高等数学微积分习题

高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。

令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。

然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。

因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。

(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。

2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。

令f'(x) = 0，解得x = ln6。

然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。

因此，函数在x = ln6处取得极值。

(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。

第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。

第一学期《高等数学（微积分）》（专）复习题一、单选题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png（5分）Aimage.pngB不存在C1D0纠错正确答案C2.image.png（5分）Aimage.pngB1C1/3D-1正确答案B3.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C4.下列函数中，有界的是（）。

（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A5.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B6.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C7.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（）。

（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A8.image.png（5分）Bimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案B9.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C10.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A二、简答题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png ____（5分）正确答案1正确答案2.image.png ____（5分）正确答案R正确答案3.image.png ____（5分）正确答案image.png正确答案4.image.png ____（5分）正确答案x=1正确答案5.image.png（5分）正确答案-3正确答案6.image.png（5分）正确答案2正确答案7.image.png ____（5分）正确答案-6正确答案8.image.png ____（5分）正确答案（-5,2）正确答案9.image.png（5分）正确答案y=2x正确答案10.image.png ____（5分）正确答案-3/2正确答案第一学期《高等数学（微积分）》（专）在线作业练习题一、单选题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png（5分）B1C1/3D-1纠错正确答案B2.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C3.image.png（5分）Aimage.pngB不存在C1D0正确答案C4.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A5.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C6.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B7.下列函数中，有界的是（）。

1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。

(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。

2） 由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。

2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。

解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。

解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。

解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。

解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

高等数学微积分试题1. 给定函数$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 2$，求其在区间$[-1,2]$上的定积分$\int_{-1}^{2} f(x)dx$。

解析：首先，我们需要计算函数$f(x)$的不定积分，然后再求出在给定区间上的定积分值。

计算不定积分：对于多项式函数$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 2$，我们可以逐项求导得到原函数。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 2) = x - 3$因此，不定积分为：$\int f(x)dx = \int(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 2)dx = \frac{1}{6}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$其中，$C$为常数。

计算定积分：利用定积分的性质，我们可以将定积分转化为不定积分：$\int_{-1}^{2}f(x)dx = F(2) - F(-1)$其中，$F(x)$是$f(x)$的不定积分。

$F(2) = \frac{1}{6}2^3 - \frac{3}{2}2^2 + 2 \cdot 2 + C = \frac{8}{6} - \frac{12}{2} + 4 + C = \frac{8}{6} - 6 + 4 + C = -\frac{1}{3} + C$$F(-1) = \frac{1}{6}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + C = -\frac{1}{6} - \frac{3}{2} - 2 + C = -\frac{1}{6} - \frac{9}{6} - \frac{12}{6} + C = -\frac{22}{6} + C = -\frac{11}{3} + C$将结果代入定积分公式：$\int_{-1}^{2}f(x)dx = (-\frac{1}{3} + C) - (-\frac{11}{3} + C) =\frac{10}{3}$因此，函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上的定积分为$\frac{10}{3}$。

