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8 数值积分

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数值分析-第4章 数值积分和数值微分

数值分析-第4章 数值积分和数值微分

A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即

b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1

数值积分-计算方法

数值积分-计算方法
，
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。

数值积分

数值积分

数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n

b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n

1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV

数值积分方法求解积分方程

数值积分方法求解积分方程

数值积分方法求解积分方程
数值积分方法是通过对被积函数进行离散化，将积分方程转化为求和问题，从而利用数值求和的方法进行求解。

常用的数值积分方法包括梯形法则(Trapezoidal rule)、中点法
则(Midpoint rule)、辛普森法则(Simpson's rule)等。

以梯形法则为例进行说明：
梯形法则是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间都近似看做一个梯形，然后对所有梯形的面积进行求和。

具体步骤如下：
1. 将积分区间 [a,b] 平均分成 n 个子区间，每个子区间长度为
h=(b-a)/n。

2. 在每个子区间中，用梯形近似替代被积函数。

假设第 i 个子
区间为[xi, xi+1]，则梯形的面积为(f(xi)+f(xi+1))*(xi+1-xi)/2，其中 f(x) 是被积函数。

3. 对所有子区间的梯形面积进行求和，即 S = (h/2) * [f(a) +
2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(xn-1) + f(b)]。

通过上述步骤，就可以利用梯形法则对积分方程进行数值求解。

需要注意的是，选择合适的子区间个数 n 以及采用更高阶的数
值积分方法，可以提高求解的精度。

此外，对于某些特殊形式的积分方程，可能需要采用特定的数值积分方法进行求解。

数值计算方法之数值积分

数值计算方法之数值积分

数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。

数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

首先介绍矩形法。

矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。

矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。

梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。

梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。

辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。

辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。

除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。

这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。

总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。

数值积分

数值积分

W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到

0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式

b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1

数值积分方法

数值积分方法

数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。

在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。

通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。

数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。

当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。

数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。

首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。

其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。

此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。

数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。

另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。

总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。

数值计算中的数值积分方法

数值计算中的数值积分方法

数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。

其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。

本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。

一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。

在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。

数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。

数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。

二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。

矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。

矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。

2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。

梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。

3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。

辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。

辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。

三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。

例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。

在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。

在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。

在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。

总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。

通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。

数值积分法

数值积分法
ˆ K 1 M C K t 2 t
1 1 1 i i 1 u pi 1 pi 1 M 2 ui u t 2 t t i 2 u i C ui 1 u 2 t
（1）分段解析法；
（2）中心差分法； （3）平均常加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－β法；
（6）Wilson－θ法
•••••••• 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究 的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
因此提出时域逐步积分法，即只假设在一个时间步距内 是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
ˆ u p K ˆ i 1 i 1
i 1 i t 1 i u ui 1 ui 1 u u t 2 1 1 1 i 1 i i u ui 1 u u u 2 i 1 t t 2
当τ ＝ Δt ，即t ＝ t i＋1时刻，体系得运动状态为：
( 0) u |t ti u i , u( 0) ui u ( ) a u i 最后得： u 1 2 i ui u ( ) a u 2
i 1 at u i u
目录
1 基本问题 2 时域积分法的构造
3 Newmark法
4 方法特点比较
1.数值算法中的基本问题
车辆运动方程
(t ) cu (t ) ku (t ) p(t ) mu (t ) [C ]u (t ) [ K ]u(t ) [ p(t )] [ M ]u
时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：

数值分析-数值积分详解

数值分析-数值积分详解

xk
和 Ak 的代数问题.

b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。

1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n

b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：

数值积分法

数值积分法

数值积分法数值积分法是数学中一种重要的积分技术，它用于解决一类复杂的积分方程。

简而言之，数值积分法使用数学技巧计算复杂的定积分。

它利用数值计算技术，如复合梯形法、改进梯形法、改进Simpsons 法、Romberg积分法等，将一个复杂的函数转换成一系列简单的函数，以便计算它们之间的积分值。

