x (1－2ln x )，由g ′(x )＝0，得x ＝e 12或x ＝0(舍去)，当0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0，∴当x ＝e 12时，g (x )取得最大值为g (e 12)＝e ，∴a ≥e.。

2016-2017学年高中数学第三章导数应用3.2.1 实际问题中导数的意义3.2.2 最大值、最小值问题学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章导数应用3.2.1 实际问题中导数的意义3.2.2 最大值、最小值问题学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

2.1 实际问题中导数的意义3。

2。

2 最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2。

理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点）［基础·初探］教材整理1 导数的实际意义阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量。

以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位:m/s）是时间t（单位：s）的函数，且v＝v（t),则v′（1)表示( ）A.t＝1 s时的速度B.t＝1 s时的加速度C。

t＝1 s时的位移D。

t＝1 s的平均速度【解析】v（t)的导数v′(t）表示t时刻的加速度,故选B。

【答案】B教材整理2 函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题。

1.最大值点与最小值点。

1.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极大值点和极大值 在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为__________________________，其函数值f (x 0)为函数的__________．2．函数的极小值点和极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_________________，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的__________．3．极值和极值点极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为__________． 极值是函数在一个适当区间内的局部性质．一、选择题1. 函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <2 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是__________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x.11.设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．答 案知识梳理1．函数y ＝f (x )的极大值点 极大值 2．大于x 0点的函数值 极小值 3．极值 极值点 作业设计 1．C2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值，∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0.]3．A [∵f ′(x )＝1－1x2，由f ′(x )>0，得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1. 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x >0得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0， 在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图像知只有1个极小值点．]5．A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′0<0f ′1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <03－3b >0，解得0<b <1.]6．D [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图像是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图像与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.] 7．3解析 f ′(x )＝2x x ＋1－x 2＋a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析 因为f ′(x )＝3ax 2＋b ， 所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 9.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x x (－∞，－2 -2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋0 - 0+f(x)极大值极小值2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝e.11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)， 故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b3)，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝2a＋b.3高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

3.1.2 函数的极值1.理解极大值，极小值的概念.(难点)2.掌握求极值的步骤.(重点)3.会利用导数求函数的极值.(重点)[基础·初探]教材整理极值点与极值阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分，完成下列问题.1.极大值点与极大值如图3­1­6，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.图3­1­62.极小值点与极小值如图3­1­7，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.图3­1­73.极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.4.求函数y＝f(x)极值的步骤(1)求出导数f′(x).(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f ′(x )＝0的每一个解x 0，分析f ′(x )在x 0左、右两侧的符号(即f (x )的单调性)，确定极值点：①若f ′(x )在x 0两侧的符号“左正右负”，则x 0为极大值点； ②若f ′(x )在x 0两侧的符号“左负右正”，则x 0为极小值点； ③若f ′(x )在x 0两侧的符号相同，则x 0不是极值点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值.( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合.( ) (3)函数f (x )＝1x有极值.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)f (x )＝x 2－2x －1； (2)f (x )＝x 44－23x 3＋x 22－6；(3)f (x )＝|x |.【自主解答】 (1)f ′(x )＝2x －2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 因为当x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以函数在x ＝1处有极小值， 且y 极小值＝－2.(2)f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ＝x (x 2－2x ＋1)＝x (x －1)2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝1.所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调 递减单调 递增单调 递增所以当极小值(3)f (x )＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0.显然函数f (x )＝|x |在x ＝0处不可导， 当x >0时，f ′(x )＝x ′＝1>0，函数f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增； 当x <0时，f ′(x )＝(－x )′＝－1<0， 函数f (x )＝|x |在(－∞，0)内单调递减. 故当x ＝0时，函数取得极小值， 且y 极小值＝0.1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.2.极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点. 点x 0是可导函数f (x )在区间(a ，b )内的极值点的充要条件： ①f ′(x 0)＝0；②点x 0两侧f ′(x )的符号不同.(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f ′(x )＝0的根，也可能是不可导点.[再练一题]1.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是__________. 【解析】 ∵f ′(x )＝2x －2x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f (1)＝1. 【答案】 1已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值.(1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值.【精彩点拨】 (1)求导函数f ′(x )，则由x ＝1和x ＝－23是f ′(x )＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b .(2)由f (－1)＝32求出c ，再列表求解.【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. 当x ＝－23时，f (x )有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值为f (1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[再练一题]2.已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围.【解】 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点， 如图所示.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋3）2－4（m ＋6）>0，f ′（1）＝1－（m ＋3）＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞).[探究共研型]探究1 【提示】 不一定，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点.所以，当f ′(x 0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f (x )的极值点，还要看f ′(x )在x 0两侧的符号是否相反.探究2 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图3­1­8所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有几个极小值点？图3­1­8【提示】 一个.x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点. 探究3 函数y ＝f (x )在给定区间(a ，b )内一定有极值点吗？【提示】 不一定，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内是单调函数，就没有极值点.已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 求出函数的极值，要使f (x )＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围.【自主解答】 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图像与x 轴有三个交点，如图.由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2).方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题.我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围.[再练一题]3.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增 单调递减 单调递增所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点.由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， ∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [构建·体系]函数的极值与导数—⎪⎪⎪—极值—⎪⎪⎪⎪—极大值—f ′（x ）左正右负—极小值—f ′（x ）左负右正—极值点—f′（x ）＝01.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x)的图像如图3­1­9，则函数f (x )( )图3­1­9A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点【解析】 有极值点的定义可知答案应选C. 【答案】 C2.函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2＜x ＜2)有( ) A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值【解析】 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0；由－1＜x ＜3时，y ′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值. 【答案】 C3.(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4 B.－2 C.4D.2【解析】 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数.∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.【答案】 D4.设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________. 【解析】∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a，令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a，即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.【答案】a＜－15.求函数y＝x4－4x3＋5的极值.【解】y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3).令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：单调递减单调递减单调递增故当x＝极小值我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