北京邮电大学高等函授教育一年级第一学期《高等数学(微积分)》综合练习题与解答经济管理、电子邮政专业 第一部分 练习题一、判断题1. 设)(x f 的定义域为)1,(-∞，则)11(2x f -的定义域为（0，1）. 2. 设)(x f 的值域为)1,(-∞,则)(x arctgf 的值域为)4,2(ππ-. 3. 2)1(--x e 是偶函数. 4. xxy +-=11ln是奇函数. 5. e x xx =+∞→1)1(lim6. 设)(u f 是可导函数，则2sin 22)(cos 2)(sin x u u f x x x f dxd='=. 7. 设函数)(x e f y -=可微,则dx e f e dy x x )(--=. 8. 设dx xx df 211)(+=,则arctgx x f ='')(. 9. ⎰=)()()()(x df x f x df x f dxd. 10. ⎰+'=''c x f dx x f )()(.11.0sin 2112=+⎰-dx x tgx.12. 如果1102=+⎰+∞dx x A ,则常数π2=A .13. 如果级数∑∞=1n nu发散,则0lim ≠∞→n n u .14. 级数)0(1>∑∞=x xn n收敛的充分必要条件是1<x .15. 级数∑∞=11n pn收敛的充分必要条件是1>p . 16. 如果1)43(1=∑∞=n na ,则常数41=a . 17.0),(),(0x x y y x x y x f y x f x==='=∂∂.18. 设xy x z =,则1-=∂∂xy xyx xz. 19.)()](,[x y f f x y x f dxdy x ''+'=. 20. 设v u f 、、都是可微函数,则xv f x u f y x v y x u f x v u ∂∂'+∂∂'=∂∂)],(),,([. 二、单项选择题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 则)(x f 的定义域为___________.A.),(+∞-∞B.)2,2[-C.]2,(-∞D.]2,2[- 2. 设)(x f 的定义域为),0,(-∞则函数)(ln x f 的定义域是_______. A.),0(+∞ B.]1,0( C.),1(+∞ D.(0,1) 3. 设)1()1(-=-x x x f ,则)(x f =_________.A.)1(-x xB.)1(+x xC.)2)(1(--x xD.2x 4. 下列函数中,奇函数为____________. A.)sin(cos x B.)1ln(2++x x C.xx tgx -+11lnD.xe sin 5. =+∞→1sin limn nn _____________.A.0B.1C.1-D.∞6. 当0x x →时,α和β都是无穷小,下列变量中,当0x x →时可能不是无穷小的是___________.A.βα+B.βα-C.αβD.)0(≠ββα7. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续,则=k _________.A.0B.1C.2D.1- 8. 设)(x f 在点0x 可导,则=--+→hh x f h x f h 2)()(lim000___________.A.)(0x f 'B. )(0x f '-C. )(20x f 'D. )(20x f '- 9. 设)(u f 可导,则=)(sin 2x f dxd____________. A.)(sin sin 22x f x ' B.)(sin cos 22x f x 'C. )(sin 2sin 2x f x 'D. )(sin cos sin 2x f x x '10. 已知3)0(,0)0(='=f f ,则=→xx f x )2(lim 0___________.A.3B.3-C.6-D.611. ___________满足罗尔定理的条件.A.2)(x x f =在]3,0[上B.21)(x x f =在]1,1[-上 C.x x x f -=3)( 在]3,0[上 D.x x f =)(在]1,1[-上 12. =)(x f ________是2sin x x 的一个原函数.A.2c os 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x - 13. 设)(x f 在],[b a 上连续,),(0b a x ∈且是常数,则=⎰0)(x adt t f dx d _________.A.)(0x fB.0C.)()(0a f x f -D.)(0x f ' 14.=⎰-883dx e x ________.A.0B. ⎰8032dx exC.⎰-22dx e xD.⎰-2223dx e x x15. 设1012=+⎰+∞∞-dx x A,则=A ___________. A.π10 B.10π C.π10 D.π10- 16. 如果0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=1n nu___________.A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛 17. 如果级数∑∞=-111n p n收敛,则p 应满足___________.A.2>pB.1>pC.0>pD.0<p 18. 设常数0>k ，则级数∑∞=--112)1(n nn k___________. A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与k 有关19. 