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高中数学知识解读论文：用高中数学知识解读“S”型种群增长曲线在生态学上，“s”型曲线是指在非理想条件下，种群世代重叠，经过一定时间的连续增长后，数量趋于稳定的增长曲线，其中一定空间能维持种群的最大数量称为环境容纳量，又称k值。
如图1。
1935年格雷厄姆提出用s型曲线描述种群增长变化情况。
高中生物教材（人教版）中仅展现了定义与k值两个知识点，而近几年由这两个知识点衍生出的考查建构数学模型的高考题层出不穷，问题既不超纲又显得很新颖，如05年全国卷，“为了保护鱼类资源不受破坏，并能持续地获得最大捕鱼量，根据种群增长的s型曲线，应使被捕鱼群的种群数量保持在k/2水平，这是因为在这个水平上……”等题目，都完全符合三维教学目标中用数学模型解释种群数量变化的要求，解决上述问题的关键在于对s型曲线的充分理解。
在生物第一轮总复习中，我主要把握两点做重点讲述。
一、“s”型曲线上点的切线斜率分析如图2所示，过a点作切线ab，向x轴作垂线ac；由b 点向ac作垂线，则直线ab的斜率为ac/bc。
ac代表种群的增长数量，bc代表单位时间，因此直线ab的斜率应该代表种群在此时间段内的增长速率（增长速率是指单位时间增长率的变化，增长率指单位时间种群增长数量）。
直线的斜率越大，增长速率越大，且切线斜率最大的点在“k/2”时，种群的增长速率达到最大，之后种群的增长速率逐渐变慢，当“s”曲线到达k值时，增长速率为0。
我们通过研究曲线的起点、拐点、止点的斜率，就可以发现“s”型曲线表示的种群增长速率是一个先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线。
二、种群增长速率曲线呈钟罩形“s”型种群增长曲线通称逻辑斯蒂（logistic）曲线，其数学模型是：■=rn（1-■）=rn-■，dn/dt表示种群增长速率，r表示种群的增长率,n表示种群数量。
要向高中学生讲清微积分方程，不但老师讲解是问题，学生听懂也是问题。
我转化思维角度，将dn/dt换原为y，n换原为x，则逻辑斯蒂方程变为高中学生特熟悉二次函数方程y=-x+rx，其图象见图，为部分开口朝下的抛物线，呈钟罩形。
生物s型曲线
S型曲线（S-Curve）是生物学和生态学中常见的一种增长曲线，通常用于描述种
群数量随时间的变化。
在自然界中，由于资源、空间和其他因素的限制，种群不可能
按照“J”型曲线无限增长。
当种群在一个有限的环境中增长时，随着种群密度的上升，个体间由于有限的空间、食物和其他生活条件而引起的种内斗争必将加剧，以该种群
生物为食的捕食者的数量也会增加，这就会使这个种群的出生率降低，死亡率增高，
从而使种群数量的增长率下降。
当种群数量达到环境条件所允许的最大值时，种群数
量将停止增长，有时会在K值保持相对稳定。
在生物学和生态学研究中，S型曲线被广泛应用于描述种群数量的变化规律。
例如，在疾病传播模型中，S型曲线可以用来描述疾病的传播过程，随着时间的推移，
感染者的数量会逐渐增加，但当感染者数量达到一定水平后，由于免疫力的增强和防
控措施的实施，感染者的数量会逐渐减少。
此外，S型曲线还可以用于描述其他生物学现象，如种群竞争、资源利用等。
在
生态学中，S型曲线可以帮助我们了解物种的生存能力和适应性，以及物种之间的相
互作用和生态平衡。
S型曲线是一种重要的生物学和生态学模型，可以帮助我们更好地理解和描述生
物种群的变化规律。
Ｊ型曲线和Ｓ型曲线的增长率和增长速率１．概念增长速率是指种群在单位时间内净增加的个体数。
增长率是指种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。
２．定义式增长速率＝〔现有个体数－原有个体数〕／增长时间增长率＝〔现有个体数－原有个体数〕／原有个体数。