数值积分法包括高斯-勒让德复合梯形法、勒贝格复合梯形法、改进梯形法、改进Simpson法、Romberg积分法等。

由于各种方法的不同，它们在不同条件下的性能也不同。

为了得到最佳的数值积分法，需要仔细分析办法的优劣、特点，以便根据不同的积分问题，选择最合适的方法来求解。

首先，复合梯形法包括高斯-勒让德法和勒贝格法。

这两种方法的共同点是都使用普通梯形法来代替复杂的函数，把它分段细分成很多小段，使其变得更容易计算。

高斯-勒让德法在每个子区间中都使用两个点来定义一个梯形，而勒贝格法在每个子区间中都使用三个点，一般来说，使用三个点比两个点计算精度更高。

其次是改进梯形法和改进Simpson法。

改进梯形法是在复合梯形法的基础上加以改进，它试图使复杂函数在小区间内更准确。

它对每个子区间进行多次拆分，以一定精度来拟合函数。

改进Simpson法也是根据复合梯形法改进而来，它把一个较大的区间拆分成以三点为基础的梯形，使拟合准确性更高。

最后是Romberg积分法。

它是一种改进的复合梯形法，它使用了一种类似复合梯形法的方法，但用一种特殊的矩阵来求解梯形的积分。

它可以把拆分的子区间数值用矩阵的乘方来表示，从而实现自动化求解，用较少的计算量就能准确求解函数积分。

总结而言，数值积分法是一类复杂的积分技术，它们具有计算准确、复杂度低、计算量少等优点，是解决复杂积分问题的不可缺少的工具。

因此，正确选择数值积分法，对于求解复杂积分方程具有重要的意义，值得大力研究和推广。

数值积分微分方程

数值积分微分方程

2.3 数值积分2.3.1 一元函数的数值积分函数1 quad 、quadl 、quad8功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。

格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。

若给fun 输入向量x ，应返回向量y ，即fun 是一单值函数。

q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。

tol 越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。

q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。

若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。

[q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n… = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。

… = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。

例2-40>>fun = inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’); equivalent to: function y=funn(x)y=3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3);>>Q1 = quad(fun,0,2) >>Q2 = quadl(fun,0,2)计算结果为：Q1 =3.7224 Q2 =3.7224补充：复化simpson 积分法程序程序名称 Simpson.m调用格式 I=Simpson('f_name',a,b,n)程序功能 用复化Simpson 公式求定积分值输入变量 f_name 为用户自己编写给定函数()y f x 的M 函数而命名的程序文件名 a 为积分下限b 为积分上限n 为积分区间[,]a b 划分成小区间的等份数 输出变量 I 为定积分值 程序function I=simpson(f_name,a,b,n) h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval(f_name,x); N=length(f)-1;if N==1fprintf('Data has only one interval') return; end if N==2I=h/3*(f(1)+4*f(2)+f(3)); return; end if N==3I=3/8*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4)); return; end I=0;if 2*floor(N/2)==NI=h/3*(2*f(N-2)+2*f(N-1)+4*f(N)+f(N+1)); m=N-3; else m=N; endI=I+(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+2*f(m+1)); if m>2I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m)); end例题 求0sin I xdx π=⎰。

数值积分方法讨论

数值积分方法讨论

数值积分方法讨论数值积分是数值分析中的一种重要方法，用于计算数学函数的积分。

与解析积分不同，数值积分使用数值方法来近似积分值，因此可以处理复杂的数学函数，而解析积分可能无法求解。

本文将讨论几种常见的数值积分方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法和高斯积分法。

1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。

它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内取一个值作为近似值，通常是左端点、右端点或区间中点。

