高中数学 命题及其关系--四种命题同步练习 苏教版选修2-1

1.1 命题及其关系1.1.1 四种命题1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义．(重点)2．会分析四种命题的相互关系．(难点)3．会写出四种命题和进行真假性的判断．(易错点)[基础·初探]教材整理1 命题阅读教材P5上半部分，完成下列问题．1．定义：能够判断真假的语句叫做命题．2．真假命题：命题中正确的语句叫做真命题，错误的语句叫做假命题．3．命题的一般形式为“若p则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q 是命题的结论．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“2100是个大数”是真命题．( )(2)“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的条件是x＝1.( )(3)求证“四边形ABCD是平行四边形”是命题．( )【解析】(1)×.因为不能判断真假．(2)√.在命题“若p则q”中，p是条件，q是结论．(3)×.该语句不是陈述句且不能判断真假．【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 四种命题及其结构阅读教材P5中间部分，完成下列问题．1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题．以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．四种命题的结构1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )【答案】(1)×(2)√2．命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为________．【解析】由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为“若x≤3，则x≤2”．【答案】若x≤3，则x≤23．命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为________. 【09390000】【解析】由命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”．【答案】若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行教材整理3 四种命题的关系阅读教材P5以下部分，完成下列问题．1．四种命题之间的关系。

下列语句是命题的是__________(填序号)．①方程x2－x＋1＝0有实根吗？②3＞22∈R；④a2＞b2；⑤把函数y＝2x的图象向左平移一个单位．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是__________．3．下列命题是假命题的是__________．(填序号)①直线y＝－x＋1的倾斜角是45°；②函数y＝x2＋1为偶函数；③若a＝1，则ax2－2x－3＝0有两个不等的实根．4．命题“若等比数列{a n}的公比q＞1，则数列{a n}为递增数列”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是__________．5．命题“若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a，b都是1”的逆否命题是__________．6．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．7．下列四个命题，其中真命题是__________(填序号)．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题．8．命题“函数y＝ax2－2x＋1在[1，＋∞)上为减函数”为真命题时a的取值范围是__________．9．写出命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其概念域内是减函数，则log a2＜0”的逆命题、否命题、逆否命题，并别离判断它们是真命题，仍是假命题．10．证明：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．参考答案1.答案：②③解析：①是疑问句不是命题.②③判断为真，是命题.④不能判断真假，不是命题.⑤是祈使句，不是命题.2.答案：若|a|＝|b|，则a＝－b3.答案：①解析：对①，直线y＝－x＋1的斜率是－1，∴倾斜角为135°.∴①为假命题.②③易知是真命题.4.答案：4 解析：若a1＝－1，q＝2时，数列{a n}为递减数列，∴原命题是假命题，逆否命题是假命题.数列{a n}为递增数列时，有可能是a1＜0,0＜q＜1，∴逆命题、否命题是假命题.5.答案：若a，b不都是1，则(a－1)2＋(b－1)2≠0≤m≤2解析：由已知，逆命题“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”为真命题.∴11,12,mm-≤⎧⎨+≥⎩∴1≤m≤2.7.答案：①③解析：①易知是真命题，②是假命题.③∵方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根，∴Δ＝4b2－4b2－4b≥0，即b≤0.∴当b≤－1时，知足b≤0.∴原命题为真命题.∴逆否命题为真命题.④∵A∪B＝B，∴A⊆B.∴原命题为假命题.∴逆否命题是假命题.8.答案：a≤0解析：当a＝0时，y＝－2x＋1知足在[1，＋∞)上为减函数，当a≠0时，由已知可得11,0,aa⎧≤⎪⎨⎪<⎩可得a＜0.∴当命题为真时，a的取值范围是a≤0.9.答案：解：逆命题：若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其概念域内是减函数，真命题.否命题：若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其概念域内不是减函数，则log a2≥0，是真命题.逆否命题：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其概念域内不是减函数，是真命题.10.答案：证明：若a，b，c都是奇数，设a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1(m，n，p∈Z)，则a2＋b2＝(2m－1)2＋(2n－1)2＝2(2m2＋2n2－2m－2n＋1)，为偶数.而c2＝(2p－1)2＝4p2－4p＋1＝4(p2－p)＋1，为奇数，∴a2＋b2≠c2.∴原命题的逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题.∴原命题为真命题.即“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”成立．。

