2016年秋季学期新人教A版高中必修五2.4 等比数列(二)

根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，

第二课时 等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)． 所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。

(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。

2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ， 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。

－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，

1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点 十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么 是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,

×q ×q ×q
×q
是等比数列，它的公比是q，那么
a2 a1 q a3 a2 q a1 q 2 a4 a3 q a1 q3
不完全归纳法
...a5 a4 q a1 q4
由此可知，等比数列 an 的通项公式为
当q=1时，这是一
个常函数。an 0
解:设这个等比数列的首项为a1,公比为q
则 将③代入①得:
②除以①
练习2：求下列等比数列的第4，5项： （1） 5，-15，45，…
小 结：
知识内容 研究方法
思想方法
等比数列的 概念。
类比
方程的思想。
课后作业：
1、书面作业 P52 1填在书上：P53 1做在本子上 2、预习：对比等差数列的性质，预习等 比数列的性质
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项
的 比 等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1
an 0
an1 q(n N * ) an
名称 定义
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，
不能！！
初露才华：下面四个等比数列的通项公式分别是什么? （1）an= （2） an= （3） an=
（4）an=
例：一个等比数列的第３项和第４项分别是12 和18，求它的第１项和第２项．
解解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
即
解得
因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
每一项与前一项的差等于 每 一 项与 它前 一 项的 比