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升北师大版选修2-2一、选择题1．函数f（x)的定义域为开区间(a，b),导函数f′（x）在（a，b)内有图像如图所示，则函数f（x）在开区间(a，b）内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此根据导函数的图像，应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点．答案：A2．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，即3（x＋1）（x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.当x∈(－∞，－1）时，y′＞0；当x∈(－1,1)时，y′＜0；当x∈（1，＋∞）时，y′＞0；∴函数在x＝－1处取得极大值,m＝f（－1）＝2，在x＝1处取得极小值，n＝f(1）＝－2,∴m＋n＝2＋(－2）＝0，故选A。

答案: A3．已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的递减区间为（）A．(－∞,1），（5，＋∞）B．（1，5）C．(2,3）D．（－∞，2)，(3，＋∞）解析：y′＝3ax2－30x＋36当x＝3时,y′＝27a－90＋36＝0∴a＝2,∴y′＝6x2－30x＋36令y′＜0得2＜x＜3.∴函数的递减区间是(2,3)．答案: C4．设a∈R,若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点,则（）A．a＞－3 B．a＜－3C．a＞－错误!D．a＜－错误!解析：y′＝a e ax＋3，令y′＝0得x＝错误!，即为极值点．由题意得错误!＞0，所以a＜－3,故选B。

