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初三复习 因式分解复习课件

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中考复习--因式分解PPT课件

中考复习--因式分解PPT课件

4(n2－n)＝4n(n－1)，n 和(n－1)中至少有一个是偶数，所以结果 是 8 的倍数．
名师点评：只有掌握并能够熟练提公因式法和运用公式法 才能准确进行分解因式，特别值得注意的是，提公因式以后一 定要检查一下括号内还能否继续分解．
1．(2013 年广东茂名)下列各式由左边到右边的变形中，属 于分解因式的是(解的常用方法． (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m__(_a_＋__b_＋__c_) ____. (2) 公式法：a2 － b2 ＝ __(_a_＋__b_)(_a_－__b_)___ ； a2±2ab ＋b2 ＝ _____(_a_±__b_)2______.
3．因式分解：－a2＋2a＝__a_(_2_－__a_)__.
4．因式分解：x2－x＝___x_(x_－__1_)__.
5．因式分解：x3－6x2＋9x＝_x_(x_－__3_)_2_.
因式分解及其应用 例题：(2013 年四川自贡)多项式 ax2－a 与多项式 x2－2x＋1 的公因式是__________． 思路分析：只需把多项式ax2－a 与多项式x2－2x＋1 分别 因式分解就可以得出它们的公因式． 解：ax2－a＝a(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2， 所以多项式ax2－a 与多项式 x2－2x＋1 的公因式是 x－1.
A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2．(2013 年广东佛山)分解因式 a3－a 的结果是( C )
A．a(a2－1)
B．a(a－1)2
C．a(a＋1)(a－1)
D．(a2＋a)(a－1)
【试题精选】 1．(2013 年福建三明)分解因式：x2＋6x＋9＝_(_x_＋__3_)_2 _. 2．分解因式：3x3－3x＝__3_x_(_x_＋__1_)(_x_－__1_)__. 3．上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方

中考数学专题复习专题03 因式分解(课件)

中考数学专题复习专题03 因式分解(课件)

典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用完全平方公式分解因式
【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝
．
【考点】因式分解—运用公式法 【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案． 【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32 ＝(m＋n－3)2． 故答案为：(m＋n－3)2．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用平方差公式分解因式
【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝
．
【考点】因式分解—运用公式法 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案． 【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6， ∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用分组分解法分解因式
（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b) ＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2) ＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab) ＝(a2＋b2) (a－b) 2， ∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的 面积是1， ∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1， ∴原式＝9．
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
知识点梳理
（2）运用公式法： 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法. ①a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ； ②a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 ． （3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)． （4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．

因式分解复习课件

因式分解复习课件
五项:常考虑二三分组
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。 把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。 解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
提公因式法：
（1）x-y=-(y-x)
(2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2
(4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
组 分
分组后能直接提取公因式
解
法
分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分 组
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2

中考数学冲刺复习——因式分解复习课(共17张PPT)

中考数学冲刺复习——因式分解复习课(共17张PPT)

作业布置 把下列各式分解因式
拓展练习
1，已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
解：∵a2+b2+2a+2b+2=0 ∴(a2+2a+1)+(b2+2b+1)=0
∴(a+1)2+(b+1)2=0
∴a=-1,b=-1
2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),a=( -1 ),b=( -2 ).
A
c
b
B
a
C
(b c)(a2 b2 ) 0
b c 0或者a2 b2 0 ∵a2 b2不可能为0 b c 0 b c
三角形是等腰三角形
达标测评 把下列各式分解因式：
(1)4x2 16
(2)a4 2a2b2 b4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a2 b2 a b
二、因式分解的方法
找公因式
因 式
提公因式法
提公因式
分
解
的
平方差公式：
方 法
公式法
完全平方公式：
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
(1)2x3 4x2 2x 2x(x2 2x) × 漏项
(2) a2 ab ac a(a b c)
× 提取负号 时未变号
(3)mn(m n) m(n m)2
因式分解与整式乘法互为逆变形 多项式 因式分解 几个整式的积
整式乘法
1.下列各式从左到右的变形中，哪些 是因式分解？为什么？
(1)c(a b) ac bc ×

因式分解ppt(共22张PPT)

因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.