第1课时 等比数列[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 48～P 49，回答下列问题：①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…；②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…；③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…； ④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.这些数列有什么共同特点？提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．(2)如果等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则根据等比数列的定义可知a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，依次类推，你能用a 1和q 表示a n 吗？如何表示？提示：能．a n ＝a 1q n －1．2．归纳总结，核心必记 (1)等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ＝±ab .(3)等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为：a n ＝a 1q n －1．(4)当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？提示列0，0，5不是等比数列．[问题思考](1)能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ (2)若数列{}a n 是等比数列，是否存在m ，使a m ＝0成立？(3)当q ＝1时，等比数列是常数列吗？反之，若一个数列是常数列，则它一定是公比为1的等比数列吗？(4)当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？提示：(1)不能；(2)不存在．等比数列中不存在为0的项；(3)当q ＝1时，{}a n 是非零常数列；反之若一个数列是常数列，则它不一定是等比数列，如：0，0，0，….(4)不一定．如数列0，0，5不是等比数列．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．1．等比数列的定义是： ；2．等比中项的定义是： ；3．等比数列的通项公式是： ．[思考1] 若数列{}a n 是等比数列，易知有a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{}a n 是等比数列吗？名师指津： 能．若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)都能说明{}a n 是等比数列．[思考2] 若数列{}a n 是公比为q 的等比数列，则它的通项公式为a n ＝a 1·q n －1(a ，q 为非零常数，n ∈N *)．反之，能说明数列{}a n 是等比数列吗？名师指津： 能．根据等比数列的定义可知． 讲一讲1．已知数列{}a n 是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，求证数列{}b n 是等比数列，并求其通项公式．[尝试解答] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 于是b n ＝⎝⎛⎭⎫123－n.而b n b n －1＝⎝⎛⎭⎫123－n⎝⎛⎭⎫124－n ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2.∴数列{}b n 是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{}a n 为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{}a n 为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{}a n 为等比数列．练一练1．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{}a n 是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴{}a n 是等比数列．2．数列{}a n 满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ∈N *，且n ≥2)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{}a n －n 是等比数列； (2)求数列{}a n 的通项公式．解：(1)∵a 1＝－1，a n ＝3a n －1－2n ＋3，∴a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{}a n －n 是等比数列：a n ＋1－（n ＋1）a n －n ＝3a n －2（n ＋1）＋3－（n ＋1）a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1，2，3，…)．又a 1－1＝－2， ∴{}a n －n 是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[思考] 要确定等比数列{}a n 的通项公式，需要确定哪些元素？名师指津：由于a n ＝a 1·q n －1，故要确定等比数列{}a n 的通项公式，应确定首项a 1和公比q .讲一讲2．在等比数列{}a n 中，(链接教材P 51－例3) (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . [尝试解答] 设公比为q ，(1)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8. ②由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝22n －53.法二：因为a 7＝a 4q 3，所以q 3＝4. 所以a n ＝a 4qn －4＝2·(34)n －4＝22n －53.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④ 由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.等比数列通项公式的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．练一练3．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是( ) A ．405 B ．－405 C ．135 D ．－135 解析：选A ∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.(2)在等比数列{}a n 中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a n ＝________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15， ①a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，② 由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1. ∴a n ＝－25－n或a n ＝2n －1.答案：－25－n或2n －1(3)已知等比数列{}a n 为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求数列{}a n 的通项公式a n .解：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9＞0⇒a 1＞0，又数列{}a n 递增，所以q ＝2.a 25＝a 10＞0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n .讲一讲3．等差数列{}a n 中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？[尝试解答] 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9.∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ， ∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．练一练4．已知：a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解：由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23.bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项及等比中项问题，难点是等比数列的证明．2．本节课的易错点是等比中项的求法及应用．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．本节课要重点掌握的规律方法 (1)等比数列的判断与证明的方法，见讲1. (2)等比数列通项公式的求法． 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n－1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．见讲2.[即时达标对点练]题组1 等比数列的判定与证明1．数列a ，a ，a ，…，a ，…(a ∈R )必为( ) A ．等差数列但不是等比数列 B ．等比数列但不是等差数列 C ．既是等差数列，又是等比数列 D ．等差数列解析：选D a ＝0时为等差数列，a ≠0时既是等比数列也是等差数列． 2．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{}a n 是等比数列． 解：(1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)．∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 1＝－12，所以{}a n 是首项为－12，公比为－12的等比数列．3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1，2，3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )． 整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ， ∴S n ＋1n ＋1＝2S n n .故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)．于是S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)，又∵a 2＝3S 1＝3， 故S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1.因此对于任意正整数n ≥1，都有S n ＋1＝4a n . 题组2 等比数列的通项公式4．设a 1＝2，数列{}1＋2a n 是公比为2的等比数列，则a 6等于( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5 解析：选C 1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，∴1＋2a 6＝5×25. ∴a 6＝5×32－12＝79.5.5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 10等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．189 解析：选D ∵a 4＝a 1q 3，a 6＝a 1q 5， ∴q 2＝a 6a 4＝3.∴a 10＝a 1·q 9＝a 1·q 5·q 4＝a 6·q 4＝189.6．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．－4 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B 设等比数列的公比为q ，则由a n a n ＋1＝16n 得，a n －1·a n ＝16n －1，∴a n ·a n ＋1a n －1·a n＝q 2＝16，得q ＝±4.而a n a n ＋1＝16n ＞0， ∴q ＝4.7．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( ) A ．2n －1 B ．2n C ．2n ＋1 D ．2n －2解析：选A ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62， ① a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31. ② 由①－②得a 6－a 1＝31.而①可化为(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)·q ＝31·q ＝62， ∴q ＝2.a 1q 5－a 1＝a 1(32－1)＝31， ∴a 1＝1. a n ＝a 1q n －1＝2n －1.8．若数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{}a n 的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)．故{}a n 是公比为－1的等比数列， 令n ＝1得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3， 故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －1题组3 等比中项及其应用9．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4 解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.10．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.11．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项．解析：由x ，2x ＋2，3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝⎛⎭⎫32n －1，由－4⎝⎛⎭⎫32n －1＝－1312，得n ＝4. 答案：4[能力提升综合练]1．等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0， 所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0， 即a 1＝1， 故a n ＝(－2)n －1.2．在等比数列{}a n 中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________． 解析：∵a 19＋a 20＝a 9·q 10＋a 10·q 10 ＝(a 9＋a 10)·q 10＝a ·q 10＝b ， ∴q 10＝b a.a 99＋a 100＝q 90(a 9＋a 10)＝a ·⎝⎛⎭⎫b a 9＝b 9a8.答案：b 9a83．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，S 2＝8，S 4＝32，数列{b n }为等比数列，且b 1＝a 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1，则{b n }的通项公式为b n ＝________．解析：设公差为d ，公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. 又∵b 2(a 2－a 1)＝b 1， ∴q ＝b 2b 1＝1a 2－a 1＝1d ＝14.∴b n ＝2×⎝⎛⎭⎫14n －1.答案：2×⎝⎛⎭⎫14n －14．在7和56之间插入a ，b 两数，使7，a ，b ，56成等差数列，插入c ，d 两数，使7，c ，d ，56成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________．解析：∵7，a ，b ，56成等差数列， ∴a ＋b ＝7＋56＝63. ∵7，c ，d ，56成等比数列， ∴公比q 3＝567＝8.∴q ＝2. ∴c ＝14，d ＝28. ∴c ＋d ＝42. ∴a ＋b ＋c ＋d ＝105. 答案：1055．设{}a n 是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{}a n 的通项公式．解：设等比数列{}a n 的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1 ＝log 2a na n －1＝log 2q ，∴{}b n 为等差数列，且d ＝log 2q .而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3（b 1＋d ）＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1（b 1＋d ）（b 1＋2d ）＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2. ∴b n ＝2n －3或5－2n . ∴a n ＝22n－3或a n ＝25－2n.6．已知数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{}b n 的通项公式．解：a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23. 又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列．所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.第2课时 等比数列的性质[思考1] 类比等差数列{}a n 通项公式的推广结论：a n ＝a m ＋(n －m )d ，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？