12.1(3)曲线的交点

12.1曲线与方程上海市控江中学张进兴一、教学内容分析曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想——通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础.“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题.在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点.12.1(1)（2）曲线与方程二、教学目标设计理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点.通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.三、教学重点及难点重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.四、教学用具准备本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹.五、教学流程设计六、教学过程设计12．1（1）曲线方程的概念一、复习回顾思考并回答下列问题1、l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的答：借助直线方程研究直线的位置关系.[说明] 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.二、讲授新课1、概念引入（1）以定点A （1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？设原上任意一点M 的坐标为),(y x ，则x 和y 应当满足课堂小结并布置作业 概念实例引入曲线和方程求曲线的方程 方法步骤运用与深化(例题解析、巩固练习)平方后整理得0222=-+x y x ①问：能否用方程①来表示圆A ？为什么？用方程22x x y -=②与方程①中的哪一个来表示圆A 比较好？[说明] 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.2、概念形成曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.[说明] 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合； }0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =. 3、概念深化例 1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .（课本P31例1）证明：（略）例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（课本P31例1）（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？ 解：（略[说明] 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调曲线方程的完备性和纯粹性三、巩固练习课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）四、课堂小结（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）五、作业布置习题册P17 A 组 第1、2、3题； P19 B 组 第2题12.1（2）求曲线的方程一、复习回顾思考并回答下列问题1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．（学生思考并回答．教师强调）2．回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．[说明]通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.二、学习新课如何根据已知条件，求出曲线的方程？例1 已知两定点)0,1(1-P 和)0,3(2P ，求到点1P 和2P 的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3例2 动点M 与距离为4的两个定点A 、B 满足5M =⋅，建立适当的坐标系，并求动点M 的轨迹方程.（课本P34例4）[说明]分析上面两个例题的求解过程，总结出求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.然后结合课本归纳出以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点)2,0(A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程（补充）. 答案：)0(812≠=x x y [说明]一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.在本教材中证明不作要求，特殊情况要说明.因此上述五个步骤又可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；修正.例4 已知定点)0,4(A 和曲线122=+y x 上的动点B ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.（课本P34例5）[说明] 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”，这类求轨迹方程的问题的特点是：问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的动点，其中一个动点在已知曲线上运动，所以“代入法”又叫做相关点法.三、巩固练习课本P35练习12.1（2）第3、4题 四、课堂小结（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系）（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？五、作业布置习题册P17-18 A组第4、5、6题； P19 B组第4题七、教学设计说明曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想.因此，解析几何面临两大基本问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.因此，在本节的教学中应该从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，所以教材安排先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”.求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系.求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，学习过程具有较强的探究性，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.。

XX届高考数学曲线的交点轮导学案复习
高三数学理科复习40----曲线的交点
【学习目标】：1、掌握判断两条曲线公共点个数的方法，并通过解方程组求出两条曲线的交点
会计算直线和圆锥曲线相交所得的线段的长及线段中
点的坐标.
能够运用数形结合，迅速判断某些曲线的位置关系.
【知识复习与自学质疑】
直线与抛物线，当时，有且只有一个公共点；当时，
有两个不同的公共点；当时，无公共点
若直线和椭圆恒有公共点，则实数.
曲线与曲线的公共点的个数为.
若两直线与的交点在曲线上，则的值是
已知直线与曲线有两个相异的公共点，贝啲取值范围为
【例题精讲】
为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
讨论曲线与曲线的公共点的个数
过椭圆上一点作两条斜率互为相反数的直线分别交椭圆于另两点A, B,线段AB的中点为c,设PA的斜率为.
用的代数式表示A, B的坐标;
求证：直线AB的斜率为定值；
当时，求证：直线oc的斜率为定值.
【矫正反馈】
直线被双曲线截得的弦长等于.
若直线与圆没有公共点，贝农n满足的关系式为.
以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有个.
过点引抛物线的两条切线PA PB贝y这两个切点的横坐标分别为.
设直线，直线经过点，抛物线，已知与曲线c共有三个交点，那么满足条件的直线共有条.
如图，和是平面上的两点，动点P满足P+PN=6.
求点P的轨迹方程；
若,求点P的坐标.。

