奥数-不等式-(6)

奥数之解不等式奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生创造力、逻辑推理和解决复杂数学问题能力的竞赛活动。

在奥数的题目中，解不等式是常见的一种题型。

解不等式需要我们找到一个变量的取值范围，使得不等式成立。

本文将介绍解不等式的方法以及一些常见技巧。

一、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个变量、一次方程的不等式。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，只是在求解的过程中需要注意不等式符号的转换。

例如，对于不等式3x-2<5，我们可以按照以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：3x-2=5；2. 解方程：3x=7；3. 求解出x的值：x=7/3；4. 检验解的有效性：将x=7/3带入不等式，验证不等式是否成立。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个变量、二次方程的不等式。

解一元二次不等式的方法相对来说较为复杂，需要我们掌握一些基本的技巧。

1. 图像法：首先将一元二次不等式转化为对应二次函数的图像形式，通过观察图像的开口方向和与x轴的交点来确定不等式的解集。

2. 化简法：对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过化简等式的方法来求解。

化简的关键是对不等式进行因式分解，然后找到各个因式的零点，并根据各个因式在某一区间上的取值情况确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是指以绝对值形式表达的不等式，解绝对值不等式的关键在于找到绝对值函数的取值范围。

1. 绝对值的定义：|x|表示x与0之间的距离，所以对于一个绝对值不等式来说，可以将绝对值不等式分成两个部分，一个是x大于0，一个是x小于0，并根据不等式的符号确定解集。