3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数极值的概念函数y＝f(x)的图象如下图．思考1 函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？思考2 f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？思考3 函数在点x＝b处的情况呢？梳理函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)<f(x0)，那么称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个____________；如果都有f(x)>f(x0)，那么称函数f(x)在点x0处取____________，记作y 极小值＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个________________． ____________与____________统称为极值．__________与____________统称为极值点．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0.当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )________0，右侧f ′(x )________0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )________0，右侧f ′(x )________0，那么f (x 0)是极小值．类型一 求函数的极值和极值点 例1 求以下函数的极值： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝3x＋3ln x .反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1 函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．类型二函数极值求参数例2 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．引申探究假设本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点〞，求常数a，b的值．反思与感悟函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图，求：(1)x0的值；(2)a，b，c的值．类型三函数极值的综合应用例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)假设关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，某某数a的取值X围．反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3 函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，假设函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，某某数m 的取值X 围．1．如图为y ＝f (x )的导函数的图象，那么以下判断正确的选项是( )①f (x )在(－3,1)上为增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B．②③ C ．③④ D．①③④2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为( )A ．8 B.263C ．10D ．123．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，f (x )在x ＝－3时取得极值，那么a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，那么a 的取值X 围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >65．函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值．1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．答案精析问题导学知识点一思考1 函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．思考2 f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.思考3 函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.梳理极大值极大值点极小值极小值点极大值极小值极大值点极小值点知识点二(1)> < (2)< >题型探究例1 解(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2) －2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21 ↘极小值－6 ↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值3↗因此当x ＝1f x 跟踪训练1 解 (1)因为f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4， 所以f ′(0)＝a ＋b －4＝4，① 又f (0)＝b ＝4，② 由①②可得a ＝b ＝4.(2)f (x )＝e x(4x ＋4)－x 2－4x ，f ′(x )＝e x (4x ＋8)－2x －4＝4e x(x ＋2)－2(x ＋2) ＝(x ＋2)(4e x－2)．解f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝－ln 2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2，－ln2)－ln 2 (－ln 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗f (在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．例2 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3 ＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值， 故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 引申探究解 因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由极值点的必要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3×－32＋6a ×－3＋b ＝0，3×－12＋6a ×－1＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－18a ＋b ＋27＝0，－6a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，所以a ＝2，b ＝9.跟踪训练2 解 (1)由图象可知，在区间(－∞，1)上f ′(x )＞0，在区间(1,2)上f ′(x )＜0，在区间(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1. (2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 例3 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知，y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如下图． 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．跟踪训练3 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， ∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，那么由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8 ＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23 (23，4) 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )↗6827－m ↘－16－m↗那么函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g 23＝6827－m >0，g 4＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即实数m 的取值X 围为(－16，6827)．当堂训练1．B [当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，故①不正确；x ＝－1是f (x )的极小值点，故②正确；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，故③正确；x ＝2是f (x )的极大值点，故④不正确．]2．A [由f ′(x )＝x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2，∴函数f (x )的极大值与极小值的和为f (－2)＋f (2)＝8.]3．D [因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，那么f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5.] 4．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.]5．解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b x，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，∴a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)得f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝x ＋1x －1x，x ∈(0，＋∞)．令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗∴f (x )∴f (x )极小值＝f (1)＝12.。

第1课时利用导数研究函数的极值[学习目标] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，观察下图，函数y＝f(x)在x＝d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答：以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.[预习导引]1．极值点与极值已知函数f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)<f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化，如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值．如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧符号不变，则f (x 0)不是极值.要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪演练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝3. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知，f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值点两侧导数的符号列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 要点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，此时a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).1．下列关于函数的极值的说法正确的是( )A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a <－3或a >6.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，则x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.1.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．。