名师指津：a n ＝a m ·q n－m．[思考2] 在等差数列{}a n 中，若m ，n ，p ，q ∈N *且m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立．那么，若{}a n 为等比数列，a m 、a n 、a p 、a q 之间又有什么关系成立？ 名师指津：a m ·a n ＝a p ·a q ．[思考3] 在等比数列{}a n 中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m a n ＝a 2k 是否成立？ 名师指津：成立．[思考4] 已知{}a n 是一个无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{}a n 中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(2)取出数列{}a n中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(3)在数列{}a n中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？名师指津：(1)是．首项为a k＋1，公比为q；(2)是．首项为a1，公比为q2；(3)是．公比为q10.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为q m的等比数列．[思考5]公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？名师指津：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列是递减数列；当a1＜0，q＞1时，等比数列是递减数列；当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列．讲一讲1．已知数列{}a n为等比数列．(1)若a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．[尝试解答](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.等比数列常用性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q.特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则a m·a n＝a2p.(2)a na m＝qn－m(m，n∈N*)．(3)在等比数列{}a n中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{}a n 为等比数列，则数列{}λa n (λ为不等于0的常数)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．练一练1．(1)在等比数列{}a n 中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________．解析：法一：设{}a n 的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{}a n 是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：72(2)在等比数列{}a n 中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{}a n 是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137，而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213(3)已知数列{}a n 是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解：∵{}a n 为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20， ∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 4＝7. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1.[思考1] 在等比数列中，若已知三个数列成等差数列，为方便计算，可设为a －d ，a ，a ＋d ，那么，若已知三个数成等比数列，该如何设项？名师指津：可设为aq，a ，aq .[思考2] 若四个数成等比数列，又该如何设项？ 名师指津：可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[尝试解答] 法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，（a ＋d ）2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋（a ＋d ）2a ＝16，a ＋（a ＋d ）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6. 所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15，9，3，1.法三：设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋（12－y ），（12－y ）2＝y （16－x ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.在等比数列中，灵活地设项是非常重要的．一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或aq ，a ，aq ，此时公比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3(公比为q 2)．2．(1)在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 解：法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（aq ）3＝27，a 2（1＋q 2＋q 4）＝91， 即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 2（1＋q 2＋q 4）＝91. 解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0， 即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13，若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1. 法二：设这三个数分别为aq，a ，aq .⎩⎨⎧aq ·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝⎛⎭⎫1q 2＋1＋q 2＝91， 得9q 4－82q 2＋9＝0， 即得q 2＝19或q 2＝9.∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1.讲一讲3．某工厂2015年1月的生产总值为a 万元，计划从2015年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2016年8月底该厂的生产总值为多少万元？[尝试解答] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元， 则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{}a n 是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19万元．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．练一练3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB 时自身复制了n 次，即2×2n ＝64×210＝216，解得n ＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．答案：45——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导． 2．要重点掌握等比数列的常用性质： (1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m a n ＝a k a l ；(2)如果m ＋n ＝2k ，a m ·a n ＝a 2k ；(3)若m ，n ，p 成等差数列，a m ，a n ，a p 成等比数列；(4)在等比数列{}a n 中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果{}a n ，{}b n 均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{}a n ·b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n an ，{}|a n |仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q2q1，|q 1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a 3·a n －2＝….3．等比数列的单调性是本节课的一个易错点． 等比数列{}a n 的通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)．当a 1＞0，q ＞1时，等比数列{}a n 是递增数列； 当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{}a n 是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1时，等比数列{}a n 是递减数列； 当a 1＜0，q ＞1时，等比数列{}a n 是递减数列；当q ＜0时，等比数列{}a n 是摆动数列；当q ＝1时，等比数列{}a n 是常数列．[即时达标对点练]题组1 等比数列的性质1．等比数列{}a n 的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{}a n 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列解析：选D 由于公比q ＝－14＜0，所以数列{}a n 是摆动数列．2．已知各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．52 B ．7 C ．6 D ．4 2解析：选A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013， 所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝()50163＝ 52.3．等比数列{}a n 的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.12 B ．±12 C ．2 D ．±2 解析：选A 由q 2＝4得q ＝±2， 因为数列{}a n 各项均为正数，所以q ＝2， 又因为a 4＝a 3q ，a 5＝a 4q ， ∴a 4＋a 5＝a 3q ＋a 4q ＝(a 3＋a 4)q ， ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝12. 4．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 解析：选D 设数列{}a n 的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.5．等比数列{}a n 中，若a 2，a 9是方程3x 2－11x ＋6＝0的两根，则log 2(a 1a 2…a 10)＝________． 解析：由根与系数的关系，得a 2a 9＝2， 又a 2a 9＝a 1a 10＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6， 所以log 2(a 1a 2…a 10)＝log 225＝5. 答案：56．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解：设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，化简为⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168， ①a 1q （1－q 3）＝42. ② 因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)， 则①②两式相除得q (1－q )＝14⇒q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝⎛⎭⎫1210＝9，则G ＝±3. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 题组2 等比数列性质的综合应用7．设{}a n 是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：选B ∵a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35， a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.∴a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220.8．若1，a 1，a 2，4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( )A ．－12 B.12 C ．±12 D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2，4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－（a 2－a 1）b 2＝－12. 9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{}a n (1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048.答案：2 04810．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.[能力提升综合练]1．已知等比数列{}a n 中，a 3a 11＝4a 7，数列{}b n 是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4 C8. D ．16解析：选C 等比数列{}a n 中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4.等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.故选C.2．已知各项不为0的等差数列{}a n 满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由已知，a 4－2a 27＋3a 8＝0，即4a 7－2a 27＝0，又各项不为0，a 7＝2，所以b 7＝2，则b 2b 8b 11＝b 37＝8.3．在等比数列{}a n 中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________． 解析：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4，所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23. 答案：32或234．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________．解析：∵x 2＝24，∴x ＝1. ∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.∴y ＝5·⎝⎛⎭⎫123，z ＝6·⎝⎛⎭⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝⎛⎭⎫123＋6·⎝⎛⎭⎫124＝3216＝2. 答案：25．设数列{}a n 是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{}a n 的通项公式．解：设数列{}a n 的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d. ∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{}b n 是等比数列，设公比为q .∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18， ∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4. 当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n .又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n， ∴a n ＝5－2n .当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，∴a n ＝2n －3.综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.6．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求此数列的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧（a 3＋a 5）2＝100，（a 3－a 5）2＝36.∵数列{a n }的各项均为正数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.∴公比q ＝a 5a 3＝12或2. ∴a n ＝a 3·qn －3＝8×⎝⎛⎭⎫12n －3＝26－n 或a n ＝2×2n －3＝2n －2. 即a n ＝26－n 或a n ＝2n －2.。