2. 绝对值的性质：对于绝对值不等式来说，我们需要牢记绝对值的性质，即|a-b|<=c等价于-a+b<=c且a-b<=c。

通过以上的简单介绍，我们了解了一些解不等式的基本方法和技巧。

当然，在实际解题中，有时我们还需要运用其他的数学知识和技巧，如配方法、整体替换法等。

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I.排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组a1 a2 a n 及b1 b2 b n.则a1b1 a2b2 a n b n （同序和）a1b j1 a2b j2 a n b jn （乱序和）a1b n a2b n 1 a n b1 （逆序和）其中j i, j2, , j n是1 , 2 ,…，n的任一排列.当且仅当a i a2 a.或b i b2 b n时等号（对任一排列j l, j2, , j n）成立•证明：不妨设在乱序和S中j n n时（若j n n，则考虑j n 1）,且在和S中含有项a kb n（k n）, 则a k b n a n b j n a n b jn a n b n. ①事实上,左－右=（a n a k）（b n b j n）0,由此可知，当j n n时，调换S ap i a k b j k 3.6.（j n n）中g与j n位置（其余不动），所得新和S i S-调整好a n及b n后，接着再仿上调整a n 1与b n 1，又得S2 S i.如此至多经n 1次调整得顺序和a ib i a2b2 a n b n a i b ji a2b j2 a n b jn ②这就证得“顺序和不小于乱序和”•显然，当a i a2 a n或b i b? b n时②- 1中等号成立仮之，若它们不全相等，则必存在j n及k,使b n b j n,a n a k.这时①中不等号成立•因而对这个排列②中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”II •应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n个正数a i,a2, ,a n的算术平均数和几何平均数分别是A n 也上屯和G n a.n此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到a i a2 a n和平方平均（在统计学及误差分析中用到）1~2 2 2亠13i 32 3nQ n V ------------------------- 这四个平均值有以下关系H n G n A Q n. OV n其中等号成立的充分必要条件都是a1 a2 a n •下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：A n G n •a i32a1a2 a n 记x1,X n1 1y1 ,y2 , x1x2,y n1X n由于数组X1,X2, ,X n和数组y1, y2, , y n中对应的数互为倒数，由排序不等式得x* X2『1 x n y n（逆序和）xy X2 y1, X n Y n 1 ,a1a2 a n即nG n G n G n从而代G n.等号当且仅当X1 X2x n或y1y2y n时成立，而这两者都2-3 -显然成立）.2a：，B=、b 2 b ；b ：.且令X ia i詈(i1,2, , n),则X 122 X22 Xnd 2 21, y 1 y 2 2y：1-于是原不等式成为X i y ix ；yX n y n1.即 2(X i y i x ；y ；X n y n )X 12 2 2X n y 1y2y •它等价于III •应用算术平均数一一几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式柯西（Cavchy ）不等式：设a 1、a 2、a 3，…，a n 是任意实数，则可得到a 1a 2a n・下面证明G n1 1H n .对n 个正数，一，a a1宀中 , 应用G n a nA n ，得1 1 1a 1 a 2a n1 11n a 1 a 2a n即G nH n . （符号成立的条件是显然的）•最后证明A n,Q n ,它等价于n(ai2 a2a；) (a 1 a 2a n )20.而上式左边=2 2= (a1 a 2) (a 1a 2)@1a n )22 2(a 2 a 3)@ a n )(a n 1 a n )20 ,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了 .从上述证明可见，A nQ n对一切 a 1, a 2,,an R成立.(a 1b 1 a 2b 22/2 2a nb n ) (a 1a2a nb (b i 2 b ；bn).等号当且仅当bka j （k 为常数，i 1,2, ,n ）时成立•证明：不妨设a i （i 1,2,,n ）不全为0, b i 也不全为0 （因为a i 或b i 全为0时，不等式(X i y i)2(X2 y2)2(X n y n)2 0.其中等•号成立的充要条件是X i y i(i i,2, ,n)•从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是b kai(kIV •利用排序不等式还可证明下述重要不等式切比雪夫不等式：若a i a2 a n ,b i b2 b n ,小a-|b则1i a2b2 a n b n a i a2 a n b i b2 b nn n n证明：由题设和排序不等式，有a i b i玄2匕a nb n = a i b i a2b2 a n b n ,a1b1a?b2 a n b n aR? a?b3 a n b i ,a ib i a2b2 a n b n a i b n a2b i a n b n i .将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2,即得欲证的不等式.赛题精讲I •排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题例1：对a,b,c R，比较a3 b3 c3与a2b b2c c2a 的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数a, b,c; a2,b2,c2.3 3 3 2 2 2不管a, b, c的大小顺序如何，a b c都是同序和a b b c c a都是乱序和故3 , 3 3a b c a b b c c a.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组【思路分析】 可构造△ ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之【详军】不妨• 设a b c ，于 :是A B C.由排序不等式, 得aAb BcC aA bB cC,aAb B cC bA cB aC,aA bBcC cA aB bC.相加, 得 3(aA bB cC) (ab c)(A B C)(a b c)，由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明 例4：设a 1,a 2, ,a n 是互不相同的自然数，试证1 -2aA bcC得-①a b c3又由0b c a,0 a bc,0a c b,有0 A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A C B) c(A Ba(2A )b( 2B) c( 3C)(a b c) 2(aA bB cC).aA b BcC得②a b c2C)2 2 2 2例 2：a,b,c R ，求证2 2c a2b2abcb 2ca2cab【思路分析】 应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为 【略解】由于不等式关于c 对称，可设aa b0.0.由排序不等式, 得a 2b 21-（逆序和） cb 21（乱序和）•ab21及a 2 1a以上两个同向不等式相加再除以a 3b 3c 30,及丄丄bc cab 2a2，即得原式中第一个不等式1 ，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成ab•再考虑数组例3:在厶ABC 中，试证:aA bB cC a b ca 2 22n 2【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序【略解】将a i ,a 2, ,a n 按由小到大的顺序排成 a j 1 a )21【思路分析】 应注意到a i1(i 1,2, ,n)a i【略证】不妨设a 1 a 2a n ,因为a 「a 2, ,a n 都大于0•所以有1 11---- --------- ------------------ ?a1 a 2an1 1 1 1 1 1又一,—,, 是 ，一，， 的任意一个排列，于是得到d b 2 b n a 1 a 2a .1 1 1 111n a 1 — a 2a n a 1a 2 — a n.a 1a 2a nb1b 2b n【评述】此题比较简单，但颇具启发意义,读者应耐心体会1 1 1 例6：设正数a, b, c 的乘积abc 1,试证:(a 1 -)(b1 -)(c 1 -) 1b c a【略解】设 x,byy ,c z-，这里x,y,z 都是正数，则原需证明的不等式化为 x (x y z)(y x)(z x y) xyz,显然x y 乙y z x, z x y 中最多只有一个 非负数•若x x y z,y 乙y x,z x y 中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若 .容易验证 (x y z)(y z z x, z x y 均为正数，则x, y,z 是某三角形的三边长 1 2 2 x)(z x y) 3【(x (y z x) y (z x3y) z 2(x y z)]. 故得(x y z)(y z x)( z x y) xy z.a jn其中 j 1, j 2,,j n 是1, 2，…，n 的一个排列，则a j l 1®22, a j nn.于是由排序不等式，得a 2 a1 22a n n 2a j1a jJ22n 2例 5：设 bi,b 2, ,b n 是正数 a 「a 2,a 1 a 2,a n 的一个排列，求证 一 -b |b 2a n n.b nabc 1,证明a 2(b c)b 2(c a) c 2(a b)证明：设a!,b x1 1-,c -,则xyz 1，且所需证明的不等式可化为 y z x 23，现不妨设Xx y 2z 2 z ，则，据排序不等式x y两式相加并化简可得2 22(——」y z z x例7:设实数X 1 置换，证明: n (X i i 1 y i )2 【略解】 【评述】X 2 (X ii 1 X n , y 1显然所需证不等式等价于 应用此例的证法可立证下题:设a k 是两两互异的正整数（k 1,2, 33 xyz y 2nX i y i1证明：设 b 1 ,b 2, , b n 是 a 1, a 2, ,a n3.y n ,Z 1,Z 2, ,Z n 是 y 「y 2, , y n 的一个X i 乙,这由排序不等式可直接得到i 1），证明对任意正整数 n ,均有的一个排列，使db 2b n， a k则从条件知对每个1 k n ,b k k ,于是由排序不等式可知nn鼻a kb k2 2i 1k i 1 k【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【详解】•/ X i ,X 2, , X n 0 ,故由柯西不等式，得【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之 •II .柯西不等式的应用 应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式 2 圣X 3例 &设 X i ，X 2， ,X n R ，求证: 2XiX 2 2 Xn 1 X n 2 X nX 1 X 2X i X n .(XX 32、宀XnXi)(— X 2 2X n i X nX nX iX 2 _X 3(X i X 2X n )2 ,2 2X i X 2 X 2 X 322X n iX n为X 2X nX nX iX i X n 1X n i针对性训练题1设a、b、c R ，利用排序不等式证明: (1) a a b b a b b a(a b)；(2 )2a2ba b2c c b a c c a ab c b ；；a b c 3(3b c c a a b 212 .12 12a b c 10 ■ 10 10(4 a b cbc ca ab2.设a、b、c是二角形二边的长，求证：3.已知a、b、c N*，并且b（1 山）a d 詈）b（1 a-b）ca b c* 1 24.设n N ,n 1,求证：C n C n5.若a 0, b 0,且a 2b 6,求Ig aa b c3.b c a cab a b ca b, ab c,求证：1.n 1n 2-C n n 2 2.2lg b的最大值.6.若a 2b 12,求2a 2b1的最小值.7.已知x y 1(x 1),求u(x, y)2 2& x 2y 1,求u(x,y) x 2y 的最值.c a, c。