第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3．极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值(2)联系①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( )(2)导数为零的点不一定是极值点．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A .导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个． 所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )A ．eB ．1C ．－1D ．－e解析：选C .函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.答案：2(教材习题改编)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，又因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，解得x ＝π6，则当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′＞0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′＜0，故函数y＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值π6＋ 3.答案：π6＋3函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度： (1)由图判断函数极值的情况； (2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围．[典例引领]角度一 由图判断函数极值的情况(2017·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【解析】 原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D .【答案】 D角度二 已知函数解析式求极值(2018·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点． 当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x，令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈(0，1a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(1a，＋∞)时，g ′(x )＜0.因为g (x )在(0，1a )上是增函数，在(1a，＋∞)上是减函数．所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g (1a )＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a－ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．角度三 已知函数极值求参数值或范围(2016·高考山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为a >12.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程 (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex－1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a－1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A. 2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表．极大值值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a ＞0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数在x ＝1a处有一个极大值点．函数的最值问题[典例引领](2017·高考浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e－x(x ≥12)．(1)求f (x )的导函数； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围．【解】 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x )′＝－e －x，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12x －1e－x－(x －2x －1)·e－x＝（1－x ）（2x －1－2）e －x2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12.(2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e－x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5252 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ f ′(x )－0 ＋0 － f (x )12e －1212e －52又f (x )＝12(2x －1－1)2e －x≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12e －12.求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[通关练习]1．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( )A.13 B.23 C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，当f ′(x )＝0时，x ＝0； 当f ′(x )<0时，－13≤x <0；当f ′(x )>0时，0<x ≤1. 所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f (x )min ＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，f (1)＝13.所以f (x )的最大值与最小值的和为13.2．(2018·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x－ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1e ，e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2，所以f ′(x )＞0⇒0＜x ＜1，f ′(x )＜0⇒x ＞1，所以f (x )＝1－1x－ln x 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在[1e ，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f (1e )＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f (1e )＜f (e)．所以f (x )在[1e ，e]上的最小值为f (1e )＝2－e.所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为0，最小值为2－e.函数极值与最值的综合应用[典例引领](2018·福州市综合质量检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )．(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )．【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋ax，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝（2x －3）（x －3）x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为(0，32)，(3，＋∞)，单调递减区间为(32，3)． (2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在[1，a2)上为减函数，在(a 2，e]上为增函数，h (a )＝g (a2)＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e.（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 23⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )极小值极大值所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 利用导数研究生活中的优化问题[典例引领]某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)．设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 公斤与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少时，该工厂的每日利润y 最大？并求最大值．【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，所以k ＝100e 30，所以日销量q ＝100e30ex ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x， y ′＝100e 30（26－x ）ex， 由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0，得x ≥26，所以y 在区间[25，26]上单调递增，在区间[26，40]上单调递减，所以当x ＝26时，y ma x ＝100e 4，即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，机车的最高速度为100 km/h ，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设机车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k ·203，所以k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·ax＝a ⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0<x ≤100)．由f ′(x )＝a （x 3－40 000）100x2＝0，得x ＝2035. 当0<x <2035，f ′(x )<0； 当2035<x ≤100时，f ′(x )>0.所以当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少．求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究．研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决．函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点． 分类讨论思想的应用(1)利用导数研究函数的性质，不能以统一的方法或形式处理多种可能情形的对象．此时可选择一个标准，依此分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而获得问题解决，体现化整为零，各个击破、积零为整的思想——分类讨论．如求函数f (x )在某一区间上的最值，应根据函数在该区间上的单调性求解，若函数的单调区间含参数，需根据所求区间与函数的单调区间的相对位置关系进行分类讨论，分类的目的是确定函数在所求区间上的单调性．(2)解含参函数单调区间、极值、最值问题时，容易产生讨论的两个地方：①f ′(x )＝0有根与无根的讨论； ②f ′(x )＝0有根，对根大小的讨论． 易错防范(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． 1．函数y ＝x e x的最小值是( ) A ．－1 B ．－e C ．－1eD ．不存在解析：选C.因为y ＝x ·e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x， 当x ∈(－∞，－1)时，y ′＜0，当x ∈(－1，＋∞)时，y ′＞0，所以当x ＝－1时，y min ＝(－1)e －1＝－1e.2．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3解析：选C.设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则x ∈(0，5)，y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x ，所以y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，所以y ma x ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值解析：选D.由题意得x ∈R ，y ′＝1－11＋x 2·(1＋x 2)′＝1－2x 1＋x 2＝（x －1）21＋x2≥0，所以函数y ＝x －ln(1＋x 2)无极值． 4．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4.当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C.5．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，4] B ．[2，4] C ．[1，4)D ．[1，2]解析：选C.因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－a ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧－a >－1，2≤a ，解得1≤a <4.选C.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表得答案：27．(2018·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧exx －1（x ＞0），h （x ）（x ＜0），则函数h (x )的最大值为______． 解析：先求出x ＞0时，f (x )＝exx－1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x（x －1）x2，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，所以x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，所以由已知条件得h (x )的最大值为1－e. 答案：1－e8．已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝______．解析：f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2(x ＞0)，当m ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )在区间[1，e]上为增函数，f (x )有最小值f (1)＝－m ＝4， 得m ＝－4，与m ＞0矛盾．当m ＜0时，若－m ＜1即m ＞－1，f (x )在区间[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4，得m ＝－4，与m ＞－1矛盾； 若－m ∈[1，e]，即－e ≤m ≤－1，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，解得m ＝－e 3，与－e ≤m ≤－1矛盾；若－m ＞e ，即m ＜－e 时，f (x )在区间[1，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1－me ＝4，解得m ＝－3e ，符合题意．答案：－3e9．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝ f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.10．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．1．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a ＞12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A ．14 B ．13C ．12D ．1解析：选D.因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，又a ＞12，所以0＜1a ＜2.当x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(1a，2)上单调递减，所以f (x )ma x ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.故选D.2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，0) B ．(－5，0) C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选 C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．3．已知函数f (x )＝exx 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为______．解析：f ′(x )＝x 2e x －2x e xx 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x ＝（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝exx，则g ′(x )＝（x －1）exx2，则g (x )在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．所以g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e.答案：(－∞，e]4．设m ，n 是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若2∈(m ，n )，则实数a 的取值范围是______．解析：由已知f (x )的解析式知f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，因为函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 有两个极值点m ，n ，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2有两个零点m ，n ，又因为2∈(m ，n )，所以有f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0， 解得2＜a ＜6. 答案：(2，6)5．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f (x )＝(2x －4)e x＋a (x ＋2)2(x ＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈(0，12)时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－（x －1）e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－（x －1）exx ＋2，则g ′(x )＝－x e x （x ＋2）－（x －1）e x （x ＋2）2＝－（x 2＋x ＋1）ex （x ＋2）2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0，1)使得f ′(t )＝0，又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t ＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－（t －1）ett ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0，1)．记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t(－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．6．(2018·山西三区八校模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值． 解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)知f ′(x )＝（2ax －1）（x －1）x，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1，当12a＜0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2，当a ＞0时，x 2＝12a＞0，当12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，[1，e]上单调递增，所以最大值可能在x ＝12a或x＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，当1＜12a ＜e 时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a＜e 矛盾，当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾，综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。