高中数学直线与曲线交点计算技巧在高中数学中，直线与曲线的交点计算是一个常见的题型。

这种题型考察了学生对直线和曲线的性质、方程的解法以及计算的技巧。

本文将通过具体的例题，详细解析这类题目的解题思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。

首先，我们来看一个简单的例子。

已知直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1，求它们的交点坐标。

解题思路：1. 将直线方程和曲线方程联立，得到一个二次方程。

2. 解二次方程，求出交点的横坐标。

3. 将横坐标代入直线方程或曲线方程，求出交点的纵坐标。

4. 得到交点的坐标。

具体步骤如下：1. 将直线方程和曲线方程联立，得到二次方程：x^2 + 1 = 2x + 1x^2 - 2x = 02. 解二次方程，求出交点的横坐标：x(x - 2) = 0解得 x = 0 或 x = 23. 将横坐标代入直线方程或曲线方程，求出交点的纵坐标：当 x = 0 时，直线方程变为 y = 1，曲线方程变为 y = 1，所以交点为 (0, 1)。

当 x = 2 时，直线方程变为 y = 5，曲线方程变为 y = 5，所以交点为 (2, 5)。

4. 得到交点的坐标：交点坐标为 (0, 1) 和 (2, 5)。

通过这个例子，我们可以看到求解直线与曲线交点的关键在于联立方程，并解方程得到交点的横坐标。

然后，将横坐标代入方程，求出交点的纵坐标。

这样，我们就能得到交点的坐标。

除了直接联立方程求解交点，还有一种更简便的方法，即利用图像求解。

下面我们来看一个例子。

已知直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1，求它们的交点坐标。

解题思路：1. 将直线方程和曲线方程绘制在同一坐标系中。

2. 观察图像，确定交点的大致位置。

3. 利用图像求解，求出交点的坐标。

具体步骤如下：1. 绘制直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1的图像。

注意，可以使用计算器或绘图软件辅助绘制。

直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中，直线与曲线是基础且重要的概念。

它们在几何、代数以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。

直线与曲线的交点和公共点是我们在研究它们时常常遇到的问题。

本文将通过对直线与曲线的交点和公共点进行比较分析，探讨它们之间的区别与联系。

希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地理解直线与曲线的性质，从而对数学知识有更深入的理解和应用。

