第8章区间估计
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第8章 参数估计
f
x,
x 1 0
求参数 的极大似然估计.
0 x 1,
其它
解 设 X1, X 2 ,L , X n为来自总体的样本, 则似然函数为
L n x1x2L xn 1 ,
取对数后有:
nபைடு நூலகம்
ln L nln 1ln xi, i1
上式对 求导, 并令其为零, 则有
解之得
dln L
d
n
n i1
h X1, X2,L , Xn , 通过样本观测值 x1, x2,L , xn 所对应的估计值
h x1, x2,L , xn
作为总体参数的估) 计值. 记作
h x1, x2,L , xn .
点估计的意义: 在数轴上表示一个点.
区间估计的含义是: 依据样本来估计未知参数的某一 范围.
区间估计的具体实现: 由样本构造两个统计量:
h1 X1, X2,L , Xn , h2 X1, X2,L , Xn ,
再由观测值 x1, x2 ,L , xn 得到具体的区间
h1 x1, x2,L , xn , h2 x1, x2,L , xn ,
以此区间作为未知参数的区间估计.
二、两种常用点估计
下面讨论两种常用的点估计方法: 矩估计和极大似然 估计.
例5 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, 其中
X : R0, , 因
1
E
X
2
,
因此 21 的矩估计为2 X .
例6 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, X 的
密度函数为
f
x
1
x
,
0,
求 的矩估计. 这里 1.
第8章_假设检验8.4_置信区间与假设检验之间的关系
例1 设 X ~ N ( , 1), 未知, 0.05, n 16,
且由一样本算得 x 5.20 ,
于是得到参数 的一个置信水平为 0.95 的置信 1 1 区间 ( x z0.025 , x z0.025 ) 16 16
(5.20 0.49, 5.20 0.49) (4.71, 5.69 ).
反之 ,为要求出参数 的置信水平为 1 的 置信区间 ,
要先求出显著水平为 的检验假设
H 0 : 0 , H1 : 0 , 的接受域 : 0
( , ) 是参数的一个置信水平为1 的置信区间
2. 置信区间与单边检验之间的对应关系
（1）置信水平为 1 的单侧置信区间
(, ) 与显著水平为 的左边检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0 有类似的对应关系.
若已求得单侧置信区间 (, ),
则当 0 (, ) 时接受 H0 ;
当 0 (, ) 时拒绝 H0 .
第四节 置信区间与假设检验之间 的关系
一、置信区间与双边检验之间的对应关系 二、 置信区间与单边检验之间的对应关系 三、小结
区间估计与假设检验的联系
1.区间估计与假设检验都是根据样本信息对总体参 数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是 建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的 可信程度或风险。 2.对同一问题的参数进行推断，二者使用同一样本、 同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。 区间估计问题可以转换成假设问题，假设问题也 可以转换成区间估计问题。区间估计中的置信区 间对应于假设检验中的接受区域，置信区间以外 的区域就是假设检验中的拒绝域。
单侧置信区间 (4.79, ), 单侧置信下限 4.79.
第八章 参数估计
2
−
σ
即置信区间为[1446.16,2553.84] 显然我们有95%的把我说，总体平均值在1446.16 ~ 2553.84分之间
四、
σ
未知且大样本时总体平均数的区间估计
σ 未知但样本容量 n > 30 即大样本时，可用标准
正态分布近似地当作 t 分布，故此时的总体平均 数置信区间为
x ± zα sx
§8.2 总体平均数的区间估计
一、 样本取自总体方差已知的正态分布
如果总体服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) ,且 σ 2 已知时， 且 已知时， 总体平均数的置信区间为： 总体平均数的置信区间为：
x ± z
α
2
σ
x
总体平均数区间估计的步骤： 总体平均数区间估计的步骤：
(1)确定置信水平，即可靠性或把握程度。一般来说对于估 确定置信水平，即可靠性或把握程度。 确定置信水平 计要求比较精确的话，置信程度也要求高些， 计要求比较精确的话，置信程度也要求高些，在社会经济 现象中通常用95％ 现象中通常用 ％就可以了 (2)根据置信度并利用标准正态分布表确定 z 值 根据置信度并利用标准正态分布表确定
二、 样本取自总体方差已知的非正态分布 在很多情况下，总体为非正态分布， 在很多情况下，总体为非正态分布，但由中心极限 定理， 足够大， 定理，当样本容量 n 足够大，无论总体服从什么分 的抽样分布将近似服从正态分布， 布， x 的抽样分布将近似服从正态分布，故可以用
x ± z α σ x 公式来近似求出总体平均的置信区间。 公式来近似求出总体平均的置信区间。
2