设yx z +=12,则=∂∂y z__________.A.y x+12 B.22)1(y x +- C.221y x +- D.22)1(y x + 20. 二次积分交换积分顺序后=⎰⎰yydx y x f dy ),(1____________.A. ⎰⎰102),(x xdy y x f dx B.⎰⎰12),(xx dy y x f dxC.⎰⎰21),(xxdy y x f dx D.⎰⎰21),(x xdy y x f dx三、填空题1. 函数xxy -+=11ln的定义域是_______________________________.2. 设⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,3)(x x x x x f ⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x g x 则=)]1([g f ___________,当1>x 时, )]([x g f 的表达式为____________________.3. 函数1--=x y 的反函数为_____________________.4. 设函数)(x f 满足x x f =)(log 2, 则)(x f =_________________.5. 设xxx f +-=11)(, 则=)]([x f f __________________________. 6. 函数x y 2cos1π+=的最小正周期是_______________.7. 设x e x f =)(且0>x ,则=-)ln (x f __________________.8. 设函数)(x f 在0=x 处连续,且0≠x 时,xx x f 1)21()(-=,则=)0(f __________. 9. 设1)0(='f ，则=-→xf x f x )0()2(lim_______________.10. 曲线x x y ln 2-=在点(1,1)处的切线方程为_______________________. 11. 设)(x f 可导且2)1(='f , 则==1)(x x f dxd_______________.12. 设1)(+=x xx f ，则=)(x df _______________________. 13. 设x x f dxd=)(ln , 则='')(x f ______________________. 14. 设)1(1)(22x d xx x df +=, 则=)(x f _________________, =')(x f ____________, ='')(x f ___________________________.15. 设)(x f 的一个原函数为x ln , 则=')(x f ________________. 16. 设c x dx x f ++=⎰211)(, 则)(x f =_____________________.17.=''⎰dx x f x )(_________________________________________.18. ⎰=)(x xdf d ______________dx . 19. 设)(x f 是连续函数, 若⎰=+xcdt t f x )(4053, 则=)(x f __________,=c _____.20. =⎰ax dt t f dx d )(_______________________.21. =⎰xdt t xf dxd 0)(_________________________________. 22. 设112=⎰adx x , 则=a ______________________.23.='⎰xdt t f t 02)(______________________________.24. 设)(x f 在[0,1]上连续, 则积分⎰1)(dt at f 经变换)0(≠=a at u 后为___________________________________. 25. 设)(x f 在],[l l -上连续,且为奇函数,2)(0=⎰ldx x f , 则=⎰-0)(ldx x f __________.26. 在],[b a 上, 函数)(x f 连续且0)(≤x f , 则由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积S 的积分表达式为__________________________________.当b a =时, S=_______________.27. 如果级数∑∞=1)31(n na 的和为1, 则=a ___________________. 28. 设x xy z )(=, 则=∂∂xz__________________. 29. 设22yx xz +=, 则=∂∂x z __________________. 30. 交换积分顺序后, =⎰⎰102),(yy dx y x f dy _______________________________.四、计算题1. 求下列各极限(1)2211limxx x +-→ (2)22312lim4---+→x x x(3))11(lim 22+--+++∞→x x x x x (4)11lim 31--→x x x(5)x x x )21(lim -∞→ (6)xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim(7)]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→ (8)xx x 220sin arcsin lim → (9)设⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+=0,30,sin 11)(x a x x x x x f 且)(lim 0x f x →存在,求常数a 的值.