json"1.2 文章结构": {"本文将分为三个部分进行讨论。

首先，在引言部分中，将介绍本文的概述、文章结构和目的。

其次，正文部分将分为直线与曲线的交点、直线与曲线的公共点以及区别与联系这三个小节来详细探讨两者之间的关系。

最后，在结论部分中，将总结直线与曲线的交点与公共点的区别，探讨其应用与意义，并展望未来研究方向。

通过以上结构，读者将对直线与曲线的交点与公共点有更清晰的认识。

"}1.3 目的目的部分的内容如下：目的在于探讨直线与曲线的交点与公共点之间的区别，深入理解它们在几何学中的重要性和意义。

通过对交点和公共点的概念进行比较分析，揭示它们不同的性质和特点，帮助读者更好地理解这两种几何对象之间的关系。

同时，通过对它们的区别与联系进行论述，进一步启发读者对几何学问题的思考，促进数学知识的拓展和深化。

最终旨在为读者提供对直线与曲线之间交点与公共点的理解，为进一步的研究和应用提供基础和参考。

2.正文2.1 直线与曲线的交点:在数学中，直线和曲线是两种基本的几何图形，它们在平面上有着不同的性质和特点。

当直线和曲线相交时，它们可能会有一个或多个交点。

在这一部分，我们将重点讨论直线与曲线的交点的性质和特点。

首先，我们来看直线与曲线的交点的定义。

当一条直线与一条曲线相交时，它们在交点处有共同的坐标点，即这些坐标点同时满足直线和曲线的方程。

根据直线和曲线的方程，我们可以求解它们的交点坐标，从而找到它们的交点。

曲线的交点一、学习目标1、通过实例掌握求两条曲线的交点的坐标的方法;2、进一步学习方程思想和数形结合的方法。

二、学习重点对两曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解。

三、学习过程 （一 ）问题情境问题1：我们在上节课已经学习了解两条直线的交点。

那么一般的，我们如何求两条曲线的交点呢？ （二）师生探究由曲线方程的定义可知，对于曲线()0,:11=y x f C 和曲线()0,:22=y x f C ，由于()()()⎩⎨⎧==⇔0,0,,221000００００１，的公共点与是y x f y x f C C y x P所以，求两条曲线的交点，就是求方程组()()⎩⎨⎧==0,0,2００００１，y x f y x f 的实数解。

方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点，方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。

（三）建构数学 证明：(1) 必要性：如果点0P 是曲线1C 和2C 的交点，那么点P0既在曲线1C 上又在曲线2C 上，因此点0P 的坐标()００y x ,应同时满足方程()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，即()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，也就是()００y x ,是方程组12(,)0(,)0f x y f x y =⎧⎨=⎩的一组实数解。

(2) 充分性：设()００y x ,是方程组12(,)0(,)0f x y f x y =⎧⎨=⎩的一组实数解，那么()００y x , 同时满足方程()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，因此以()００y x ,为坐标的0P 既在曲线1C ，又在曲线2C 上，即点0P 是曲线1C 和2C 的交点．【总结一】这也告诉我们要求两曲线的交点，只要解这两条曲线方程组成的方程组，一般地有直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)的位置关系的判定方法：消去y(或x)可得220(0,4)ax bx c a b ac ++=≠∆=-，则 (1)相离：△＜0 相离；没有交点，无解 (2)相交：△＞0 相交；二个交点，2个解(3)相切：△=0相切．一个交点，1解(注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件，以后还要进一步分析．)下面着重分析一下这一定理的应用． 四、例题精讲【例1】已知曲线C 的方程是224x y +=，当b 为何值时，直线:20l x y b -+=与曲线C 有两个不同的交点？一个交点？没有交点？解：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，利用判别式【例2】已知曲线224x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与曲线公共点的个数 【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

高三数学理科复习40----曲线的交点
【学习目标】：1、掌握判断两条曲线（含直线）公共点个数的方法，并通过解方程组求出两条曲线的交点.
2、会计算直线和圆锥曲线相交所得的线段的长及线段中点的坐标.
3、能够运用数形结合，迅速判断某些曲线的位置关系.
【知识复习与自学质疑】
1、直线与抛物线，当时，有且只有一个公共点；当时，
有两个不同的公共点；当时，无公共点.
2、若直线和椭圆恒有公共点，则实数 .
3、曲线与曲线的公共点的个数为 .
4、若两直线与的交点在曲线上，则k的值是 .
5、已知直线与曲线有两个相异的公共点，则m的取值范围为 .
【例题精讲】
1、k为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
2、讨论曲线与曲线的公共点的个数.
3、过椭圆上一点作两条斜率互为相反数的直线分别交椭圆于另两点A，B，线段AB的中点为C，设PA的斜率为.
（1）用k的代数式表示A，B的坐标;
（2）求证：直线AB的斜率为定值;
（3）当时，求证：直线OC的斜率为定值.
【矫正反馈】
1、直线被双曲线截得的弦长等于 .
2、若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为 .
以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有个.
3、过点引抛物线的两条切线PA，PB（A，B是切点），则这两个切点的横坐标分别为 .
4、设直线，直线经过点，抛物线，已知与曲线C共有三个交点，那么满足条件的直线共有条.
5、如图，和是平面上的两点，动点P满足PM+PN=6.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）若,求点P的坐标 .。

