【复习必备】(毕节专版)2020年中考数学复习 专题2 几何图形的折叠或旋转(精讲)试题

中考数学折叠知识点总结一、折叠的基本概念1. 折叠是指将平面图形按照一定的方式对折使其成为一个新的图形的过程。

2. 折痕是指将纸张折叠成新形状所需的折痕线。

3. 折叠时需要确保折线上的点重合，折线上的两个点到折线的距离分别相等。

二、折叠和几何1. 折叠与几何题目密切相关，我们可以通过折叠的方式来解决一些几何题目。

2. 折叠可以用来求解线段的垂直平分线、两点之间的最短距离、平行线的位置关系等问题。

三、折叠的技巧1. 折叠时需要仔细测量折痕的位置，可以使用尺子或折痕工具来辅助。

2. 折叠时需要保持手的稳定，避免折痕偏差，影响折叠结果。

3. 折叠后要仔细检查折线上的点是否重合，以确保折痕的正确性。

四、折纸作图1. 折纸作图是指通过对纸张进行折叠来完成一些几何图形的作图。

2. 折纸作图可以用来完成正多边形、平行四边形、圆等几何图形的作图。

3. 折纸作图可以通过折叠来求解一些几何问题，如平行线的位置关系、角的平分线、两点之间的最短路径等。

五、折纸拼图1. 折纸拼图是指通过折叠纸张来完成一些图形拼图的过程。

2. 折纸拼图可以用来完成一些常见的几何图形，如正方形、长方形、三角形等。

3. 折纸拼图可以通过分析图形的属性和对称关系来完成，需要灵活运用折叠的技巧来完成。

六、折纸数学问题1. 折纸数学问题是指通过折叠纸张来解决一些数学问题的过程。

2. 折纸数学问题可以用来求解一些几何题目，如平行线的位置关系、角的平分线、相似三角形等。

3. 折纸数学问题需要综合运用折叠的技巧和几何知识来完成，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。

七、折纸的启发1. 折纸可以培养学生的空间想象和创造力，有利于学生的综合能力发展。

2. 折纸可以激发学生对数学的兴趣，通过折叠来解决数学问题，有助于学生更好地理解和应用数学知识。

3. 折纸可以激发学生对数学的好奇心和求知欲，有助于培养学生的数学思维和创新能力。

总结：折叠知识是中考数学的重要知识点，通过对折叠的基本概念、折叠和几何、折叠的技巧、折纸作图、折纸拼图、折纸数学问题和折纸的启发等方面的学习，我们可以更好地掌握折叠知识，提高数学解题的能力和创新思维。

中考数学知识点总结：图形的变换1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。

2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做它的对称轴。

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。

(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题（含答案）1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD 上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．第1题图3或11 32.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤43.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－224.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图5 11或5135.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．第5题图355 11或539 136.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．第6题图24 7或8 37.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．第7题图2或58.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．第8题图2或53或6559.如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE 与△BMF的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶810.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EP A′，若△EP A′与△ABC的另一个交点为F，当EF＝14AB时，则BP的长为________．第10题图2或2311.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________； ②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．第1题图1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°， ∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC ； (2)解：①32； 如解图，连接BD ，第1题解图∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2， 在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2， ∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝32. ∵60°.如解图，连接OD 、OE ，∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°， ∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝12∵BOD ＝60°.12 .如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝5，延长AD 到点E ，连接EC ，过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形； ②当GFGD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．第2题图13. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC . ∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；(2)解：①1;∵四边形BCEF 是正方形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°， ∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3. ∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1. ∵45. ∵四边形BCEF 是菱形， ∵BF ＝BC ＝AD ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ， ∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.14.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .(1)求证：BC ∥OP ；(2)若半圆O 的半径等于2，填空：①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．第3题图解：(1)证明：连接OC ，AC ，如解图所示， ∵AB 是直径，AM ⊥AB ， ∴BC ⊥AC ，AP 是半⊙O 的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，∴BC∥OP；(2)① 2；② 2 3.∵若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，又∵∵OAP＝90°，OA＝2，∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，∵AP＝22222-OAOP＝2 3.=4-第3题解图15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EF A≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图(1)证明：如解图，第4题解图∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EF A和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.(2)解：① 30；②45.∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，∵AF∵AB，∵CE∵AB，∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．16.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，ADDE的值为________．第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝12AC.理由：连接OD，如解图，第5题解图∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；∵OA＝OB，∴EC＝EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝12AC.(2)①45；②3.∵要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∵ODE＝∵ABC＝90°,只需∵DOB ＝90°，∵∵A＝45°；∵过O作OH∵AD于H,∵∵A＝30°，OA＝OD,∵∵3＝∵A＝30°，∵OD，∵∵ODE＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵OD，∵ADDE＝3.17.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．第6题图(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图∵理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，∵AB＝1，∵AC＝2，∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，∵四边形ABC1D1是菱形；∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，第6题解图∵则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．。