2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比 数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二 等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ������������. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断 或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ������������”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
������������+1-(n + ������������-n
1)
=
3������������-2(n
+ 1) + ������������-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列

2 2 a 162 6 法三：因为{an}为等比数列，所以 a2· a10＝a2 ， a ＝ 6 10 以 q4＝81， 所以 a10＝a1q9＝a1q· q8＝2×812＝13 122. a6 162 4 法二：因为 q ＝a ＝ 2 ＝81， 2 所以 a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am· an＝ap· aq. 特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am· an＝a2 p. an (2)a ＝qn－m(m，n∈N*)． m (3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原 来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列． (4) 数列{an} 为等比数列，则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数)a 仍然成等比数列． n
(4)若 m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，ap，an 成 等比数列； 1 (5)数列{λan}(λ≠0)，a ，{a2 n}都是等比数列，且公比分别 n 1 是 q，q，q2. an (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列，则{anbn}与b 也都是等 n q 比数列，公比分别为 pq 和p.
【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等 比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列 中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．
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基础认识
等比数列常见性质 若{an}是等比数列，公比是 q，则 (1)an＝a1qn－1＝a2qn－2＝„＝amqn－m(n>m)； (2)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝„＝aman－m＋1(n>m)； (3)若 k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则 ak· al＝am· an ＝a2 p；

