上海市上海中学2020届高三下学期数学综合练习卷5含答案

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(2,1) （C ）(1,2)-（D ）(2,1)-（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =± （B ）y = （C ）2y x =±（D ）y =（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则（A ）0()=2f x '（B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f （D ）0()=1f x '-（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为（A ）12（B ）13 （C ）14（D ）16（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，则下列命题中正确的是（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤（B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为（A ）111502n n a a +=+（B ）112003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=+（D ）121805n n a a +=+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020年上海中学高三下综合卷04一. 填空题1. 函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与x y e =关于y 轴对称，则()f x =2. 抽取某老师的某个工作周五天中，收到的信件数分别是10、6、8、5、6，则估计该老师一周收到信件数的方差2s =3. 若直线l 与曲线2cos :12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为4. 设5260126(1)(12)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则2a =5. 把三阶行列式3745210x a x+中元素7的代数余子式记为()f x ，若关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,)b -，则实数a b +=6. 不等式22129t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 7. 在平面直角坐标系中，若与点(2,2)A 的距离为1，且与点(,0)B m 的距离为3的直线恰有3条，则实数m 的值为8. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若该小正四面体可以在纸盒内任意转动，则该小正四面体棱长的最大值为9. 给定正整数n 和正常数a ，对于满足2211n a a a ++≤的所有等差数列{}n a ，则12n n a a ++++21n a +⋅⋅⋅+的最大值为10. 已知1x ≥，1y ≥，且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg xy 的最大值为11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，其中ABCD 是正方形，1AA AB >，设点A 到直线1B D 的距离和到平面11DCB A 的距离分别为1d 、2d ，则12d d 的取值范围是 12. 在△ABC 中，已知3AC =，sin sin C k A =（2k ≥），则△ABC 的面积的最大值为二. 选择题13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. 2 C . 12 D . 12-14. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是(,)-∞+∞上的单调递减函数，则(())y f f x =也是(,)-∞+∞上单调递减函数；（4）若()y f x =函数存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点；其中正确的命题共有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个15. 已知函数22()1610f x x x x =++-+，① ()f x 的图像是中心对称图形；② ()f x 的图像是轴对称图形；③ 函数()f x 的值域为[13,)+∞；④ 方程(())110f f x =+有两个解；上述关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A . ①③B . ③④C . ②③D . ②④16. 已知平面上四个点1(0,0)A 、2(23,2)A 、3(234,2)A +、4(4,0)A ，设D 是四边形1234A A A A 极其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合{|S P D =∈0||||,1,2,3,4}i PP PA i ≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16三. 解答题17. 已知向量4(cos ,1)OA x =-，4(1,sin 3sin 2)OB x x =+，x ∈R ，()f x OA OB =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值及相应的x 值.18. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE AP ⊥于E .（1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成的上、下两部分的体积比.19. 有一块形状是顶角为α角的耕地，tan 2α=-（如图，角的两边AM 、AN 足够长），该块土地中P 处有一建筑，经测量，它到土地边界AM 、AN 的距离分别为3千米、5千米，现要过P 修建一条直线公路，在公路与土地边界围成的区域内建一个工业园区，为尽量减少耕地占用，当AB 长为多少千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为多少平方千米？20. 已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2n n n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项n 和，求使2n T >的n 的取值范围；（3）设14(1)2n a n n n c λ-=+-⋅，试确定实数λ的值，使得对任意*n ∈N ，1n n c c +>恒成立.21. 设点P 为圆22:4O x y +=上的动点，点Q 为点P 在x 轴上的射影，动点M 满足：12MQ PQ =. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过(3,0)A 且斜率为k 的直线l 与E 交于B 、C ，在E 上是否存在点D ，使OBDC 为平行四边形？若存在，求出k 的值，不存在，说明理由；（3）若ABCD 为E 的内接平行四边形（即A 、B 、C 、D 都在E 上），证明：O 为ABCD 的中心，并进一步求ABCD 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 11x e + 2. 3.2 3. 4π 4. 305. 16. 1[,1]97. 2± 8. 29.10. 2+ 11. (1,)3 12. 2922k k - 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）T π=；（2）3x π=，min ()2f x =-.18.（1）证明略；（2）1:2.19. 当AB 长5千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为15平方千米.20.（1）证明略，1n a n =+；（2）3n ≥，*n ∈N ；（3）1λ=-.21.（1）2214x y +=；（2）8±；（3）4.。

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷第二学期高三综合练习数学文科创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203log 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ） A ．2- B ．2 C ．4-D ．44、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2频率组距0.054x0.0061009080706050400成绩俯视图侧（左）视图正（主）视图C ．3D ．45、已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、已知x ，y 满足11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =； ③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（ ）3n ≥，则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b∥，则λ=________．10、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于________．