3.2.3直线的一般式方程(最新)

一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <【答案】C【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题． 2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=0【答案】D【解析】因为直线过A (2,-1),B (-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为()()125142y x ---=----,化为一般式得x+y-1=0.故选D.3．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．3【答案】B【解析】直线（a ﹣4）x +y +1=0与直线2x +3y ﹣5=0垂直，可得2（a ﹣4）+3=0，解得a =52． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的条件，可得2（a ﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．4．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=【答案】B【解析】已知直线310x y -+-=的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 故选B.【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程. 5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >0【答案】D6．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=0【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=.由122 1361ababab=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y+=，即为3x ＋y−6=0.7．已知直线(2m 2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或12【答案】A【名师点睛】本题考查直线的截距，注意验证直线是正确解题的关键，属于基础题.由题意可知，直线过点()1,0，代入可得关于m的方程，解方程注意验证直线即可.二、填空题8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.【答案】【解析】由题可得，该直线的斜率为,所以该直线的点斜式方程为，其一般式方程为.9．已知直线222()(0)32a x a a y a++---=在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．【答案】415-【解析】把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3−2a=0，∴a=−6，∴直线方程为−4x＋45y＋12=0.令x=0，得415y=-.10．已知直线1:210l ax y--=，直线2:l320x y+-=，则1l过定点_________；当a=________时，1l 与2l平行．【答案】10,2⎛⎫-⎪⎝⎭23-【解析】直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =⎧⎨+=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以直线1l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当1l 与2l 平行时，则有23=-，解得23a =-，即23a =-时，1l 与2l 平行． 【名师点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成()(),,0f x y kg x y +=（k 为参数）的形式，解方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得定点的坐标．将直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =+=且可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程. 【解析】由直线34120x y +-=，得其斜率为34-， （1）因为所求直线与l 平行，则所求直线的斜率34k =-， 又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()3314y x -=-+，即3490x y +-=. （2）因为所求直线与l 垂直，则所求直线的斜率43k =，又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()4313y x -=+，即43130x y -+=. 【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. 【解析】（1）∵12l l ⊥，∴()20m m m -+=，解得0m =或1m =.（2）当0m =时，P 为（1,0），2:3l y =，不合题意； 当1m =时，P 为（1,2），2:30l x y +-=，符合题意. ∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，当直线l 过原点时，可设l 的方程为y kx =，将点P （1,2）代入得2k =， ∴此时l 为2y x =;当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为x y λ-=，将点P （1,2）代入得1λ=-， ∴此时l 为10x y -+=.综上可得直线l 的方程为2y x =或10x y -+=.。

第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程一、选择题1. 如果ac<0，且bc<0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知直线l1：(k-3)x+(4-k)y+1=0，与l2：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是（）A.1或3B.1或5C.3或5D.1或23.直线过点(-3，-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为（）A.2x-3y=0B.x+y+5=0C. 2x-3y=0或x+y+5=0D. x+y+5=0或x-y+5=04.无论常数k为何值时，直线kx-y+1=3k都过定点（）A.(0，0)B.(0，1)C.(2，1)D.(3，1)5.直线x-y+3=0的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°6. 直线cos20xα+=的倾斜角范围是（）A.5[,](,)6226ππππB.5[0,][,)66πππC.5[0,]6πD.5[,]66ππ二、填空题7.直线50x-=的倾斜角为________.8. 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程是________.9. 若直线l1：x+2my-1=0与l2：(3m-1)x-my-1=0平行，则m的值为________．10.直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，则实数a的值为________.三、解答题11. 已知直线l ：3x+4y+1=0和点A(1，2)，求：（1）过点A 与l 平行的直线l 1的方程；（2）过点A 与l 垂直的直线l 2的方程.12. 设直线l 的方程为22(23)(21)26m m x m m y m --++-=-，分别根据下列条件确定m 的值.①在x 轴上的截距是-3；②l 的斜率为-1.。

3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．(重点)2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点) 3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点) 基础·初探教材整理1 直线方程的两点式和截距式，1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 教材整理2 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.预习自测2.已知A (1,2)及AB 的中点(2,3)，则B 点的坐标是________． 教材整理3 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率．预习自测3.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 合作学习类型1 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 名师指导求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 跟踪训练1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________； (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 类型2 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 名师指导用截距式方程解决问题的优点及注意事项1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．2．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．跟踪训练2．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．探究共研型探究点直线一般式方程的应用探究1已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程的五种形式？探究2直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？探究3当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？名师指导1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C).②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.)跟踪训练3．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m为何值时：(1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？课堂检测1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝02．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A．x4＋y3＝1 B．x3＋y4＝1C．x4－y3＝1 D．x3－y4＝13．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________.4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为__________．5．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．参考答案预习自测1.【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B. 预习自测2. 【答案】 (3,4)【解析】 设B (x ，y )，则⎩⎨⎧1＋x2＝2，2＋y2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即B (3,4)． 教材整理3 直线的一般式方程 1． Ax ＋By ＋C ＝0 预习自测 3. 【答案】 D【解析】 将3x －2y ＝4化为x 43＋y－2＝1即得．合作学习类型1 直线的两点式方程例1 【解析】 (1)由两点式直接求BC 所在直线的方程； (2)先求出BC 的中点，再由两点式求直线方程．解：(1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 跟踪训练1．【答案】 (1)x ＝2 (2)－2【解析】 (1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2. 类型2 直线的截距式方程例2 【解析】 解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．解：法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. 跟踪训练2．解：设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究共研型探究点 直线一般式方程的应用探究1 【答案】 能．直线l 的斜率k ＝3－00－2＝－32，点斜式方程y －0＝－32(x －2)；斜截式方程y ＝－32x ＋3；两点式方程y －03－0＝x －20－2；截距式方程x 2＋y3＝1，一般式方程3x ＋2y －6＝0.探究2 【答案】 坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性．探究3 【答案】 (1)若A ＝0，则y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，则x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．(3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．例3 【解析】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证． 解：(1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5y －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由题意知直线l 1⊥l 2. ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 跟踪训练3． 解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行． 当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m2，在y 轴上的截距b 1＝－4，l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m .∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2. 课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由两点式方程得y －01－0＝x －32－3，整理得x ＋y －3＝0. 2．【答案】 C【解析】 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3， 所以直线方程为x 4＋y－3＝1.3．【答案】 x －2y ＋7＝0【解析】 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0， 将点A (－1,3)代入，可得m ＝7， 所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0. 4．【答案】 4【解析】 由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 5．解：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.。