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，∠EDC=∠EDC =45°，△CHD≌△DFC ，C F= HD=5，【C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，由已知AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，HC=2x，∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AHBH=2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FMBM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD=28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CDAB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP=252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD=AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x 2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

翻转折叠问题【专题点拨】图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。

【解题策略】有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.【典例解析】类型一：三角形折叠问题例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．类型二：平行四边形折叠问题例题2：（2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．【考点】平行四边形的性质【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°类型三：矩形折叠问题例题3：（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）变式训练3：（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°类型四：菱形折叠问题例题4：（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中OGD正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF===2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．变式训练4：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1 ．类型五：圆的折叠问题例题5：（2015•聊城）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（）A. 12B.13C.23D.352. 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积．故选：B．变式训练5：（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．【能力检测】1.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．2.（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．3.（2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．4.（2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是多少？5.（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【参考答案】变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a （用含a的式子表示）．【解析】翻折变换（折叠问题）．由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°【解析】平行线的性质，折叠关系。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题填空题专项训练2（附答案详解）1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是______．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是___．3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连结CF，则CF的最小值是_____．4．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B为x轴上一动点，连接AB，线段AB绕着点B按顺时针方向旋转90°至线段CB，过点C作直线l∥y轴，在直线l上有一点D位于点C下方，满足CD＝BO，则当点B从（﹣3，0）平移到（3，0）的过程中，点D的运动路径长为_____．5．如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为_____．6．如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝_____．7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，连接AE，若BC＝DE＝4，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则AF的值_____．8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为_____．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB＇C＇，则∠BAC＇等于_______.10．若把一次函数y kx b =+的图像先绕着原点旋转180︒，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点40A -（，）和点02B （，），则原一次函数的表达式是____. 11．如图，将边长为3cm 的正方形ABCD 绕顶点B 逆时针旋转30°得到正方形EBCF ，则两个图形重叠部分（阴影部分）的面积为______cm 2．12．如图，正方形OABC 的边长为6，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是______．13．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为______．14．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，030B ∠=．以点B 为旋转中心，旋转030，点,A C 分别落在点','A C 处，直线,'AC AC 交于点D ，那么AD AC的值为_______．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\16．如图，点A的坐标为（﹣1，0），AB⊥x轴，∠AOB＝60°，点B在双曲线l上，将△AOB绕点B顺时针旋转90°得到△CDB，则点D_____双曲线l上（填“在”或“不在”）．17．如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为________.18．如图，△AOB的边OB在x轴上，AC⊥x轴于C，D为AC上一点，将△CBD沿BD翻折，使点C落在AB边上的E点．已知∠AOB＝60°，AO＝43，点B的坐标为（8+23，0），则点D的坐标为_____．19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____．20．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点P 是平面内一点．且满足BP ⊥PC ，现将点P 绕点D 顺时针旋转90度，则CQ 的最大值＝___________．21．如图，直线l 1，l 2，l 3相交于点A 、B 、C ，得到△ABC ，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点O 在线段AC 上，且OA=2OC ，将△ABC 绕点O 旋转得到△A 1B 1C 1，当点A 1落在这三条直线上时，线段AA 1长是_______.22．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．（写出所有可能情况）23．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，A 30∠=o ，AC 10=，把上面一块绕直角顶点B 逆时针旋转到A'BC'V 的位置，点C'在AC 上，A'C'与AB 相交于点D ，则BC'=______．24．已知ABC V 中，AC 2=，C 30∠=o ，点M 为边AC 中点，把BCM V 沿中线BM 125．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝110°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．当α为______度时，△AOD 是等腰三角形？26．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的()Y a,θ变换.如图，等边ABC V 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点0重合，点C 在x 轴的正半轴上111.A B C V 就是ABC V 经()Y 1,180o 变换后所得的图形，则点1A 的坐标是______．27．如图，AOB V 中，AOB 90∠=o ，AO 3=，BO 6=，AOB V 绕顶点O 逆时针旋转到A'OB'V 处，此时线段A'B'与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段B'E 的长度为______．28．如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 的边上，且DM=2，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，已知线段EF 34ABCD 的边长为_____29．Rt ABC ∆中，8AB =，6BC =，将它绕着斜边AC 中点O 逆时针旋转一定角度后得到'''A B C ∆，恰好使''//A B AC ，同时''A B 与,AB BC 分别交于点,E F ，则EF 的长为__________．30．如图，在△ABC 中，AC=BC=8，∠C=90°，点D 为BC 中点，将△ABC 绕点D 逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB 交于点E ，则S 四边形ACDE = ．参考答案1．∠A=12(∠1-∠2)【解析】∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A=∠A′，∵∠AFE是△A′DF的外角，∴∠AFE=∠A′+∠2，∵∠1是△AEF的外角，∴∠1=∠A+∠AFE，即∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A′+∠2，即∠A=12(∠1-∠2)；故答案是∠A=12(∠1-∠2)。