(10)30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→ (11))1(log 22lim 20x xx x +--→(12)x ctgx x ln ln lim 0+→ (13)x x x cos 1)1ln(lim 20-+→(14)20)1(lim tgx e x x x -→ (15))sin 11(lim 0x x x -→ (16)xtdt xx ⎰→02sin lim(17)3sin lim2xx dt e xt x -⎰→(18))12753(lim 2222nn n n n n +++++∞→ 2. 求导数或微分(1) 设212sin xxy +=,求y '. (2) 设)1ln(2x x y ++=,求y '. (3) 设x x xarctg y ln 1+=,求y ''. (4) 设)(2)(x fe x =ϕ,且)(1)(x f x f =',证明:)(2)(x x ϕϕ='. (5) 设1)sin(=-y xy ,求dy . (6) 设133=-+y y x ，求y '.(7) 设y y x -=+3)ln(2,求dy . (8) 设y xe y +=1,求y y x '''=,0.(9) 设x x y )(ln =,求y ' (10) 设x x x x y sin +=,求y '. (11) 设)ln(22a x x xa y x +++=,1,0(≠>a a 且为常数),求0='x y .(12) 设x xy n ln )2(=-,求nn dxy d . (13) 求⎰-12x t dt e dxd (14) 设⎰+=2211)(x xdt tx p ,求)(x p '.(15) 设)sin(x ye z x +=,求yzx z ∂∂∂∂,. (16) 设xyxe z =,求yzx z ∂∂∂∂,. (17) 设y x e z xy 2+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (18) 设z y z x ln =,求yzx z ∂∂∂∂,. 3. 计算下列各积分 (1)⎰+dx x x x sin cos 2cos (2)⎰-dx x sin 11(3)⎰+dx xxln 11 (4)⎰+++dx x arctgxx 211(5)⎰-dx x x2211(6)⎰xdx x ln 2(7)⎰xdx x ln (8)⎰xdx x 2cos(9)⎰xdx x 2sin (10)⎰xdx arcsin(11)⎰dx x sin (12)⎰+101dx e e xx(13)⎰++4122dx x x (14)⎰-312dx x(15)设⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x求⎰-21)(dx x f(16)⎰-4sin ππdx x (17)⎰''tdx x f x 0)((18)⎰+∞-02dx e x x(19)D ydxdy xD,2⎰⎰是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域.(20)⎰⎰++Ddxdy y x2211,其中1:22≤+y x D .五、判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛 1.∑∞=+131n n n 2.∑∞=+1)1(1n n n 3.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n n n n 4.∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-1sin 321n nn n n 5.∑∞=1!n n n n 6.∑∞=--111)1(n n n7.∑∞=+-1)!12()1(n n n 8.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n9.∑∞=+131cos n n n 10.∑∞=-121)1(n nn六、应用题1. 设曲线x x y ln 2+=上的点),(00y x M 处的切线平行于直线x y 4=,求点M 的坐标.2. 讨论函数2332x x y -=的单调性与极值.3. 求函数x x e e y -+=2的极值.4. 求由曲线0,1,3===x y x y 所围成的平面图形的面积(要画图).5. 求由曲线2,1,4===x xy x y 及x 轴所围平面图形的面积(要画图).6. 求由曲线212x y +=与2x y =所围平面图形的面积. 七、证明题1. 已知)(2)(x fa x =ϕ且ax f x f ln )(1)(=',证明:)(2)(x x ϕϕ='2. 证明:⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.第二部分 解答一、判断题1. ×2. √3. ×4. √5.×6. √7. ×8. ×9. × 10.√ 11. √ 12. √ 13. × 14. √ 15. √ 16. × 17. √ 18. × 19. √ 20. √ 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.A 18.B 19.B 20.B 三、填空题1.)1,1(-2. 1, x ln ln3.0,12≤+=x x y4. x 25. x6. 47.x18. 2-e 9. 2 10. x y =11. 