第2课时 等比数列的性质及应用双基达标 限时20分钟1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32解析 由等比数列的性质得a 2·a 6＝a 42＝42＝16. 答案 C2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2D.12解析 根据a n ＝a m ·q n －m，得a 5＝a 2·q 3.∴q 3＝14×12＝18.∴q ＝12.答案 D3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于 ( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 答案 B4．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 解析 根据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列． ∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×12030＝480. 答案 4805．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 72， ∴a 72＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4. ∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 答案 86．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9的值． 解 法一 由等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 62， 由a 2·a 6·a 10＝1，得a 63＝1，∴a 6＝1，∴a 3a 9＝a 62＝1. 法二 由等比数列通项公式，得a 2a 6a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 13·q 15＝(a 1q 5)3＝1，∴a 1q 5＝1，∴a 3a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1.综合提高 限时25分钟7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于 ( )．A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2解析 ∵a 1a 2a 3＝a 23＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 83＝10，∴a 8＝310. ∴a 52＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 53＝5012＝5 2.答案 A8．在等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为 ( )．A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29解析 ∵a 2＝a 3q，a 4＝a 3q ，∴a 2＝12q，a 4＝12q .∴12q＋12q ＝30.即2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 2＝24，∴a 10＝a 2·q 8＝24×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝3×2－5；当q ＝2时，a 2＝6， ∴a 10＝a 2q 8＝6×28＝3×29. 答案 D9．在等比数列{a n }中，若a n >0，a 1·a 100＝100，则lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋…＋lg a 100＝________. 解析 由等比数列性质知：a 1·a 100＝a 2·a 99＝…＝a 50·a 51＝100.∴lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋…＋lg a 100＝lg(a 1·a 2·a 3·…·a 100)＝lg(a 1·a 100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100. 答案 10010．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________．解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3， ∴b ＝3a ，c ＝a ·32＝9a .又由等差中项公式有：2(b ＋8)＝a ＋c ， ∴2(3a ＋8)＝a ＋9a .∴a ＝4. ∴b ＝12，c ＝36. 答案 4,12,3611．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a 1a 5＝a 32，a 3a 5＝a 42，a 3a 7＝a 52， ∴由条件，得a 32－2a 42＋a 52＝36， 同理得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36，a 3＋a 52＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝2n －2或a n ＝a 1qn －1＝26－n.12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．解 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.

