小专题(八) 轴对称变换的应用

课时四 轴对称的综合应用
轴对称的综合应用：
1. 轴对称在工程建设中的应用：
桥梁、大型水库及水利结构、导线桥架、护坡墙、山坡防护、立交桥、悬索桥等工程建设中，都有广泛的应用轴对称的结构，大大提高工程施工的效率。

2. 轴对称在加工制造中的应用：
在汽车车门、汽车大灯、机床、飞机、家具等制造行业，都需要轴对称结构，使其表面形状更富有艺术美感。

3. 轴对称在构件制造中的应用：
轴对称构件可以使材料的流动更加有效，相比于传统的构件，其机械强度更高、机动性更好。

4. 轴对称在建筑构件上的应用：
轴对称构件可以有效地增加结构刚度，如螺旋楼梯、钢结构、悬臂梁等结构，都需要轴对称结构。

5. 轴对称在能源行业的应用：
在能源行业，轴对称的结构作为机械装置的成分，可以在机械驱动、电气机械设备等方面起到重大的作用。

6. 轴对称在精密仪器设备中的应用：
精密仪器设备中有大量采用轴对称结构，可以减少振动幅度，提高精度、操作便捷性，确保精密仪器设备的运行稳定性。

7. 轴对称在装饰艺术品中的应用：
轴对称能够体现设计师的艺术感知和自由发挥，使艺术品更加具有欣赏性，同时使整体结构更加独立、区别，使得艺术品更加完整美观。

2023-10-30•轴对称平移•旋转轴对称•轴对称的再认识目录•总结与展望01轴对称平移轴对称平移是指将图形以某条直线为轴，将图形上所有点沿该直线方向作对应平移。