14、对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15、（本小题共13分）已知函数)()sin sin f x x x x=-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、（本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、（本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B'⊥．⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．18、（本小题共14分）已知函数()ln a f x x x=+（ ）0a >．19、（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（ ）0a b >>的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（ ）0k ≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、（本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（ ）*n ∈N ． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4 （12）3π2 （13）4 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-=21cos 2sin )2x x x -1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2．（Ⅱ） 因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意可得2992718x y ==，所以11x =，3y =． （Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种． 因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MN NG N =， 所以平面//GNM 平面ADC '．（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =，所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥．A BCDMNG因为AB AD A =， 所以'C A ⊥平面ABD ． (14)分（18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈， 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立．又当00x >时,200311222x x -<-+≤,（19）（共13分）解(Ⅰ)因为2c a =，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>．设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ， 则1224214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+．所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠， 所以218k =．所以k =．………………………………13分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（ ）*t ∈N ， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（ ）*t ∈N ， 则22n T n n a a a +==，而222n T n t n t a a a +++==从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．…………13分。

绝密★启用前上海中学高三综合数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一.填空题1.不等式13x x+<的解为____ 2.函数2()(2f x x x =<-)的反函数是____3.已知b+i ､2-ai(a,b ∈R)是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则q=____4.将一个底面半径为4,高为2的圆锥锻造成一个球体,则此球体的表面积为____5.以3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭为增广“矩阵的二元一次方程组的解为x ､y,则x ､y 这两个数的等比中项为____ 6.3名男生､3名女生和2位老师站成一排拍合照,要求2位老师必须站在正中间,队伍左右两端不能同时是一男生和一女生,则总共有____种排法.7.已知函数f(2(),(),x x g x ax x ==-其中a>0,若对任意m ∈[1,2]都存在n ∈[1,2]使得f(m)f(n)=g(m)g(n)成立,则实数a 的取值集合为___.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:()(3)4,M x a y a -++-=过原点的动直线l 与圆M 交于A ､B 两点,若以线段AB 为直径的圆,与以M 为圆心､MO 为半径的圆始终无公共点,则实数a 的取值范围是____. 9.已知正数x ､y ､z 满足2221,x y z ++=则1z xyz+的最小值为__. 10.已知向量a b r r 、满足:|2||3|2,a b a b -=+=r r r r 则a b ⋅r r 的取值范围是___. 11.已知△ABC 的面积为1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=___.12.如图,已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱AD 与平面α所成角[,],32ππθ∈且顶点A 在平面α内,点B ､C ､D 均在平面α外,则棱BC 的中点E 到平面α的距离的取值范围是___.二.选择题13.已知集合,2{|20}A x x x =∈-++≥N ,则满足条件A ∪B=A 的集合B 的个数为()A.4B.7C.8D.16 14.已知函数()2sin()(4f x x πω=+ω>0)的图像在区间(0,1]上恰好有三个最高点,则ω的取值范围是() 1927.[,)44A ππ 913.[,)22B ππ 1725.[,)44C ππ D.[4π,6π)15.已知a ､b 为实数,则“不等式|ax+b|≤1对所有满足|x|≤1都成立”是“|a|≤1且|b|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知数列{}n a 的通项为:*,,(1)(21)(1)n nx a n x x nx =∈+++L N 若1220201a a a +++L ＜,则实数x 可以等于() 2.3A - 5.12B - 13.48C - 11.60D - 三.解答题 17.已知圆柱1OO 的底面半径为1,高为π,ABCD 为圆柱的一个轴截面,动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其路径最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示,将轴截面ABCD 绕着1OO 轴逆时针旋转θ后,边11B C 与曲线T 交于点P.(1)求曲线Γ的长度;(2)当2πθ=时,求点1C 到平面APB 的距离.18.已知12()log f x x =,当点M(x,y)在y=f(x)的图像上运动时,点N(x-2,ny)在函()n y g x =的图像上运动*()n ∈N .(1)求()n y g x =的解析式;(2)若方程12()(2)g x g x a =-+有实根,求实数a 的取值范围.19.某地火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…，第50(n-1)米至50n 米的圆环面为第n 区,…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000kg,第2区为平方米的平均重量较第1区减少2%,第3区又较第2区减少2%,以此类推,求:(1)求离火山口1225米处的圆环面平均每平方米的火山灰重量(精确到1kg);(2)第几区内的火山灰总重量最大?20.已知椭圆C:22 221x ya b+=(a>b>0)过点2(1,),2离心率为2,2点A､B分别是椭圆C的上､下顶点,点M是椭圆C上异于A､B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在直线x-y+2=0上,且3,BP BM=u u u r u u u u r求△PMA的面积;(3)过点M作斜率为k的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点),直线NA与直线BM交于点P,求OD OP⋅u u u r u u u r的值.21.已知a为正实数,n为自然数,抛物线22nay x=-+与x轴正半轴交于点A,设直线l过点A且在y轴上的截距为f(n),已知直线l与抛物线仅有一个交点.(1)用a和n表示f(n);(2)若对所有正整数n都有33()1()11f n nf n n-≥++成立,求a的最小值;(3)当0<a<1时,试比较11()(2)nkf k f k=-∑与27(1)(1)4(0)(1)f f nf f-+⋅-的大小,并说明理由.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（ ）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{1,0,1,2}-解析：根据集合的基本运算性质答案为B 。