例8 − 2某职业介绍所的职员从某一职业的1000名申请者 中采用不重复抽样方式随机抽取了200名申请者，借此 估计1000名申请者考试的平均成绩，已知由200名申请者 构成的样本平均分 x = 78分，由已往经验已知总体方差 为90，但该职员不知总体服从何种分布，试求µ的90% 的置信区间？
−
σ
即置信区间为[1446.16,2553.84] 显然我们有95%的把我说，总体平均值在1446.16 ~ 2553.84分之间
四、
σ
未知且大样本时总体平均数的区间估计
σ 未知但样本容量 n > 30 即大样本时，可用标准
正态分布近似地当作 t 分布，故此时的总体平均 数置信区间为
x ± zα sx
§8.2 总体平均数的区间估计
一、 样本取自总体方差已知的正态分布
如果总体服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) ,且 σ 2 已知时， 且 已知时， 总体平均数的置信区间为： 总体平均数的置信区间为：
x ± z
α
2
σ
x
总体平均数区间估计的步骤： 总体平均数区间估计的步骤：
(1)确定置信水平，即可靠性或把握程度。一般来说对于估 确定置信水平，即可靠性或把握程度。 确定置信水平 计要求比较精确的话，置信程度也要求高些， 计要求比较精确的话，置信程度也要求高些，在社会经济 现象中通常用95％ 现象中通常用 ％就可以了 (2)根据置信度并利用标准正态分布表确定 z 值 根据置信度并利用标准正态分布表确定
二、 样本取自总体方差已知的非正态分布 在很多情况下，总体为非正态分布， 在很多情况下，总体为非正态分布，但由中心极限 定理， 足够大， 定理，当样本容量 n 足够大，无论总体服从什么分 的抽样分布将近似服从正态分布， 布， x 的抽样分布将近似服从正态分布，故可以用
x ± z α σ x 公式来近似求出总体平均的置信区间。 公式来近似求出总体平均的置信区间。
2
例8 − 2某职业介绍所的职员从某一职业的1000名申请者 中采用不重复抽样方式随机抽取了200名申请者，借此 估计1000名申请者考试的平均成绩，已知由200名申请者 构成的样本平均分 x = 78分，由已往经验已知总体方差 为90，但该职员不知总体服从何种分布，试求µ的90% 的置信区间？
统计学题库
第五、六、七章：抽样推断1.总体分布、样本分布、抽样分布总体分布：总体中各个数据的分布样本分布：样本中各个数据的分布抽样分布：样本统计量的概率分布总体的分布通过直方图观察，但一般不可能得到所有的数据，也就不能直接观察到总体分布。
只要知道总体的分布类型和反映总体分布特征的参数就能够满足需要。
样本分布也称为经验分布，样本来源于总体，会包含总体的信息和特征，特别当样本容量较大时，样本的分布会很接近总体分布，但样本是随机抽取的，一般与总体分布有一定差异。
抽样分布是说明样本分布特征的统计量的分布，对它的理解是建立在反复抽样的基础上，样本是随机抽取的，不同的样本会有不同的统计量值，一个总体可以有很多个不同的样本，这样一个统计量就会有很多不同的取值，这些不同值的分布就是抽样分布。
由于在实践中对于同一总体我们不会反复抽取很多样本，因此，抽样分布一般不能直接观察到，仅是一种理论分布。
抽样分布揭示了样本统计量与总体参数的内在联系，为统计推断提供了理论基础。
2.总体单位与抽样单位、样本容量与样本可能数目3.统计量、总体参数及统计量的标准化统计量是样本数据的函数，在实际抽样之前，由于是样本随机的，统计量也是随机的，但在抽取样本之后，样本已经确定，统计量也就是确定的，不包含任何未知变量。
总体参数是说明统计总体的数据特征值，一般是确定但未知的，是待估计的。
统计量的标准化是统计推断的必要过程，是将具体的统计量转化为已知分布的统计量，转化以后就可以确定一定区间的概率。
4.统计误差、抽样误差、抽样标准误差与抽样边际误差统计误差是统计调查得到的值与客观实际值之间的差异。
包括抽样误差和非抽样误差。
非抽样误差又称工作误差或调查误差，是指调查登记过程中由于登记、过录、计算等原因引起的误差。
在全面调查和非全面调查中都有可能存在。
抽样误差也称为随机误差，是指在坚持了随机抽样的情况下，由于样本的随机性造成样本统计量与总体参数的差异。
样本是随机的，样本的统计量也是随机的，而总体参数是唯一的，因而抽样误差也是随机的。
概率论和数理统计(第三学期)第8章参数估计
n n 1
由契比雪夫不等式，有
P( S 2 ES2
n
n
)
DS
2
n
＝
2 4
2 n 1 2
即 lim P( S 2 ES2 ) 0
n
n
n
(n 1)S 2
E
2
n n 1
ES2 2 n
故 lim P( S 2 2 ) 0
n
n
§8.3 参数的区间估计
定义
设是总体的未知参数，若 （1 1
6
S~2 1 1.20 0.162 0.85 0.162 0.30 0.162 6 0.45 0.162 0.82 0.162 0.12 0.162 1 1.042 0.692 0.142 0.612 0.982 0.282 6 1 2.99 6 0.498 2
n
p xi
1
p
1 xi
xi p i1
1
p
n
n xi
i1
i 1
n
令y xi，得： i 1 ln Lxi , p y ln p n yln1 p
由对数似然方程
d ln L y n y 0 dp p 1 p
解得
p
y n
1 n
n i 1
xi
x
因为这是惟一的解，所 以p的极大似然估计值为
二、顺序统计量法
定义
1
, 2
,
,
为总体
n
的一个样本，将它
们按大小次序排列，取 居中的一个数 (若n为偶
数时，则取居中两数的 平均值)记为~，称~为
样本中位数。
即
~
k
1
,
1 2
k
由契比雪夫不等式，有
P( S 2 ES2
n
n
)