定义轴对称平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。

性质定义与性质轴对称平移的应用图像处理在图像处理中，轴对称平移可用于对图像进行平移、旋转等操作，实现图像的几何变换。

晶体学在晶体学中，轴对称平移是描述晶体结构的重要工具之一，可以帮助科学家更好地理解晶体的性质和结构。

图形设计在图形设计中，轴对称平移是一种常见的变换方式，可以用来创建新的图形或图案。

实例展示矩形平移将一个矩形以某条直线为轴，将矩形上所有点沿该直线方向作对应平移，得到一个新的矩形。

螺旋图案通过连续的轴对称平移和旋转操作，可以创建一个美丽的螺旋图案。

雪花图案通过多个轴对称平移和旋转操作，可以创建一个雪花图案。

02旋转轴对称定义旋转轴对称是指图形绕某一直线旋转一定的角度后，自身重合的现象。

性质旋转轴对称具有旋转不变性和对称性。

定义与性质旋转对称在建筑、雕塑、绘画等艺术领域中有着广泛的应用。

艺术领域自然界中许多现象，如雪花、螺旋壳等，都呈现出旋转对称性。

自然界中在计算机图形学中，旋转对称被广泛应用于图像处理和动画制作。

计算机科学旋转轴对称的应用螺旋图案是典型的旋转对称图形，其结构具有旋转不变性。

螺旋图案六角形雪花是一种典型的具有旋转对称性的自然结构。

雪花圆形花坛是常见的旋转对称建筑，其设计具有旋转不变性。

圆形花坛实例展示03轴对称的再认识轴对称是指一个物体关于某一直线（对称轴）对称，即物体在该直线的两侧或一侧，沿直线折叠后，物体两部分能够互相重合。

轴对称的定义轴对称的深入理解轴对称具有唯一性、反身性和对称性。

轴对称的性质可以通过观察物体的形状、位置、方向等是否关于对称轴对称来进行判断。

轴对称的判断如雪花、树叶等自然物的形状呈现出轴对称的特点。

自然界中的轴对称许多艺术品和建筑在设计时也会利用轴对称，如教堂、寺庙等。

教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图 14-2-1 中，（1）图是△ ABC平移后得到△ DEF，（ 2）图是△ ABC翻折后得到△ DBC，（3）图是△ ABC 旋转一个角（即∠ BAD）后，得到△ ADE，（4）图是△ABC先平移（ BE），后翻折，得到△ DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2 ．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图 14-2-2 中，△ DEF与△ ABC成轴对称，同样得到△ ABC的一系列对称图形△GHK、△ PQR、△ LMN等，并且△ ABC≌△ DEF≌△ GHK≌△ PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图 14-2-2 中，以△ ABC与△ DEF关于直线 l 对称为例说明如下：①△ ABC与△ DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点 A、B、 C 分别与点 D、E、F 关于直线 l 对称．③线段 AD、 CF被直线 l 垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图 14-2-3 ．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4 ．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图 14-2-7 中，已知△ ABC和直线 l ．作出△ ABC关于直线 l 的对称图形．分析：在（ 1）图中，△ ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得△ ABC关于直线 l 对称图形．作法：（ 1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA′＝ GA．则点A′，就是点 A 关于直线 l 的对称点（因 AA′被直线 l 垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、 C 关于直线 l 的对称点 B′、 C′．（3）连接 A′B′、 B′C′、 C′ A′，得到△ A′ B′ C′即为所求．在（ 2）图中，作法同（ 1）图的作法，图形如（ 2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9 ，在金水河的同一侧有两个村庄A、 B．要从河边同一点修两条水渠到 A、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线 MN的同一侧有 A、B 两点．在直线 MN上找一点 P，使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN的对称点 B′，连接 AB′与 MN 相交于点 P，则 P 点即为所求．事实上，如果不是 P 点而是 P′点时，则连接 AP′、P′B和 P′B′．由轴对称性可知， P′B＝P′B′， PB＝PB′，所以 P′到 A、B 的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋ P′B′．而 P 到 A、B 的距离之和 AP＋ PB＝AP＋PB′＝ AB′，在△ AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即 AP′＋ P′B′＞AB′．所以 P 点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x，－ y）；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（－ x，y）．如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为P2（2，－ 3），关于 y轴的对称点为 P 1 ，（－ 2， 3）；点 P 2 关于 y 轴的对称点为 P 3（－ 2，－ 3）；而点 P 3 （－ 2，－ 3）与点 P 1（－ 2， 3）关于 x 轴对称．因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标， 横坐标不变， 纵坐标变成它的相反数； 关于y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系： C （－ ，－ ） D （－，）A （，－）B （，）2 5 2 5 2 5 2 5解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称．8 ．点 P （ x ， y ）关于直线 x ＝a 的对称点坐标如图 14-2-11中，点 P （ ， ）关于直线 x ＝ 2 的对称点为 P 1（ ， ）；关于1 43 4 直线 x ＝－ 1的对称点为 P 2（－ ， ）．3 4，而 P 1 、P 2 的横坐标发 由此可以看出，点 P 、P 1、P 2 的纵坐标都没变，都是 4生了变化，变化的规律是： P 1 点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP 1（即 AP ） 的长，而 AP 的长为 － ＝ ，∴ P 1 横坐标为 ＋（ － ）＝ ．2 1 1 2 2 1 3同样道理， P 2 点的横坐标是比 B 点横坐标－ 1 多了一个 BP 2（即 BP ）的长，而 BP 的长为｜－ － ｜＝ ，∴ P 2 横坐标为－ ＋（－ － ）＝－ ．1 12 1 1 1 3因此，得出规律：点 P （x ，y ）关于直线 x ＝ m 的对称点 P 1 的横坐标为 m ＋（ m － x ）＝ m － x ，纵坐标不变，即点 P 1、坐标为（m －x ，y ）．2 2P x ， y ）关于直线 y ＝ m 的对称点 P 2 的纵坐标为 m m y ）＝同样，点 （＋（ －m －y ，横坐标不变，即点 P 2 坐标为（x ， m － y ）．2 2 的对称点坐标为 P 1（ × － ，由此可以直接写出点 P （ ， ）关于直线 x ＝5 3 2 P 2（，） 2 5 3 2），即 P 1 （ ， ），关于 y ＝ 3的对称点 P 2 的坐标为7 2 3 4 例如：写出下列点关于直线 x ＝4 和直线 y ＝5 的对称点的坐标． A （2，3） B （4，5）C （－ 3， 1）D （－ 2，－ 1） 解：由上面的式子可知， 点关于直线 x ＝ 4 的对称点和关于直线 y ＝ 5 的对称 点坐标列表如下：A （2，3）B （4，5）C （－ 3，1）D （－ 2，－ 1） 关于直线 x ＝ 4 A 1（，）B 1（ ，５）C 1（，１）D 1（ ，－ ）的对称点6 341110 1关于直线 y ＝ 5A 2（ ，７）B 2（ ，５）C 2（－ ， ）D 2（－ ， ）的对称点243 9 2 11同样，关于 x 轴（y ＝0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x＝0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1 ：如图 14-2-12 ，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、B 位置上．试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线．画法：（ 1）作点 A 关于 EF 的对称点 A′．（2）连接 A′B 交 EF于点 M．点 M就是黑球 A 撞击边框 EF的位置，黑球 A 的运动路线为 AMB．根据物理知识，黑球 A 的入射角∠ AMC只有与黑球 A 撞击边框 EF反弹后的反射角∠ BMC相等，黑球 A 才能击中白球 B．证明：过点 M作垂线 CD．∵EF是线段 A′A 的中垂线，∴MA＝MA′，∴ ∠AMF＝∠ A′ MF．又∵∠FMC＝∠ FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠ AMF＝ 90°，∠ A′MD＋∠ A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠ A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠ BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠ BMC（等量代换）．例 2 ：如图 14-2-13 ，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠ AOB 内的 P 点，乙站在 OA上，丙站在 OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（ 1）作点 P 关于 OA的对称点 P1．（2）作点 P 关于 OB的对称点 P2．（3）连接 P1P2交 OA于点 M，交 OB于点 N．则点 M是乙所站的位置，点N 是丙所站的位置．证明：若在 OA上取一点 M′，连接 M′P1，M′P．∵P 和 P1关于 OA对称，∴M′ P1＝ M′ P，同理在 OB上取一点 N′，则 N′P＝N′P2．若乙站在 M′位置，丙站在 N′位置，接力棒传递路线为： PM′＋ M′N′＋ N′P．∵P1M′＝ PM′， N′ P2＝N′P，∴PM′＋ M′N′＋ N′ P＝ P1′＋ M′N′＋ N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋ M′N′＋ N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在 M点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。