知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：1（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 解析：22(1)11i (1)(1)_i i i i +==+--+，所以对应的点在第一象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：2（3出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2-（B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1-解析：本程序相当于以分段函数221;02;0x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，y=0，x=1或2-，答案为C 。

知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数：2（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18（B ）36（C ）54（D ）72解析：67555262()626a a a d a d a =+∴+=++∴=，195992=9=5422a a a S +⨯=⨯（）随意答案C 。

知识点;数列---------等差数列 难度系数：2（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45-（B ）45（C ）35-（D ）35解析：tan =2α，α在逸散象限，4sin 2=2sin cos 2555αα•α=⨯=，所以答案B 。

知识点;三角函数--------三角函数--------同角三角函数的基本关系式；三角函数----恒等变换--------倍角公式难度系数：2（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10)（B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10（D ）1(0,)(10,)10+∞ 解析;10,()()(),lg 1,10;0,()()(),lg 1,010x f x f x g x x x x f x f x g x x x >==>><=-=-><<,所以x 的范围1(0,)(10,)10+∞Z 知识点：函数与导数------基本初等函数与应用----------对数与对数函数；函数与导数---------函数-------------函数的单调性难度系数;3（7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7)（B ）(7,6) （C ）(5,4)--（D ）(4,5)--解析：AB 的中点坐标(0,2)，AB 的垂直平分线方程为y=x+2，设815(,)(6,7)58222y x D x y D x y -⎧=-⎪⎪-∴⎨++⎪+=⎪⎩知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系 难度系数：3 （8）对任意实数a，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k=-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（A ）(2,1)-（B ）[0,1] （C ）[2,0)-（D ）[2,1)- 解析：22224;(1)(4)1()(1)(4)1(1)(4)1x k x x f x x x k x k x x ⎧++--+≥⎪=-++=⎨-+--+<⎪⎩，；，方法一：去特殊值验证答案。

2020年上海中学高考数学综合测试试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在(−2,2)上仅有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的符号是( )A. 小于零B. 大于零C. 小于或大于零D. 不能确定2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. 64B. 643 C. 16 D. 1633. 矩阵的一种运算(a b cd)(y x)=(cx +dy ax+by )，该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵(a bcd)作用下变换成点(ax +by,cx +dy)，若曲线x 2+4xy +2y 2=1，在矩阵(1a b 1)的作用下变换成曲线x 2−2y 2=1，则a +b 的值为( ) A. −2 B. 2 C. ±2 D. −44. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C ：y =x 2，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 设集合A ={x|x =√3k +1,k ∈N}，B ={x|x ≤5,x ∈Q}，则A ∩B =______．6. 若复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|，则z 的虚部为______．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为______． 8. 若x 1，x 2，⋯，x 2020的平均数为4，标准差为3，且y i =−3(x i −2)，i =1，2，⋯，2020，则新数据y 1，y 2，⋯，y 2020的标准差为______．9. (2+x)n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则(2+x)n 的展开式中倒数第4项的系数为______．10. 某几何体的一条棱长为2，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为√3的线段，在左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则2a +b 的最大值为______．11. 已知函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则实数a 的取值范围是______．12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示)． 13. 当x ∈[0,2]时，函数f(x)=ax 2+4(a −1)x −3在x =2时取得最大值，则实数a的取值范围是______ ．14. 若存在实数a 、b 使得直线ax +by =1与线段AB(其中A(1,0)，B(2,1))只有一个公共点，且不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，则正实数p 的取值范围为______．15. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆(x −5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条．则r 的取值范围是______． 16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若|B 2C 2|=1，则2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|的最大值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足：2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．(1)求角C的大小；−B)=bcos(2kπ+A)(k∈Z)且a=2，求△ABC的面积．(2)若acos(π218.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的大小为60°，求λ的值．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设关系：C(x)=k3x+5f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：(1)求椭圆Г的方程：(2)设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值：(3)设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d(0<d<2)，求动点D的轨迹方程：21.数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N∗，k≥1，p>0，a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n(1)当k=1，p=5时，若数列{a n}是成等比数列，求t的值；(2)当t=1，k=1时，设T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−1+a np n−1，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列1+ppT n−a np n−6n是一个常数；(3)设数列{a n}是一个等比数列，求t(用p，k的代数式表示)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当f(x)=x 时，f(−2)⋅f(2)<0， 当f(x)=x 2时，f(−2)⋅f(2)>0， 当f(x)=sin(π2x)时，f(−2)⋅f(2)=0， 故选：D ．由题意举例f(x)=x ，f(x)=x 2，f(x)=sin(π2x)，从而解得． 本题考查了函数的零点的判定定理的应用．