中考数学几何折叠问题的答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等; 对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2006 年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合.(1)如果折痕FG 分别与AD、AB 交于F、G(如图①)，AF=，求DE 的长;(2)如果折痕FG 分别与CD、AB 交于F、G(如图②)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.图①中FG 是折痕，点A 与点E 重合，根据折叠的对称性,已知线段AF 的长,可得到线段EF 的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF 的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG 垂直平分AE，取AD 的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE 为Rt△AED 的外接圆的直径，则O 为圆心，延长MO 交BC 于N，则ONBC，MN=AB,又Rt△AED 的外接圆与直线BC 相切，所以ON 是Rt△AED 的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF 的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150 的角对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N 点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的ABM、MBN和NBC，这三个角有什么关系?(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，则直角三角形中NG=BN，从而可得ABM=MBN=NBC=300.)若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN 为等边三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.(2006 年临安)如图，△OAB 是边长为2 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在OB 上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB 上运动，但不与O、B 重合时，能否使△A`EF 为直角三角形?这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF 为直角三角形，且直角顶点在F 处时，根据轴对称性质我们可以得到AFE=A`FE=900，此时A`点与B 点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F 处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E 处. 故当A`点在OB 上运动，若不与O、B 重合，则不存在这样的A`点使△A`EF 为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题. tips:感谢大家的阅读，本文由我司收集整编。

几何图形折叠问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（几何图形折叠问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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几何图形折叠问题【疑难点拨】1。

折叠(翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2。

折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4。

凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形,其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1。

（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=2。

(2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6,取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形)面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32πC．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）A．B． C． D．4. （2018·山东青岛·3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC ，∠BAC=90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合,折痕现交于点F ．已知EF=,则BC 的长是（ ）A ．B ．3 C ．3 D ．35。

初中数学图形变换之轴对称与旋转，中考复习必备!别犹豫，收
藏好
轴对称图形和旋转是初中数学几何图形变化中常考的题型，一般会在选择题中出现，大题也会有涉及。

几何图形一直都是初中数学学的重难点，因为几何图形比较抽象，对同学们的逻辑思维能力和空间想象能力有很大的要求。

而作为中考考点，同学们在复习的时候自然是不能忽视的。

所以小编今天就给大家整理了平移、轴对称与旋转这部分的知识，帮助大家更好的复习，赶紧来看看吧!
虽说轴对称图形和旋转这部分的内容不是特别复杂，但对大家的空间想象能力要求还是比较高的，所以同学们还是应该多练习，掌握它们的性质。

在中考中，每一分都是很重要的，同学们赶紧行动起来吧!
中小学生记忆力不好，在学习中缺乏学习方法，单词记不住，学
习效率不高。

中考数学平移与旋转知识点总结
中考数学平移与旋转知识点总结
旋转
1、旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

2、旋转的性质：
旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。

中心对称
1、中心对称的定义：
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。

2、中心对称图形的定义：
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。

3、中心对称的性质：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

轴对称
1、轴对称的.定义：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称图形的性质：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