DS
2
n
＝
2 4
2 n 1 2
即 lim P( S 2 ES2 ) 0
n
n
n
(n 1)S 2
E
2
n n 1
ES2 2 n
故 lim P( S 2 2 ) 0
n
n
§8.3 参数的区间估计
定义
设是总体的未知参数，若 （1 1
6
S~2 1 1.20 0.162 0.85 0.162 0.30 0.162 6 0.45 0.162 0.82 0.162 0.12 0.162 1 1.042 0.692 0.142 0.612 0.982 0.282 6 1 2.99 6 0.498 2
n
p xi
1
p
1 xi
xi p i1
1
p
n
n xi
i1
i 1
n
令y xi，得： i 1 ln Lxi , p y ln p n yln1 p
由对数似然方程
d ln L y n y 0 dp p 1 p
解得
p
y n
1 n
n i 1
xi
x
因为这是惟一的解，所 以p的极大似然估计值为
二、顺序统计量法
定义
1
, 2
,
,
为总体
n
的一个样本，将它
们按大小次序排列，取 居中的一个数 (若n为偶
数时，则取居中两数的 平均值)记为~，称~为
样本中位数。
即
~
k
1
,
1 2
k
管理统计学习题参考答案第八章
第八章1. 解：（1）假设检验的基本思想是，样本平均数与总体平均数出现差异不外乎两种可能：一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。
因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。
根据样本平均数的抽样分布定理，有x Z σx μ±=或Z /σμx x ≤-。
当0=Z 时，表明样本均值等于总体均值，即μx =；当Z 很大时，表明样本均值离总体均值很远，即∆很大。
后一种情况是小概率事件。
在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理由认为样本均值是不正常的，它与原总体相比，性质已经发生变化，应该拒绝接受原假设。
（2）假设检验的一般步骤包括：① 提出原假设和备择假设；对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。
原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H 0；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H 1。
原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。
接受H 0，则必须拒绝H 1；反之，拒绝H 0则必须接受H 1。
② 选择适当的统计量，并确定其分布形式；不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量。
在例中，我们所用的统计量是Z ，在H 0为真时，N Z ~(0，1)。
③选择显著性水平α，确定临界值；显著性水平表示H 0为真时拒绝H 0的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。
假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。
这里的小概率就是指α。
但是要小到什么程度才算小概率? 对此并没有统一的标准。
通常取α=0.1，0.05，0.01。
给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定H 0的接受区域和拒绝区域。
统计学区间估计详细讲解
100
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
区间估计与假设检验
"### 参数的区间估计与假设检验之间的区别
参数的区间估计和假设检验从不同的角度回答同一问 题， 它们的统计处理是相通的。 但是它们之间又有区别， 体现 以下三点： 第一， 参数估计解决的是多少 （或 范 围 ） 问题， 假设检验 则判断结论是否成立。前者解决的是定量问题， 后者解决的 是定性问题。 第二， 两者的要求各不相同。区间估计确定在一定概率 保证程度下给出未知参数的范围。 而假设检验确定在一定的 置信水平下， 未知参数能否接受已给定的值。 第三， 两者对问题的了解程度各不相同。进行区间估计 之前不了解未知参数的有关信息。 而假设检验对未知参数的 信息有所了解， 但作出某种判断无确切把握。 因而在实际应用中，究竟选择哪种方法进行统计推断， 需要根据实际问题的情况确定相应的处理方法。 否则将会产
" 拒 绝 域 为 +)J.)0!+#)(-- ， 查表 %’#$#"4" 统计量 0’ ,)"" ’ & ， %
得 0"$":’!$"(: ， 计 算 得 0’)($A::A. 由 此 可 见 统 计 量 的 值 未 落 入 拒绝域中， 因而接受原假设， 认为符合设计要求。
(9!
统计与决策 !""# 年 # 月 （下）
上述关系虽就一特例而言， 但也有普遍意义。由区间估 计可以很容易构造检验函数。 下面来说明怎样由检验函数构 造区间估计。 设 # 是问题
生不同的结论， 做出错误的统计推断。 例 ! 测试某个品牌的汽车的百公里耗油量，假设在正 常的情况下汽车百公里耗油量服从正态分布， 路况以及驾驶 员的技术符合正常要求。现对该批汽车进行测试， 随机选取
+&".!-。
第8章参数估计习题解答
∑ ( xi − µ )2
i =1
n
.
23.