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D −ABC 、为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：B 是棱的中点， 由正方体的性质得，CD ⊥平面ABC ， △ABC 的面积S =12×2×4=4， 所以该多面体的体积V =13×4×4=163，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(1a b 1)的作用下的点为(x′,y′)，即{x′=x +ay y′=bx +y，又x′2−2y′2=1， ∴(x +ay)2−2(bx +y)2=1，(1−2b 2)x 2+(2a −4b)xy +(a 2−2)y 2=1． 故{1−2b =12a −4b =4a 2−2=2，解得：a =2，b =0， ∴a +b =2． 故选：B ．设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(abc d)的作用下的点为(x′,y′)，得出关于a ，b 的方程组，从而解决问题．本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a ，b ；属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设直线y =t ，与y =x 2交于(√t,t)，0≤t ≤1， 切线的斜率为2，切线方程为y =2x −1， y =t 与y =2x −1交于(t+12,t)，用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环， 截面面积为π(t 2+2t+14−t)=π⋅(t−1)24，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为12(t −1)，可得截面面积为π⋅(t−1)24，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为14π−14πt 2，不符合题意； 对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为π⋅(t+12)2−πt 2=π(1−t)(1+3t)4，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①． 故选：A ．求得切线方程，设直线y =t ，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={x|x=√3k+1,k∈N}，B={x|x≤5,x∈Q}，∴A∩B={1,2，4，5}．故答案为：{1,2，4，5}．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：∵|4+3i|=√42+32=5．由(3−4i)z=|4+3i|，得(3−4i)z=5，即z=53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)25=35+45i．∴z的虚部为45．故答案为：45．首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.【答案】18【解析】解：抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为：p=18．故答案为：18．利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】9【解析】解：∵x1，x2，⋯，x2020的标准差为3，∴x1，x2，⋯，x2020方差为9，∵y i=−3(x i−2)，i=1，2，⋯，2020，∴新数据y1，y2，⋯，y2020的方差为(−3)2×9=81，即标准差为√81=9．故答案为：9．根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．本题主要考查了方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】280【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查二项式展开式的通项公式，是基础题．由已知求得n=7，求出展开式的第5项得答案．【解答】解：由展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，得C n2=C n5，得n=7．∴(2+x)n=(2+x)7，(2+x)7的展开式中倒数第4项为T5=C74⋅23⋅x4=280x4．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．10.【答案】5【解析】解：根据题意，将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的长为x，高为y，宽为z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=3，y2+z2=a2，x2+z2=b2，变形，可得a 2+b 2=5，设a =√5cosθ，b =√5sinθ，(0<θ<π2)，则2a +b =2√5cosθ+√5sinθ=5sin(θ+α)(其中tanα=2)， 当tanθ=12，即a =2b =1时，2a +b 取得最大值，且其最大值为5． 故答案为：5．根据题意，将棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面的对角线；设出长宽高，分析可得a 2+b 2=5，再设a =√5cosθ，b =√5sinθ，则有2a +b =2√5cosθ+√5sinθ，由此可得答案．本题考查几何体的三视图，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．11.【答案】(2,3)【解析】解：∵数列{a n }是递增数列， 又∵f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)a n =f(n)(n ∈N ∗)， ∴1<a <3且f(7)<f(8)∴7(3−a)−3<a 2解得a <−9，或a >2 故实数a 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)由函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，我们易得函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a >1，且3−a >0，且f(7)<f(8)，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n ∈N ∗时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f(7)<f(8)，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键．12.【答案】23【解析】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球，三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有C32×C31×C21=18种，其中C32表示3个同学中选2个同学选择的项目，C31表示从三种组合中选一个，C21表示剩下的一个同学有2种选择，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是1827=23，故答案为：23．先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．13.【答案】[23,+∞)【解析】解：对称轴为x=2−2aa，1)当a>0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≤1，解得a≥23，2)当a=0时，f(x)=−4x−3，x=0时候取得最大值，不符合题意，3)当a<0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≥2，a≥12，与a<0相悖．综上所述a的取值范围为[23,+∞)．故答案为：[23,+∞)．分a>0，a=0，a<0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合图象进行求解．本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．14.【答案】[1,+∞)【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A(1,0)，B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，∴(a−1)(2a+b−1)≤0，即{a −1≤02a +b −1≥0，或{a −1≥02a +b −1≤0； 画出它们表示的平面区域，如图所示．a 2+b 2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min =1√5那么a 2+b 2的最小值为：d 2=15．由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立， ∴(1sin 2θ+pcos 2θ)min ≥20(a 2+b 2)min =4， ∵θ∈(0,π2)，∴sinθ，cosθ∈(0,1)．∴1sin 2θ+pcos 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)(1sin 2θ+pcos 2θ)=1+p +cos 2θsin 2θ+psin 2θcos 2θ≥1+p +2√cos 2θsin 2θ⋅psin 2θcos 2θ=1+p +2√p ，当且仅当tan 2θ=√p时取等号．∴1+p +2√p ≥4，p >0，解得1≤p ． ∴tanθ=1，即θ=π4时取等号． 故答案为：[1,+∞)．直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，可知：点A(1,0)，B(2,1)在直线ax +by =1的两侧，因此(a −1)(2a +b −1)≤0.