③等腰三角形的“三线合一”。

热点专题6图形折叠问题考向1矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①①CMP是直角三角形；①点C、E、G不在同一条直线上；①PC＝MP；①BP＝AB；①点F是①CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①DMC＝①EMC，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①AMP＝①EMP，①①AMD＝180°，①①PME+①CME＝180°＝90°，①①CMP是直角三角形；故①正确；①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①D＝①MEC＝90°，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①MEG＝①A＝90°，①①GEC＝180°，①点C、E、G在同一条直线上，故①错误；①AD＝2AB，①设AB＝x，则AD＝2x，①将矩形ABCD对折，得到折痕MN；①DM＝AD＝x，①CM＝＝x，①①PMC＝90°，MN①PC，①CM2＝CN•CP，①CP＝＝x，①PN＝CP﹣CN＝x，①PM＝＝x，①＝＝，①PC＝MP，故①错误；①PC＝x，①PB＝2x﹣x＝x，①＝，①PB＝AB，故①，①CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，①CE＝EG，①①CEM＝①G＝90°，①FE①PG，①CF＝PF，①①PMC＝90°，①CF＝PF＝MF，①点F是①CMP外接圆的圆心，故①正确；故选：B．2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将①CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan①HAP＝．【解析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又①H为AB的中点，①AH＝BH，①AH＝PH＝BH，①①HAP＝①HP A，①HBP＝①HPB，又①①HAP+①HP A+①HBP+①HPB＝180°，①①APB＝90°，①①APB＝①HEB＝90°，①AP①HE，①①BAP＝①BHE，又①Rt①BCH中，tan①BHC＝＝，①tan①HAP＝，故答案为：．3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若①ABC＝26°，则①ACD ＝°．【解析】延长DC，由题意可得：①ABC＝①BCE＝①BCA＝26°，则①ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128．4．(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（①）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图①；（①）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图①，两次折痕交于点O；（①）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图①．探究（1）证明：①OBC①①OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，①BCO＝①DCO＝①ADO＝①CDO＝45°①BC＝DE，①COD＝90°，OC＝OD，在①OBC①①OED中，，①①OBC①①OED（SAS）；（2）过点O作OH①CD于点H．由（1）①OBC①①OED，OE＝OB，①BC＝x，则AD＝DE＝x，①CE＝8﹣x，①OC＝OD，①COD＝90°①CH＝CD＝AB＝＝4，OH＝CD＝4，①EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4在Rt①OHE中，由勾股定理得OE2＝OH2+EH2，即OB2＝42+（x﹣4）2，①y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．考向2平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′①BD，故答案为：AC′①BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，①CBD＝①C'BD，①AD①BC，①①ADB＝①CBD，①①EDB＝①EBD，①BE＝DE．2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）ECB FCG∠=∠；（2）EBC FGC∆≅∆．【解析】证明：（1）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，A BCD由折叠可得，A ECG∠=∠，∴∠=∠，BCD ECG∴∠-∠=∠-∠，BCD ECF ECG ECF∴∠=∠；ECB FCG（2）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，AD BCD B=，由折叠可得，D G=，∠=∠，AD CG=，B G∴∠=∠，BC CG又ECB FCG∠=∠Q，∴∆≅∆．EBC FGC ASA()考向3正方形的折叠1．(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求①AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将①APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG①MN，FH①MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：①四边形ABCD是正方形，①①ABE＝①BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB①CD，过点B作BF①MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：①四边形MBFN为平行四边形，①NF＝MB，①BF①AE，①①BGE＝90°，①①CBF+①AEB＝90°，①①BAE+①AEB＝90°，①①CBF＝①BAE，在①ABE和①BCF中，，①①ABE①①BCF（ASA），①BE＝CF，①DN+NF+CF＝BE+EC，①DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI①AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：①四边形ABCD是正方形，①四边形ABIH为矩形，①HI①AD，HI①BC，HI＝AB＝AD，①BD是正方形ABCD的对角线，①①BDA＝45°，①①DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，①MN是AE的垂直平分线，①AQ＝QE，在Rt①AHQ和Rt①QIE中，，①Rt①AHQ①Rt①QIE（HL），①①AQH＝①QEI，①①AQH+①EQI＝90°，①①AQE＝90°，①①AQE是等腰直角三角形，①①EAQ＝①AEQ＝45°，即①AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则①APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，①AO＝OD，①AOD＝90°，①①ODA＝①ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG①CD于点G，过点P′作P′H①CD交CD延长线于点H，连接PC，①点P在BD上，①AP＝PC，在①APB和①CPB中，，①①APB①①CPB（SSS），①①BAP＝①BCP，①①BCD＝①MP A＝90°，①①PCN＝①AMP，①AB①CD，①①AMP＝①PNC，①①PCN＝①PNC，①PC＝PN，①AP＝PN，①①PNA＝45°，①①PNP′＝90°，①①P′NH+PNG＝90°，①①P′NH+①NP′H＝90°，①PNG+①NPG＝90°，①①NPG＝①P′NH，①PNG＝①NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在①PGN和①NHP'中，，①①PGN①①NHP'（ASA），①PG＝NH，GN＝P'H，①BD是正方形ABCD的对角线，①①PDG＝45°，易得PG＝GD，①GN＝DH，①DH＝P'H，①①P'DH＝45°，故①P'DA＝45°，①点P'在线段DO'上运动；过点S作SK①DO'，垂足为K，①点S为AD的中点，①DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，①AE＝5，在Rt①ABE中，BE＝＝3，①CE＝BC﹣BE＝1，①①B＝①ECQ＝90°，①AEB＝①QEC，①①ABE①①QCE，①＝＝3，①QE＝AE＝，①AQ＝AE+QE＝，①AG①MN，①①AGM＝90°＝①B，①①MAG＝①EAB，①①AGM①①ABE，①＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，①B'＝①B＝90°，①C'＝①BCD＝90°，①B'M＝＝，AC'＝1，①①BAD＝90°，①①B'AM＝①C'F A，①①AFC'①①MAB'，①＝＝，解得：AF＝，①DF＝4﹣＝，①AG①MN，FH①MN，①AG①FH，①AQ①FP，①①DFP①①DAQ，①＝，即＝，解得：FP＝，①FH＝FP＝．考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边①ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把①ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1①AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，①ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求①ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，①①ABC是等边三角形，①①A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，①PB＝4，①PB′＝PB＝P A＝4，①①A＝60°，①①APB′是等边三角形，①AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．①PE①AC，①①BPE＝①A＝60°，①BEP＝①C＝60°，①①PEB是等边三角形，①PB＝5，①①B，B′关于PE对称，①BB′①PE，BB′＝2OB①OB＝PB•sin60°＝，①BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．①B，B′关于直线l对称，①BB′①直线l，①直线l①AC，①AC①BB′，①S①ACB′＝S①ACB＝•82＝16．（4）如图4中，当B′P①AC时，①ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt①APE中，①P A＝2，①P AE＝60°，①PE＝P A•sin60°＝，①B′E＝6+，①S①ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．。