【六年级奥数教程】第4讲 估算的技巧在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法．熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确．例1 试用估算法检验下列计算是否正确．534×78＝543 思维点拨 因为一个因数78小于1，所以积应小于另一个因数，而543大于534,所以计算错误．例2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，这三个班每人的平均分是( )分．A ．81B ．82C ．83D ．85思维点拨 根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A ，D 都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是43人，若从六(3)班每个同学中取2分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是83分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选C ．例3 计算7.8＋7.98＋7.998＋···＋7.9999999998的整数部分是多少．思维点拨 这道题有10个加数，分别是7.8，7.98，7.998，…，7.9999999998，从十分位起依次多一个9，两个9……九个9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了．实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分．例4 求下式的整数部分：111112000200120022009+++⋅⋅⋅+.思维点拨 先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围．若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比10个12000小，一定比10个12009大，从而可以得到该算式的值在200到200.9之间，从而得出该算式整数部分的确定值．例5 一个四位数66能被134整除，求这个四位数除以134的商，思维点拨 原四位数一定在6006到6996之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.例6 3a ，7b 都是真分数，且3a ＋7b ≈1.38，那么a b＝ . 思维点拨 先用不等式估计3a ＋7b 的大小，列出不定方程，从而求出整数解．●课内练习1．试用估算法检验下列计算是否正确． 2054×113＝20362．某校六年级三个班举行一次数学考试．五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，这三个班每人的数学平均分是( )分．A ．82B ．84C ．83D ．83.53．求4.5＋4.65＋4.665＋…＋4.6666666665的整数部分．4.求11111100101202109+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求40÷(0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59)的商的整数部分是多少．6．下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和，5a 十7b 十8c ≈1.35， 那么，三个自然数a ＝( )，b ＝( )，c ＝( )．●课外作业1．试用估算法检验下列计算是否正确．0.865×5.43＝4.63752．某车间加工一种机器零件，4人6小时能加工104个，照这样计算，10人加工260个零件，需要( )小时．A.6 B ．7 C ．8 D.103．设A ＝999999999999999910100100010000000000+++⋅⋅⋅+，求A 的整数部分．4.求2111110111229+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求10÷70＋11÷71＋12÷72＋…＋20÷80的整数部分．6．有一个算式359++≈1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的近似值．求算式中方框里的整数分别是多少.7．六(1)班共44名学生，A ，B ，C ，D ，E 五名同学竞选班长．已知A 得票最多，得23票，B 第二名，C ，D ，E 分别为三、四、五名，E 得3票，问B 最多得几票．8．三个真分数359x y z ++≈1.35，那么x ，y ，y 各是多少？9．比较两式45678÷12345和56789÷23456的大小．10．求1111100101102300+++⋅⋅⋅+的整数部分.你知道吗德国数学家高斯10岁的时候就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100＝5050．那么1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝?你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是10000，因为他记住了一个速算的方法.请看： 1＋2＋1＝4＝221＋2＋3＋2＋1＝9＝321＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42…刚有公式： 1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2.再看上面那道题目，它的答案就是1002＝10000.如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了．第4讲估算的技巧例1 因为78<1，故结果不可能大于534，所以计算错误． 例2 选C ．例3 7.8＋7.98＋7.998＋…＋7.9999999998＝8－0.2＋8－0.02＋8－0.002＋…＋8－0.0002⋅⋅⋅9个“0?＝8×10－0.2222⋅⋅⋅10个“2?整数部分是79．例4估算分母部分值的范围11112000200120022009+++⋅⋅⋅+＜102000＝1200，所以 200<111112000200120022009+++⋅⋅⋅+<200.9． 故它的整数部分是200.例5这个四位数在6006～6996之间，则6006÷134＝44……110.6996÷134＝52……28，所以商在44～52之间，因商的个位数字与4相乘的积的个位应是6，故商的个位数字必然是9，因此所求的商是49.例6 因为3a ＋7b ≈1.8， 所以1.37<3a ＋7b <1.39， 两边乘21，得28.77<7a ＋3b<29.19．因为3a ，7b 是真分数，所以a ，b 均为自然数．因此7a ＋3b 必是自然数，可见 7a ＋3b ＝29，2937b a -=＋7b ． 当b ＝5时，有整数解a ＝2，所以a b ＝25． ●针对性训练课内练习1．计算错误，因为113＝43>1，故结果不能小于2054． 2．选C ．3．忽略百分位以下各位上数的和可得到4×10＋(0.5＋0.6×9)＋(0.05＋0.06×8)＝46.43，故和的整数部分是46．4．1109×10<1100＋1101＋…＋1109<1100×10，10<1111100101109++⋅⋅⋅+<10.9，因此它的整数部分是10．5.(0.40＋0.59)×20÷2＝9.9,40÷9.9≈4，故商的整数部分是4．6．三个真分数的和四舍五入是1.35，说明1.345<5a ＋7b ＋8c <1.354， 化简，得376.6<56a ＋40b ＋35c<379.12.因为a ，b ，c 都是自然数，所以56a ＋40b ＋35c 的取值范围是377，378,379． 当56a ＋40b ＋35c ＝377时，a ＝2,b ＝4,c ＝3；当56a ＋40b ＋35c ＝378时，a ，b ，c 没有整数解；当56a ＋40b ＋35c ＝379时，a ＝4,b ＝3,c ＝1．课外作业1．错误．2．选A3．忽略千分位以下各位上数的和得到0.9×10＋0.09×9＋0.009×8＝9.882,故A 的整数部分是9．4．111101129++⋅⋅⋅+ ＝393939102911281920++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯， 于是39101920⨯⨯<111101129++⋅⋅⋅+<39101029⨯⨯，所以29239⨯<原式<192239⨯⨯，所以原式的整数部分是1．5．设原式＝A ，A<10÷70＋11÷70＋…＋20÷70＝165÷70,A>10÷80＋11÷80＋12÷80＋…＋20÷80＝165÷80，可知2<A<3．所以原式的整数部分是2．6．1.705<359++<1.714， 即1.705<159545⨯+⨯+⨯<1.714, 所以76.725<15×□＋9×□＋ 5×□<77.13,得到15×□＋9×□＋5×□＝77,则2,3,4满足题意．7．B 最多得9票．B,C,D 三人共得票18张,B 最多得9票，最少得7票．8．因为3x ，5y ，9z是真分数，所以x,y,z 必是自然数．由题意可知， 1.345<359xyz++<1.354，所以141.225<35x ＋21y ＋15x<142.17,故35x ＋21y ＋15x ＝141或142,由35x ＋21y ＋15x ＝141,得x ＝3，y ＝1，z ＝1，而333x=，故不合题意．由35x ＋21y ＋15x ＝142,得x ＝2，y ＝2，2＝2．9.45678÷12345＝1＋33333÷12345,56789÷23456＝1＋33333÷23456,可见45678÷12345>56789÷23456.10.原式＝(111100101199++⋅⋅⋅+)＋(111200201300++⋅⋅⋅+) <11100101100200⨯+⨯<1＋200200＝2． 11400100300100300+=⨯>4001200200100=⨯, 11400101299101299+=⨯>4001200200100=⨯, …11400199201199201+=⨯>4001200200100=⨯， 所以原式>1100×100＋1200>1， 于是有1<原式<2，所以原式的整数部分是1．。