2021年高中数学《命题及其关系-四种命题》教案1 苏教版选修2-1【教学目标】1．了解命题的概念，能正确地指出已知命题的条件和结论，会判断一个命题的真假。

2．了解命题的四种形式，会根据已知命题写出逆命题、否命题与逆否命题。

3．理解四种命题之间的关系，对具体的命题，会分析其四种命题的相互关系。

4．体会逻辑用语在表述和论证中的作用，并能自觉地将这些逻辑用语正确地用于数学学习和日生活中的表述和交流之中。

【教学重点】四种命题的相互关系【教学难点】由原命题准确写出另外三种命题【教学过程】一、新课引入：1．复习命题的概念．2．复习逆命题的概念．用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则P”表示逆命题结构．二、讲授新课（一）四种命题1．逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构．2．否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬p则¬q”表示否命题结构．3．逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬q，¬p”表示逆否命题结构．归纳：一般地，设“若p则q”为原命题，那么，“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．（二）四种命题之间的关系三、例题评析例1．写出命题“若，则”的逆命题、否命题与逆否命题.解：原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则.例2．把下列命题改写成“若则”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假:（1）全等三角形的对应边相等；（2）四条边相等的四边形是正方形.解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等.逆命题：若两个三角形的对应边相等,则这两个三角形全等;否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形的对应边不相等;逆否命题：若两个三角形的对应边不相等, 则这两个三角形不全等（2）原命题可以写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等.练习:1．填空：(1)命题“末位是O的整数，可以被5整除”的逆命题是可以被5整除的数末位是0 .(2)命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .(3)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是圆的切线到圆心的距离等于圆的半径 .(4)把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p则q”的形式为若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 .四、课堂练习课本P7 练习1、2五、课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．六、课后作业课本P8 习题1.1 1、2。

选修2-1 第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系、命题及其真假、四种命题的关系班级 姓名一、目标导引1．了解命题的概念和分类，能判断命题的真假；2．了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式；3．会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题以及真假性之间的联系； 4．会利用命题的等价性解决问题．二、教学过程 （一）命题1．用 表达的，可以判断真假的 叫做命题．判断为真的语句叫做 命题．判断为假的语句叫做 命题．2．命题定义的 ， ，判断的结果可真可假，但真假必居其一。

判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“ ”和“ ”这两个条件．3．有些语句中 ，这样的语句叫开语句，不构成是命题． 例1：判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假．（1）空集是任何集合的子集 （ ） （2）若整数a 是素数，则a 是奇数（ ）（3）指数函数是增函数吗? （ ）（4）2(2)2-=- （ ） （5）x +3>15 （ ） （6）求证3是无理数（ ） （7）并非所有的人都喜欢苹果（ ）（二） “若p ，则q ”形式的命题1．在“若p ，则q”这种形式的命题中，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．2．“若p ，则q”中的p 和q 可以是命题也可以不是命题．3．“若p ，则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别，缺点是太格式化且不灵活． 4．“若p ，则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式． 命题也可写成“如果p ，那么q”，“只要p ，就有q”等形式．5．“若p 则q”形式的命题的书写：对于一些条件与结论不明显的命题，一般采取先添补一些命题中省略的词句，确定条件与结论．如命题：“垂直于同一条直线的两个平面平行” ．写成“若p ，则q”的形式为：“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．”例2：把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式,并判定命题的真假． （1）对顶角相等．（2）偶函数的图像关于y 轴对称．（3）垂直于同一条直线的两条直线平行． （4）垂直于同一个平面的两个平面互相平行．（三）四种命题1．互逆命题：如果第一个命题的 是第二个命题的 ，且第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫 ．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．2．互否命题：如果第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互否命题。