直线和曲线之间的交点有何特点？一、交点的存在性和唯一性当直线和曲线相交时，交点的存在性和唯一性是首要问题。

对于直线和曲线的交点来说，存在两种情况：1. 存在且唯一：当直线和曲线只有一个交点时，我们称其为存在且唯一的交点。

这种情况在实际应用中较为常见，比如平行线和曲线的交点。

2. 存在且不唯一：当直线和曲线有多个交点时，我们称其为存在但不唯一的交点。

这种情况在曲线自身的性质和形状决定下出现，比如多次相交并交点处的曲率不相等的情况。

二、交点的坐标和性质每个交点都有其特定的坐标和性质。

在数学问题的解决过程中，我们可以通过求解方程组的方式确定交点的坐标。

1. 坐标的判断：交点的坐标可以通过代数方法求解方程组得到。

对于直线和曲线之间的交点来说，常见的求解方式有代数法和几何法。

其中，代数法主要是通过联立直线方程和曲线方程求解交点的坐标。

2. 几何性质的分析：交点的几何性质是研究直线和曲线之间关系的重要途径。

其中，最常见的几何性质包括交点处的切线方向、曲线的曲率等。

三、交点对几何问题的启示直线和曲线之间的交点不仅仅是数学问题的解答，也对几何问题有着重要的启示。

1. 几何问题的转化：通过求解直线和曲线交点的坐标，可以将原来的几何问题转化为代数问题。

这种转化方式在数学建模和实际问题求解中经常被使用。

2. 几何形状的确定：通过研究交点处的几何性质，可以确定直线和曲线的交点是凹还是凸，曲线是单调递增还是单调递减等，从而进一步分析几何形状。

四、实际应用举例直线和曲线的交点在实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个实际应用的举例：1. 材料力学：在材料力学中，直线和曲线的交点可以用来分析材料的变形和应力分布。

2. 电路分析：在电路分析中，直线和曲线的交点可以用来求解电路中的电压和电流。

3. 经济学模型：在经济学模型中，直线和曲线的交点可以用来分析市场供求关系和均衡价格。

总结起来，直线和曲线之间的交点具有存在性和唯一性这两个基本特点。

江苏省泰兴中学高二数学讲义（17）曲线的交点[目标要求]1． 掌握求曲线交点的方法：联立方程组，方程组解的个数就是两曲线公共点的个数. 2． 掌握弦长公式的应用 [重点难点]重点：通过联立方程组求方程组的实施根，即曲线交点坐标. 难点：判断曲线交点个数问题. [典例剖析]例1．（1）直线3y kx =+与椭圆22194x y +=有公共点，则k 的取值范围是 ______.（2）关于x 的方程21x x m --=有解，则实数m 的取值范围是___ ______.（3）直线152y x =-+与曲线21925x x y +=的交点个数是 ______.例2、如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.若AB BC λ=,求实数λ的值.例3、直线1y ax =+与双曲线2231x y -=，相交于A 、B 两点. （1） 求AB 的长；（2） 当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点.[学后反思]1、 领悟解几的基本思想，即通过方程（组）来研究曲线的性质2、 理解弦长公式本质上是两点距离公式的一种变式，并注意到焦点弦的长度也可用椭圆的第二定义或焦半径公式优化计算3、 数形结合的思想方法是解决曲线交点问题的有效方法之一.[巩固练习]1、过椭圆12222=+b x a y （a>b>0）的一个焦点且和长轴垂直的弦的长度为___________.2、已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是_________.3、已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k 等于_________.4、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交 椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积江苏省泰兴中学高二数学课后作业（17）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1、 过抛物线2y x =与2y x =的两个交点的直线的方程是___________.2、直线y ＝x ＋1与椭圆4x 2＋y 2＝λ（λ≠0）只有一个公共点，则λ的值是3、直线 x ―y ―1=0截抛物线y 2=8x ，所截得的中点的坐标是4、若曲线y x =与1y kx =+有两个交点，则k 的取值范围是_________5、直线b x y +=与双曲线2222=-y x 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过 原点，求b 的值.6、已知椭圆P 的中心O 在原点，焦点在x 坐标轴上，且过点,离心率为. (0,A 12（1）求椭圆P 的方程；（2）是否存在过点)4,0(-E 的直线l 交椭圆P 于点R 、T ，且满足．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【B 组题】1、已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于A ，B 两点，若P （2，2）为AB 的中点，则抛物线C 的方程为___ ______.2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ． （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．167OR OT ⋅=。