自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。

几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。

1.如图,等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是边AB,AC上的点,沿DE所在的直线折叠∠A,使点A的对应点P始终落在边BC上,若△BDP是直角三角形,则AD的长为.(第1题)(第2题)2.[2018周口地区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,D是BC上一动点(点D不与点B,C重合),连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为.3.[2018新乡一模]如图,菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M,N分别在边AD,AB上,且MN⊥AC,垂足为点P,把△AMN沿MN折叠得到△A'MN,若△A'DC恰为等腰三角形,则AP 的长为.4.[2018郑州外国语三模]如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=,BC=4,点D从点A出发,以每秒个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.5.[2017郑州适应性]如图,在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,1),过点A的直线l垂直于线段AB,点P是直线l上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为点C,把△ACP沿AP翻折180°,使点C落在点D处,若以A,D,P为顶点的三角形与△ABP相似,则所有满足此条件的点P的坐标为.6.[2017郑州八中三模]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P是射线BC上一个动点,连接AP,将△ABP沿AP折叠,当点B的对应点B'落在BC的垂直平分线上时,则BP的长为.7.[2017许昌二模]如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=15,点E是AD边上一点,连接BE,把△ABE沿BE折叠,使点A落在点A'处.点F是CD边上一点,连接EF,把△DEF沿EF折叠,使点D落在直线EA'上的点D'处.当点D'落在BC边上时,AE的长为.8.[2018信阳二模]在矩形纸片ABCD中,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线分别交边CD,AB于点E,F,则EF的长为.9.[2018平顶山二模]如图,已知矩形ABCD,AB=2,AD=6,点E,F分别是线段AD,BC上的点,且四边形ABFE是正方形,若点G是线段AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠,使得点C的对应点P落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,则线段AP的长为.10.[2018许昌一模]如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,点P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形的边交于E,F两点,要使折痕始终与边AB,AD有交点,BP 的取值范围是.11.[2017平顶山二模]如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=2,点P在线段AB上运动,设AP=x.现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原,则四边形EPFD为菱形时,x的取值范围是.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M,E在边AD上,点F在边AB上,并且DM=1,现将△AEF沿着直线EF折叠,使点A落在边CD上的点P处,则当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.[2019原创]如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点E,F分别是BC,AD上的动点,∠FEC为钝角,沿直线EF翻折矩形,点C,D的对应点分别为C',D',若C',D',B在同一条直线上,且=,则AF的长为.14.[2018四川泸州]如图,等腰三角形ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为.15.[2018河南省实验三模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB 的中点,P是射线BC上的一个动点,连接AP,PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EPA',若折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的,则此时BP的长为.参考答案1.4-6或3-∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.由折叠可知,AD=DP,设AD=DP=x,则BD=2-x.当∠DPB=90°时,DP=BDsin B,即x=(2-x),解得x=4-6;当∠BDP=90°时,DP=BDtan B,即x=(2-x),解得x=3-.故AD的长为4-6或3-.2.或在Rt△ABC中,BC===4.由折叠可知AE=AC=3,DC=DE.分三种情况讨论.①当∠DEB=90°时,如图(1)所示,点E与点F重合,EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4-x)2,解得x=,∴DE=.②当∠EDB=90°时,如图(2)所示,由折叠可知∠AED=∠C=90°,又∠EDB=90°,∴四边形ACDE为矩形,又∵AC=AE,∴矩形ACED为正方形,∴CD=AC=3,∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BCA,∴=,即=,解得DF=.③当∠EBD=90°时,AC∥BE,此时点A到BE的距离为BC的长,而AE=AC<BC,故此种情况不存在.综上可知,DF的长为或.图(1)图(2)3.或2-2由题意可知,当A'D=CD时,点A'与点A或点C重合,不符合题意,故需分以下两种情况讨论.①如图(1),当A'D=A'C时,∠A'DC=∠A'CD=30°,∴∠AA'D=60°,又∵∠CAD=30°,∴∠ADA'=90°,∴AA'===.由折叠可得AP=AA'=.②如图(2),当CA'=CD=4时,连接BD交AC于点O,则在Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×=2,∴AC=4,∴AA'=AC-A'C=4-4.由折叠可得AP=AA'=2-2.综上可知,AP的长为或2-2.图(1)图(2)4.,或根据题意可得AD=t,BE=4t,则BD=-t,CE=4-4t.易证△BDE∽△CEF,∴=,∴BD·CF=CE·BE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F在线段AC上,且AF=AD=t时,CF=BD=-t,∴(-t)2=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F在CA的延长线上,且AF=AD=t时,CF=+t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F在CA的延长线上,且DF=AD=t时,过点B作BM⊥AC,垂足为点M,设AM=x,由勾股定理可得AB2-AM2=BC2-CM2,即()2-x2=42-(+x)2,解得x=.