①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；②如果两个三角形的面积相，那么它们全等；③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；④如果两个三角形不相等，那么它们不全等；结论：命题①④为真，②③为假；①与②、③与④条件和结论互逆，①与③、②与④条件和结论互否；四、数学理论1.原命题与逆命题的知识即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.2.否命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.例如⑶同位角不相等，两直线不平行；⑷两直线不平行，同位角不相等.3. 原命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.4.四种命题的形式一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.五、巩固运用例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

假。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。

10.略。

11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。

改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

这是错误的。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。

10.略。

11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。

1.1命题及其关系（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（本题共15小题，每小题4分，共60分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是.2.命题“若f是奇函数，则f是奇函数”的否命题是________________________.3.原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是_____________.①原命题是真命题；②逆命题是假命题；③否命题是真命题；④逆否命题是真命题.4.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t 是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.5.设,则是的___________.①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.6.设集合，，那么“”是“”的___________.①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.7.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有________.8.为非零向量，“”是“函数（）为一次函数”的________.①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.9.“”是“直线与直线互相垂直”的_______.①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.10.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的逆否命题是________.①若a－1≤b－1，则a≤b；②若a＜b，则a－1＜b－1；③若a－1＞b－1，则a＞b；④若a≤b，则a－1≤b－1.11.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______.12.“函数在区间（）上是减函数”是“函数（且）在区间（）上是减函数”的_______.①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.13.给出下列命题：①原命题为真,它的否命题为假；②原命题为真,它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真,则它的否命题一定为真；⑤“若，则的解集为R”的逆命题.其中的真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)14.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有.（只填序号）15.设有两个命题：（1）不等式对一切实数恒成立；（2）函数是R上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用可表示为________.二、解答题（本题共5小题，共40分）16.（本小题满分8分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除.17.（本小题满分8分）已知是实数，求证：成立的充分条件是.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．18.（本小题满分6分）证明：是函数=在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件.19.（本小题满分8分）已知p:|1－－|≤2,q:－2x+1－≤0(m＞0),若ℸp是ℸq的必要不充分条件,求实数m的取值范围.20.（本小题满分8分）已知全集，非空集合，. （1）当时，求（）；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．1.1 命题及其关系（苏教版选修2-1）答题纸得分：_________一、填空题1.____________2.____________3.____________4.____________5.____________6.____________7.____________8.____________9.____________ 10.____________11.____________ 12.____________ 13.____________ 14.____________ 15.____________二、解答题16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：1.1 命题及其关系（苏教版选修2-1）答案一、填空题1.“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”.2.若f不是奇函数，则f不是奇函数解析：一个命题的否命题是对其条件与结论都进行否定，对“f是奇函数”的否定为“f不是奇函数”，“f是奇函数”的否定为“f不是奇函数”.3.③解析：圆内接四边形也可能是矩形，故原命题不正确；逆命题：“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题也是真命题，故选③.4.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.5.充分不必要解析：若则若，则或因此是的充分不必要条件6.必要不充分解析：时，推不出，例如.但是时，成立.所以“”是“”的必要不充分条件.7. 2个解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.8.必要不充分解析：若，则；函数（）=为一次函数的充要条件是且.所以“”是“函数（）为一次函数”的必要不充分条件.9.充分不必要解析：若直线与直线互相垂直，则,解得或.即直线与直线互相垂直的充要条件为或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.10.解析：由逆否命题的定义可得要注意“＞”的否定是“”11.解析：,因为成立的一个充分不必要条件是，所以Ü，所以，即.12.必要不充分解析：函数在区间（）上是减函数的充要条件是，函数（且）在区间（）上是减函数的充要条件是.13.②③⑤解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，故①④错误，②③正确．要使不等式的解集为R，则，，解得.故⑤正确．14.①②④解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以使成立的充分条件有①②④.15.解析：若命题（1）为真命题，由恒成立，得由恒成立，得.因此若命题（1）为真命题，则．若命题（2）为真命题，则，即，从而可得使两个命题都是真命题的充要条件是．二、解答题16.解：(1)逆命题:若两个三角形相似,则它们一定全等,为假命题.否命题:若两个三角形不全等,则它们一定不相似,为假命题.逆否命题:若两个三角形不相似,则它们一定不全等,为真命题.(2)逆命题:若一个自然数能被5整除,则它的末位数字是零,为假命题.否命题:若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被5整除,为假命题.逆否命题:若一个自然数不能被5整除,则它的末位数字不是零,为真命题.17.解：是必要条件.证明如下：因为，所以.即成立的充分条件是.另一方面，若，即，,.又,所以，即.因此是成立的充要条件．从而结论成立.18.解：当时，函数为一次函数，是减函数，因此不是必要条件.当时，二次函数的图象开口向下，而已知函数在区间（-∞，4上为减函数，这是不可能的.当时，二次函数的图象开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴解得所以综上所述，是函数在区间（-∞，4上为减函数的充分不必要条件.19.解：由p:|1－－|≤2－2≤x≤10,由q可得－≤(m＞0),所以1－m≤x≤1+m.所以p:x＞10或x＜－2,q:x＞1+m或x＜1－m.因为p是q的必要不充分条件,所以p，q,故只需满足－＜－或＞所以m≥9.20.解：（1）当时，，.所以或，所以．（2）若是的必要条件，即，可知.由，得.当，即时，，所以，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，所以，，解得.综上，．。