3．2.3 直线的一般式方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－C A，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．知识点二类型一 直线一般式的性质例1 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________.(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.答案 (1)－53(2)－2 解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3， 得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53. (2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练1 (1)若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足________．答案 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2， ∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，∴a ≠－2.(2)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，①若l 在两坐标轴上的截距相等，求a ；②若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 ①令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1， ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1， 得a ＝2或a ＝0.②由①知，在x 轴上截距为a －2a ＋1， 在y 轴上的截距为a －2，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a －2a ＋1≥0，a －2≤0，得a <－1或a ＝2.类型二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列直线的位置关系：(1)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：3y －2x ＋4＝0；(2)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：－4x ＋6y －8＝0；(3)l 1：(－a －1)x ＋y ＝5，l 2：2x ＋(2a ＋2)y ＋4＝0.解 (1)直线l 2的方程可写为－2x ＋3y ＋4＝0，由题意知2－2＝－33≠44，∴l 1∥l 2. (2)由题意知2－4＝－36＝4－8， ∴l 1与l 2重合．(3)由题意知，当a ＝－1时，l 1：y ＝5，l 2：x ＋2＝0，∴l 1⊥l 2.当a ≠－1时，－a －12≠12a ＋2， 故l 1不平行于l 2，又(－a －1)×2＋(2a ＋2)×1＝0，∴l 1⊥l 2，综上l 1⊥l 2.反思与感悟 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练2 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.类型三 求平行、垂直的直线方程例3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案 D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限．3．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，(1)若l 1∥l 2，则m ＝________.(2)若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3， 得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12. 4．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程3＋4×2＋C ＝0得C ＝－11，∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．1．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6 答案 B解析 令y ＝0，则x ＝2m m ＋2， 由题意知，2m m ＋2＝3， 得m ＝－6.2．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将x ＝－1，y ＝3代入2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3．已知直线(2＋m －m 2)x －(4－m 2)y ＋m 2－4＝0的斜率不存在，则m 的值是( )A ．1 B.34 C ．－2 D ．2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝0，2＋m －m 2≠0，解得m ＝－2. 4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1答案 D解析 原方程可化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 可设与直线x －2y －2＝0平行的直线的方程为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程是x －2y －1＝0.6．若ac <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )答案 C解析 令y ＝0，得x ＝－c a， ∵ac <0，∴－c a >0.令x ＝0，得y ＝－c b， ∵bc <0，∴－c b>0， ∴与x 轴、y 轴截距均为正值，故选C.7．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________.答案 －23解析 由题意知，斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1，∴2a 2－7a ＋3a 2－9＝－1，且a 2－9≠0， 解得a ＝－23. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案 ±3解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0得，x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴在x 轴上的截距为－c 4＝±3. 10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 的取值范围是________． 答案 a ≠±1解析 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0,0)点，而x ＋ay ＝3不过(0,0)点，只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线，(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．解 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )， 由⎩⎨⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。

3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1．知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、自学导引1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.32B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．答案：1．D 2.D 3.A 4.A 5．－4156．0或－1 三、典例精析例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 例2 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.四、自主反馈1．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是()2．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( )A ．a ＝bB ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝03．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________________．答案：1．C 2．D 3．x －y ＋1＝0。

3.2.3直线的一般式方程教学目标1、明确直线方程一般式的形式特征，会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距，会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、认识事物之间的普遍联系与相互转化，用联系的观点看问题。

教学重点：直线方程的一般式。

教学难点：对直线方程一般式的理解与应用。

教学过程：一、复习准备：1.写出下列直线的两点式方程.①经过点A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与()22,C-二、新课探究：问题1：直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0++=（A,B不同时为0）都表示直线吗？Ax By C关于,x y的二元一次方程:0++=（A,B不同时为0）---(1)它是否表示一条直线？Ax By C①当0B≠,(1)式可化为 ,这是直线的式.②当0A≠时, (1)式可化为 .这也是直线方程.B=,0直线的一般式方程: 关于,x y的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.（做一做1）2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？（1）直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

（2）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要求时，求直线方程的结果写成一般式。

3.探讨直线0A B C为何值时,直线++=,当,,Ax By C①平行于x轴②平行于y轴③与x轴重合④与y轴重合.三、例题讲解例1:已知直线经过点(6,4),斜率为43-,求直线的点斜式和一般式方程.例2:把直线l的一般方程3250y x-+=化成斜截式方程,求直线l与x轴、y轴的截距,画出图形.随堂练习1.书本99页练习1.22.设直线l的方程为(2)3m x y m++=,根据下列条件分别求的值.①l在x轴上的截距为2-. ②斜率为1-3．若直线0=++CByAx通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）(A)A、B、C (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<04．已知直线l经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．四.课堂小结:（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。