取AF的中点H,连接DH,则∠HDA=∠MBA,∴sin∠HDA=sin∠MBA,即=,∴=,解得AH=t,∴AF=t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).综上所述,t的值为,或.图(1)图(2)图(3)5.(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4)∵点A(2,0),点B(0,1),∴OA=2,OB=1,AB==.由题意可得,△ACP≌△ADP,要使△ADP与△ABP相似,则△ACP与△ABP相似.由PA⊥AB,PC⊥x轴,易得△ACP∽△BOA,则==.(1)如图(1),当点P在x轴的上方时,设AC=m,则PC=2m,PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2+=,∴点P的坐标为(,1);②当△ACP∽△BAP时,有=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2+2=4,∴点P的坐标为(4,4).(2)如图(2),当点P在x轴的下方时,设AC=m,则PC=2m,则PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2-=,∴点P的坐标为(,-1);②当△ACP∽△BAP,∴=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2-2=0,∴点P的坐标为(0,-4).综上所述,点P的坐标为(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4).图(1)图(2)6.或如图,作BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.(1)当点P在线段BC上时,如图(1),过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F,易得AF=BE=BC=2,AB'=AB=3.设BP=B'P=x,B'E=m,则PE=2-x.易证△AB'F∽△B'PE,∴=,即=,∴m=x.在Rt△PB'E中,B'P2=PE2+B'E2,则x2=(2-x)2+(x)2,解得x1=,x2=(不合题意,舍去),此时BP的长为.(2)当点P在BC的延长线上时,如图(2),过点B'作B'M⊥BA交BA 的延长线于点M,过点P作PN⊥MB'交MB的延长线于点N,则四边形MBEB'是矩形,MB'=BE=2,AB=AB'=3,∴AM=.设BP=B'P=y,则NB'=y-2.易证△MAB'∽△NB'P,∴=,即=,则NP=.在Rt△NPB'中,由勾股定理,得NP2+B'N2=B'P2,即+(y-2)2=y2,解得y=(不合题意,舍去)或y=.图(1)图(2)7.或设AE=x,则DE=15-x,根据折叠的特征,得A'E=AE=x,D'E=DE=15-x,∠AEB=∠A'EB,A'B=AB=8,∴D'A'=15-2x.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠D'EB=∠CBE,∴D'B=D'E=15-x.在Rt△BA'D'中,由勾股定理,得A'B2+A'D'2=D'B2,即(15-x)2=82+(15-2x)2,解得x=.8.6或2分以下两种情况讨论.①如图(1),当点P在CD上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6,∴CP=BC,∴点C与点E重合,∴四边形PFBE是正方形,∴EF=6.②如图(2),当点P在AD上时,连接BP,过点E作EQ⊥AB于点Q,∵PD=3,AD=6,∴AP=3,∴PB===3.易得△ABP∽△QEF,∴=,即=,解得EF=2.综上,EF的长为6或2.图(1)图(2)9.4或4-2由折叠知PF=CF.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,BC=AD=6.∵四边形ABFE是正方形,∴AE=EF=FB=AB=2,∴FC=BC-FB=6-2=4,AF=2,∴FP=4.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点P落在BE的延长线上时,由正方形的性质可知,直线BE垂直平分线段AF,∴AP=FP=4.②如图(2),当点P落在EB的延长线上时,同理可得AP=FP=4.③如图(3),当点P落在FA的延长线上时,AP=FP-AF=4-2.综上,线段AP的长为4或4-2.图(1)图(2)图(3)10.1≤BP≤3①如图(1),当点F,D重合时,BP的值最小.根据折叠的性质知,PF=AF=5.在Rt△PFC中,PF=5,FC=3,则PC=4,∴BP=1.②如图(2),当点E,B重合时,BP的值最大.由折叠的性质可得BP=AB=3.故BP的取值范围是1≤BP≤3.图(1)图(2)11.2≤x≤5由题意知,DE=EP,DF=PF,要使四边形EPFD为菱形,只需DE=DF即可.如图(1),若点E在AD上,点F在BC上,此时DE≤2,而DF>5,∴DE≠DF,四边形EPFD不是菱形;如图(2),若点E在AD上,点F在CD上,∠EDF=90°,若DE=DF,则∠DEF=∠DFE=45°,此时四边形EPFD为正方形,则点E与点A重合,即图(3)为图(2)的特殊情形,此时AP=2;如图(4),若点E 在AB上,点F在CD上.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠PEF.由折叠的性质可知,∠DEF=∠PEF,∴∠DEF=∠DFE,∴DE=DF,此时四边形EPFD总是菱形.综上所述,当2≤x≤5时,四边形EPFD是菱形.图(1)图(2)图(3)图(4)12.如图,作点M关于直线CD的对称点M',连接M'B交CD于点P,此时PB+PM的值最小.∵四边形ABCD为矩形,∴DP∥AB,∴△M'DP∽△M'AB,∴=,即=,∴DP=.由折叠的性质可知AE=EP,设EM=a,则DE=1-a,EP=AE=1+a.在Rt△DEP中,DE2+DP2=EP2,即(1-a)2+()2=(1+a)2,解得a=.故当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.连接BF,∵=,∴=.∵D'C'=DC=4,∴BD'=2.设AF=x,则FD'=9-x.∵BF为Rt△ABF和Rt△BD'F的公共边,∴AB2+AF2=BD'2+D'F2,∴42+x2=22+(9-x)2,解得x=.14.18连接AD,∵EG垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴DF+DC=DF+AD,∴当A,D,F三点共线时,DF+DC的值最小,最小值就是线段AF的长.过点A作AH⊥BC于点H,∵BC·AH=120,BC=20,∴AH=12.∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH=10.∵BF=3FC,∴CF=FH=5,∴AF===13,∴DF+DC的最小值为13,∴△CDF周长的最小值为13+5=18.15.2或2∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,∴AB=4,AE=AB=2,BC=2.分以下两种情况讨论.①若PA'与AB交于点F,连接A'B,如图(1).由折叠的性质可知S△A'EP=S△AEP,A'E=AE=2.∵点E是AB的中点,∴S△BEP=S△AEP=S△ABP.由题可知S△EFP=S△ABP,∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A'EP,∴EF=BE=BF,PF=A'P=A'F,∴四边形A'EPB是平行四边形,∴BP=A'E=2.②若EA'与BC交于点G,连接A'B,如图(2).同理可得GP=BP=BG,EG=EA'=×2=1,∴四边形A'BEP是平行四边形,∴A'P=BE=AE,且A'P∥BE,∴四边形A'PAE是平行四边形,∴AP=A'E=2,∴AP=AC,即点P与点C重合,∴BP=BC=2.综上所述,BP的长为2或2.图(1)图(2)。