因式分解复习课课件

因式分解复习课课件

常见的因式分解方法
公因式分解
将多项式分解为一个或多个共同的因子，然后提取出公因式。
差平方分解
将一个完全平方的差表示为两个不同的数的乘积。
分组分解
将多项式中的项进行分组，并找到各组之间的共同因子。
特殊因式分解的例子
1
立方差公式
2
用于分解完全立方差的特殊公式：
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
因式分解复习课ppt课件
欢迎来到因式分解复习课程！在本课程中，我们将深入探讨因式分解的基本 概念、步骤以及常见的方法。我们还将研究特殊因式分解的一些例子，以及 因式分解在实际生活中的应用。最后，我们将进行一些练习题，帮助您巩固 所学。让我们开始吧！
因式分解的基本概念
1 什么是因式分解？
因式分解是将一个多项 式分解为不可再分解的 因子乘积的过程。
科学实验
在科学实验中，因式分解可以 帮助我们更好地2 练习题二
分解多项式 \(3x^2 + 6x + 3\)
分解多项式 \(x^3 - 8\)
3 练习题三
分解多项式 \(4x^2 - 25\)
总结和复习提示
在本课程中，我们学习了因式分解的基本概念、步骤和常见方法。我们还研 究了特殊因式分解的例子，并讨论了因式分解在实际生活中的应用。通过练 习题，您可以巩固所学知识。继续练习和实践，因式分解将变得更加容易和 自然。
2 为什么重要？
因式分解有助于简化算 术和代数运算，并在解 决数学问题时提供更清 晰的视角。
3 基本术语
多项式：由系数和幂次 方组成的表达式。因子： 可整除一个多项式的表 达式。
因式分解的步骤

中考复习讲座分解因式27页PPT

中考复习讲座分解因式27页PPT

例9：因式分解 (a 2)a2 8(2a)2
解：（ 原 a式 2)a (28a1)6
((aa22))(aa (44))22
例10：观察某同学把 多项式 （x 2 3x 4）(x 2 3x 3) 8分
解因式的过程： 解：设x 2 3x y, 则 原式 (y 4)(y 3) 8 ---------------- ①
y 2 y - 20 ----------------------- ② (y 5)(y - 4) ----------------------③ (x 2 3x 5)(x 2 3x 4) --④
回答： ①这位同学运用的解题方法是 换元法 ； ②第三步运用了因式分解的 十字相乘 方法； ③这位同学因式分解的 结果是否完整，如果 完整，请说明理由，如果不完整，请直接写出 分解因式的最后结果
B a 2 1 2 a (a 1 )a ( 1 ) 2 a
Cxy 2yxy (y1) x
D a 2 4 a 2 1 (a 7 )a ( 3 )
知识要点2 掌握因式分解的基本方法，
能熟练地进行多项式的因式分解。
因式分解的基本方法
① 提公因式法
② 公式法
③ 十字相乘 法
④ 分组分解 法
⑤ 求根法
A(x2)x(3) B(x2)x (3)
C(x2)(x3) D(x2)x (3)
练习：因式分解 （2x2x2)4(2x2x)3
解 ： （ 原 2x 2式 x3） 22( x1) （ (x 33x )-） (1 x1 )2( ()2 2 x x (2 -x1 x x 1 )
在实数范围内分解二次三项式
因式分解的一般步骤为：
（1）如果多项式的各项有公因式， 那么先提公因式。