高中数学第三章导数及其应用3-3-2利用导数研究函数的极值同步导学案新人教B 版选修1学习目标：1理解函数极值与极值点的概念2 掌握求极值与最值得方法与步骤3 能利用极值与最值求解参数德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：1. 理解函数极值与极值点的概念2. 掌握求极值与最值得方法与步骤难点：能利用极值与最值求解参数活动一：自主预习，知识梳理一、极值的概念已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有()x f y =0x 0x x，则称函数在处取极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有，则称函数在处取极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点。

()x f )(0x f y =极大值()x f ()x f )(0x f y =极小值()x f与统称为极值。

与统称为极值点二、求可导函数极值的步骤()x f y =1.求 ；2.求方程的所有实数根；3.对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，的符号如何变化。

如果的符号 ，则是极大值；如果的符号 ，则是极小值；如果在()x f/()0x f ()x f /()0x f ()0/=x f 的根的左右侧符号不变，则不是极值0x x =()0x f三、求可导函数在的最大（小）值的步骤()x f y =[]b a ,1.求在开区间内的()x f ),(b a2.计算函数在和的函数值，其中最大一个为最大值，最小的一个为最小值()x f活动二：问题探究1.同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？ 2.导数为零的点一定是极值点吗？ 3. 在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，在上一定存在最值和极值吗？[]b a ,()x f y =[]b a ,活动三：要点导学，合作探究要点一：求函数的极值，最值例1：已知函数()44313+-=x x x f（1）求函数的极值 （2） 求函数在区间上的最大值和最小值[]4,3-练习：P99练习B-1要点二：极值的综合应用例2：已知为实数，函数a ()a x x x f ++-=33。