设（ ( X 1 , X 2 , L , X n ) ）是抽自总体 X : N ( µ , σ ) 的随机样本， a , b 为常数，且
2
0<a<b ， 则 随 机 区 间 ⎜
nσ 2 nσ 2 − a b
( X i − µ )2 n ( X i − µ )2 ⎞ ⎟ 的长度的数学期望为 ∑ b ,∑ a i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎛
i =1 i =1
.
22. 设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自总体 X 数 L( µ , σ ) =
2
− 1 e ∏ 2π i =1 σ n ( xi − µ )2 2σ
2
N ( µ , σ 2 ) 的样本，则有关于 µ 及 σ 2 的似然函
− n 2 − n 2 − 1 2σ
2
= (2π ) (σ 2 ) e
的分布函数 Φ ( x ) 的函数值：Φ (1.645) = 0.95 ，Φ (1.96) = 0.975 ，Φ (1.282) = 0.90 .则在 显著水平 α = 0.05 ， E ( X ) 的置信区间为( A ).
A. (1.216, 2.784) .
B. (1.342,
2.658) .
C. (1.4872,
ˆ = 2X . D. θ 4
7.
设总体 X 的密度函数为 P ( x,
⎧θx θ −1 0 < x < 1 ， θ > 0 , ( X 1 , X 2 ,L , X n ) θ) = ⎨ ⎩o 其它
为样本，记 Ak =
1 n k ∑ X i , k = 1,2.3 ，则以下结论中错误的是( A ). n i =1
热工测试技术-第8章
概念： 如果测量列中某一测定值残差 i 的绝对值 大于该测量列标准误差的3倍即 i xi x 3 那么可以认为该测量列中有粗大误差存在。
2013-2-12
热能工程系
31
例： 3.3，3.4，3.35，3.25，3.2，3.3， 3.35，3.25，3.3，3.4，3.3，3.35， 3.25，8.3，3.4。
—贝塞尔公式
2013-2-12
热能工程系
13
四、最佳估计值误差区间的估计 —置信度，置信区间 概念：就是在一定的可信度（置信度）下， 估计最佳估计值与真值的误差大小（置信区 间）。
2013-2-12
热能工程系
14
（一）数学描述
假设用x 对 进行估计的误差为 x，那么
x 落在该区域内的概率为 P x 。
两组的测量误差状况不同。 4．75，5．00，4．90，5．25，5．10 4．90，5．15，5．05，4．95，4．95
2013-2-12 热能工程系 12
1 由统计数学已经证明： ( xi ) 2 n
2
ˆ 通常引用 为 的最佳估计值（无偏估计值）。
1 2 xi x n 1
n 1 19
2013-2-12 热能工程系 24
（3）对于给定的置信概率P，求置信区间半 长 。已给出P=95%，故
P( x x ) 95%
P( x ) 95%
设 z x ，且 x x
P( x z x ) 95%
2013-2-12 热能工程系 23
解: (1) 计算测定值子样平均值 1 20 x xi 4752.0 20 i 1 （2）计算均方根误差，由贝赛尔公式得
关于区间估计的课程设计
关于区间估计的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解区间估计的基本概念，掌握其定义和性质。
2. 学生能够运用区间估计方法，对总体参数进行估计，并解释估计结果的含义。
3. 学生能够掌握区间估计的误差分析，了解影响区间估计精度的因素。
技能目标：1. 学生能够运用统计软件或计算器进行区间估计的计算。
2. 学生能够根据实际问题，选择合适的区间估计方法，并解决实际问题。
3. 学生能够通过实例分析，提高数据处理和分析能力。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到统计学在实际生活中的广泛应用，增强学习统计学的兴趣。
2. 学生能够培养严谨的科学态度，注重数据分析的客观性和准确性。
3. 学生能够通过小组合作，培养团队协作能力和沟通表达能力。
课程性质分析：本课程为高中统计学课程，旨在帮助学生掌握区间估计的基本方法，提高数据处理和分析能力。
学生特点分析：高中学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于统计学方法的应用还较为陌生，需要通过实例和实际操作来加深理解。
教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受区间估计的应用价值。
2. 强调计算能力的培养，引导学生熟练使用统计软件或计算器进行计算。
3. 鼓励学生积极参与讨论和分享，提高课堂互动效果。
二、教学内容1. 区间估计基本概念：总体参数、样本统计量、估计量、置信区间。
2. 区间估计的原理与方法：中心极限定理、标准误差、正态分布的性质。
3. 置信区间的计算与应用：- 单个总体均值的区间估计。
- 单个总体比例的区间估计。
- 两个总体均值差的区间估计。
- 两个总体比例差的区间估计。
4. 影响区间估计精度的因素：样本容量、总体标准差、置信水平。
5. 实际问题中的应用：分析实际问题，选择合适的区间估计方法，解决实际问题。
教学大纲安排：第一课时：区间估计基本概念，总体参数与样本统计量。
第二课时：中心极限定理，标准误差，正态分布性质。
第三课时：单个总体均值和比例的区间估计。
统计学8 参数估计
宽,估计的值愈不精确; （ 2 ）置信度愈小，置信区间愈窄 , 精确度越 高
第二节 均值区间估计
有一定的概率P（95%或99%)保证，
x
请思考：P 与
与
x
三者怎样联系起来
？？？
答案：统计量
x 的分布是将三者联系起来的桥。
一、抽样分布与抽样误差
从总体中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体均数！为什么？ 再从该总体中随机抽取一份样本，再计 算均数。 前后两个均数不等，为什么？
S SE＝ ＝ n n
标准误的特点
抽样的样本量越大，标准误就越小； 原来总体变异度小，标准误就越小。 标准误反映了样本均值间的离散程度，也反映了样本 均值与总体均值之间的差异。当标准误大时，用样本 均值对总体均值的估计的可靠程度就小；反之亦然。
标准误用途
衡量样本均值的可靠性：标准误越小，表明样本 均值越可靠； 参数估计：估计总体均值的置信区间（区域）； 假设检验：用于总体均值的假设检验（比较）。
总体参数的点估计公式
1．样本均值 2．样本方差
1 x x n 1 2 2 s ( x x ) n 1
X，S 2 作为总体的参
即用样本的 数的点估计值。
点估计的优点在于它能够明确地估计总体 参数，但由于样本是随机的，抽出一个具 体的样本得到的估计值很可能不同于总体 真值。 它与真值的误差﹑估计的可靠性怎样，我 们无法知道，而区间估计则可弥补这种不 足之处。
二、均值的区间估计（教材p139）
当置信度为1-=0.95时，置信区间为：
[ x 1.96
n
n
, x 1.96
第二节 均值区间估计
有一定的概率P（95%或99%)保证，
x
请思考：P 与
与
x
三者怎样联系起来
？？？
答案：统计量
x 的分布是将三者联系起来的桥。
一、抽样分布与抽样误差
从总体中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体均数！为什么？ 再从该总体中随机抽取一份样本，再计 算均数。 前后两个均数不等，为什么？
S SE＝ ＝ n n
标准误的特点
抽样的样本量越大，标准误就越小； 原来总体变异度小，标准误就越小。 标准误反映了样本均值间的离散程度，也反映了样本 均值与总体均值之间的差异。当标准误大时，用样本 均值对总体均值的估计的可靠程度就小；反之亦然。