画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min =√5由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，可得(1sin2θ+pcos2θ)min≥20(a2+b2)min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】2<r<4【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)，当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=−1k，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴−2√3<y0<2√3，∵M在圆上，∴(x0−5)2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4<r2<16，故2<r<4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2<r<4，故答案为：2<r<4．先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2√3，所以交点与圆心(5,0)的距离为4，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16.【答案】√10【解析】 【分析】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A 2=3π4，由正弦定理可得b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)，利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值． 【解答】解：∵锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值， ∴不妨设：cosA 1=sinA 2，cosB 1=sinB 2，cosC 1=sinC 2， 又A 2>π2，为钝角，则B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知：A 2=A 1+90°，B 2=90°−B 1，C 2=90°−C 1， 由三角形内角和定理可得：A 2+B 2+C 2=180°， 解得：A 1=π4.A 2=3π4，∵|B 2C 2|=1， ∴由正弦定理可得：c 2sin(π4−B 2)=b 2sinB 2=√22=√2，可得：b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)， ∴2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|=2√2c 2+3b 2=4√2sin(π4−B 2)+3√2sinB 2=4(√22cosB 2−√22sinB 2)+3√2sinB 2=2√2cosB 2+√2sinB 2 =√10sin(B 2+φ)≤√10，故答案为：√10．17.【答案】解：(1)2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．∴由正弦定理a 2+b 2−c 2=2√3absinC 即cosC =a 2+b 2−c 22ab =2√3absinC2ab=√3sinC ，即tanC =sinCcosC =√3sinC=√33， 则C =π6，(2)∵acos(π2−B)=bcos(2kπ+A)(k ∈Z)，∴asinB =bcosA ， 即sinAsinB =sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴sinA =cosA ，即tanA =1， 则A =π4，B =π−π6−π4， ∵a =2， ∴asin π4=csin π6得2√22=c12，得c =√2，则三角形的面积S =12acsinB =12×2×√2sin(π6+π4)=√2(12×√22+√32×√22)=1+√32．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求解即可．(2)根据条件求出A 的大小，结合正弦定理求出c 的值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积，两角和差的正弦公式进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.【答案】解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0，0)，A(a,0，0)，B(a,a ，0)，C(0,a ，0)，E(0,0，λa)， (1)证明：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,λa)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，−λa)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，−λa)． ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)⋅(−a ，−a ，λa) =a 2−a 2+0⋅λa =0，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ． (2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，0)为平面ADE 的一个法向量． 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴即{ax −aλz =0ay −aλz =0, 取z =1，得n⃗ =(λ,λ,1)．∴cos60°=√2λ2+1⇔√2λ2+1=2|λ|．由λ∈(0,1]，解得λ=√22．【解析】本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于中档题．(1)以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可； (2)分别求出平面ADE 与平面ACE 的一个法向量，利用二面角C −AE −D 的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．19.【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5． 再由C(0)=8，得k =40， 因此C(x)=403x+5． 而建造费用为C 1(x)=6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C 1(x)=20×403x +5+6x =8003x +5+6x(0≤x ≤10) (Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6． 解得x =5，x =−253(舍去)．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k =40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C 1(x)=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式． (II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：(1)∵椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，∴b=c=√2，∴a=√2+2=2，∴椭圆Г的方程为x24+y22=1．证明：(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x,2)，∴1OA2+1OB2=1x02+y02+14y02x02+4=4+x024(x02+y02)=4+x024(x02+2−x022)=12，∴1OA2+1OB2为定值12．解：(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，②联立①②，得：x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，③由OC⊥OD，得OC⋅OD=CD⋅d，∴OC2⋅OD2=(OC2+OD2)⋅d2，∴1d2=1OC2+1OD2=1x02+y02+1x2+y2=14x22x2+y2+4y22x2+y2+1x2+y2=2x2+y2+44(x2+y2)，化简，得D点轨迹方程为：(1d2−12)x2+(1d2−14)y2=1．【解析】(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x0,2)，由此能证明1OA2+1 OB2为定值12．(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，从而x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，由此能求出D点轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用．21.【答案】解：(1)a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，…(2分)设等比数列(a n}的公比是q，则a n+a n+1=6⋅5n⋅5，∴q=5，…(4分)n=1时，t+5t=30，∴t=5.