＝出生率－死亡率一对Ｊ型曲线的分析１．模型假设在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。
２．对模型假设的分析从模型假设不难得出λ=现有个体数／原有个体数。
结合增长率的概念和定义式不难看出，此时增长率等于〔λ-1〕，λ不变，增长率〔λ-1〕也就不变。
再看增长速率，由于一段时间内种群内个体基数不断增大，故这段时间内净增加的个体数〔Ｎｔλ－Ｎｔ〕不断增多，除以时间以后即为增长速率，可以看出增长速率是不断增大的。
横轴表示时间，纵轴表示种群数量，在坐标系中画出曲线，那么曲线的斜率就应该是种群增长速率而不是增长率。
３．结论Ｊ型曲线增长率保持不变〔如图A〕；增长速率一直增大。
曲线的斜率表示增长速率〔如图B〕。
二对Ｓ型曲线的分析１．模型假设自然界的资源和空间总是有限的，当种群密度增大时，种内斗争就会加剧，以该种群为食的动物的数量也会增加，这就会使种群的出生率降低，死亡率增高。
当死亡率增加到与出生率相等时，种群的增长就会停顿，有时会稳定在一定的水平。
２．对模型假设的分析在有限的资源和空间中，随着种群数量的增加，种群增长的阻力也会随之增大，由此导致种群的出生率降低、死亡率增加，二者之间的差值即增长率是不断减小；当种群的出生率和死亡率相等时，增长率为零，此时种群数量到达最大值停顿增加。
在Ｓ型曲线的前半局部，由于增长率下降的幅度小于死亡率增加的幅度，所以种群的增长速率不断增大；在种群数量为Ｋ／２时，增长率的下降幅度等于死亡率的增加幅度，增长速率到达最大值；而到了后半局部，增长率的下降幅度超过了死亡率的增加幅度，所以种群的增长速率下降；至种群数量为Ｋ时，增长率等于死亡率，增长速率和增长率均为零，种群数量到达最大，停顿增长。
种群数量增长的两种曲线模型总结——J型增长曲线模型和S型增长曲线模型1．两种曲线模型比较两种增长曲线的差异主要是因环境阻力大小不同，对种群增长的影响不同2.K值与K2在实践中的应用例1：右图中种群在理想环境中呈“J”型曲线增长(如图中甲)；在有环境阻力的条件下呈“S”型曲线增长(如图中乙)。
下列有关种群增长曲线的叙述，正确的是()A、环境阻力对种群增长的影响出现在d点之后B、若此图表示蝗虫种群增长曲线，防治害虫应从c点开始C、一个物种引入新的地区后，开始一定呈“J”型增长D、若此图表示草履虫增长曲线，当种群数量达到e点后，增长率为0解析：环境阻力出现在“J”型曲线与“S”型曲线的分叉点（c点）。
c点种群的增长速度最快，所以不能在该点对害虫进行防治；b点蝗虫的数量开始增加，但增长速率还很低，应该从该点开始对害虫进行防治。
一个物种引入新的地区后，有可能不适应当地的环境，所以不一定呈“J”型增长。
【答案】D例2：某研究所调查发现：某种鱼迁入一生态系统后，其种群数量增长率随时间变化的曲线如图所示，请分析回答：t o t1t2 时间（1）在t0-t2时间内，种群数量增长曲线呈；若在t 2时种群的数量为N，则t1在时种群的数量为，t1时该种群年龄组成可能是。
（2）捕获该鱼的最佳时期为时，原因是。
（3）该鱼在t2时期后，种群数量，主要原因是答案（1）S型曲线N／2 增长型（2）T1 在T1时种群增长率最大，捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生（3）不增加种内斗争加剧捕食者数量增加解析:分析图中曲线可知：T0～T2时间内种群数量增长率由小变大，达到最大值后又逐渐变小，因而该种群数量增长呈S型曲线。
在T2时种群数量增长率为0，此时，种群的数量为N，即为最大值，而在T1.时种群数量增长率最大，则这时种群的数量为N／2，种群年龄组成为增长型。
当种群数量增长率最大时捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生，因而此时（T1）为捕获的最佳时期。