学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． 2．极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．特别提醒：如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．极大值一定比极小值大．( × ) 3．函数f (x )＝1x有极值．( × )4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √)题型一极值与极值点的判断与求解命题角度1 知图判断函数的极值例1 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析由导函数的图象可知，当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C. 反思感悟通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1 如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 B解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x ＝2是f (x )的极大值点，故②③正确，④错误．命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)，解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x＝x ＋x －x ，解方程x ＋x －x＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↘因此当x ＝1时，f (x )有极小值1，无极大值． 反思感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )．(2)求f (x )的驻点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练2 已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝e x(ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4，f ′(0)＝a ＋b －4＝4，①又f (0)＝b ＝4，② 由①②可得a ＝b ＝4.(2)f (x )＝e x(4x ＋4)－x 2－4x ， 则f ′(x )＝e x (4x ＋8)－2x －4 ＝4e x(x ＋2)－2(x ＋2) ＝(x ＋2)(4e x－2)．解f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝－ln2， 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．题型二 已知函数极值(或极值点)求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f－＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练3 已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)·(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 D解析 若a <－1，∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D. 题型三 函数极值的综合应用例4 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根解 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1， 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)． 引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？ 解 由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－16，6827.由极值点的个数求参数范围典例 已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，求实数a 的取值范围． 考点 题点解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根， 即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax (x >0)的图象有两个不同的交点，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ， 则切线斜率k l ＝0|='x x y ＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，则k l ＝1，令2a ＝1，得a ＝12，结合图象知0<a <12.[素养评析] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．(2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，且f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．5B ．3C ．4D ．2考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5.3．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1.当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <0或0<x <1时，f ′(x )<0.所以当x ＝－1时函数有极大值－2；当x ＝1时函数有极小值2.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 则Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3.5．求函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的极值．考点 函数的极值与导数的关系 题点 含参数的函数求极值问题 解 f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f (x )无极值； ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上是单调递减的，在(ln a ，＋∞)上是单调递增的， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 考点 题点 答案 C解析 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0， 但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同， 因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上可知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 2．设函数f (x )＝32x 2－ln x ，则( )A ．x ＝－33是f (x )的极大值点 B ．x ＝－33是f (x )的极小值点 C ．x ＝33是f (x )的极小值点 D ．x ＝33是f (x )的极大值点 考点 函数的极值与导数的关系题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点． 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．4.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．5．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为( )A ．(3，－3)B ．(－4,11)C ．(3，－3)或(－4,11)D ．不存在考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， ∵当x ＝1时，f (x )有极值10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，验证知当a ＝3，b ＝－3时，在x ＝1处无极值， ∴a ＝－4，b ＝11.6．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 考点 函数极值的应用 题点 极值存在性问题 答案 D解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a 3. 由题意知，2a3∈(0,1)， 即0<2a3<1， 解得0<a <32.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.8．已知a ∈R ，且函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1eD ．a >－1e考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为y ＝e x＋ax ，所以y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x >0，所以－a >1，即a <－1.9.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 二、填空题10．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴函数y ＝x e x在极值点处的切线方程为y ＝－1e.11.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 2解析 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.12．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 答案 (－2,2)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2<a <2时恰有三个相异的公共点． 三、解答题13．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x >0)，故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－x －x －3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 14．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， ∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．15．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 16．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x >0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )>0，得x >2，令k ′(x )<0，得0<x <2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧k ，k，k，所以2－2ln2<a ≤3－2ln3.。

函数的极值课标要求结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

三维目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

教材分析教材首先给出极值的定义,并指出极值是函数在一个适当区间内的局部性质,并通过例2,例3总结出求函数极值的步骤学情分析学生已经掌握了导数和函数单调性的关系教学重难点重点 : 利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件提炼的课题函数极值的概念教学手段运用教学资源选择专家伴读教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）观察1.3.1图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在 a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. <三>、讲解例题 例2, 例3,见课本例4 函数()31443f x x x =-+的极值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值<四>、课堂练习1、求函数f(x)=3x-x 3的极值 x 22-2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,求函数f（x）的解析式及单调区间。