轴对称变换在解题中的作用大家知道,如果将平面图形f1绕这平面内一直线l翻转180°后与图形f2重合,就说f1与f2两图形关于l成轴对称,简称f1与f2关于l对称。

直线l称为对称轴。

若图形f关于直线l与f成轴对称,就说f是一个轴对称图形。

将图形f1变换到与它关于直线l成轴对称的图形f2,这样的几何变换就叫关于直线l的轴对称变换。

可归纳成下列方法:方法一:若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形,可以尝试找出对称轴,从对称轴上想办法。

具体说,涉及一点与一直线,尝试过点作直线的垂线;涉及一点及一圆,尝试将点与圆心用直线连接起来;涉及两条相交直线,尝试作它们交角的平分线;有两条平行直线,尝试作一条与它们垂直的直线或者作与它们等距的一条平行线;若涉及一圆及一直线,尝试过圆心作直线的垂线;若涉及不同心的两个圆,可尝试作它们的连心线。

[例1]以o为圆心的两个同心圆,与已知直线顺次交于a、b、c、d四点。

求证:∠aob=∠cod分析:证几何题时,最难的步骤是添加辅助线,如果较多的解题经验,是会想到由圆心作已知直线的垂线的,但若运用了几何变换的观点,只要注意到问题的图形是一个轴对称图形,就需要太多的机制和经验,也能迅速想到试作图形的对称轴。

证明:作om⊥ad,垂足为m(如图),则∠aom=∠dom,∠bom=∠com两式相减,可得∠aom=∠cod方法二:问题中的图形或其中一部分是一个轴对称图形,尝试添加一些对称的线,使图形结构更加完整,从而显示出解题途径。