人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1 ．1 集合2 ．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱2.5等比数列的前n项和1 ．2 函数及其表示1 ．3 函数的基本性质第三章概率3 ．1 随机事件的概率第三章不等式第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2 ．2 对数函数2 ．3 幂函数阅读与思考天气变化的认识过程3 ．2 古典概型3 ．3 几何概型3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法第三章函数的应用3．1 函数与方程3 ．2 函数模型及其应用必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1 2 ．任意角的三角函数3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域1 ．3 三角函数的诱导公式必修21 ．4 三角函数的图象与性质1 ．5 函数 y=Asin （ωx+ψ） 3.3.2 简单的线性规划问题第一章空间几何体1 ．6 三角函数模型的简单应1 ．1 空间几何体的结构用1 ．2 空间几何体的三视图和 3.4 基本不等式直观图1 ．3 空间几何体的表面积与第二章平面向量体积 2 ．1 平面向量的实际背景及第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2 ．2 直线、平面平行的判定基本概念2 ．2 平面向量的线性运算2 ．3 平面向量的基本定理及坐标表示2 4 ．平面向量的数量积2 5 ．平面向量应用举例选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系及其性质2 ．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2充分条件与必要条件3 ．2 简单的三角恒等变换第三章直线与方程1.3简单的逻辑联结词3．1 直线的倾斜角与斜率3 ．2 直线的方程必修 51.4全称量词与存在量词 3 ．3 直线的交点坐标与距离公式第一章解三角形必修31.1正弦定理和余弦定理第二章圆锥曲线与第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图 1.2应用举例方程1 ．2 基本算法语句1 ．3 算法案例阅读与思考割圆术1.3实习作业2.1椭圆2.2双曲线第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案第二章数列2.3抛物线例阅读与思考广告中数据的可靠性2.1数列的概念与简单表示法用第三章导数及其应阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2等差数列2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的2.3等差数列的前n 项和质量控制图2.4等比数列3.1变化率与导数3.2导数的计算1人教A版高中数学目录选修 2-12.6导数在研究函数中 1.3 导数在研究函数的应用中的应用第一章常用逻辑用2.7生活中的优化问题 1.4 生活中的优化问语举例题举例3.4命题及其关系3.3.2定积分的概念1.5充分条件与必要选修1-21.4微积分基本定理条件第一章统计案例 1.7 定积分的简单应1.3 简单的逻辑联结用词1．1 回归分析的基本思想及其初步应用2.4全称量词与存在量词第二章推理与证明 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用2.5合情推理与演绎推理第二章圆锥曲线与方程第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.1 曲线与方程2．1 合情推理与演绎证明 2.3 数学归纳法2.2 椭圆2．2 直接证明与间接2.3 双曲线证明3.3抛物线第三章数系的扩充与复数的引入第三章数系的扩充 3.1 数系的扩充和复与复数的引入数的概念第三章空间向量与立体几何3．1 数系的扩充和复数 3.2 复数代数形式的的概念四则运算3.1空间向量及其运算3．2 复数代数形式的四则运算3.2立体几何中的向选修2-3 量方法第一章计数原理第四章框图选修 2-21.1分类加法计数原4．1 流程图理与分步乘法计数原理第一章导数及其应4．2 结构图1.2 排列与组合用1.3二项式定理 1.1 变化率与导数1.2导数的计算2人教A版高中数学目录第二章随机变量及第二讲直线与圆的其分布位置关系选修 3-22.8离散型随机变量第三讲圆锥曲线性及其分布列质的探讨选修 3-3 2.2 二项分布及其应用选修4-2 第一讲从欧氏几何3.5离散型随机变量看球面的均值与方差第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲球面上的距3.6正态分布离和角第二讲变换的复合第三章统计案例与二阶矩阵的乘法第三讲球面上的基本图形3.3.3回归分析的基本第三讲逆变换与逆思想及其初步应用矩阵第四讲球面三角形3.3.4独立性检验的基第五讲球面三角形第四讲变换的不变本思想及其初步应用量与矩阵的特征向量的全等第六讲球面多边形与欧拉公式选修3-1 选修4-3第七讲球面三角形的第一讲早期的算术边角关系选修4-4 与几何第八讲欧氏几何与第一讲坐标系第二讲古希腊数学非欧几何第二讲参数方程第三讲中国古代数学瑰宝选修 3-4第四讲平面解析几选修4-5 何的产生第一讲平面图形的对称群第一讲不等式和绝第五讲微积分的诞对值不等式生第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式第六讲近代数学两的基本方法巨星第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式第七讲千古谜题与排序不等式第八讲对无穷的深第四讲数学归纳法入思考选修 4-1证明不等式第九讲中国现代数第一讲相似三角形学的开拓与发展的判定及有关性质3人教 A 版高中数学目录2 ．4 向量的应用 选修 4-6第二章 函数 2 ．1 函数第一讲 整数的整除2 ．2 一次函数和二次函数 2 ．3 函数的应用（Ⅰ） 第三章 三角恒等变换3．1 和角公式2 ．4 函数与方程3 ．2 倍角公式和半角公式 第二讲 同余与同余 3 ．3 三角函数的积化和差与方程和差化积 第三章 基本初等函数 （Ⅰ） 3 ．1 指数与指数函数 程第三讲 一次不定方3 ．2 对数与对数函数 3 ．3 幂函数 3 ．4 函数的应用（Ⅱ） 必修五 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理第四讲 数伦在密码中的应用必修二第一章 立体几何初步1 ．2 应用举例 第二章 数列1．1 空间几何体 2 ．1 数列 1 ．2 点、线、面之间的位置 2 ．2 等差数列 关系 2 ．3 等比数列 选修 4-7第三章 不等式 第二章 平面解析几何初步第一讲 优选法 2 ．1 平面真角坐标系中的基 本公式3 ．1 不等关系与不等式 3 ．2 均值不等式第二讲试验设计初2 ．2 直线方程 2 ．3 圆的方程3 ．3 一元二次不等式及其解 法 步3 ．4 不等式的实际应用 2 ．4 空间直角坐标系3 ．5 二元一次不等式（组） 与简单线性规划问题必修三选修 4-8选修 4-9第一章 算法初步1．1 算法与程序框图1 ．2 基本算法语句1 ．3 中国古代数学中的算法 案例选修 1－1 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词 1 ．2 基本逻辑联结词1 ．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第一讲 风险与决策的基本概念第二章 统计 2．1 随机抽样2 ．2 用样本估计总体2 ．3 变量的相关性第二章 圆锥曲线与方程2．1 椭圆2 ．2 双曲线2 ．3 抛物线第二讲 决策树方法第三章 概率 3 1 ． 随机现象第三讲 风险型决策3 2第三章 导数及其应用3 ．1 导数3 ．2 导数的运算 3 ．3 导数的应用WORD格式．古典概型的敏感性分析33．随机数的含义与应用34．概率的应用第四讲马尔可夫型决策简介必修四选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第一章基本初等函( Ⅱ)高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1 ．2 集合之间的关系与运算1 ．1 任意角的概念与弧度制1 ．2 任意角的三角函数1 ．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2 ．3 平面向量的数量积第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1 2 ．基本不等式4WORD格式人教A版高中数学目录1 ．3 绝对值不等式的解法1 ．4 绝对值的三角不等式1 ．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2 ．2 排序不等式2 ．3 平均值不等式( 选学)2 ．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3 ．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式5。