中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。

小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（）A. 125°B. 80°C. 75°D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。

1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。

折叠的性质数学初中知识点数学是一门充满奥秘和美妙的学科，而数学中有一类有趣的性质叫做“折叠的性质”。

这些性质常常出现在初中数学中，帮助我们解决问题和理解数学概念。

本文将介绍一些常见的折叠性质，以及它们在数学中的应用。

1.线段的对称性：当我们将一段线段沿着中点对折时，两边的长度和形状是完全一样的。

我们可以用一张纸条来演示这个性质。

将纸条对折，使得两边长度相等，然后展开纸条，你会发现原来的线段被纸条分成了两段，而这两段是完全相同的。

这个性质在几何证明和图形构造中经常被使用。

2.角的对称性：与线段类似，角也有对称性。

当我们将一个角沿着顶点对折时，两边的夹角和形状是完全一样的。

这个性质在解决几何问题和证明中非常有用。

例如，我们可以利用角的对称性证明两个角相等，或者根据已知的角来构造相等的角。

3.图形的对称性：在平面几何中，图形的对称性是一个非常重要的性质。

当我们将一个图形沿着某个轴线对折时，两边的形状是完全对称的。

例如，当我们将一个长方形沿着中轴线对折时，可以得到两个形状完全相同的矩形。

这个性质在解决图形的性质和构造中非常有用。

4.数轴的对称性：数轴也有对称性。

当我们以0为中心，将数轴对折时，两边的数值是完全对称的。

例如，数轴上的点1和-1、点2和-2、点3和-3等等，都是关于0对称的。

这个性质在解决数轴上的问题和理解正负数的概念时非常有用。

5.函数的对称性：在函数图像中，对称性也是一个重要的性质。

例如，当一个函数的图像关于y轴对称时，我们称之为偶函数；当一个函数的图像关于原点对称时，我们称之为奇函数。

对称性不仅帮助我们理解函数的性质，还可以简化函数的求解和计算。

6.等式的对称性：在代数中，等式的对称性是一个十分有用的性质。

当等式两边互换位置后仍然成立时，我们称之为对称等式。

例如，a + b = b + a就是一个对称等式。

这个性质在解决方程和证明中经常使用。

通过了解和应用这些折叠性质，我们可以更好地理解数学概念，解决问题，并提高数学思维能力。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中，平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。

它们是几何变换中的重要内容，不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形，还可以应用于解决实际问题。