奥数难题知识点总结一、概率1.1 排列与组合在奥数难题中，排列与组合是经常出现的概率问题。

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定的顺序排列的方法数。

组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素不考虑顺序排列的方法数。

在解决奥数难题中，排列与组合的计算方法是基础中的基础，需要掌握各种情况下的排列组合公式及其应用。

1.2 概率计算在奥数难题中，概率计算也是一个重要的知识点。

概率是指在一次随机试验中，事件A发生的可能性大小。

概率计算涉及到事件的互斥、独立、条件概率、贝叶斯公式等概念，需要掌握概率计算的基本原理和方法，以及在奥数难题中的应用。

1.3 事件的独立性与互斥性在奥数难题中，事件的独立性与互斥性是常见的概率问题。

事件A与事件B独立是指事件A的发生不影响事件B的发生，事件A与事件B互斥是指事件A的发生排除了事件B的发生。

在解决奥数难题中，需要了解事件的独立性与互斥性的概念，并能够灵活运用这些概念解决实际问题。

1.4 随机变量在奥数难题中，随机变量也是一个重要的概率知识点。

随机变量是指可能取多个值的变量，它的每个值发生的概率可以用概率分布来描述。

在解决奥数难题中，需要掌握随机变量的定义、性质、分布函数及其应用，能够灵活运用随机变量解决实际问题。

二、数学思维2.1 极限思想在奥数难题中，极限思想是一种重要的数学思维。

极限是指一个函数在某一点处的极限，它描述了函数在该点附近的变化情况，是数学分析的一种基本概念。

在解决奥数难题中，需要掌握极限的定义、性质、计算方法及其应用，能够运用极限思想解决实际问题。

2.2 推理思维在奥数难题中，推理思维也是一个重要的数学思维。

推理是利用已知条件得出结论的过程，是数学问题求解的基本方法之一。

在解决奥数难题中，需要灵活运用推理思维分析问题，找出问题的关键，从而找到解决问题的方法。

2.3 抽象思维在奥数难题中，抽象思维是一个不可或缺的数学思维。

抽象思维是指将具体问题抽象为一般性问题，通过建立数学模型对问题进行分析和求解。

由排序不等式，我们推断2222x xyz y xyt z xzt t yzt a bc b cd c da d ab⋅+⋅+⋅+⋅≥+++根据AM-GM 不等式，我们也有()21()()44x xyz y xyt z xzt t yzt xy zt xz yt xy xz yt zt ⋅+⋅+⋅+⋅=++≤+++≤因为()21()()44xy xz yt zt x z y t x y z t +++=++≤+++=。

等号成立的条件是1a b c ===或者2,1,0a b c c ====或其排列。

例5.2.7设,,,0a b c d >，证明222249a b c d a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Pham Kim Hung ）证明：不失一般性，我们可以假设1a b c d +++=。

又设(,,,)x y z t 是(,,,)a b c d 的一个排列，满足x y z t ≥≥≥，则1111x y z x y t x z t y z t≥≥≥++++++++。

由排序不等式，我们推断222222222()()()()cyc a x y z t a b c x y z x y t x z t y z t ⎛⎫≥+++ ⎪++++++++++⎝⎭∑22222222(1)(1)(1)(1)x y z t t z y x =+++----记2222,,(1)(1)x t m x t n xt s t x =+==+--，当然，我们仅需考虑12s ≤的情况。

如果1m =，则0y z ==，结果是显然的。

因为2222222222222(1)(1)(1)(1)x y z t x t t z y x x t +++=+=----否则，我们有11,2m s <≤。

简短的计算之后，我们有222(2)2(1)(21)(1)()0n s n m m s m m s -----+--=这个恒等式表明函数222()(2)2(1)(21)(1)()f s m m s m m s ααα=-----+--至少有一个实数根。

高一奥数基本不等式知识点不等式是数学中重要的概念，奥数中常涉及的一个主题就是基本不等式。

在高一阶段，学生们开始接触不等式的概念和相关的基本知识。

本文将介绍高一奥数中的基本不等式知识点，包括基本不等式的概念、常见的基本不等式以及解决基本不等式问题的方法。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在一定条件下，某个数学不等式在所有情况下都成立的不等式。

在高一奥数中，我们会遇到一些常见的基本不等式。

这些基本不等式是根据数学原理和性质得出的，具有普遍性和重要性。

二、常见的基本不等式1. 等差数列的均值不等式等差数列的均值不等式是指，对于一个等差数列，它的任意n个连续项的平均数大于等于这些项的几何平均数。

具体而言，对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，有以下不等式成立：$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdota_3 \cdot ... \cdot a_n}$2. 平均数-均方差不等式平均数-均方差不等式是指，对于任意一组数的平均数和均方差，平均数的平方大于等于这些数减去平均数的差的平方的平均值。