…(5分)(2)证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，a1+a2p=6P1=6，依此类推，当n取n−1项时，a n−1+a np n−1=6p np n−1=6，∴T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−2+a np n−1，1 p T n=a1p+a2p2+a3p3+⋯+a n−1p n−2+a np n=a1+a1+a2p +a2+a3p2+⋯+a n−1+a np n−1+a np n，…(7分)∴(1+1p )T n=2a1+a1+2a2p+a2+2a3p2+⋯+a n−1+2a np n−1+a np n=a1+6n−6+a np n，…(9分)∴1+pp T n−a nP n−6n=a1−6=−5.…(10分)(3)a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k=6p n+1，…(11分)数列{a n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…(13分)∴t(p n−1+p n+⋯+p n+k−1)=6p n，…(15分)项数为n+k−1−(n−1)十1=k+1项，当p=1时，t(k+1)=6，∴t=6k+1，…(16分)当p≠1，且p>0时，t p n−1(1−p k+1)1−p=6p n，∴t=6p(1−p)1−p k+1.…(17分)【解析】(1)由a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，得到等比数列(a n}的公比q= 5，由此能求出t的值．(2)T n =a 1+a 2p+a 3p 2+⋯+a n−1p n−2+a n p n−1，1p T n =a 1+a 1+a 2p+a 2+a 3p 2+⋯+a n−1+a n p n−1+anp n ，由此能够证明1+p pT n −a n P n−6n =a 1−6=−5．(3)a n +a n+1+a n+2+⋯+a n+k =6p n ，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k =6p n+1，数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ，由此能求出t ．本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（•天津）i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：，故选D．【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．3．（5分）（•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0 C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0∴原命题的否定为：D．故选D．【点评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别．4．（5分）（•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f （x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选C．【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5．（5分）（•天津）阅读程序框图，则输出的S=（）A．26 B．35 C．40 D．57【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+ (14)值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值∵S=2+5+8+…+14=40．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）（•天津）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω=2，所以，故选择A．【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．8．（5分）（•天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．9．（5分）（•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB 1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．10．（5分）（•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，不等式的解集为或（舍去）．不等式的解集为，又由0＜b＜1+a得，故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，02（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a＜3（a﹣1），即2＜a＜3即可，则b＞2a﹣2b＜3a﹣3又0＜b＜1+a故 1+a＞2a﹣23a﹣3＞0解得1＜a＜3，综上2＜a＜3．故选：D．【点评】本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40 名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．12．（4分）（•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有．故答案为：【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．13．（4分）（•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为．【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，故它与l2的距离为．故答案为【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题．14．（4分）（•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【专题】直线与圆．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．15．（4分）（•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD 的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．16．（4分）（•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有324 个（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到∴共有90+234=324个．故答案为：324．【点评】本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值．（2）求的值．【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA∴由正弦定理得AB=2BC又∵BC=1∴AB=2（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°∴，∴===【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．18．（12分）（•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，写出概率，分布列和期望．（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P （X=k）=，k=0，1，2，3．∴随机变量X的分布列是x 0 1 2 3p∴X的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而，P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．19．（12分）（•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．【点评】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．20．（12分）（•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2e x，f'（x）=（x2+2x）e x，故f'（1）=3e，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），整理得：3ex﹣y﹣2e=0．（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]e x令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论．①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2，函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．21．（14分）（•天津）以知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x 轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由m≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．由直线F2B的方程为，知点H的坐标为．因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．则，所以．