然后将所有小区间的近似值相加，得到最终的积分值。

矩形法的优点是简单易懂，计算速度快，但它的精度不高，特别是在积分区间较大或函数曲线变化较大的情况下。

2. 梯形法梯形法是另一种简单的数值积分方法。

它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内用梯形面积近似函数曲线下的面积。

具体而言，梯形面积等于两个端点函数值的平均值乘以小区间长度。

然后将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的积分值。

与矩形法相比，梯形法的精度更高，但它仍然受到积分区间大小和函数曲线变化的影响。

3. 辛普森法辛普森法是一种更精确的数值积分方法。

它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内用一个二次多项式近似函数曲线。

具体而言，辛普森法将小区间分成偶数个子区间，然后在每个子区间内用一个二次多项式拟合函数曲线。

积分值等于所有子区间的积分值之和。

辛普森法比矩形法和梯形法更精确，特别是在积分区间变化较大或函数曲线较复杂的情况下。

但它需要更多的计算量。

4. 高斯积分法高斯积分法是一种基于多项式插值的数值积分方法。

它利用高斯-勒让德多项式在积分区间内的节点值和权重，将积分转化为节点值和权重的线性组合。

具体而言，高斯积分法将积分区间划分为若干个节点，然后将函数曲线在每个节点处用高斯-勒让德多项式插值。

积分值等于各节点处插值函数值和权重的乘积之和。

高斯积分法是最精确的数值积分方法之一，但它需要更多的计算量和节点数。

它特别适用于计算高度非线性的函数曲线的积分。

几种常用数值积分方法的比较讲解

几种常用数值积分方法的比较讲解

学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比较姓名潘晓祥学号1006020540200院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：年月日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级所属学院数学与计算机科专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标1．了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法；2．对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析；3．对各积分方法进行比较总结出优缺点。

主要要求通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析，并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。

数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法，对几种常用数值积分方法的分析很必要。

主要内容本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较，并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。

贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级数学与计算机所属学院专业数学与应用数学班级数本（4）班科学学院指导教师姓名雍进军职称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月05 日选题的原由：研究意义:数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点.并在实际问题及应用中有着广泛的应用.常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义.数值积分是研究如何求出一个积分的数值.这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法.也正是此法使阿基米德得以求出π值得上界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式.但各种方法都有特点,在不同的情况下试用程度不同,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较. 研究动态:这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献.研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公式应该满足:计算简单,误差小,代数精度高.我们将对矩形求积法,内插求积法，牛顿科特斯公式,化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较.对数值求积公式能有进一步的了解和学习.主要内容：1 数值积分方法的基本思想2 几类常用数值积分方法的基本分析2.1 Newton—Cotes求积公式2.2 复化求积公式2.3 Romberg求积公式2.4 高斯型求积公式3 几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法：本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较.完成期限和采取的主要措施：本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:(1)7月份查阅相关书籍和文献;(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;(5)11月份完成论文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成主要参考文献及资料名称：[1] 关治. 陆金甫. 数学分析基础（第二版）[M]. 北京:等教育出版社.2010.7[2] 胡祖炽. 林源渠. 数值分析[M] 北京:等教育出版社.1986.3[3] 薛毅. 数学分析与实验[M] 北京:业大学出版社2005.3[4] 徐士良. 数值分析与算法[M]. 北京:械工业出版社2007.1[5] 王开荣. 杨大地. 应用数值分析[M] 北京:等教育出版社2010.7[6] 杨一都. 数值计算方法[M]. 北京:等教育出版社 . 2008.4[7] 韩明. 王家宝. 李林. 数学实验（MATLAB）版[M]. 上海:济大学出版社2012.1[8] 圣宝建. 关于数值积分若干问题的研究[J]. 南京信息工程大学. 2009.05.01. : 42[9] 刘绪军. 几种求积公式计算精确度的比较[J]. 南京职业技术学院. 2009.[10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M]. 北京理工大学出版社.2010.4.开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）雍进军导师（讲师）邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长指导教师意见：签名：年月日会议记录摘要：指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答：雍老师问:选择此题目的目的?潘晓祥答:随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。

数值分析8-高斯型求积公式

数值分析8-高斯型求积公式
计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。 高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
I = ∫ x 2 cos xdx
2
π
0
解 先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
x − a ≤ h
步长的选取
再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小 时，由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相 减会造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差 的角度来看，步长是不宜太小的. 综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果 步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计 算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的 前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程 中实现步长的自动选择.
插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值， 如何计算在这些节点处导数的近似值？ 方法：插值型数值微分 先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项 两边求导得
n 0 1 2 3 4 5 节点个数 1 2 3 4 5 6 Gauss点 0.0000000 ±0.5773503 ±0.7745967 0.0000000 ±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 Gauss系数 2.0000000 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.17132449 0.36076157 0.46791393