曲线的交点和函数的零点4. 用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】(2006四川卷,文）已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数.（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点【分析及解】（Ⅰ）由题意()2335g x x ax a =-+-. 令()()2335h x x a x =-+-，11a -≤≤,对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0h a <.∴()()10,10.h h <⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩ 解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <（Ⅱ）()'2233f x x m =-①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时，令()()32334,x f x x m x ϕ=-=-- 则 ()2233x x m ϕ'=-.所以,2244x m m m ϕϕ==--<-min .又因为()f x 的值域是R ，且在(),m +∞上单调递增.所以,当x m >时函数()y x ϕ=的图象与x 轴只有一个公共点.当x m <时，恒有()()max x mϕϕ=-,此时, ()y x ϕ=的图象与x 轴不能再有公共点,必须()y x ϕ=得极大值小于零,即()0m ϕ-<, ()m ϕ-=3224240m m m -=-<,解得()(m ∈ .综上，m 的取值范围是(【例2】（2008陕西卷文）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．【分析及解】（Ⅰ） 22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3aa x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3aa -内是减函数．（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+， 即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．因为,一定有一根0x =,所以,22(2)0x a --=没有实数根或有两个相等的实数根,因此有220a -≤，即a ≤≤又0a ≠，∴[a ∈ ．当0a >时，()g x 才存在最小值，∴a ∈． 211()()g x a x a aa=-+-， 所以, 1(),h a a a a =-∈． 于是()h a的值域为(,12-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内是增函数，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是增函数．由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1a ≥；当0a <时，()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内是增函数．由题意得02312a aa a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得3a ≤-； 综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞ ．【例3】（2008四川 卷,理）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）因为()2101af x x x'=+-+， 所以(3)61004af '=+-=．因此16a =． 当16a =时, ()()()224323116()210111x x x x f x x x x x -+--'=+-==+++, 由此可知,当()1,3x ∈时, ()f x 单调递减,当()3,x ∈+∞时, ()f x 单调递增,所以, 当16a =时, 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．于是, 16a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1)x ∈-+∞，， ()()231()1x x f x x --'=+．当(11)(3)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>， 当(13)x ∈，时，()0f x '<， 所以()f x 的单调增区间是(11)(3)-+∞，，，，()f x 的单调减区间是(13)，． （Ⅲ）y b =与()y f x =的图象有3个交点；等价于()f x b =有3个实数根；即()0f x b -=有3个实数根；此时,函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同交点，令()()()216ln 110x f x b x x x b ϕ=-=++--， 则()()()2131621011x x x x x xϕ--'=+-=++()1x >-， 令()0x ϕ'=，解得1x =或3x =，()x ϕ'，()x ϕ随x 的变化情况列表如下：的⎧⎨⎩【例4】（2008湖南卷, 文）已知函数()4321942f x x x x cx =+-+有三个极值点． （Ⅰ）证明：275c -<<；（Ⅱ）若存在实数c ，使函数()f x 在区间[]2a a +,上单调递减，求a 的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）因为函数()4321942f x x x x cx =+-+有三个极值点， 所以()32390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根． 令()3239g x x x x c=+-+，则()()()2369331g xx x x x '=+-=+-， 当3x <-时，()0g x '>，()g x 在()3,-∞-上为增函数；当31x -<<时，()0g x '<，所以,()g x 在()3 1-，上为减函数； 当1x >时，()0g x '>, 所以,()g x 在()1 +∞，上为增函数； 所以函数()g x 在3x =-时取极大值，在1x =时取极小值．当()30g -≤时，或者()10g -≥时，()0g x =至多只有两个不同实根． 要使()0g x =有三个不同实根，就必须使极大值()30g ->且极小值()10g <．即()()32727270,11390.g c g c -=-+++>⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩解得27,5.c c >-⎧⎨<⎩，故275c -<<．（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x . 令()32390f x x x x c '=+-+=,则32c 39x x x =--+,由于275c -<<,则3227395c x x x -<=--+<,即3232395,3927.x x x x x x ⎧--+<⎨--+>-⎩ 整理得22(5)(1)0,(3)(3)0.x x x x ⎧+->⎨-+<⎩ 解得53x -<<且3,1x x ≠-≠. 于是()0f x '=的三个实数根123,,x x x ,满足53x -<<且3,1x x ≠-≠. 从而13x <-,2331,13x x -<<<<. 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，则[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,若[],2a a +⊂1(]x -∞，,则123a x +≤<-, 于是 5.a <-若[],2a a +⊂23[,]x x ,则233,2 3.a x a x ≥>-⎧⎨+≤<⎩ 于是3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，x总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞-- ，. 【例5】(2007年全国Ⅱ卷,理) 已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．【分析及解】（Ⅰ）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．【例6】（2008江西卷， 文）已知函数()()4322411 043f x x ax a x a a =+-+> （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）令()()()322220f x x x a x x x a x a '=+-=+-=，得12320x a x x a =-==，，．在0a >的已知条件下，()f x '及()f x 随x 的变化情况列表如下：x () 2a -∞-，2a -()2 0a -，()0a ，a() a +∞，()f x '-0 +0 -+()f x减极小值增极大值增极小值减所以()f x 的递增区间为()2 0a -,与()a,+∞，()f x 的递减区间为()2,a -∞-与()0a ,．（Ⅱ）要研究函数()y f x =的图象与直线1y =的交点的情况,就要考虑函数()y f x =的极大值和极小值相对于1y =的位置.由（Ⅰ）得到()()4523fx f a a =-=-极小值，()()4712f x f a a ==极小值，()4f x f =极大值，由图可知，要使()f x 的图象与直线1y =恰有两个交点，只需(1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即44571312a a -<<; (2) 极大值小于1,即41a <，即a >01a <<． 【例8】（2006福建卷，文）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