标准误用途
衡量样本均值的可靠性：标准误越小，表明样本 均值越可靠； 参数估计：估计总体均值的置信区间（区域）； 假设检验：用于总体均值的假设检验（比较）。
总体参数的点估计公式
1．样本均值 2．样本方差
1 x x n 1 2 2 s ( x x ) n 1
X，S 2 作为总体的参
即用样本的 数的点估计值。
点估计的优点在于它能够明确地估计总体 参数，但由于样本是随机的，抽出一个具 体的样本得到的估计值很可能不同于总体 真值。 它与真值的误差﹑估计的可靠性怎样，我 们无法知道，而区间估计则可弥补这种不 足之处。
二、均值的区间估计（教材p139）
当置信度为1-=0.95时，置信区间为：
[ x 1.96
n
n
, x 1.96
应用回归分析,第8章课后习题参考答案讲解
第8章 非线性回归思考与练习参考答案8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。
如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表8.15生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Model Summ ary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the EstimateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent variable is x.Coe fficients-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficientstSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。
假设检验和区间估计
第7章 假设检验和区间估计7.1 内容框图7.2 基本要求（1） 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义.（2） 掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法. （3） 理解单侧检验与双侧检验的异同.（4） 理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法. （5） 了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法.7.3 内容概要1）假设检验下面把各种情形列一个表：∈U 接受域0W ，接受0H∈U 拒绝域1W ，拒绝0H0H 为真，1H 不真 正确 犯第一类错误0H 不真，1H 为真犯第二类错误正确α值为显著水平。
然后，根据显著水平 α来确定临界值，用临界值来划分接受域 0W 假设检验 区间估计参数检验 分布的检验正态总体参数的检验独立性检验和拒绝域 1W 。
这样的检验，称为显著性检验。
假设检验的一般步骤是： （1）提出原假设 0H ；（2）选取合适的检验统计量 U ，从样本求出 U 的值；（3）对于给定的显著水平α，查 U 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 0W 和拒绝域 1W ，使得当 0H 为真时，有 α=∈}{1W U P ；（4）若 U 的值落在拒绝域 1W 中，就拒绝 0H ，若 U 的值落在接受域 0W 中，就接受 0H 。
假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设0H 是否成立，如果已知在0H 成立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事件原理，我们就可以认为所提出的这个假设0H 是不成立的，即拒绝0H ；反之，则接受0H .这里的原假设0H 可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设检验的关键问题就是要确定在0H 成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布有个3σ原则，即ξ若服从正态分布，那么ξ的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的可能性很小.事实上，当ξ服从t 分布，2x 分布，F 分布时，其取值落入两侧的可能性也都相对很小.因此，我们要确定0H 成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服从正态分布，t 分布，2x 分布或F 分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。
第八章 假设检验
第八章假设检验2009考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验2009考试要求1．理解显著性检验基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。
2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
一、假设检验与参数区间估计的关系1.1参数θ的置信度为1α-的区间估计，正好是显著性水平为α的假设检验的接受域。
1.2 区间估计中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先对参数做出假设，再用样本对假设作检验。
在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。
1.3 具有完全相同的8大枢轴量（8大枢轴量详见第七章）。
二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。
怎样才能确定他的话真假，最好的办法就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。
如果其射击结果命中率在90% 以上，我们就接受他的说法；如果命中率在50% 以下，我们就拒绝他的说法。
但我们的判断也可能犯错误，一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误—称为第一类错误。
二是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了90% 以上，我们却把他当成了高手，实事上我们犯了以假当真的错误—称为第二类错误。
这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误）的概率。
为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医院求医。
医生的职责就是通过各种生理检查，根据化验的数据作出该病员是否犯病的结论。
然而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。
一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显的异常现象，使医生判断为无病。
另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常，使医生判断为有病。
概率论与数理统计PDF版课件7-2
即有%的概率包含的真实值. 这就是置信水平 − =
. 的一个合理解释. 但注意，并不要求包含真实值的区
间正好%，只要是大约%就是合理地，比如也可以.