第八章积分与数值积分

第八章积分与数值积分

416
433.5 443.1 459.2 463.2 466.5 454.6 443.9 426.6
401
420.5 435.5 447.6 454.6 457.6 450.2 447.8 433.5
380.5
398.5 415.2 429.2 439.5 446.5 448.1 440.2 434.5
315.5
330.2 346.5 360.3 374.5 386.3 399.5 406.3 407.6
310.4
325.4 342.3 356.5 369.5 381.2 391.2 397.4 390.0
306.3
323.1 338.2 352.5 364.5 375.5 380.2 382.2 388.6
x a cos t 椭圆方程： y b sin t
c r s1 a 1 c ( s1 s2 ) r ( s1 r ) 2 1 c ( s2 s1 ) 2 椭圆短半轴： b a 2 c 2
s2 s1cFra bibliotek x a cos t 椭圆方程： y b sin t 1 c ( s2 s1 ) 2 1 a ( s1 s2 2r ) 2
298.5
317.0 332.5 345.2 356.4 362.1 370.5 363.5 370.0
1000
352.3
374.5
391.6
405.5
414.3
418.5
416.8
413.6
407.5
398.5
389.5
376.5
350.5
区域[0,1200;0,1000]内观测点处的高程表 （单位：米）

数值分析讲义第四章数值积分

数值分析讲义第四章数值积分

方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。

数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式

数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式

求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
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xk
f ( x )dx ≈
Tn
h h R[ f ] = ∑[− f ′′(ξk )] = − (b − a) k =1 n 12 12 k =1 h2 = − (b − a) f ′′(ξ ), ξ ∈(a, b) 12
n
3
2
∑ f ′′(ξ )
k
n
/*中值定理 中值定理*/ 中值定理
§2 Composite Quadrature
b−a [ f (a ) + f (b)] ∫a 2 代数精度 = 1 b f ′′(ξ ) /* 令 x = a+th, h = b−a, 用中 − x R[ f ] = ∫ ( x − a)( x − b) dx a 值定理 */ 2! 1 3 b−a ′′(ξ ) , ξ ∈ [a , b] , h = =− h f 12 1 f ( x )dx ≈
b
梯形公式 解：逐次检查公式是否精确成立rule*/ /* trapezoidal
b −a A =A = 1 2 2 考察其代数精度。 考察其代数精度。
b −a ∫a f (x)dx ≈ 2 [ f (a) + f (b)]
b
f(b)
∫
b
b−a 2 2 b3 − a 3 代入 P2 = x2 ： x 2 dx = ≠ [a + b ] 代数精度 = 1 ∫a 3 2
§2 Composite Quadrature
收敛速度与误差估计： 收敛速度与误差估计：
定义 若一个积分公式的误差满足
阶收敛的 则称该公式是 p 阶收敛的。
lim
h→ 0
R[ f ] =C <∞ p h
且C ≠ 0， ，
f(x) 4
Tn ~ O(h2 ) , Sn ~ O(h4 ) , Cn ~ O(h6 )
x−b x−a f (a ) + f (b ) a−b b−a
f(x)
§1 Newton-Cotes Formulae
b−a [1 + 1] f(a) 代入 P0 = 1： ∫ 1 dx = b − a = ： a 2 2 2 a b b −a b−a 代入 P1 = x ： x dx = [ a + b] = a 2 2
1
5/8 …
3/4 … …
7/8
1 0.8414709
1 f (0) 1 1 3 1 5 3 7 f (1) T8 = [ + f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ ] 8 2 8 4 8 2 8 4 8 2 xi f (xi) ≈ 0.9456909 . 精确解 ：
公式： 复化 Simpson 公式： h =
b−a , xk = a + k h n
( k = 0, ... , n)
∫
x k +1 xk
f ( x ) dx ≈
h [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 ) + f ( x k +1 )] 2 6
2
xk
xk+1
x k +1
4 4 4
4 4
∫
b
a
n −1 n −1 h f ( x )dx ≈ [ f ( a ) + 4∑ f ( x k + 1 ) + 2∑ f ( x k +1 ) + f ( b )] 2 6 k =0 k =0
= Sn
b−a R[ f ] = − 180
h f 2
4
(4)
(ξ )
为偶数， 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 为方便编程，可采用另一记法： 这时 h′ = b − a = h , xk = a + k h′ ，有
例：计算 π =
T8 解： =
x 0
∫
1 0
4 1+ x 2
7
dx