[例2]已知正方形abcd的边ab的延长线上有一点e,ad的延长线上有一点f,满足ae=ac=af,若直线ef交bc于g,交cd于h。

求证:eg=gc=ch=hf分析:本题图形关于正方形的对角线ac对称,所以关键在于证明eg=gc。

但已知ae=ac,故可试连ec,通过证明∠ceg=∠ecg得出eg=gc。

证明:连ac,由对称性得gc=hc,ke=kf,kg=kh,相减得eg=fh。

轴对称对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．让我们来认识下轴对称在生活中的应用吧一、从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。

在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。

如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。

想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。

类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。

其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。

对称变换应用三例湖北省安陆洑水初中王官清秦加强轴对称变换是研究一些几何证明和作图的重要方法。

在实际生活中应用比较广泛，往往结合转化的思想、化归的思想把实际问题转化为几何问题，构建几何作图的模型，使问题得到解决，生动有趣。

下面通过三个例题谈谈轴对称及轴对称变换的应用。

一、猫捉老鼠，不是冤家不聚头例1在墙角O有一个老鼠洞，小猫咪咪在A处发现自己的冤家老鼠在B处正往洞口方向逃窜，咪咪想，这次再不让你跑掉。

若小猫咪咪与老鼠的速度相同，你能确定小猫咪咪抓住老鼠的位置吗？分析：老鼠从B处沿墙边向洞口O逃窜，猫在老鼠逃窜的途中准确截击，截击点P应该在线段OB上。

因为老鼠和小猫的速度相同，在时间相同的情况下，小猫和老鼠跑的路程相等，即PA=PB.所以截击老鼠的点P在AB的对称轴（垂直平分线）上，从而可以确定小猫咪咪抓住老鼠的位置。

如图1-1，作点A、B的对称轴（就是线段AB的垂直平分线），交OB于P，点P就是小猫咪咪抓住老鼠的位置。

二、台球桌上，该出手时就出手例2.如图2，在矩形ABCD的台球桌上有三个彩球E、F、P，且E、F、P在同一条直线上，现在要求主球P在不撞击其他彩球的情况下击中F（不能够跳过E击F），问能否击中F？若不能，请说明理由；若能击中F，请画出主球P的运动路线.分析：主球P撞击台球桌边反弹，和光线在平面镜上反射的规律相同。

如图2-1，假设主球P射到边AD上的M，再反弹到球F，则点F关于AD的对称点和M、P在一条直线上。

作法：作点F关于AD的对称点，连接P，交AD于M，连接MF。

主球P的运动路线是P——M——F。

当然，也可以作出点P关于AD的对称点，连接交AD于M。

类似地，我们如果分别以BC、AB、DC为对称轴来作对称点，还可以在BC、AB、DC 边上找到瞄准的点M来击球P，如图3-2，2-3，2-4.三、饮马牧马，敢问路在何方？例3A处为马厩，B处为帐蓬，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐蓬.请你帮他确定这一天的最短路线。

轴对称问题例析
轴对称是数学中一个概念，它指的是给定一个几何或者抽象空间中存在一个轴，使得以该轴为中心所有图形或形状进行旋转后所得到的结果完全相同。

在数学中，存在许多轴对称的问题，下面我将以一个例子分析轴对称的问题。

在一个几何图像中，存在一条竖线，以该线为轴旋转中心，那么围绕该轴进行旋转180°的结果便是与原图形完全相同的图形，这就是轴对称的例子。

具体来讲，轴对称的问题可以分为两类：第一类是实际几何图形的轴对称，这类轴对称可以运用旋转、对称及翻转等运算来描述；第二类是抽象概念的轴对称，这类轴对称可以与集合论中的问题和函数论中的函数的轴对称等相关联。