本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结，以便更好地掌握这些知识。

一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而形状、大小和方向保持不变。

常见的平移有水平平移和垂直平移两种。

水平平移是指固定图形的上下位置，只使图形在水平方向上移动。

具体操作方法是，对于平面坐标系中的点(x, y)，进行水平平移时，只需将点的横坐标x加上一个固定的值h，y坐标保持不变。

公式表示为：(x+h, y)。

垂直平移则是将图形固定在水平位置上，只使图形在垂直方向上移动。

对于给定的点(x, y)，只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k，x坐标保持不变。

公式表示为：(x, y+k)。

在实际应用中，平移可以帮助我们解决很多问题，比如：将某物体从一个位置平移至另一个位置，或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。

二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。

旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。

顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。

对于给定的点(x, y)，按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。

逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。

对于给定的点(x, y)，按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。

旋转是一个很有趣的几何变换，我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。

三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠，使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。

初三数学翻折技巧数学翻折是数学中常用的技巧之一，也是初三数学常考的知识点。

通过翻折，我们可以快速判断几何图形中的对称性质，进而简化问题，快速解题。

下面，我将为大家介绍初三数学中常用的数学翻折技巧。

一、对称性质的判断在几何图形中，对称性质是我们常需要考虑的一个重要问题。

对称现象在我们周围无处不在，如镜面对称、中心对称、轴对称等等。

下面，我们就来介绍几种情况下的对称性质判断。

1. 图形的中心对称性质对于一个图形，如果可以将其平分成两个完全相同的部分，那么这个图形就具有中心对称性质。

我们可以通过折叠来判断图形是否具有中心对称性质。

把图形沿着某一个方向对折，如果两个部分完全重叠，则说明这个图形具有中心对称性质。

如图1所示，三角形ABC就具有中心对称性质。

二、固定点的应用在许多数学问题中，我们需要找出一个点，使得这个点可以适当地旋转或移动几何图形，使得问题更简单或更易于解决。

这个点就称为固定点。

下面，我们就来介绍几种情况下固定点的应用。

1. 构造等腰三角形对于一个三角形ABC，如果我们需要构造一个点D，使得AD=BC，BD=AC，并且D在直线AB上，那么我们可以这样做：首先，在AB上任取一点E，连接CE，然后以E为中心，以AC为半径画一条圆。

这个圆与直线BC的交点为F，AF与BC的交点为D。

如图4所示，我们便可以得到一个等腰三角形ABC。

2. 求线段中点对于一个线段AB，如果我们需要找到它的中点C，可以这样做：首先，将一张纸沿着AB的方向折成两半，然后把一个折好的纸片再沿着AC的方向对折，此时，对折处的点即为线段AB的中点。

如图5所示，我们便可以找到线段AB的中点C。

3. 构造正方形对于一个不规则的四边形ABCD，如何构造一个正方形EFGH，使得E在AB上，F在BC 上，G在CD上，H在DA上？我们可以这样做：把这个不规则的四边形沿着一条对角线折成两半，将其中的一半翻折过来，然后将左半部分顺时针旋转90°后与右半部分重叠，此时重叠部分即为正方形EFGH。

专题 图形的折叠问题一．选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使得点B 落在点B ′处，则点B ′到线段BC 的距离为( )．A.2572 B.1336 C. 4 D.4357 2. 如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 为等边三角形，且S △CDE ＝3，则CD 的长为（ ）．A.√3B. 2√3C. 3D. 23. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E 、F 、H 在同一直线上，若AB ＝6，BC ＝8，则CG 的长是( )．A. 3B.2C. 2.5D.4.54. 如图，在菱形ABCD 中，BD ＝211，AC ＝10，点P 在对角线AC 上，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′C ＝A ′D ，则AP 的长为( )．A.25 B.21 C. 3 D.43 二．填空题5. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 上一点，连接AE ，将△DEC 沿DE 所在的直线对折，使得点C 落在AE 上的点F 处，连接BF ，若EF ＝13AE ，AB ＝1，则AF ＝________．6. 如图，边长为4的菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________．7. 如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为________．8. 将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，且顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，F ，O 在另一条直线上，若AB ＝2，则AD 的长为 .9.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上的点，将△ADE沿直线DE翻折，使得点A与BC边上的点G重合，连接AG交DE于点F，若AD＝6，EF＝1，则AB的长为.10.如图，正方形ABCD，E为BC边的中点，连接AE，点P是边CD上一点，沿AP折叠使D点落在AE上的H处，延长PH交BC于F点，若EF＝1，则AB的长为.三．解答题11.如图，矩形ABCD中，△BCD沿BD折叠，使点C落到点E处，BE与AD相交于点F，点O是BD的中点，连接FO并延长交BC于点G，若AB＝6，AD＝8，（1）求证：四边形BFDG是平行四边形（2）求FG的长。