具体而言，对于一组数$x_1, x_2, x_3, ..., x_n$，平均数记作$\overline{x}$，均方差记作$s$，有以下不等式成立：$(\overline{x})^2 \geq \frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2}{n}$3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是指，对于两个向量的点积，其绝对值小于等于这两个向量的模的乘积。

具体而言，对于两个向量$a=(a_1, a_2, ..., a_n)$和$b=(b_1, b_2, ..., b_n)$，有以下不等式成立：$|a \cdot b| \leq |a| \cdot |b|$4. 三角形不等式三角形不等式是指，三角形的任意两边之和大于第三边。

不等式知识梳理1．不等式的概念与性质（要注意不等式性质成立的条件） 2．基本不等式（1）利用基本不等式证明不等式 （2）运用基本不等式求值①“和定积最大”：2()2a b ab +≤；②“积定和最小”：a b +≥. 运用重要不等式最值要注意满足三个条件：“正、定、等”.即a 、b 都是正数，和或积是定值，a 与b 能相等.补充：均值不等式 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅是n 个正实数，记nn a a a nH 11121+⋅⋅⋅++=；n n n a a a G ⋅⋅⋅=21，n a a a A n n +⋅⋅⋅++=21；na a a Q nn 22221+⋅⋅⋅++=他们分别称为n 个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，这四个平均数具有如下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，上式等号成立的条件是n a a a =⋅⋅⋅==21.3.不等式的证明 综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造（方程、函数）法、放缩法、反证法4．不等式的解法① 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了.② 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式，我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已学过的知识解答.③ 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论. ④ 一元高次不等式用根轴法.⑤ 解不等式的方法中，尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法， 5.不等式的综合应用（1）应用基本不等式求最值（和一定，积最大；积一定，和最小）. （2）“有解”与“恒成立”问题.（3）应用不等式求值范围，在与解析几何的综合考查中较常见.例题选讲．若关于x 的不等式2||2x a x >--至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是____. ．在算式4×□＋9×△＝♡的□和△中分别填入两个正整数，使它们的倒数之和的最小值为65，则正整数♡的值为_________..解关于x 的不等式()()1102a x a x -≥>-.（1）已知1222=++c b a ，求证：121≤++≤-ca bc ab （2）已知2122≤+≤y x ，求证：32122≤+-≤y xy x （3）设1=++c b a ，1222=++c b a ，且c b a >>，求证：031<<-c （4）已知△ABC 的三边长是c b a ,,，且m 为正数，求证：mc cm b b m a a +>+++.证明： （1）121211121<+⋅⋅⋅++++<mm m （2）47131211222<+⋅⋅⋅+++n（3）nnn 2131211<+⋅⋅⋅+++<练习巩固1.已知正数c b a ,,满足3=++c b a ，则181818+++++c b a 的最大值为 A.9 B.33 C.16 D.342.x a x a )24()3(2-<-对)1,0(∈a 恒成立，则x 的取值范围是____________。

1.整数：正整数、负整数、绝对值、相反数、相加减、相乘除、整数
序列等。

2.小数：小数的读法、四则运算、小数与整数的关系、小数的表示、
小数的大小比较等。

3.分数：分数的基本概念、分子分母、约分、通分、分数的四则运算、分数的大小比较等。

4.比例：比例的概念、比例的性质、比例的计算、比例的应用等。

5.百分数：百分数的概念、百分数的转换、百分数的应用等。

6.几何：平面图形的性质、常见平面图形的计算、面积、周长、体积等。

7.代数：代数表达式、方程、不等式、函数等。

其中，可拓展的知识点还包括：
8.组合数学：排列组合、逻辑推理、数列等。

9.概率统计：事件与概率、样本空间与事件、频率与概率、抽样、统
计与图表等。

10.数论：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、整除与整除性质、素数与合数等。

11.平面几何：线段、角、相似、全等、三角形、四边形、圆等。

12.立体几何：立体图形的计算、球的计算、体积与表面积等。

对于小学六年级的学生来说，掌握以上的知识点可以帮助他们提高解
决问题的能力，培养逻辑思维和数学推理的能力。

同时，通过奥数的学习，学生还可以提高自己的数学素养，为以后更深入的学习打下基础。

小学奥数中解不等式
简介
本文档旨在提供关于如何解小学奥数中的不等式问题的指导。

不等式是数学中常见的问题类型，解决不等式问题可以培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

解不等式的基本步骤
步骤一：理解问题
在解不等式之前，首先需要理解问题的要求。

问题中通常会给出一个不等式表达式，我们需要找到使这个不等式成立的未知数的取值范围。

步骤二：通过代入法求解
在小学奥数中，解简单的不等式通常可以通过代入法求解。

例如，对于不等式7x + 3.4x + 10，我们可以将不等式中的变量x替换为一定的值，然后判断不等式的成立情况。

通过尝试不同的值，我们可以找到使不等式成立的取值范围。

步骤三：注意符号方向
在解不等式时，需要注意不等式符号的方向。

如果不等式中包
含大于号（>）或小于号（<），则不等式的解集为开区间。

如果不等式中包含大于等于号（≥）或小于等于号（≤），则不等式的解集
为闭区间。

步骤四：合并求解结果
解不等式的最后一步是将所得到的解合并起来，得到问题的最
终解集。

如果解集包括多个区间，需要将这些区间合并为一个集合。

小结
解不等式是小学奥数中常见的问题类型，通过理解问题、代入
法求解、注意符号方向和合并求解结果，我们可以有效地解决不等
式问题。

希望本文档对解不等式问题提供了一些帮助，并通过简洁
的语言提供了指导和示范。

祝您在小学奥数中取得好成绩！。

222()88815()6c b a a b c c a b ab ⎡⎤-+++++=于是只需证明22288815()6((a b c c a b ab b c c a +++++≥+++这由AM-GM 不等式立即可得，因为22223()(8)()(8)2RHS b c a bc c a b ca ⎡⎤≤+++++++⎣⎦2223(55)a b c bc ac LHS=++++≤注意：这里有一个类似的例子★设,,0a b c >，证明：2220≥例3.2.5设,,,0a b c d >，且22224a b c d +++=，证明：111115555a b c d+++≤----（Pham Kim Hung ）证明：不等式等价于22111(1)(1)10000545(5)(1)45cyc cyc cyc cyca a a a a a a a a a --+-⎛⎫-≤⇔≤⇔≤⇔≤ ⎪---+-+⎝⎭∑∑∑∑注意到2(1)0cyca -=∑，所以，由Chebyshev 不等式，只需证明，如果ab ≥，则224545a a b b -+≥-+。