围绕轴对称的概念，可以构建出许多有趣的几何图形。

例如，可以分别以一个几何图形的定点为旋转中心和以一个矩形的四边形为
旋转中心，进行旋转180°，结果所得到的几何图形也是完全一样的。

此外，也可以用轴对称问题来分析经典几何图形，例如圆和椭圆，可以发现它们也是轴对称的，以圆心为轴旋转180°，结果将得到一个完全一样的圆形。

而椭圆的轴对称更为复杂，需要先判断其轴的方向及长短，然后以其轴为中心旋转180°，结果得到的图形也是完全一样的。

另外，在抽象概念的轴对称中，函数论中的函数也是其中的重要的一类，例如余弦函数和正弦函数。

它们的特性是：以图像的中心为
轴对称，对函数进行旋转180°，结果得到的函数图形完全一样。

基于以上分析，轴对称是一个非常有趣的概念，它可以用于探究几何或抽象空间中的一些有趣问题，帮助我们更深入地理解数学知识，发掘数学知识背后的规律。

教案说明一、教材的地位和作用轴对称变换是几何中一种基本变换，教材将其安排在平移变换之后、旋转变换之前，这三种变换都是只改变图形的位置，不改变图形形状和大小。

轴对称变换的作图和轴对称性质是轴对称变换实际应用的基础，同时也是后面研究等腰三角形、特殊四边形的依据，在高中解析几何中，轴对称变换的应用也非常多见，并且在物理的光线反射中也有应用。

本节课主要研究的是如何利用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题，轴对称变换的作图和性质以及“两点之间线段最短”是本节课应用的基础，本节课内容为进一步学习几何变换在实际问题中的应用提供了方法和经验。

“动手实践、自主探索与合作交流”是《数学课程标准》所提倡的学生学习数学的重要方式，画图找点解决实际问题中的最短路径问题的探究过程是体现这一理念很好的素材，它对培养学生的探究精神以及动手实践能力，发展数学应用意识等有重要的作用。

二、授课内容的数学本质和教学目标的定位轴对称变换的应用内容很多，但究其实质，体现的是数学中转化的思想。

根据《数学课程标准》中关于“轴对称变换应用”的相关教学要求，结合教材特点和学生的实际情况，从而确定了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维教学目标。

在问题1的整个探究过程中，教师针对不同层次的学生出现的难点进行必要的帮助和引导，在活动中达到使学生进一步理解轴对称变换应用的目标，并掌握利用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题的方法，即通过轴对称变换实现线段的等量转化，再将不共线的多条路径转化到一条直线上，从而完成问题的求解。

在本节课3个问题求解的过程中，教师帮助学生充分体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用数学的意识，让学生真正体验探究的快乐，从而激发学习数学的兴趣。

由于本节课是轴对称变换应用的第2课时，因此，教学重点是轴对称变换的应用，教学难点是如何通过轴对称变换进行转化。

三、教学诊断分析问题1选自教材P131中的“探究”，学生在问题1的自主探究过程中，容易想到将管道画成直线、城镇画成点，此时教师应再引导学生结合图形用符号语言表述问题，之后再强调实际问题数学化是解决实际问题的第一步。