第4课因式分解中考复习PPT课件

第4课因式分解中考复习PPT课件

第4课 因式分解
知识点索引
要点梳理
基础知识·自主学习
4. 因式分解的应用 当实际问题中数值不够理想时，常利用因式分解的方 法转化为积的情势加强运算．如利用比差法进行大小 比较，可利用因式分解化成积的情势确定差的符号来 比较大小． 如：已知x、y为不相等的正数，比较x2(x－y)与y2(x －y)的大小．
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
【例 1】 (2013株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5) (x＋n)，则m＝____6____，n＝____1____． 解析 ∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n， ∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
第4课 因式分解
知识点索引
题型三 运用公式法分解因式
题型分类·深度剖析
变式训练3 (1)(2015杭州)分解因式：m3n－4mn＝ _m_n_(_m_＋__2_)_(_m_－__2_)_． 解析 分解因式m3n－4mn，先提取公因式mn后继续应 用平方差公式分解即可：m3n－4mn＝mn(m2－4)＝ mn(m (＋2)2()2(0m1－4淄2)博．)分解因式：8(a2＋1)－16a＝__8_(_a_－__1_)_2 _． 解析 分解因式8(a2＋1)－16a，先提取公因式8后继续 应用完全平方公式分解即可：8(a2＋1)－16a＝8(a2－2a ＋1)＝8(a－1)2.
∴n5＋ n＝5＝ 5，m，∴nm＝ ＝16.，
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
探究提高 熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将 一个多项式化成几个整式积的情势的恒等变形．本题考 查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．

因式分解总复习课件 PPT

因式分解总复习课件 PPT

即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例2：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
2
提公因式法
2 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公 因式，如果有，先提公因式；如果没有 公因式；是两项式，则考虑能否用平方 差公式分解因式. 是三项式考虑用完全 平方式，最后，直到每一个因式都不能 再分解为止.
业精于勤荒于嬉； 行成于思毁于随。
THANKS
3
公式法
3 公式法
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积 的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
公式法
平方差公式 a2-b2 =(a+b)(a-b) 特征：两项、异号、平方形式
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特征：三项、两数平方的和加 上（或减去）两数乘积的2倍
3.已知a b=2，求a2 b2 4b的值
3 公式法 a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2

3.整式与因式分解复习课件 2024年九年级中考数学复习(20张PPT)