这个条件就是4a b +≤，这是显然的，因为224a b +≤。

等号当1a b c d ====时成立。

例3.2.6设12,,,0n a a a > ，且满足1212111n na a a a a a +++=+++ ，证明下列不等式22222212121111111n nn a n a n a a a a +++≥+-+-+-+++ （Pham Kim Hung ）证明：不失一般性，我们假设12n a a a ≥≥≥ 。

题设条件等价于22212121110n na a a a a a ---+++= （*）记21,1ni i S a k n ===-∑，根据（*），不等式可以改写成212222*********(1)()(1)n n i i i i n i i i i a a a a a a n S k a k a k a S a a k a a S =⎡⎤-----+++≥⇔-≥⎢⎥++++++⎣⎦∑ 对于每一个,,{1,2,,}i j i j n ≠∈ ，我们记22(1)()(1)(1)()(1)j j i i ij i i i j j j a a a a S a k a a S a k a a S ⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦22(1)1(1)(1)()()j ii j i j i j i j a a a a a a k a a a k a k S ⎡⎤-++-=+⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦如果0(1,,)ij S i j n i j N ≤≤<≤∈，则由Chebyshev 不等式，我们有2211(1)()(1)n i i i i i i i i a a a a a k a a S =⎡⎤--≥⎢⎥+++⎣⎦∑2211110(1)()(1)n n i i i i i i i i i a a a n a a k a a S ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑否则，假设存在两个下标i j <满足0ij S ≥，或者22(1)10()()i j i j i j a a a a ka k a k S++-+≤++这个条件就意味着222221(1)1111()()n i j i j i i j i ji k a a a a S a k a k k a k a k a =-++≤≤+<+++++∑证毕，等号当121n a a a ==== 时成立。

例1．解方程∣x−2∣+∣2x+1∣=7例2．求方程∣x−∣2x+1∣∣=3的不同的解的个数。

例3．若关于x的方程∣∣x−2∣−1∣有三个整数解，则a的值是多少？例4．解方程组6321 34211x y x yx y x y⎧--+=⎪⎨+-+=⎪⎩例5．解不等式1＜∣3x+4∣≤6 例6．解不等式∣x∣＜∣x−1∣例7．解不等式∣2−3x∣+∣2x−1∣+∣4x−3∣＜1 例8．解不等式∣2x−3∣＞xA卷一、填空题01．∣x+2∣−∣x∣=x的解是__________。

02．方程∣3x−2∣=∣5x−3∣的解集是__________。

03．方程∣4x−5∣=7的解是__________。

04．方程∣2x−3∣−3x =1的解是__________。

05．不等式∣2x+5∣≤10的解集是__________。

06．不等式∣3x+1∣＞2x的解集是__________。

07．不等式∣x −1∣＞5的解集是__________。

08．若∣x −y ∣=y −x ，且∣x ∣=3，∣y ∣=−4，则(y −x )3=__________。

09．若0＜x ＜10，则满足条件∣x −3∣=a 的所有整数a 的值的和为__________。

10．方程∣x −∣2x +l ∣∣=3的不同的解的个数是__________。

二、解答题11．解不等式∣x +3∣−∣2x −1∣＜2x +112．已知方程∣x ∣=ax +1有一负根，且无正根，求a 的取值范围。

B 卷一、填空题01．a 、b 满足∣a +b ∣＜∣a −b ∣，则a 、b 之间的关系是__________。

02．不等式16＜∣x −10∣＜20的整数解的个数为__________。

03．方程∣x +3∣−∣x −1∣=x +1的解集是__________。

04．方程∣x +2∣+∣2x ∣+∣x −2∣=0的解集是__________。

05．方程∣∣2x−1∣+4∣=8的解集是__________。

类似的结果相加，我们有2221114(1)4122cyc cyc cyc cyc cyc ab ab bc ab ab ab c b c ⎛⎫+≥+-+=+- ⎪+⎝⎭∑∑∑∑∑于是，只需证明2222ab bc cd da ab c bc d cd a da b+++≤+++应用类似的结果：21()4xy yz zt tx x y z t +++≤+++，我们得到22222()4()ab bc cd da ab c bc d cd a da b +++≤+++；216()4()a b c d ab bc cd da =+++≥+++；将上述不等式相乘，即得结果。

等号成立的条件是：1a b c d ====或者0a c ==（,b d 任意）或者0b d ==（,a c 任意）。

例1.2.9设222,,0,3a b c a b c >++=，证明：3331111222a b c ++≥+++（Pham Kim Hung ）证明：很据AM-GM 不等式，我们有333313131122211223cyc cyc cyca a a a a =-≥-=+++∑∑∑第二章Cauchy -Schwarz 和Holder 不等式2.1Cauchy-Schwarz 不等式和应用定理2（Cauchy -Schwarz 不等式）设12(,,,)n a a a 和12(,,,)n b b b 是两个实数列，我们有222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 等号成立的条件是当且仅当12(,,,)n a a a 和12(,,,)n b b b 对应成比例（即存在实数k 满足1,2,,i ia kb i n == ）证明：我将给出这个定理的流行的证法。

第一个证明（使用二次型）考察下列函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++- 整理得222222212112212()()2()()n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++ 因为()0f x x R ≥∀∈，所以判别式0f ∆≤即222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 如果方程()0f x =至少有一个根，等号成立，即12(,,,)n a a a 和12(,,,)n b b b 对应成比例。

