非线性回归模型的线性化

浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。

高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。

但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。

一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。

而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。

在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。

二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。

如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。

三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。

非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中， 有许多回归模型的被解释变量 y 与解释变量 x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。

如下列模型。

y 01 e x------- （ 1） y01 x2 x 2 p x p -------- （2）yae bx e -------------------- （ 3）yae bx-------------（4）对于（1）式，只需令 x e x即可化为 y 对 x 是线性的形式 y 01 x ，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（ 2）式，可以令 x 1 = x , x 2 = x 2 , ⋯, x p = x p , 于是得到 y 关于 x 1 , x 2 , ⋯,x p 的线性表达式 y1x12x2pxp对与（ 3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ln y ln a bx, 令yln y ,ln a ,1b ，于是得到 y 关于 x 的一元线性回归模型：y1x。

对于（ 4）式，当 b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。

回归模型（ 3）可以线性化，而（ 4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数 ae bx ，只是误差项的形式不同。

（3）式的误差项称为乘性误差项， （4）式的误差项称为加性误差项。

因而一个非线性回归模型是否可以线性化， 不仅与回归函数的形式有关， 而且与误差项的形式有关， 误差项的形式还可以有其他多种形式。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异， 其中乘性误差项 模型认为y t 本身是异方差的，而 l n y t 是等方差的。

加性误差项模型认为y t 是等方差的。

从统计性质看两者的差异， 前者淡化了 y t 值大的项（近期数据）的作用，强化了 y t 值小的项（早期数据） 的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。

第1章绪论习题一、单项选择题1．把反映某一总体特征的同一指标的数据，按一定的时间顺序和时间间隔排列起来，这样的数据称为（）A. 横截面数据B. 时间序列数据C. 面板数据D. 原始数据2．同一时间、不同单位按同一统计指标排列的观测数据称为（）A．原始数据 B．截面数据C．时间序列数据 D．面板数据3．用计量经济学研究问题可分为以下四个阶段（）A．确定科学的理论依据、建立模型、模型修定、模型应用B．建立模型、估计参数、检验模型、经济预测C．搜集数据、建立模型、估计参数、预测检验D．建立模型、模型修定、结构分析、模型应用4．下列哪一个模型是计量经济模型( )A.投入产出模型B.数学规划模型C.包含随机变量的经济数学模型D.模糊数学模型二、问答题1．计量经济学的定义2．计量经济学的研究目的3．计量经济学的研究内容习题答案一、单项选择题1．B 2．B 3．B 4．C二、问答题1．答：计量经济学是统计学、经济学、数学相结合的一门综合性学科，是一门从数量上研究物质资料生产、交换、分配、消费等经济关系和经济活动规律及其应用的科学2．答：计量经济学的研究目的主要有三个：（1） 结构分析。

指应用计量经济模型对经济变量之间的关系作出定量的度量。

（2） 预测未来。

指应用已建立的计量经济模型求因变量未来一段时期的预测值。

（3） 政策评价。

指通过计量经济模型仿真各种政策的执行效果，对不同的政策进行比较和选择。

3．答：计量经济学在长期的发展过程中逐步形成了两个分支：理论计量经济学和应用计量经济学。

理论计量经济学主要研究计量经济学的理论和方法。

应用计量经济学将计量经济学方法应用于经济理论的特殊分支，即应用理论计量经济学的方法分析经济现象和预测经济变量。

2一元线性回归模型习 题一、单项选择题1．最小二乘法是指（ ） A. 使()∑=-nt ttYY 1ˆ达到最小值 B. 使ˆm in i iY Y -达到最小值C. 使tt Y Y ˆmax -达到最小值 D. 使()21ˆ∑=-n t t t Y 达到最小值2． 在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为（ ）A. 01i i iY X u ββ=++ B.01ˆˆˆi i iY X e ββ=++C ．01ˆˆˆi iY X ββ=+ D.()01i iE Y X ββ=+3．线设OLS 法得到的样本回归直线为01ˆˆi i iY X e ββ=++，以下说法不正确的是( )A ．0=∑i e B ．0),(≠i i e X COVC ．Y Y =ˆD ．),(Y X 在回归直线上4．对样本的相关系数γ，以下结论错误的是（ ）A. γ越接近0， X 与Y 之间线性相关程度高B.γ越接近1，X 与Y 之间线性相关程度高C. 11γ-≤≤D 、0γ=，则X 与Y 相互独立二、多项选择题1．最小二乘估计量的统计性质有（ ）A. 无偏性B. 线性性C. 最小方差性D. 不一致性E. 有偏性2．利用普通最小二乘法求得的样本回归直线01ˆˆˆi i Y X ββ=+的特点（ ）A. 必然通过点(,)X YB. 可能通过点(,)X YC. 残差ie 的均值为常数 D. ˆiY 的平均值与i Y 的平均值相等 E. 残差i e 与解释变量i X 之间有一定的相关性3．随机变量（随机误差项）i u 中一般包括那些因素（ ）A 回归模型中省略的变量B 人们的随机行为C 建立的数学模型的形式不够完善。

第四节 非线形回归模型一、 可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。

在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。

1．倒数模型我们把形如:u xb b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。

设：xx 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。

倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。

有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。

2．对数模型模型形式：u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2）(该模型是将ub e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。

上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。

因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。

令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。

模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：xdx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== （3.4.4） 它表示x 变动1%，y 变动了多少，即变动了1b %。

模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx ，lny ）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。