1/8 3.938461538 2/8 3.764705882 3/8 3.506849315 4/8 3.2 5/8 2.876404494 6/8 2.56 7/8 2.265486726 1 2
1 f ( 0 ) + 2∑ 16 k =1
R[ f ] = −
8 7 h f 945
(6)
(ξ )
§2 复合求积
/* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 现象， 高次插值有 复合求积公式 求积公式。 ⇒ 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： 复合梯形公式： h =
k =0 n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( x k ) ∫ l k ( x )dx
b k =0 a
n
误差 R[ f ]
Ak
= ∫ f ( x )dx − ∑ Ak f ( x k )
b a k =0
n
Ak = ∫
b a
决定， 由节点 决定， ∏ j ≠ k ( xk − x j ) dx 与 f (x) 无关。 无关。 =
5 19/288 6 41/840
751 7 17280 989 8 28350
25/144 25/144
1323 3577 17280 17280 10496 28350 -928 28350
n = 1: C 0( 1 )
b
1 = , 2
C 1( 1 )
1 = 2
§1 Newton-Cotes Formulae
h′ Sn = [ f (a) + 4 ∑ f ( xk ) + 2 ∑ f ( xk ) + f (b)] 3 odd k even k
n′
2
根据数据表利用复合求 积公式求 I = ∫ 例：
xi f (xi) 0 1 1/8 0.9973978 1/4 … … 3/8 … … 1/2 … …
sin x dx 的值. 0 x
25/96 9/35 3577 17280 5888 28350
Ck(n) 1/6 3/8 2/15
9/280 1323 17280 -928 28350
1/8 16/45
34/105 2989 17280 10496 28350
7/90
25/96 9/280 2989 17280 -4540 28350 19/288 9/35 41/840 751 17280 5888 28350 989 28350
1 5 (4) R[ f ] = − h f (ξ ) , 90 b−a ξ ∈ (a , b ) , h = 2
R[ f ] = − 3 5 (5) h f (ξ ) 80
n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3, n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,
b−a , xk = a + k h n ( k = 0, ... , n)
上用梯形公式： 在每个 [ xk −1 , xk ] 上用梯形公式：
xk − xk −1 [ f ( xk −1 ) + f ( xk )] , k = 1, ... , n ∫xk−1 2 n n−1 b h h ∫a f (x)dx ≈ ∑2[ f (xk−1) + f (xk )]= 2 f (a) + 2∑ f (xk ) + f (b) = k=1 k=1
b
1 例如，有积分公式: ∫ f ( x)dx ≈ [ f (−1) + 2 f (0) + f (1)] −1 2 求该积分公式的代数精确度。 解：取f(x)=1， ， 1 1 1 1 ∫-1 f (x)dx = ∫-11dx =2 = 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[1+2+1] = 2 取f(x)=x ， 1 1 1 1 ∫-1 f (x)dx = ∫-1xdx =0 = 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[−1+0+1] = 0 取f(x)=x2 ， 1 1 2 1 1 2 ∫-1 f (x)dx = ∫-1x dx = 3 ≠ 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[1+0+1] =1 对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的； 对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；
b−a , i = 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
Cotes系数 C i( n ) 系数
Ck(n)
n 1 2 3 4 1/2 1/6 1/8 7/90 1/2 2/3 3/8 16/45
公式为插值型（ 公式为插值型（即： k = ∫ l k ( x )dx ） 插值型 A 当节点等距分布 等距分布时 当节点等距分布时： xi = a + i h, h =
xn
(x − xj) Ai = ∫ ∏ dx 令 x =a+th x0 ( xi − x j ) j≠i n (t − j) h ( b − a )( − 1) n − i n =∫ ∏ × h dt = ∫0 ∏j ( t − j )dt 0 (i − j ) h n i ! ( n − i )! i≠ j i≠
第8章 数值积分 章
b a
/* Numerical Integration */ 插值型积分公式