第七章参数估计 §7.2 区间估计
求置信区间的步骤
=
, ⋯ , ，
（1）找一个与未知参数有关的统计量
11 0.248
3.816
第七章参数估计 §7.2 区间估计
注1 上述求解或 的置信区间时，我们选取的点估计
都是矩估计量或者最大似然估计量. 事实上，我们也可以用
贝叶斯估计量来构造置信区间.详细内容参考本章“重要补
充及扩展问题”的第五节（见教材P220）
注2 上述利用枢轴量进行区间估计的时候都要求总体服
从正态分布. 但实际中，我们考虑的总体经常不服从正态分
布. 这种情况下的区间估计采用的是大样本区间估计. 详细
内容参考本章“重要补充及扩展问题”的第六节（见教材
P220）
第七章参数估计 §7.2 区间估计
三、两个正态总体的区间估计
设 , ⋯ , 为来自正态总体 ∼ , 的简单随机
1. 当 和 已知时，求 − 的置信区间
ഥ−
ഥ 作为总体均值差 − 的点估计;
（1）选取样本均值差
X − Y − ( 1 − 2 )
（2）构造枢轴量
~ N ( 0,1) ;
2
2
(
)
1
n1
（3）选取 = − = Τ ;
+
2
n2
（4） − 的 − 的置信区间
.
n
n
2
2
第七章参数估计 §7.2 区间估计
例3（ 见教材P213） 假设 轮胎的寿 命服从正 态分布
. 的一个合理解释. 但注意，并不要求包含真实值的区
间正好%，只要是大约%就是合理地，比如也可以.
第七章参数估计 §7.2 区间估计
求置信区间的步骤
=
, ⋯ , ，
（1）找一个与未知参数有关的统计量
11 0.248
3.816
第七章参数估计 §7.2 区间估计
注1 上述求解或 的置信区间时，我们选取的点估计
都是矩估计量或者最大似然估计量. 事实上，我们也可以用
贝叶斯估计量来构造置信区间.详细内容参考本章“重要补
充及扩展问题”的第五节（见教材P220）
注2 上述利用枢轴量进行区间估计的时候都要求总体服
从正态分布. 但实际中，我们考虑的总体经常不服从正态分
布. 这种情况下的区间估计采用的是大样本区间估计. 详细
内容参考本章“重要补充及扩展问题”的第六节（见教材
P220）
第七章参数估计 §7.2 区间估计
三、两个正态总体的区间估计
设 , ⋯ , 为来自正态总体 ∼ , 的简单随机
1. 当 和 已知时，求 − 的置信区间
ഥ−
ഥ 作为总体均值差 − 的点估计;
（1）选取样本均值差
X − Y − ( 1 − 2 )
（2）构造枢轴量
~ N ( 0,1) ;
2
2
(
)
1
n1
（3）选取 = − = Τ ;
+
2
n2
（4） − 的 − 的置信区间
.