当时同理可得【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．22．（14分）（•天津）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞1）．设s n=a1b1+a2b2+…+a n b n，T n=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，k n和l1，l2，…，l n是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=a k1b1+a k2b2+…+a kn b n，c2=a l1b1+a l2b2+…+a ln b n证明c1≠c2．【考点】数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值．（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2n q2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2n q2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=．（Ⅲ）证明：由题设条件可知，由此入手能够导出c1≠c2．【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2n q2n﹣1，①T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2n q2n﹣1，S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2n q2n﹣1）1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）=2d（q+q3+…+q2n﹣1）=（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（a k1﹣a l1）b1+（a k2﹣a l2）b2+…+（a kn﹣a ln）b n=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（k n﹣l n）db1q n﹣1因为d≠0，b1≠0，所以若k n≠l n，取i=n若k n=l n，取i满足k i≠l i且k j=l j，i+1≤j≤n，由题设知，1＜i≤n且当k i＜l i2时，得k i﹣l i≤﹣1，由q≥n，得k i﹣l i≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（k i﹣1﹣l i﹣1）q i﹣2≤q i﹣2（q﹣1）又（k i﹣l i）q i﹣1≤﹣q i﹣1，所以因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2当k i＞l i，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

绝密★启用前上海市上海中学2020届上中高三下5月份周测试卷10数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一?填空题:1?已知复数,2iz i 则z 的虚部为___2?若a r =(3,- 4),则与a r =(3,-4)共线的单位向量为__. 3?设221x y ,则x+y 的最小值为___.4?已知矩阵1324106,05170A B 则AB=__. 5?若点55(cos ,sin )66M 在角α的终边上,则tan α=___6?将函数1y x a 的图像向左平移一个单位后得到y= f(x)的图像,再将y= f(x)的图像绕原点旋转180°后仍与y= f(x)的图像重合,则a=___.7?已知函数210()(1)10x x f x f x x ，则方程f(x)= x 在区间(0,10 )内所有实根的和为____.8?20个不加区别的小球放入编号为1, 2, 3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为____. 9?已知数列{}{}n n a b 、满足:1122,n nn n n n a b a a ，则{}n b 的前n 项和n S ____.10?若对任意实数x,都有1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x L 则3a ____.11?在△ABC 中,角A ?B ?C 所对的边为a?b?c,已知sin A+sin(B-C)= 2sin 2C,ab- cosC= 3,则△ABC 面积的最大值为__.12. 设112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y 上任意三点,则12212332A x y x y x y x y 的最小值为____. 二?选择题:13?直线121x t y t ( t 为参数)的倾斜角等于().6A .3B 1.arctan 2C D. arctan214?已知a>0,b>0,若11lim 5,n n n n n a b a b 则a+ b 的值不可能是() A.7B.8C.9D.10 15?已知数列1234,,,a a a a 满足4111111,(1,2,3)22n n n n a a a a n a a ?则1a 所有可能的值构成的集合为()1.[,1]2A B. [±2,±1,] 1.[,2]2C 1.[,1,2]2D 16?若点N 为点M 在平面α上的正投影,则记N= f α(M)如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中,记平面AB 1C 1D 为β,平面ABCD 为γ,点P 是棱1CC 上一动点(与1C C 、不重合),12()],()][[Q f P Q f f P f 给出下列三个结论: ①线段2PQ 长度的取值范围是12[,]22②存在点P 使得PQ 1//平面β ;③存在点P 使得PQ 1⊥PQ 2 ;其中,所有正确结论的序号是( ) A ①②③B.②③C.①③D.①②三?解答题:17?如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 为单位圆与x 轴正半轴的交点, P 为单位圆上一点,且∠AOP=α,将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q(a,b),其中2[,].63(1)若点P 的坐标为34(,),554时,求ab 的值; (2)6，求22b a 的取值范围.18?如图所示,直三棱柱111ABC A B C 中,AA 1=AB=AC=1,E?F 分别是1,CC BC 的中点,1AE AB ，D 为棱11A B 上的点. (1)证明: DF ⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由. 19?中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展,已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,t t N ，经测算,高铁的载客里与发车时间间隔t 相关:当20≤t ≤25时高铁为满载状态,载客里为1000人,当5≤t<20时,载客里会在满载基础,上减少,减少的人数与2(20)t 成正比,且发车时间为5分钟时的载客里为100人,记发车间隔时间为1分钟时,高铁载客里为P(t). (1)求P(t )的表达式; (2)若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入2()()4065020004tQ t P t t t (元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t 最大.20?如图,曲线L 由曲线22122:1(0,0)x y C a b y a b 和曲线22222:1(0)x y C y a b 组成,其中12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.(1)若23(2,0),(6,0),F F 求曲线L 的方程;(2)如图,作直线1平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点A 、B,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线L,若直线1l 过点4F 交曲线C 于点C ?D,求1CDF V 的面积的最大值.21?已知数列{}n a 的前n 项积为.n T 满足(1)*23()n n nT n N ),数列{b}的首项为2,且满足*1(1)()n n nb n b nN .(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)记集合*11|(105{}),nn n M n a b b n n N ,若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围; (3)是否存在正整数p,q,r,使得12q q p a a a b r a L 成立?如果存在,请写出p,q,r 满足的条件,如果不存在,请说明理由.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一．选择题1．（5分）函数的反函数是（）A．y=x2﹣1（x≥0）B．y=x2﹣1（x≥1）C．y=x2+1（x≥0）D．y=x2+1（x≥1）2．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n ＞1时，S n=（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E 为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．19．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．11．