求曲线的交点一、教学目标1、通过实例掌握求两条曲线的交点的坐标的方法;2、进一步学习方程思想和数形结合的方法。

二、教学重点对两曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解的应用。

三、教学过程 （一 ）问题情境问题1：我们在上节课已经学习了解两条直线的交点。

那么一般的，我们如何求两条曲线的交点呢？ （二）师生探究由曲线方程的定义可知，对于曲线()0,:11=y x f C 和曲线()0,:22=y x f C ， 由于 ()()()⎩⎨⎧==⇔0,0,,221000００００１，的公共点与是y x f y x f C C y x P所以，求两条曲线的交点，就是求方程组()()⎩⎨⎧==0,0,2００００１，y x f y x f 的实数解。

方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点，方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。

（三）建构数学 证明：(1) 必要性：如果点0P 是曲线1C 和2C 的交点，那么点P0既在曲线1C 上又在曲线2C 上，因此点0P 的坐标()００y x ,应同时满足方程()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，即()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，也就是()００y x ,(2) 充分性：同时满足方程()0,1=y x f 和()0,2=y x f ，因此以()００y x ,为坐标的0P 既在曲线1C ，又在曲线2C 上，即点0P 是曲线1C 和2C 的交点．【总结一】这也告诉我们要求两曲线的交点，只要解这两条曲线方程组成的方程组，一般地有直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)的位置关系的判定方法：消去y(或x)可得ax2+bx+c=0(a ≠0，△=b2-4ac)，则 (1)相离：△＜0 相离；没有交点，无解 (2)相交：△＞0 相交；二个交点，2个解(3)相切：△=0相切．一个交点，1解(注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件，以后还要进一步分析．)下面着重分析一下这一定理的应用． 四、例题精讲【例1】已知曲线C 的方程是224x y +=，当b 为何值时，直线:20l x y b -+=与曲线C 有两个不同的交点？一个交点？没有交点？解：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，利用判别式(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)【例2】已知曲线224x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。