1 12.dx x x x 2)1(21+-13. x e 22 14. 222)1(2,11,x xxc arctgx ++-+- 15.21x - 16. 22)1(2x x +- 17. c x f x f x +-')()( 18. )(x f x ' 19. 2,152-x 20. )(x f -21. )()(0x xf dt t f x+⎰22. 32-23.)]0()([212f x f - 24. ⎰adu u f a)(125. 2- 26. ⎰-b adx x f )(, 027. 2 28. )]ln(1[)(xy xy x +29. 22222)(y x x y +- 30. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(1四、计算题 1.求下列极限 (1) 2)11(lim 11lim2022-=++-=+-→→x x x x x(2) 232312)22(2lim22312lim44=+++-=---+→→x x x x x x(3) 112lim )11(lim 2222+-+++=+--+++∞→+∞→x x x x xx x x x x x11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x(4) )1()1)(1(lim11lim 2131-++-=--→→x x x x x x x x 3)1(lim 21=++=→x x x(5) 222])21[(lim )21(lim ---∞→∞→=-+=-e xx xx x x(6) 2)11()11(lim 11lim e xx x x xxx xx =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→ (7) 1)11ln(lim ]ln )1[ln(lim =+=-++∞→+∞→xx x xx x x (8) 1arcsin sin lim sin arcsin lim22220220==→→x x x x x x x x (9) 21111sin limsin 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x x xxx x f x x x a a x x f x x =+=--→→)3(lim )(lim 0)(lim 0x f x → 存在)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=∴ 21=a （10）203031lim )1(2)1(lim xe xe x e e x x x x x x x +-=--+→→ （罗必塔法则）x xe xx 6lim0→= （罗必塔法则） 61= （11）exx x x x x x x 2020log 112ln )22(lim )1(log 22lim ++=+--→-→ （罗必塔法则）22)2(ln 2log 2ln 2==e（12）xx x xctgx x x 1cos sin 1lim ln ln lim 00-=++→→ （罗必塔法则） 1cos sin lim 0-=-=+→xx xx（13）xx x x x x x sin 12limcos 1)1ln(lim 2020+=-+→→ （罗必塔法则） 2sin )1(2lim20=+=→xx xx（14）22020cos 21lim )1(lim x x e xe tgx e x x x x x x -+=-→→ （罗必塔法则）x e xe x x x 21lim 0-+=→122lim 0=+=→xx x e xe （15）x x xx xx x x sin sin lim )sin 11(lim 00-=-→→ xx x x x cos sin 1cos lim 0+-=→ （罗必塔法则） x x x xx sin cos 2sin lim 0--=→ （罗必塔法则） 0=（16）xxx tdt x xx 22sin lim2sin lim02→→=⎰ （罗必塔法则）1= (17) 233cos limsin lim22xxex x dt e x x xt x -=-→→⎰（罗必塔法则） 216s i n 2l i m 20=+=→x x xe x x(18) 1)2(lim )12753(lim 22222=+=+++++∞→∞→n n n n n n n n n n2.求导数或微分（1）222)1(2sin 22cos )1(2x xx x x y +-+=' （2）22211]11[11xxx xx y +=++++='（3）21ln 1)1(1122++-+='x x x y21ln 112+++-=x xx x x y 21)1(222++='' （4）)()(2)()(2x f x f e x x f'⋅⋅='ϕ)(22x f e= ))(1)((x f x f =' )(2x ϕ= （5）等号两边微分0])[cos(=-+dy ydx xdy xy0)cos(]1)cos([=+-dx xy y dy xy xdx xy x xy y dy )cos(1)cos(-=∴（6）等号两边对x 求导03322='-'+y y y x22313y x y -='∴ （7）等号两边微分dy dy xdx yx -=++]2[12dy y x dx y x x )11(222++-=+dx y x xdy 122++-=∴ （8）等号两边对x 求导y xe e y y y '+=' （*）yyxee y -='∴1 （因当0=x 时，1=y ） e y x ='∴=0（*）式两边再求导y xe y xe y e y e y y y y y ''+'+'+'=''2)( 