34个奥数公式技巧让孩子轻松搞定奥数是一门需要大量练习和掌握公式的学科，但是对于很多孩子来说，公式的记忆和应用是一件非常困难的事情。

为了帮助孩子轻松搞定奥数公式，我们整理了34个奥数公式技巧，希望能够对孩子的学习有所帮助。

1. 两数之和公式：a+b=(a/2+b/2)×22. 两数之差公式：a-b=(a/2-b/2)×23. 平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²4. 立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³5. 两数积公式：(a+b)×(a-b)=a²-b²6. 两数平方差公式：a²-b²=(a+b)×(a-b)7. 两数立方和公式：a³+b³=(a+b)×(a²-ab+b²)8. 两数立方差公式：a³-b³=(a-b)×(a²+ab+b²)9. 三角形面积公式：S=1/2×底×高10. 直角三角形斜边公式：c²=a²+b²11. 三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC12. 三角形正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC13. 三角形余弦定理求角度：cosA=(b²+c²-a²)/2bc14. 三角形正弦定理求角度：sinA=a/b×sinB15. 三角形周长公式：a+b+c16. 等差数列求和公式：Sn=n/2×(a1+an)17. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d18. 等比数列求和公式：Sn=a1(1-qⁿ)/(1-q)19. 等比数列通项公式：an=a1qⁿ⁻¹20. 二次方程求根公式：x=(-b±√(b²-4ac))/2a21. 一元二次不等式求解：ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<022. 三元一次方程组求解：ax+by+cz=d,ex+fy+gz=h,ix+jy+kz=l23. 二元一次方程组求解：ax+by=c,dx+ey=f24. 一元一次方程求解：ax+b=c25. 一元一次不等式求解：ax+b>c或ax+b<c26. 一元二次方程求解：ax²+bx+c=027. 一元二次不等式求解：ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<028. 一元三次方程求解：ax³+bx²+cx+d=029. 一元三次不等式求解：ax³+bx²+cx+d>0或ax³+bx²+cx+d<030. 一元四次方程求解：ax⁴+bx³+cx²+dx+e=031. 一元四次不等式求解：ax⁴+bx³+cx²+dx+e>0或ax⁴+bx³+cx²+dx+e<032. 一元五次方程求解：ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=033. 一元五次不等式求解：ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f>0或ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f<034. 一元六次方程求解：ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0以上34个奥数公式技巧，是孩子们在学习奥数时必须要掌握的。

本文在了解儿童奥数思维训练教案三角形的不等式与数列求和的基础上，旨在探讨在教学中如何提高孩子们思维能力，让孩子们在做题中享受思维的乐趣。

一、知识的学习1、三角形的不等式在初中奥数中，三角形的不等式是一个非常重要的知识点。

三角形的不等式主要指的是“任意两边之和大于第三边”。

也就是说，如果三条边分别是a、b、c，有a+b>c；a+c>b；b+c>a。

2、数列求和数列求和也是计数知识中非常重要的一个部分。

在初中奥数中，通常将求等差数列、等比数列前n项和的方法归为数列求和。

等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2，等比数列前n项和的公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

二、思维能力的提高1、培养逻辑思维能力逻辑思维能力是指根据某些已知条件进行推理的能力。

在教学中，教师不仅需要讲解知识点本身，而且还要注意培养逻辑思维能力。

以三角形的不等式为例，教师可以设置一些实际的场景或图形来让孩子们运用三角形的不等式进行推理，这样不仅能帮助孩子们理解知识点，还能提高孩子们的逻辑思维能力。

2、培养创新思维能力创新思维能力是指在面对问题时，能够产生新的想法或者发现未知的事物。

在教学中，教师需要不断鼓励孩子们勇敢地提出自己的想法，让孩子们体验到思维创新的快乐。

例如，在数列求和中，教师可以让孩子们自行发现一些规律或者公式，这样能够激发孩子的创新精神。

3、培养系统思维能力系统思维能力是指能够全面地看待问题，并将问题中的各个部分整合在一起来进行推理的能力。

在教学中，教师需要鼓励孩子们全面地考虑问题，不仅要看到问题的表面，还要深入思考问题的内在本质和各个方面的联系。

例如，在数列求和中，教师不仅可以让孩子们发现规律和公式，还可以让孩子们考虑这些规律和公式的本质原理和应用方法。

三、总结儿童奥数思维训练教案三角形的不等式与数列求和是初中奥数中非常重要的知识点，在教学中，教师需要通过不断培养孩子们的思维能力，让孩子们在做题中享受思维的乐趣，从而帮助孩子们更好地掌握这些知识点并迈向更高的数学学习之路。

小学奥数必须掌握的30个知识模块汇总(详细版)小学奥数必须掌握的30个知识模块汇总（详细版）
1. 数的认识与计数
自然数的认识
数的大小比较
数的序数表示
数的进位与借位
基本计数方法
2. 数的四则运算
加法与减法的计算
乘法的认识与计算
除法的认识与计算
混合运算的应用
3. 数的倍数与约数
倍数的概念与计算
最大公约数的概念与计算最小公倍数的概念与计算4. 数的整除性质
奇偶性质
0的性质
9的整除性质
11的整除性质
5. 数字与代数
数字的正负性质
有理数的认识与计算
等式与不等式的应用
代数式的计算与运算
6. 数与方程
数与代数式的关系
一元一次方程的概念与解法二元一次方程的概念与解法一元二次方程的概念与解法7. 数与图形
二维图形的基本认识
二维图形的性质与应用
三维图形的基本认识
三维图形的性质与应用
8. 数与单位
长度、质量与容量的计量单位
单位之间的换算
度量衡的应用问题
9. 数与概率
概率的简单认识
事件的概率计算
事件之间的关系与概率概率在生活中的应用10. 数与信息
数据的收集与整理
数据的图表表示
数据的分析与应用
统计学的基本概念与方法
以上是小学奥数必须掌握的30个知识模块，通过学习这些知识，孩子们将能够在奥数竞赛中取得更好的成绩，并提高数学思维能力。