第1章常用逻辑用语1．1 命题及其关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．2．预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒ q，那么p是q的_________，q是p的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．3．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．例4 已知p：x+y≠3，q：x≠1 或y≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．解：∵ p：x+y ≠3，q：x≠1 或y≠2∴ 非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y =3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．∴ p ⇒ q 且q ⇒p ，p 是q 的充分而不必要条件．点评： p 、q 都是否定性说法，考察命题“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q 则非p ”、 “若非p 则非q ” 的真假，再利用等价性判断命题“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假，从而判断条件的充要性．例5 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么，(1) s 是q 的什么条件；(2) r 是q 的什么条件；(3) p 是q 的什么条件．解：据题意(1)s 是q 的充要条件；(2)r 是q 的充要条件；(3)p 是q 的必要条件．点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．例6 已知p ：1123x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由2311≤--x ，得 －2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，∵ 非p 是非q 的充分而不必要条件，∴ B ≠⊂A ． ∴ ⎩⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3．∴ 实数m 的取值范围是(]3,0． 点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q ⇒p 且p \⇒q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例．(3)相关的证明问题的处理：①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假．例7 方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论．解：将x =0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根．(1)方程有一正根和一负根001<⇔<⇔a a； (2)方程有两个负根100102044≤<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆⇔a aaa ． 综合(1)、(2)，方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负根的充要条件是a <0或0<a ≤1． 点评：本题运用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合分类讨论思想求解． 例8 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一实根x =1的充要条件是a +b +c =0．证明：必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一根x =1，则由根的定义得：0112=+⨯+⨯c b a ，即a+b+c =0；充分性：若a+b+c =0，则由ax 2+bx +c=0，得ax 2+bx －(a+b )=0，∴0)1()1(2=-+-x b x a ，∴0])1()[1(=++-b x a x ，所以方程有一根x =1．综上所述，方程ax 2+bx +c=0有一根x =1的充要条件是a+b+c =0．点评：对于充要条件的证明，一般都分“充分性”和“必要性”两种情况分别加以证明，缺一不可． 证明时不要颠倒充分性和必要性．4．自我检测(1)判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．① 3是12的约数；② 大角所对的边大于小角所对的边；③ π是无理数吗?④ 一个数不是质数就是合数．(2)写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题．① 原命题：若a =0，则ab =0② 原命题：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) ① “AB +BC =AC ”是“A 、B 、C 三点共线”的___________条件；② “l ∥AB ”是“A、B 到l 等距离”的________条件．③ “ab =0”是“a 2+b 2=0”的________条件．④ 若a ≠0，则“x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根”是“a+b+c =0”的_______条件．(4) ① “(1－|x |)(1+x )>0”是“|x |<1”的__________条件；② “a ≠1”是“a 2≠1”的________条件；③ “A ⊇B ”是“(A∩C )⊇(B∩C )”的_________条件 ．三、 课后巩固练习A 组1．若命题m 的逆命题是n ，命题m 的否命题是r ，则n 是r 的_______．(填逆命题、否命题、逆否命题)2．写出命题 “若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零”的逆命题，否命题，逆否命题．3．以下四个命题的的真假是 _________ ．(1)原命题：若一个自然数的末位数字为5，则这个自然数能被5整除；(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为5；(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为5，则这个自然数不能被5整除；(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为5．4．判断命题“若a ，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题的真假．5．判断命题“若m >0，则x 2+x －m =0有实根”的逆否命题的真假．6．写出命题“若x ≠y ，则x 2≠y 2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．7． 指出下列命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：|x |≤1，q ：|x |<2； (2)p ：x >－1，q ： |x |<1 ．8． 若a 、b 、c 都是实数，试从(A )ab =0；(B )a+b =0；(C )a 2+b 2=0；(D )ab >0；(E )a+b >0；(F )a 2+b 2>0，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a 、b 都为0的充分条件是________________；(2)使a 、b 都不为0的充分条件是______________；(3)使a 、b 中至少有一个为0的充要条件是____________；(4)使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是_______________．