华北理工大学材料力学刘文增第五版第6章 弯曲变形解析

(l
2
b2
3x02
)
0
x0
l2 b2 3
最大挠度为：
wmax w1(x0 ) 9
Fb 3EIl
(l 2 b2 )3
（3）最大挠度位置讨论
•分析：当a=b时：x0
l 2
当F无限接近右支座时：
x0
l 0.577l 3
•位置规律：出现在跨中附近。
（4）最大挠度值讨论
•分析：当F无限接近右支座时：
(6.1)
•θ与w存在微分关系：
tan dw ,
dx
arctan
dw dx
(6.2)
tan dw f (x)
(6.4)
dx
x
wx F
三、挠曲线的微分方程
1、建立方程：
(x)
y
由应力分析可得： 1 M (x)
(x) EI
x
d 2w
由挠曲线方程可得： 1
(x)
dx2
3
1
dw dx
2
l
6
6
C2a D2
解得：C1 C2, 由边界条件：
D1 D2
x1 0 时， w1 0 x2 l 时， w2 0 分别代入（j）式和（l）式得：
D1 D2 0
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2)
（3）确定挠曲线方程和转角方程:
2）弯曲变形讨论
（1）最大转角：
AC段：
A
Fb(l 2 b2 ) 6EIl
EIw F x3 1 Flx2 Cx D 62
5）确定积分常数
当x=0时： w'A A 0
wA 0 代入通解得方程组：
解得：
F (0)2 Fl(0) C 0 2
F
(0)3
1
Fl(0)2
C(0)
D
0
6
2
C 0, D 0
6）确定挠曲线方程和转角方程:
EIw' F x2 Flx 2
2
因此有： d 2w
dx2
3
1dLeabharlann dx22M (x) EI
wx F
去绝对值符号得：
y
d 2w
dx2
3
1
dw 2 dx
2
M (x) EI
(6.3)
（挠曲线微分方程）
由
dw
2
1
得：
dx
d 2w dx2
M (x) EI
(6.5)
（挠曲近似微分方程）
wx
x
F
2、方程讨论：
•方程近似性：
Fab(l 6EIl
b)
CB段：
B
Fab(l a) 6EIl
当a>b时： m ax
B
Fab(l 6EIl
a)
（2）最大挠度及位置
当 (x) dw(x) 0 时，w(x)为极值。
dx
由：C
Fab (a b) 3EIl
0
可知： AC段有转角为零的截面。
设x=x0截面转角为零，则：
Fb 6l
如： A 1(0) wC w1(a)
二、弯曲刚度计算
1、刚度条件：
w w max
max
2、问题类型：
校核，截面设计和确定许可荷载。
解：1）计算简图
2）选取坐标建立弯矩方程 M (x) F(l x)
3）建立微分方程
EIw'' M (x) F(l x) 4）求通解
EIw' F x2 Flx C 2
如：
(A )M A
M Al 3EI
(A )F
Fa(l
a)(2l 6EIl
a)
3、叠加求位移
挠度表2 挠度表3
( A )M A ( A )F
1、建立挠曲线近似微分方程:
•取横坐标方向为由左向右。 •注意方程分段。
2、积分求通解：
(
x)
dw(x) dx
M (x) EI
dx
C
w( x)
M (x) EI
dx dx
Cx
D
3、确定积分常数:
•边界条件：已知位移条件。 •连续条件：截面有唯一的挠度和转角。
4、确定挠曲线方程和转角方程:
5、求指定截面挠度和转角:
2、计算弯曲变形的叠加法
几个载荷同时作用时梁的变形等于各个载荷单独作用时梁的
变形的叠加。
3、梁在简单载荷作用下的变形表
挠度表3
二、用叠加法求位移方法步骤
1、将荷载分解为简单荷载
（1）简单情况： •直接法
（2）复杂情况：•位移分解法 •等效梁法 •逐段变形法
2、查表确定简单荷载的位移
•一般应先画出梁的挠曲线，由 列表中只查位移的绝对值，位移 的正负依据实际位移方向确定。
第6章 弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题
一、控制变形幅度
二、分析结构内力 •解决超静定问题； •解决动载荷问题。
§6.2 挠曲线 微分方程
一. 平面弯曲变形的概念：
1、 挠曲线：
•梁变形后的轴线。 •为连续光滑平坦的平面曲线。
y
2、挠度：
挠曲线
•横截面形心的竖向线位移。
•表示符号：w
•正负规定：上正下负。
wmax
Fbl 2 9 3EI
,
wl
2
Fb 48 EI
(3l 2
4b2 )
Fb 48 EI
3l 2
Fbl 2 16 EI
wmax wl 2 wm a x
2.65 00
•结论：用跨中挠度作为最大挠度不会引起很大误差。
§6.4 用叠加法求弯曲变形
一、叠加法的概念
1、叠加原理
在材料处于线弹性及小变形情况下，当外力引起的某一效应与 外力成线性关系时，由几个外力引起的某一效应（如：内力、 应力和位移等）等于每个外力单独作用下引起的该效应参的叠 加。
a)
（3）求建立微分方程求通解
(0 x1 a) (a x2 l)
（4）确定积分常数
由连续条件： w '1(a) w '2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
Fb l
a2 2
C1
Fb l
a2 2
F(a 2
a)2
C2
Fb a3
Fb a3 F (a a)3
l
6 C1a D1
3、转角：
•横截面绕中性轴的角位移。
•表示符号：θ •正负规定：逆时正，顺时负。
4、 水平位移：
•横截面型心水平位移。
•较小工程中不计算。
角位移
竖向位移
wx
F
水平位移
二. 平面弯曲变形的简化：
1、 问题简化：
y
•认为水平位移为零。
2、简化后的特征：
•挠度方程曲线为挠曲线。
•挠曲线方程为挠度方程：
w f (x)
EIw F x3 Fl x2
7）求截面位移
62
B
w'B
1 EI
(F 2
l2
Fll)
Fl 2 2EI
wB
1 EI
(F 6
l3
Fl 2
l2)
Fl 3 3EI
解：1）求挠曲线方程和转角方程
（1）支反力：
FRA
Fb , l
FRB
Fa l
（2）建立弯矩方程
AC段：
M1
Fb l
x1
CB段：
M2
Fb l
x2
F (x2
y
①忽略了水平位移;
②忽略了FS的影响; ③忽略了 dw 2项的影响。
dx
•方程适用条件：
① 小变形;
角位移
挠曲线
竖向位移
wx
F
水平位移
1 M (x)
(x) EI
② σ＜σp; ③ 细长梁。（忽略了FS）
d 2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M (x) EI
§6.3 积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形方法步骤