2)(2)1(y xe y e y xe y y y '+'=''-232)1(12y yy y xe xe xe e -+-=232)1(2y yy xe xe e --= 32)1()2(y yy xe e xe y --=''∴ （9）x x x e x y ln ln )(ln ==]ln 1ln [ln )(ln ]ln 1ln [ln ln ln xx x x x e y x x x +=+=' (10) x x x x x x e e x x y ln sin ln sin +=+=]sin ln [cos ]1[ln ln sin ln xxx x e x e y x x x x +++=' ]s i n ln [cos ]1[ln sin xxx x xx x xx+++= (11) ]1[1ln 2222ax x ax x a xa a y xx++++++='221]ln 1[ax a x a x +++=ay x 110+=='∴= (12) x x x x dx y d n n 211ln 1ln ln -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- xx x x x x xx x dx y d n n 342ln ln 2ln )1(ln ln 2ln 1-=--=∴ (13)][1122⎰⎰---=x t x t dt e dx d dt e dx d x e x21-=(14) ⎰⎰+++=2221111)(x xdt tdt tx p⎰⎰+++-=xx dt tdt t 02221111421211)(xx xx p +++-='∴(15))1)(cos(++=∂∂x x ye x ye xz)cos(x ye e yzx x +=∂∂ (16) x yx yx ye xy e x y e x z )1(-=-=∂∂x ye yz=∂∂ (17)xy ye xzxy 2+=∂∂ 2x xe yzxy +=∂∂ (18) 设zy z x z y x F ln ),,(-=221,1,1zxz z z x F y F z F z y x -=+-=-==z x z F F x z z x -=-=∂∂∴， )(2x z y z F F y z z y -=-=∂∂ 3.计算下列各积分(1)⎰⎰++=-=+c x x dx x x dx x x xcos sin )sin (cos sin cos 2cos(2) ⎰⎰+=-dx xxdx x 2cos sin 1sin 11 ⎰⎰-=x d x dx xcos cos 1cos 122 c xtgx ++=cos 1(3)⎰⎰-+=+x d x dx xxln )ln 1(ln 1121c x ++=ln 12 (4)⎰⎰+++++=+++dx x arctgxx x x dx x arctgx x )1111(112222⎰⎰⎰++++=tgx arctgxdarc dx x dx x222112111 c arctgx x arctgx ++++=22)(21)1ln(21(5) 令 tdt dx t x cos ,sin ==⎰⎰+-==-c c t g t dt tdx x x222sin 111c xx +--=21（6）⎰⎰=)31(ln ln 32x xd xdx x⎰-=dx x x x 2331ln 31 c x x x +-=3391ln 31 （7）⎰⎰=)32(ln ln 23x xd xdx x⎰-=dx x x x 212332ln 32 c x x x +-=232394ln 32 （8）⎰⎰=)2sin 21(2cos x xd xdx x ⎰-=x d x x x 2s i n 212s i n 21c x x x ++=2c o s 412s i n 21 （9）⎰⎰-=dx xx xdx x 22cos 1sin 2⎰⎰-=x d x x x d x 2c o s 2121c x x x x +--=2c o s 812s i n 41412(10)⎰⎰--=dx xx x x xdx 21arcsin arcsinc x x x +-+=21arcsin(11) 令tdt dx t x 2,==⎰⎰⎰-==)cos (2sin 2sint td tdt t dx x⎰+-=t d t t t c o s 2c o s 2c t t t ++-=s i n 2c o s2 c x x x ++-=s i n 2c o s 2（12）2ln )1ln()1ln(11010-+=+=+⎰e e dx e e x xx （13）令udu dx u x u x =-==+,2121,122 ⎰⎰+=++3124)2321(122du u dx x x 322)2361(313=+=u u （14）⎰⎰⎰-+-=-322131)2()2(2dx x dx x dx x=1 (15) 121213)(----=+=⎰⎰⎰e xdx dx e dx xf x(16)⎰-4sin ππdx x ⎰⎰--=040sin sin ππxdx xdx223cos cos 040-=+-=-ππxx(17)⎰⎰'-'=''tt tdx x f x f x dx x f x 000)()()()0()()()()(0f t f t f t x f t f t t +-'=-'=(18)⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=002022dx xe ex dx e x x x x⎰+∞-∞+-+-=0022dx e xex x220=-=+∞-xe(19)⎰⎰⎰⎰=2122122xDydy dx x ydxdy x ⎰-=2212)212(dx x29)2132(2213=-=x x (20)⎰⎰⎰⎰+=++1022022111dr r rd dxdy y xDπθ2ln π=五、判断下列级数的收敛性, 若收敛, 指出绝对收敛还是条件收敛. 