学习资料汇编1．2 函数的极值[对应学生用书P29]1．在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮．问题1：李阳最高说明了什么？提示：李阳是这10人中最高的．问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？提示：不一定．2．已知y＝f(x)，y＝g(x)的图像．问题1：观察y＝f(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？提示：f(x0)在(a，b)内最大．问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？提示：不一定．问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零．问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？提示：与y＝f(x)在(a，b)上结论相反．1．函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．函数的单调性与极值(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．(4)在区间上单调的函数没有极值．[对应学生用书P30][例1] 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)f (x )＝ln xx.[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．[精解详析] (1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域为R ，且f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：增加减少增加因此，x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝10；x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：增加减少因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e，没有极小值点．[一点通] 求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点．1．(陕西高考)设函数f (x )＝x e x，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．答案：D2.已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )的极大值是( )A ．－2a ＋cB ．－4a ＋cC ．－3aD ．c解析：由导函数f ′(x )的图像知当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0.又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，所以b ＝－3a ，f (x )＝ax 3－3ax 2＋c ，所以函数f (x )的极大值为f (2)＝－4a ＋c ，故选B.答案：B3．求下列函数的极值：(1)f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1(0<x <2π)； (2)f (x )＝x 2e －x.解：(1)由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，0<x <2π.令f ′(x )＝0，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，又0<x <2π，所以x ＝π或x ＝3π2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝2时，f (x )有极小值2；当x ＝π时，f (x )有极大值π＋2.(2)f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极小值是f (0)＝0，极大值是f (2)＝e2.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f (x )的极小值．[思路点拨] 利用函数在x ＝1处取得极大值3建立关于a ，b 的方程组即可求解． [精解详析] (1)∵当x ＝1时，函数有极大值3，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3.解之得a ＝－6，b ＝9.(2)f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1. 当f ′(x )>0时，0<x <1； 当f ′(x )<0时，x <0或x >1.∴函数f (x )＝－6x 3＋9x 2的极小值为f (0)＝0.[一点通] 解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.答案：D5．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ .解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )，令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知x ＝1是极大值点，故f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．(重庆高考)已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )， 即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞).[例3] 设函数f (x )＝x 3－3x ＋1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．[精解详析] (1)∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,1)．当x＝－1时，f(x)有极大值3；当x＝1时，f(x)有极小值－1.(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如右图所示，当－1<a<3时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1,3)．[一点通] 极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是增加的，在(－1,1)上是减少的，故f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，其大致图像如图所示，零点个数为2.答案：28．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．解：(1)证明：f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.易知f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a ， 故曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，令x ＝2，得y ＝2，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)． (2)由f ′(x )＝0得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0.①当Δ＝(2a )2－4(1－2a )≤0，即－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值． ②当Δ＝(2a )2－4(1－2a )>0，即a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得x 1＝－a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1，显然x 0＝x 2，则由题设知1<－a ＋a 2＋2a －1<3. 当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解；当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3，得－52<a <－2－1.综合①②得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2－1.(1)对于可导函数来说，y ＝f (x )在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y ＝x 3在x ＝0处，f ′(0)＝0，但x ＝0不是函数的极值点．(2)可导函数f (x )在x 0取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同．(3)若函数y ＝f (x )在(a ，b )内有极值，则y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即单调函数没有极值．[对应课时跟踪训练十一1．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：因为y ＝2x 3－3x 2， 所以y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)． 令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝1.令y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，函数y ＝2x 3－3x 2取得极小值－1. 答案：C2．函数y ＝ax ＋ln(1－x )在x ＝0时取极值，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.不存在解析：y ′＝a ＋－11－x ＝ax －a ＋1x －1(x <1)，由题意得x ＝0时y ′＝0，即a ＝1. 检验：当a ＝1时y ′＝xx －1，当x <0时y ′>0，当0<x <1时y ′<0，符合题意． 答案：B3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <0 C ．b >0D.b <12解析：f ′(x )＝3x 2－3b .因f (x )在(0,1)内有极值，所以f ′(x )＝0有解，∴x ＝±b ，∴0<b <1，∴0<b <1.答案：A4．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图像的一部分如图所示，则正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 解析：由题图可知，当x ∈(－∞，－3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )>0； 当x ∈(0,3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )>0； 当x ∈(3，＋∞)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )<0.故函数f (x )在x ＝－3处取得极小值，在x ＝3处取得极大值． 答案：D5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x x ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2，由题意得f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意．答案：36．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4；(2)f (x )＝x 3e x.解：(1)∵f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化，如表所示：∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点． ∴f (x )极大值＝f (－1)＝173，f (x )极小值＝f (3)＝－5.(2)f ′(x )＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x ·x 2(x ＋3)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如表所示：由表可知x ＝－3是f (x )的极小值点．f (x )极小值＝f (－3)＝－27e －3，函数无极大值．8．已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值． 解：∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2或x ＝a3.(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝3时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. (2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 327. 综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327，在x ＝a 2处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0； 当a <0时，函数f (x )在x ＝a2处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，在x ＝a 3处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.敬请批评指正。