3.整式与因式分解复习课件 2024年九年级中考数学复习(20张PPT)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.（2021河北）不一定相等的一组是（ ）
A．a+b与b+a B．3a与a+a+a C．a3与a•a•a D．3（a+b）与3a+b
8.（2020河北）墨迹覆盖了等式“x3 x=x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A
14.（2023河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为 ．
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2;当a=2时，求S1+S2的值；
二.走进中考：
解：
2x+x2-2(3x-2)=2x+x2-6x+4......第一步=x2+2x-6x+4......第二步=x2-4x+4.........第三步=(x-2)2..........第四步
A.第一步用到了去括号法则 B.第二步用到了加法交换律 C.第三步用到了减法结合律 D.第四步用到了完全平方公式
多项式÷单项式
定义
方法
步骤：
提取公因式法
运用公式法
十字相乘法
一提二公三彻底
系数；次数.
项和项数；各项系数；次数.
乘 法 公 式
(a-b)a+b)= .
(a±b)2= .
二.走进中考：
1.（2023河北）代数式-7x的意义可以是（ ）
A.-7与x的和 B.-7与x的差 C.-7与x的积 D.-7与x的商
二.走进中考：
C
3x
1
c
12.(2018河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
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3，（2012江苏盐城）分因式分解 ： n2 m2 =____
【解析】交换两项的位置，根据平方差公式，即可 得出答案。
4（2012江苏泰州市）分解因式：a2 6a 9 （2012北京）分解因式：mn2 6mn 9m ____
【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点.
6，（2012浙江省温州）把多项式 a2 4a 分解因式, 结果正确的是（ ）
A. aa 4 B. (a 2)(a 2) C. a(a 2)(a 2) D. (a 2)2 4
【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方 差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个 多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．
4a2 4a 1 _______ a3 ab2 _____
二、基础例题探究
（一）提公因式法
1,（湖南株洲市）因式分解：a2 2a =
.
【点评】本题考查了提公因式因式分解的方法。比 较简单。
2，（2012四川成都）分解因式：x2 5x =
.
3, （2012湖南湘潭）因式分解：m2 mn =
3,(2009·威海) 分解因式：(x＋3)2－(x＋3)＝________
4，（2011江苏省无锡市）分解因式 (x 1)2 2(x 1) 1
的结果是（ ）
A．(x 1)(x 2) B． x2 C． (x 1)2 D．(x 2)2
【解析】若把 x 1 看成一个整体，从代数式的结构看 就是差的完全平方公式。
三，综合题型研究
（一）提取公因式和公式法混合应用
1,(2010·荆州)分解因式 x(x－1)－3x＋4＝______. 2,(2012山东省临沂市）分解因式 a - 6ab 9ab2
______. 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式,
提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注 意分解要彻底．
ma＋mb＋mc＝___m__(a_＋__b__＋__c)____. (2)公式法： a2－b2＝___(_a_＋__b_)(_a_－__b_)___； a2±2ab＋b2＝_____(_a_±__b_)2______.
3.通过复习归纳因式分解的一般步骤:
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提 公因式；（2）再考虑运用公式法；（3） 分解因式必须进行到每一个多项式因式都 不能再分解为止，简记为一“提”、二“ 套”、 三“检查”.
1，分解因式：x2 5x 6
2, 分解因式：x2 7x 6 3,分解因式： a2 2ab 8b2
4,分解因式： x 2 y 2 3xy 2
四：课堂巩固练习
1．利用因式分解进行简便计算：7×9＋4×9－9，正确的 是( B )
A．9×(7＋4)＝9×11＝99 B．9×(7＋4－1)＝9×10＝90 C．9×(7＋4＋1)＝9×12＝108 D．9×(7＋4－9)＝9×2＝18
初三复习第一部分 数与代数
第3讲 因式分解
1．因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的____乘__积____的形式． (2)因式分解要分解到最后结果不能___再__分__解___为止． (3)因式分解与___整__式__乘__法_____互为逆变形．
2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法：
2．(2012 年安徽)下面的多项式，能因式分解的是( D )
A．m2＋n
B．m2－m＋1
C．m2－n
D．m2－2m＋1
3．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提公因式(m－1)后，余
下的部分是( D )
A．m＋1
B．2m
C．2
D．m＋2
4．(2012 年福建福州)分解因式：x2－16＝__(_x_－__4_)(_x_＋__4_).
4.基础练习
（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分 解的为（ ）
A. x(a-b)=ax-by B. x2 1 y2 (x 1)(x 1) y2 C. x2 1 (x 1)(x 1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
（2）将下列各式因式分解：
6x+4y=_______ 2a2 4a _____ x2 9 ______ x2 2xy y2 _____
(x 1)2 2(x 1) 1 [(x 1) 1]2 (x 2)2
5，（2012四川内江）分解因式：ab3 4ab
.
【解析】先提公因式，再用公式．原式＝ab( b 2－4)＝ ab(b＋2)(b－2).
6,分解因式：(a b)2 1 ________
（二 ）分组分解法
1，分解因式：x2 2xy y2 x y 的结果是（ ）
.
解析：直接用平方差公式将因式分解。
2，（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的 是（ ）
A. m2 n B. m2 m 1 C. m2 n D. m2 2m 1
点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后 考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用 完全平方公式，当然符合公式才可以.）
A、（x－y）(x－y＋1) B、 (x－y)（x－y－1）
C、 (x ＋ y）(x－y＋1) D、( x＋y）(x－y－1)
2，分解因式：am+bn+bm+an=
.
3, 分解因式： x2 y2 2x 2y _____________
4,分解因式： x2 y 2 2x 1 _____________
.
4, (2012广东汕头)分解因式 ：2x2 10x
.
5, (2012江苏苏州)若a=2，a+b=3，则 a2 ab .
分析：利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3 代入即可．
∵a=2，a+b=3，
∴ a2 ab a（a+b）=2×3=6．
（二）公式法
1，（2012福州）分解因式：x2 16
5,分解因式： x2 x 9 y 2 3y ____________
（三）十字相乘法.
二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式— x2 ( p q)x pq (x p)(x q) 进行分解。 • 特点：（1）二次项系数是1； • （2）常数项是两个数的乘积； • （3）一次项系数是常数项的两因数的和。