轴对称变换的性质好嘞，以下是为您创作的关于“轴对称变换的性质”的文案：咱先来说说啥是轴对称变换。

就像咱折纸一样，沿着中间那条线对折，两边能完全重合，这就是轴对称啦。

那这轴对称变换又有啥性质呢？我想起之前有一次带孩子去公园玩，看到湖边的垂柳，那柳条随风摆动，仔细一瞧，那每一根柳条和它在水面的倒影，就像是经历了一场轴对称变换。

水面就像是那对称轴，上面的柳条和水中的倒影完美对称，特别好看。

轴对称变换有这么几个重要性质哈。

首先，轴对称变换不改变图形的形状和大小。

比如说一个正方形，经过轴对称变换之后，它还是那个正方形，边的长度、角的大小，一点儿都不会变。

这就好像你照镜子，镜子里的你还是那个你，不会因为镜子就变了模样，对吧？其次，对称轴是对应点连线的垂直平分线。

啥意思呢？就拿刚才说的柳条和它的倒影来说，每一根柳条上的点和它在水中倒影相对应的点，它们之间的连线被水面，也就是对称轴，垂直平分。

还有哦，经过轴对称变换后，对应线段相等，对应角相等。

就像一个三角形，对称轴左边的边和右边相对应的边长度是一样的，对应的角大小也相同。

我再给您举个例子，咱平时用的扇子，展开的时候，扇骨和扇骨之间就形成了轴对称。

你看，不管扇子是打开还是合上，扇骨的长度不变，夹角也不变。

在数学作业和考试里，轴对称变换的性质可是经常会用到的。

比如说，让你根据一个图形的一半，利用轴对称变换的性质画出另一半。

这时候你就得记住，画出来的那一半得和原来的一半形状大小一样，对应点连线得被对称轴垂直平分，对应线段和对应角也得相等。

再比如做一些几何证明题，知道了图形是轴对称的，就能根据这些性质去推导其他的结论。

总之啊，轴对称变换的性质在咱们的生活和学习中都挺重要的。

下次您再看到什么对称的东西，比如蝴蝶的翅膀、故宫的建筑，都可以想想这里面是不是藏着轴对称变换的性质呢。

希望您能把这部分知识学得透透的，在数学的世界里畅游无阻！。

学习指导２０２４年１月下半月㊀㊀㊀例谈轴对称性质的应用◉贵州省威宁县第十一中学㊀王光杰㊀㊀轴对称属于全等变换,对称轴两旁的部分是全等的,据此,可以推出关于轴对称的诸多性质,如 对称点的连线被对称轴垂直平分 对应线段相等,对应角相等 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 等．只有明确这些性质,知道其应用于哪一方面,才能在中考中稳操胜券．１用 对称点的连线段被对称轴垂直平分 求线段长㊀㊀由于在对称轴两侧的部分能够互相重合,因此,当对称点连线后,两对称点到交点的距离相等,对称点的连线被对称轴垂直平分．图１例１㊀如图１,已知点M是øA O B内任意一点,点M１,M关于O A对称,点M２,M关于O B对称,连结M１M２,分别交O A,O B于C,D两点,连接M C,M D,若M１M２＝１０c m,求әM C D的周长．分析:根据轴对称图形的性质,即 对称点的连线被对称轴垂直平分 ,可得O A垂直平分MM１,O B垂直平分MM２．依据 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ,可得M C＝M１C,MD＝M２D．于是әM C D的周长就转化为线段M１M２的长．理由如下．由点M１,M关于O A对称,可知O A垂直平分M１M,则M C＝M１C．同理,MD＝M２D．所以әM C D的周长为M C＋C D＋M D＝M１C＋C D＋M２D＝M１M２＝１０c m．点评:此题的图形也是下面问题的作图方法,即在已知角内有一点M,在角的两边上求作两个点,使点M与这两点构成的三角形周长最小．图２变式练习１㊀如图２,点P是øA O B外一点,点M,N分别是øA O B两边上的点,点P关于O A的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于O B的对称点R落在线段MN的延长线上．若P M＝２．５c m,P N＝３c m,MN＝４c m,求线段Q R的长．答案:４．５c m．２用 对称点的连线段被对称轴垂直平分 求角度㊀㊀轴对称的性质有多种应用,不仅能求得图形中线段的长,而且可以求得角度,还可以用于证明．图３例２㊀如图３,在әA B C中,直线l交A B于点M,交B C于点N,点B关于直线l的对称点D在线段B C上,且A DʅMD,øB＝２８ʎ,求øD A B的度数．分析:因为点B关于直线l的对称点是点D,根据对称点的连线被对称轴垂直平分,得直线l是线段D B的垂直平分线,所以MD＝M B．根据等边对等角,得øMD B＝øB＝２８ʎ．根据三角形外角的性质,得øAMD＝øMD B＋øB＝５６ʎ．在R tәA DM中,根据三角形内角和定理,得øD A B＝９０ʎ－５６ʎ＝３４ʎ．点评:利用 对称点的连线被对称轴垂直平分 这一线段垂直平分线的性质,得到等腰三角形,自然就有等角了．图４变式练习２㊀如图４,在әA B C中,øA C B＝９０ʎ,A C＝B C,E为外角øBC D平分线上一动点(不与点C重合),点E关于直线B C的对称点为F,连接B E,连接A F并延长交直线B E于点G．(１)求证:A F＝B E．(２)用等式表示线段F G,E G与C E的数量关系,并证明．答案:(１)略;(２)G E２＋G F２＝２C E２．３用 对应线段相等,对应角相等 求线段长对应线段相等,对应角相等 是轴对称最基本的性质,在折叠问题中这个性质的应用最多．下面就是利用此性质解答的折叠问题．