9．a 、b ∈R，条件⎩⎨⎧>>11b a 是条件⎩⎨⎧>>+12ab b a 的_________．10．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么非A 是非B 的什么条件? 11．⎩⎨⎧>>+44αββα是⎩⎨⎧>>22βα的______条件．12．设P ：{x |0<x <5}，Q ：{x ||x －2|<5}，则P 是Q 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．13．“a ≠0”是“ab ≠0”的______条件．14．“a 2－b 2是偶数”成立的______条件是“a －b =0”．15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么丙是甲的___________条件．16．方程3x 2－10x +k =0有两个异号的实根的充要条件是_____．17．下列四组条件： ①甲：b a >； 乙：ba 11< ②甲：0<ab ； 乙：||||b a b a -<+ ③甲：b a =； 乙：ab b a 2=+④甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ； 乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a其中甲是乙的充分但不必要条件的是____________(请把正确命题的序号填上)．B 组 18．如果否命题为“若x +y ≤0，则x ≤0”，写出相应的原命题，逆命题与逆否命题．19．原命题为“末位数是0的整数，可以被5整除”，写出逆命题，否命题，逆否命题．20．把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．21．有下列命题：(1)“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；(2)“全等三角形是相似三角形”的否命题；(3)“若m >1，则关于x 的不等式mx 2－2(m +1)x －(m －3)>0的解集为R ”的逆命题；(4)“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中，是真命题的是___________ ．22．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_____个，真命题有______个．23．写出命题“若A ⊆B ，则AB =A ”的逆命题，并判断真假． 24．设原命题是“当a >0时，若|x |<a ，则－a <x <a ”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．25．下列四个命题：①若a 、b 是无理数，则a +b 是无理数；②若A ∩B =A ，则A =B ；③x ≠2且y ≠3是x+y ≠5的充分不必要条件； ④00≥⇔≥ab ba 其中，假命题是________________(请把序号填上)26．已知直角坐标平面上四点坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，P 是y 轴上任意一点，试判断：P 在y 轴上是∠APD=∠BPC 的什么条件?27．已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么(1)s 是p 的什么条件? (2)r 是q 的什么条件? (3)在p 、q 、s 、r 中，哪几对互为充要条件?28．设条件p ：|43|1x -≤；条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．29．已知条件p ：ax 2+2ax +1>0的解集为R ；条件q ：0<a <1，则p 成立是q 成立的什么条件?30．设n N +∈,则一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．31．求证：不等式mx 2+4mx +1>0的解集为(+∞∞-,)的充要条件是0≤m <14． C 组32．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ，b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么，命题Ⅰ、命题Ⅱ是否正确?33．定义在R 上的函数y =f (x －1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f (0) =1；(2)f (1)<1；(3)f (0)<0．5．其中正确的命题是 ．34．给出以下命题：①若04log )4(log 2<≤+a a a a ，则a 的取值范围是(1，∞+)； ②函数2log )(=x f )15(2+-x x 的单调递 减区间为)25,(-∞；③若数列{a n }前n 项之和为S n =3n －2，则数列{a n }的通项公式a n =2×3n －1；④若定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 为偶函数．则以上命题中正确命题的序号为 ．35．判断命题“若ab =0，则a ≠0且b ≠0”的否命题的真假．36．判断命题“若ab ≤15，则a ≤5或b ≤3”的否命题的真假．知识点 题号 注意点四种命题 1～6，18～25，32～36 判断一个命题的真假时要注意原命题和逆否命题同真假，顾原命题难判断真假时可以判断其逆否命题充要条件 7～16，17，26～31， 要分清“ 的充要条件是 ”和“____________是 的充要条件”四、学习心得五、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”． 命题A ：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x(a > 0)的图象与y = x 的图象至多有一个交点．”那么，命题A 的真值是_______．解：当a =1和0 < a < 1时，y = a x 与y = x 的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a = 2 ，则x =1时，y = a x = 2>1，(1， 2)在直线y =x 的上方；当x =2时，y = a x =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x = 2 2 < 3，(3， 22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x= 4，(4 ， 4)是两曲线的另一个交点；当x > 4时，(2)x > x ，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x 的图象与y =x 的图象有两个交点，故命题A 是假命题，其真值为0．点评：题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a > 1且a 比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a 较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A 是假命题．1.1 命题及其关系自我检测1．解：（1）是命题，它是能作出真假判断的语句，因为12=3×4，所以它是一个真命题；（2）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为没有考虑“在同一个三角形中”这个条件；（3）不是命题，因为没有作出判断，疑问句不是命题；（4）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为1既不是质数也不是合数。