2.4 等比数列自主学习知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝________.4．对于正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则等比数列中a m ，a n ，a p ，a q 的关系是____________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即________________(用数学式子表示)．自主探究首项为a 1，公比为q 的等比数列在各条件下的单调性如下表：a 1 a 1>0 a 1<0q 范围 0<q <1 q ＝1 q >1 0<q <1 q ＝1q >1 {a n }的 单调性对点讲练知识点一 等比数列通项公式的应用例1 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．总结 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练1 已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .知识点二 等比数列性质的应用例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．变式训练2 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值．知识点三 等比数列的判断与证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．总结 利用等比数列的定义a n ＋1a n＝q (q ≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练3 设S n 为数列{a n }前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34C ．2D ．4334．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.7．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．10．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．§2.4 等比数列知识梳理1．2 比 公比2．a n ＝a 1q n －13．等比中项 ±ab4．a m ·a n ＝a p ·a q5.a n ＋1a n＝q, (n ∈N *) 自主探究递减 常数列 递增 递增 常数列 递减对点讲练例1 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.变式训练1 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.当a 1＝1，q ＝2时，a n ＝2n －1；当a 1＝4，q ＝12时，a n ＝23－n . 例2 解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10.变式训练2 解 ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝(a 1a 30)·(a 2a 29)·…·(a 15·a 16)＝(a 1a 30)15＝215， ∴a 1a 30＝2.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝(a 2a 29)·(a 5a 26)·(a 8a 23)·(a 11a 20)·(a 14a 17)＝(a 2a 29)5＝(a 1a 30)5＝25＝32.例3 (1)解 由S 1＝13(a 1－1)， 得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 变式训练3 解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)．a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.课时作业1．B [∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．]2．B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]3．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.] 4．A [设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53.] 5．D [因为a 1，a 2，a 5成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 5， 即a 22＝(a 2－2)·(a 2＋6)．解得a 2＝3.]6．4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 7．5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧ q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 8.5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)， 则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 9．解 由题意可列关系式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ② ②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12， ∴a 1＝1681＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3， ∴a 5，a 7的等比中项为3.10．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q＝3时，a n＝2×3n－3.。

第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。