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．8B．6C．4D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）13．（5分）的展开式中x2的系数为．14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA ⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．21．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）函数的反函数是（）A．y=x2﹣1（x≥0）B．y=x2﹣1（x≥1）C．y=x2+1（x≥0）D．y=x2+1（x≥1）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：因为函数，解得x=y2﹣1，所以函数的反函数是y=x2﹣1（x≥0）．故选：A．【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可．【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题．3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式，然后求出ϕ的值．【解答】解：因为函数是偶函数，所以，k∈z，所以k=0时，ϕ=∈[0，2π]．故选：C．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能力．4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选：A．【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n ＞1时，S n=（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n+1，得S n=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，由a1=1，所以S n≠0．则=．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．故选：C．【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E 为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S △EBD=×2×=2∴V A﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．10．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF 1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．11．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log 52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．8B．6C．4D．3【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA，且DG=，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=，第六次回到E点，AE=．故需要碰撞6次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）13．（5分）的展开式中x2的系数为 7 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x2的系数即可．【解答】解：因为的展开式的通项公式为：=，当8﹣2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为．【考点】L2：棱柱的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，则，=（0，2，﹣1），由此利用向量法能够求出异面直线AE与D1F 所成角的余弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）∴，=（0，2，﹣1），设异面直线AE与D1F所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．【考点】8N：数列与三角函数的综合．【专题】15：综合题；2A：探究型．【分析】由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理将条件2b2=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A【解答】解：由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=，所以sinAsinC=所以cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣即cosAcosC﹣=﹣，可得cosAcosC=0所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角所以A是直角，或A=【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1=1，前n项和，可知，得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3，由，得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3==6．（2）由题意知a1=1，当n＞1时，有a n=s n﹣s n﹣1=，整理得，于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，a n﹣1=a n﹣2，，将以上n个式子两端分别相乘，整理得：．综上{a n}的通项公式为【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA ⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A ﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E （，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，B i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．B=，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率．（Ⅱ），P（B 1）=2×0.4×0.6=0.48，，，由C=A 1•B2+A2•B1+A2•B2，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，B i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．∴B=，P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，P（B）==P（A 0•A）+P（）==0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352．答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.3072．答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n次独立重复试验的性质和公式的灵活运用．21．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【专题】11：计算题；16：压轴题；3：解题思想；32：分类讨论．【分析】（1）先对函数进行求导，通过a的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．（2）根据导函数的根，判断a的范围，进而解出直线l的方程，利用l与x轴的交点为（x0，0），可解出a的值．【解答】解：（1）f′（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1．①当a≥1时，f′（x）≥0，且仅当a=1，x=﹣1时，f′（x）=0，所以f（x）是R上的增函数；②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，x 1=﹣1﹣，x2=﹣1+，当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．当x∈时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．（2）由题意x1，x2，是方程f′（x）=0的两个根，故有a＜1，，，因此====，同理．因此直线l的方程为：y=．设l与x轴的交点为（x0，0）得x0=，=，由题设知，点（x0，0）在曲线y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0，或a=或a=【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力．22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l 的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t 0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t 1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．。