n
n
2
2
第七章参数估计 §7.2 区间估计
例3（ 见教材P213） 假设 轮胎的寿 命服从正 态分布
第八章 可靠性试验
解： ①求F(t) 累积失效概率
查表8-1得： F ( t ) = 28%
②求投入试验的样品数
可靠性设计
>20
应投入试验的样品数为71个。
3、产品寿命试验的截止时间 • 截止时间与样品数及希望达到的失效数有关：
试验时间： ln n
n 1
• 截止时间与产品累积失效概率有关
ti
ln 1
1F(ti)
可靠性设计
可靠性设计
4、寿命试验和加速寿命试验 寿命实验是评价分析产品寿命特征的试验。通过寿
命试验可以获得失效率、平均寿命等可靠性特征量。
模仿正常工作应力进行的寿命试验，需要较长的时间，代价很高。
加速寿命试验就是在不改变产品失效机理、不引 入新的失效因子的前提下，提高试验应力，加速产品 失效进程，再根据加速试验结果，预计正常应力下的 产品寿命。
可靠性设计
（2）产品研制定型中，进行可靠性鉴定 判断产品的设计和生产工艺是否符合可靠性要求，
确定能否进行批量生产。 （3）产品的生产过程中控制产品的质量
可靠性设计
8.1 可靠性试验分类及方法
一、可靠性试验的分类
按试验项目
筛选试验
环境试验
可靠性提高试验
可靠性增长试验
寿命试验（可靠性的评价试验）
1、可靠性筛选试验
通过实验结果对故障特征机理进行分析，找出改 进措施，进一步提高产品可靠性。使产品可靠性接近 设计规定固有可靠性水平。
（1）环境条件 气候环境条件 温 湿 气 风 雨 雪 水 露 霜 沙 盐 油游离等
度度压
雪 尘 雾 雾气体
机械环境条件
可靠性设计
振 冲 离 碰 跌 摇 静 失 声 爆 冲等
动击心撞落摆力重振炸击 辐射条件
统计学第七章、第八章课后题答案
2.统计学复习笔记第七章参数估计解释估计量和估计值在参数佔汁中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
佔汁量也是随机变 量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本汁算出来的佔计量的数值称为齟值。
简述评价估计量好坏的标准（1） 无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2） 有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估 计ft ，有更小方差的佔计量更有效。
（3）-致性.是指随着样本量的增大，点佔计量的值越来越接近被估总体 的参数。
怎样理解置信区间在区间估计中，山样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是山区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果 只给出白分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数, 这是不负贵的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得〃精确”），有误 导读者之嫌。
在公布调査结果时给出被调査人数是负责任的表现。
这样则可以山 此推算出置信度（山后面给出的公式），反之亦然。
4. 解释95%的置信区间的含义是什么置倍区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体 参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95% （的区间） 包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区 间以的概率覆盖总体参数。
5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1.估计总体均值时样本fin 为 心呼！其中：EfJ样本量n 与置信水平1-a 、总体方差夕、佔计误差f 之间的关系为1. 2. 3. a 、与置信水平成正比，在其他条件不变的悄况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与佔汁误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
练习题从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40 1.的样本，样本均值为25。
区间估计的基本步骤
区间估计的基本步骤
区间估计的基本步骤如下：
1、根据实际问题的具体要求，选定一个合适的统计量作为区间估计的基础，该统计量应该包含我们要估计的未知参数。
2、找到一个合适的置信水平，通常这个置信水平是根据问题的实际情况和对估计准确度的要求来确定的。
3、利用选定的统计量和样本数据，构造出未知参数的置信区间。
这个置信区间是一个范围，我们希望这个范围能够包含真实的未知参数值。
4、对置信区间进行解释和说明。
这包括说明置信区间的含义，比如我们有95%的信心认为真实的未知参数值落在这个范围内。
需要注意的是，置信区间的构造方法会根据不同的统计量和分布情况而有所不同。
因此，在具体实施区间估计时，需要根据实际情况选择合适的方法和技术。
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1 解：依题意， 95%, Z 2 1.96, 9.65, E 2 可得 2 2
9.65 n ( Z 2 ) 2 1.96 2 89.43 E 2
2 2
将以上结果取下一个整数（90）即为必要的样本容量。
STAT
说明：
由于总体标准差 下方法取得 的值。
STAT 8.1.4计算区间估计：未知时的大样本情况 在大多数的情况下，总体的标准差都是未知的。根据抽样 分布定理，在大样本的情况下，可用样本的标准差s作为总体标 准差的点估计值，仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数 的估计。
未知时的大样本下的区间估计
x Z
2
n
式中，（ ）为置信系数； 1
取的样本大小是否合适？能不能用一个更大的样本进行估计？
二是能否将估计的误差在缩小一点？比如，估计平均重量时估 计误差不超过3克，估计合格率时误差不超过10%。三是总体平 均重量的方差是多少？因为方差的大小说明了生产过程的稳定 性，过大或过小的方差都意味着应对生产过程进行调整。
STAT
本章重点
1、抽样误差的概率表述； 2、区间估计的基本原理； 3、小样本下的总体参数估计方法； 4、样本容量的确定方法；
2
x
Z 2 ) 1
事先给定一个置信度，则可根据标准正态分布找到其对应的临 界值 Z 。进而计算抽样误差
x x Z 2 x
STAT 若，1 抽样误差
95%
则查标准正态分布表可得，1.96* 2 3.92