1. )(113∞→→+=n n nu n , 所以发散 2. ,2,1,11)1(1=+≥+=n n n n u n 而级数∑∞=+111n n 发散, 由比较法知原级数发散. 3. ,2,1,)21()12(=≤+=n n n u n n n而级数∑∞=1)21(n n 收敛,由比较法知, 级数收敛(绝对收敛). 4. n n n n n n n n n u )21()2()sin 321(=≤+-= 而级数∑∞=1)21(n n收敛, 由比较法知, 级数收敛(绝对收敛)5. ,!n n u nn =e n n n n n u u n n nn n nn n =+=++=∞→+∞→+∞→)11(lim !)!1()1(lim lim111> 由比值法知, 级数发散 6. 这是交错级数, nu n 1=,2,1,111=+≥n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n又∴==∞→∞→,01limlim nu n n n 级数收敛.但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n nn发散, 所以此级数条件收敛.7.∑∞=+-1)!12()1(n n n ∑∑∞=∞==+=11)!12(1n n n u n)!12(1)!32(1lim lim1++=∞→+∞→n n u u n nn n 0)22)(32(1lim=++=∞→n n n由比值法知,∑∞=+1)!12(1n n 收敛,所以原级数绝对收敛. 8. 这是交错级数, )1ln(1+=n u n ,,2,1,)2ln(1)1ln(1=+≥+n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n ; 又0)1ln(1limlim =+=∞→∞→n u n n n所以级数收敛. 但∑∑∞=∞=-+=+-111)1ln(1)1ln(1)1(n n n n n 发散, 所以原级数条件收敛. 9. 23331111cos nn n n u n ≤+≤+=而级数∑∞=1231n n收敛, 由比较法知∑∞=+131cos n n n 收敛,所以原级数收敛且绝对收敛.10. 221)1(n n u n n =-=, 而∑∞=121n n 收敛, 所以原级数绝对收敛. 六、应用题 1. ,412)(00=+='x x y2ln 1ln 2,210000-=+==∴x x y xM ∴点的坐标为 )2ln 1,21(- 2. 定义域为),(∞+-∞ )1(6662-=-='x x x x y令 0='y 得 1,0==x x 列表讨论在(－∞，0)，（1，+∞）内单调增，在（0，1）内单调减，有极大值0)0(=y ，极小值1)1(-=y . 3. x x e e y --='2，x x e e y +=''2 令 0='y ，得驻点 2ln 21-=x 022)2ln 21(>=-''y 22)2ln 21(=-∴y 为极小值。

1、选择题1）对于级数1n n a ∞=∑，"lim 0"n n a →∞=使它收敛的( B )条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数1nn a∞=∑收敛的（ C ）条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 3）若级数1nn a∞=∑绝对收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ A ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛 4）若级数1nn a∞=∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ B ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()11ln 1n n ∞=+∑解：用比较判别法，和调和级数11n n∞=∑比较因为()11ln 1n n >+，级数()11ln 1n n ∞=+∑发散。

2）n ∞= 解：用比较判别法，因为431n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑收敛，级数1n ∞=3）2n n n ∞=+解：用比较判别法，因为2322lim 12n n n n n→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭级数3121n n∞=∑收敛，由比较判别法极限形式可得12n n n ∞=+收敛。

4）411!n n n ∞=+∑解：用比值判别法，因为()()()4444111!111limlim 01111!n n n n n n n n n →∞→∞+++++=⋅=<+++，级数411!n n n ∞=+∑收敛 5）()112n n n n ∞=++∑解：用比较判别法，因为()121lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数()112n n n n ∞=++∑发散。

6）()11,,0n a b na b∞=>+∑解：用比较判别法，因为11lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+，级数11n na b ∞=+∑发散。