例３㊀如图５所示,A D是әA B C的中线,øA D C＝６０ʎ,把әA D C沿直线A D折过来,点C落在点Cᶄ的位置．６５２０２４年１月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀图５(１)在图中找出点C ᶄ,连接B C ᶄ;(２)如果B C ＝４,求B C ᶄ的长．分析:我们知道,翻折前后图６的两个图形关于折痕成轴对称图形,点C 与C ᶄ是对称点,所以可以用 作垂线 截相等 描点 的方法作出点C ᶄ(如图６);根据成轴对称的两个图形中对应线段相等,对应角相等 ,可得D C ᶄ＝D C ＝B D＝２,øC ᶄD A ＝øC D A ＝６０ʎ,从而得到等边三角形C ᶄB D ．(１)作C O ʅA D 并延长C O 至点C ᶄ,使O C ＝O C ᶄ,点C ᶄ即为所求．(２)连接C ᶄD ,则C D ＝C ᶄD ,øA D C ＝øA D C ᶄ＝６０ʎ,所以øB D C ᶄ＝６０ʎ．由B D ＝D C ＝２,可得B D ＝C ᶄD ＝２,则øC ᶄB D ＝øB C ᶄD ＝６０ʎ,可知әC ᶄB D 为等边三角形,所以B C ᶄ＝B D ＝２．点评:因为轴对称图形中 对应线段相等,对应角相等 ,所以图形折叠后与中线相结合,可得到等腰三角形,而等腰三角形是初中学习的重要图形,有关它的性质比较多．例４㊀如图７Ｇ１,әA B C 的点C 与C ᶄ关于A B 对称,点B 与B ᶄ关于A C 对称,连接B B ᶄ,C C ᶄ,交于点O ．图７Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７Ｇ２㊀㊀(１)如图７Ｇ１,若øB A C ＝３０ʎ,①求øB ᶄA C ᶄ的度数;②观察并描述:әA B C ᶄ可以由әA B ᶄC 通过什么变换得来?求出øB O C ᶄ的角度．(２)如图７Ｇ２,若øB A C ＝α,点D ,E 分别在A B ,A C 上,且C ᶄD ʊBC ʊB ᶄE ,B E ,CD 交于点F ,设øB F D ＝β,试探索α与β之间的数量关系,并说明理由．分析:(１)①因为点C ,C ᶄ关于A B 对称,点B ,B ᶄ关于A C 对称,由 对应线段相等,对应角相等 ,得øC A B ＝øB A C ᶄ＝øC A B ᶄ＝３０ʎ,所以øB ᶄA C ᶄ＝９０ʎ．②图７Ｇ１中,设A C 交B B ᶄ于点J ．әA B C ᶄ可以由әA B ᶄC 绕点A 顺时针旋转６０ʎ得到．因为A C ＝A C ᶄ,A B ＝A B ᶄ,øC A C ᶄ＝øB A B ᶄ＝６０ʎ,所以øA B ᶄO ＝øA C O ＝６０ʎ．因为øA J B ᶄ＝øO J C ,所以øB ᶄO C ＝øB ᶄA J ＝３０ʎ．故øB O C ᶄ＝３０ʎ．(２)β＝２α．理由:由轴对称的性质,得B C ＝B C ᶄ,D C ᶄ＝D C ,øA B C ᶄ＝øA B C ．因为D C ᶄʊB C ,由 两直线平行,内错角相等 ,得øC ᶄD B ＝øA B C ＝øC ᶄB D ,由等角对等边,得C ᶄD ＝C ᶄB ,所以B C ＝B C ᶄ＝C ᶄD ＝D C ．根据四边相等的四边形是菱形,得四边形B C D C ᶄ是菱形,所以C D ʊB C ᶄ．同理B E ʊC B ᶄ．所以øF C B ＋øC B C ᶄ＝１８０ʎ,即øF C B ＋２øA B C ＝１８０ʎ．同理øF B C ＋２øA C B ＝１８０ʎ,也即øB F D ＝øF B C ＋øF C B ,所以øD F B ＝１８０ʎ－２øA B C ＋１８０ʎ－２øA C B ＝３６０ʎ－２(øA B C ＋øA C B )＝２øB A C ．所以β＝２α．４用对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 求角度或周长㊀㊀轴对称的 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 这一性质不经常用,常用在探究性质的问题中．图８例５㊀如图８,әA B C 与әA ᶄB ᶄC ᶄ关于直线MN 对称,әA ᶄB ᶄC ᶄ和әA ᵡB ᵡC ᵡ关于直线E F 对称,直线MN 与E F 交于点O ,试探究øB O B ᵡ与直线MN ,E F 所夹锐角α的数量关系．分析:连接O B ᶄ,O B ᵡ,O B ,根据 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 ,可得两组相等的角,即øM O B ＝øM O B ᶄ,øF O B ᶄ＝øF O B ᵡ,据此可得øB O B ᵡ＝２øM O B ᶄ＋２øF O B ᶄ＝２(øM O B ᶄ＋øF O B ᶄ)＝２øM O F ＝２α．点评:此题也反映出轴对称与旋转的关系,即当两条对称轴相交时,两次轴对称相当于一次绕着交点图９旋转对称轴夹角的２倍度数．变式练习３㊀如图９,点P在øA O B 的内部,点C 和点P 关于O A 对称,点P 关于O B 对称的点是D ,连接C D 交O A 于点M ,交O B 于点N ．(１)①若øA O B ＝６０ʎ,则øC O D ＝ʎ;②若øA O B ＝α,求øC O D 的度数．(２)若C D ＝４,则әP MN 的周长为．答案:(１)①１２０;㊀②２α．㊀(２)４．轴对称是图形变换之一,属于全等变换,是中考的必考内容,它常与其他图形结合起来考查,要求学生会运用运动的观点看问题．Z７５。

轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。

一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。

两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。

轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。

例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。

分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。

证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。

连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。

∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。

∴BC＋AD＞AB+CD。

注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。

其证明思路也完全相同，读者试自证。

二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。

对称图形的应用如果沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴。

对称轴绝对是一条直线。

圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

在同圆或等圆里，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=d。

一.生活中的轴对称1.自然界中的轴对称当我漫步在街头时，我时常看见飞来飞去的蝴蝶。

当一只蝴蝶停留在花朵上，张合着翅膀时，我发现如果将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所在的那一条直线就是其对称轴。

而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻过去的图形。

跟蝴蝶一样轴对称的生物还有很多。

比如随意从地上捡起的树叶，仔细观察你会发现它也是轴对称的。

如果我们将树叶中间的那根经，当成是其左右两边的对称轴，那将树叶右边部分沿着这条对称轴对折过去，正好与左边的一半树叶重合。

2.商标中的轴对称在无意间，你可以发现很多商标也同样是轴对称的，有家喻户晓的麦当劳，各种银行，各种汽车的标志都是轴对称的。

但是如果大家觉得前面几个例子，平时都没有注意到的话，那么下面说到的这个例子大家肯定熟悉的不得了。

这个例子就是商标，我先来举一个吧。

平时我最大的兴趣就是吃零食。

所以我对“旺旺”这个商标熟悉的不得了。

我发现在旺旺这个商标当中，将其头发上的一个中点到两脚脚后跟之间的线段的中点，想连接的线段所在的那一条直线就是其对称轴。

也正是这条对称轴将旺旺这个图标分成了相等的两份。

像旺旺这样具有对称轴的商标还有很多。

二、文学当中的轴对称1、文字中的轴对称图形众人皆知，中国经过了上下五千年历史的熏陶。

其轴对称形状的字也是数不胜数。

比如“西”、“内”、“具”、“里”还有许多剪纸作品，也正是因为有了轴对称的存在，使其更加精致、美观。

其实有时候，对称轴也具有复制的功能，它能够把一个字，分成与其相同的两个字，像“二”如果把它的对称轴当作是第一横的中点和第二横的中点，所连接成的线段所在的直线的话。