n Z 2
n ( Z 2 ) 2
2
E2
STAT 【例4】在以前的一项研究美国租赁汽车花费的研究中发现，租 赁一辆中等大小的汽车，其花费范围为，从加利福尼亚州的奥 克兰市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美 元不等，并且租金的标准差为9.65美元。假定进行该项研究的组 织想进行一项新的研究，以估计美国当前总体平均日租赁中等 大小汽车的支出。在设计该项新的研究时，项目主管指定对总 体平均日租赁支出的估计误差边际为2美元，置信水平为95%。
即（37.37，41.63）岁。
（3）90%的置信区间为39.5 ±2.13
注意
（1）置信系数一般在抽样之前确定，根据样本所建立的区间能 包含总体参数的概率为
（2）置信区间的长度（准确度）在置信度一定的情况下，与样 本容量的大小呈反方向变动，若要提高估计准确度，可以扩大 样本容量来达到。
STAT
通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1
置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度的 正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计量 与总体参数之间的最大误差范围。 总结：已知时的大样本下的区间估计
x Z
2
式中，（ ）为置信系数； 1
n
Z 2为在标准正态分布的右 侧尾部中所提供的面积 的Z值。 为 2
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
651.73 6.82 14
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
即（50.09，57.65）天。
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
STAT
8.3确定样本容量
此时抽样误差的意义可表述为：以样本均值为中心的±3.92 的区间包含总体均值的概率是95%，或者说，样本均值产生的抽 样误差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度还有90%，95.45%，99.73%，他们对应的临 界值分别为1.645，2和3，可以分别反映各自的估计区间所对应 的精确程度和把握程度。
根据表1的数据，质检科估计出该天生产的食品每袋的平均 重量在101.38~109.34克之间，其中，估计的可信程度为95%， 估计误差不超过4克。产品的合格率在96.07%~73.93%之间，其 中，估计的可信程度为95%，估计误差不超过16%。
STAT 质检报告提交后，企业高层领导人提出几点意见：一是抽
第八章
区间估计
STAT
教学重点
教学过程
教学总结
实践中的统计
STAT
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量约为
8000袋左右。按规定每袋的重量应不低于100克，否则即为不合
格。为对产量质量进行检测，企业设有质量检查科专门负责质 量检验，并经常向企业高层领导提交质检报告。质检的内容之 一就是每袋重量是否符合要求。 由于产品的数量大，进行全面的检验是不可能的，可行的
Z 2为在标准正态分布的右 侧尾部中所提供的面积 的Z值。 为 2
STAT
【例2】
斯泰特怀特保险公司每年都需对人寿保险单进行审 查，现公司抽取36个寿保人作为一个简单随即样本，得到关于、 投保人年龄、保费数量、保险单的现金值、残废补偿选择等项 目的资料。为了便于研究，某位经理要求了解寿险投保人总体 平均年龄的90%的区间估计。
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
8.2总体均值的区间估计：小样本的情况
在小样本的情况下，样本均值的抽样分布依赖于总体的抽样分 布。我们讨论总体服从正态分布的情况。
总体标准差已知 x服从正态分布 小样本n 30 总体标准差未知 x服从t分布( s )
t分布的图形和标准正态分布的图形类似，如下图示：
STAT
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
100
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
x
P(
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
s x Z 2 n
假定总体服从正态分布；
式中，（ ）为置信系数； 为样本的标准差； 2为在 1 s t
自由度为（n - 1 ）的t分布的右侧尾部中所提 供的面积为 的t值。 2
STAT 【例3】谢尔工业公司拟采用一项计算机辅助程序来培训公司的 维修支援掌握及其维修的操作，以减少培训工人所需要的时间。 为了评价这种培训方法，生产经理需要对这种程序所需要的平 均时间进行估计。以下是利用新方对１５名职员进行培训的培 训天数资料。
标准正态分布 t分布（自由度为20） t分布（自由度为10）
0 图2标准正态分布与t分布的比较
STAT 在ｔ分布中，对于给定的置信度，同样可以通过查表找到其对 应的临界值 t ，利用临界值也可计算区间估计的误差边际
2
s t 2 n
因此，总体均值的区间估计在总体标准差未知的小样本情况下 可采用下式进行：
职员 １ ２ ３ ４ ５ 时间 ５２ ４４ ５５ ４４ ４５ 职员 ６ ７ ８ ９ １０ 时间 ５９ ５０ ５４ ６２ ４６ 职员 １１ １２ １３ １４ １５ 时间 ５４ ５８ ６０ ６２ ６３
根据上述资料建立置信度为９５％的总体均值的区间估计。 （假定培训时间总体服从正态分布）。
STAT 解：依题意，总体服从正态分布，ｎ＝１５（小样本），此时 总体方差未知。可用自由度为（n-1）=14的t分布进行总体均值 的区间估计。 x 52 44 55 63 样本平均数
投保人 年龄 投保人 年龄 投保人 年龄 投保人 年龄
1 2 3 4 5 6 7 8 9
32 50 40 24 33 44 45 48 44
10 11 12 13 14 15 16 17 18
47 31 36 39 46 45 39 38 45
19 20 21 22 23 24 25 26 27
27 43 54 36 34 48 23 36 42
图1 根据选择的在 x1 、x2 、x3 位置的样本均值建立的区间
STAT
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
STAT 上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。 因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。