请家长和老师们重视这些知识的教学与训练，为孩子们的数学素养
打下坚实的基础。

第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC 内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB ＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX 也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC 中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。

高中奥数教程高中奥数是一门精密而深邃的数学学科，涉及数学中的许多方面。

它常常利用符号和代数，探究多个的解题技巧，深化对数学概念的理解，并推广数学成果以扩展数学的应用范围。

在高中奥数学习中，需要具备数学素养、推理思维、逻辑思维、创新能力和合作精神等多个方面的学习能力，以全面提高数学知识、思维方法和应用能力。

一、奥数的基本概念1.奥数概念奥数是指数学竞赛的一个分类，它通常包括数学分析、代数、组合、几何等多个领域和几个不同层次的学科内容。

奥数学习尤其注重启发性和创新性，旨在通过解决更有挑战性和更有意义的数学问题，培养学生更深刻的数学思维、创新能力、综合能力和团队协作精神。

奥数学习也是提高学生数学水平，加强数学应用能力和推理训练的重要途径之一。

2.奥数的应用奥数的应用范围很广，例如，它可以应用到基础数学中，如代数、数论和几何，也可以应用到工程和科学中，如物理、计算机科学和生物学。

此外，奥数也可以培养学生的数学思维和分析能力，提高学生的数学素养和自信心。

3.奥数的特点（1）奥数强调启发思考和创新能力，提出非传统思路和一些创新性的解题方法。

（2）奥数不仅考察学生对常规数学知识的掌控，也考察学生对复杂数学问题的处理能力。

（3）奥数是一个综合性学科，能够帮助学生更好的理解和应用整个数学体系。

（4）奥数可以重点培养学生的数学思维，通过奥数的学习，学生可以更好的理解快速思考和解决问题。

二、高中奥数的基本学习内容1.基础代数代数是高中奥数内容中非常基础的一个领域，是学生掌握奥数知识的前提。

基本代数知识包括平面和空间几何以及向量和多项式等。

2.解方程和不等式在高中奥数中，解决方程和不等式的能力很重要。

学生需要通过训练提高基本的方程和不等式解法的熟练程度，更深入地理解方程和不等式的规律，掌握解决现实问题的能力。

3.立体几何立体几何是高中数学奥数内容较为重要的内容之一，需要学生对几何建模、割平面、向量叉乘等技巧熟练掌握。

通过解决多种不同形式的几何问题，学生可以培养特殊形状空间理论、转移面技巧以及高效计算的能力。

初中学生的奥数学习方法奥数是一种高难度的数学，比一般教科书上学习到的数学都要难，学习“奥数”重在学习培养解题的思维过程，那么初中生该如何学习奥数。

下面是由店铺整理的初中学生的奥数学习方法，希望对您有用。

初中学生的奥数学习方法一小升初奥数辅导老师认为奥数这门科目的进步呈一个螺旋上升状，它将拥有各种不同层次和要求，同学们呢在学习的过程中要经历从低到高的运动，才能收到应有的效果。

所谓好的学习方法，武汉京翰教育认为就是拥有者一份好的学习习惯，习惯就是学习的一些程序，哪些东西先学，哪些东西先做，哪些东西后学。

武汉京翰教育认为一方面和课堂的联系息息相关，小升初奥数辅导老师认为另一方面又可以根据奥数这门科目的自身特点，作出一些概括的学习方法：就是预习，听课，复习等基本方法。

公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数。

小升初奥数辅导老师告诉同学们有的同学们可以在短时间学会公式而有的学生却需要反复琢磨，武汉京翰教育认为公式的学习方法应该是注意以下几点：(1)书写公式，记住公式中字母之间的关系。

(2)懂得公式的由来，掌握它们的推导过程。

(3)武汉京翰教育认为同学们要学会将公式进行各种各样的变化，了解它们不同的变化形式。

(4)学会将公式的字母想象成一个框架，达到应用自如的境界。

初中学生的奥数学习方法二一、构建知识脉络要学会构建知识脉络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。

因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类，定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。

二、夯实数学基础在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。

五年级奥数题教学一、平均数问题。

1. 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。

一箱苹果多少个？- 解析：- 因为苹果、梨、橘子平均每箱42个，所以苹果 + 梨+橘子 = 42×3 = 126（个）；- 梨、橘子、桃平均每箱36个，所以梨 + 橘子+桃 = 36×3 = 108（个）；- 苹果和桃平均每箱37个，所以苹果+桃 = 37×2 = 74（个）。

- 用（苹果 + 梨+橘子）-(梨 + 橘子+桃)=苹果 - 桃 = 126 - 108 = 18（个）。

- 又因为苹果+桃 = 74（个），根据和差问题公式，较大数=(和 + 差)÷2，苹果=(74 + 18)÷2 = 46（个）。

2. 一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。

问：甲、丁各得多少分？- 解析：- 甲、乙、丙三人总分：91×3 = 273（分）；- 乙、丙、丁三人总分：89×3 = 267（分）；- 甲、丁二人总分：95×2 = 190（分）。

- 把前面三个算式相加，得到2(甲+乙 + 丙+丁)=273 + 267+190 = 730，所以甲+乙+丙 + 丁 = 365（分）。

- 用这个和减去乙、丙、丁的总分，得到甲的分数：365 - 267 = 98（分）。

- 丁的分数=190 - 98 = 92（分）。

二、行程问题。

3. 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。

求A、B两地间的距离是多少千米？- 解析：- 两车在离中点32千米处相遇，说明甲车比乙车多行了32×2 = 64（千米）。

- 甲车每小时比乙车多行56 - 48 = 8（千米）。

- 那么相遇时间为64÷8 = 8（小时）。