高中选修数学知识点由于您没有给出具体的高中选修数学的板块内容（例如选修1 - 1、选修2 - 2等），以下为人教版高中数学选修2 - 1知识点整理：一、常用逻辑用语。

1. 命题及其关系。

- 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

- 四种命题：原命题“若p，则q”；逆命题“若q，则p”；否命题“若¬p，则¬q”；逆否命题“若¬q，则¬p”。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

2. 充分条件与必要条件。

- 充分条件：如果p⇒q，则p是q的充分条件。

- 必要条件：如果q⇒p，则p是q的必要条件。

- 充要条件：如果p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。

3. 简单的逻辑联结词。

- “且”：命题p∧q，当p、q都为真时，p∧q为真，否则为假。

- “或”：命题p∨q，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假。

- “非”：命题¬p，p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。

4. 全称量词与存在量词。

- 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题，例如∀x∈M,p(x)。

- 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示。

含有存在量词的命题叫做特称命题，例如∃x∈M,p(x)。

- 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

二、圆锥曲线与方程。

1. 椭圆。

- 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中c^2=a^2-b^2，焦点坐标为(± c,0)。

- 当焦点在y轴上时，frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。

1．1.1四种命题[学习目标] 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q 是命题的结论．知识点二四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．知识点三四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真．②原命题为真，它的否命题不一定为真．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．题型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.解(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．反思与感悟判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．题型二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；。

1．上述哪几个语句能判断真假？ 【提示】 ①②⑤ 2．语句⑤的条件和结论分别是什么？ 【提示】 条件为“x>2012”，结论为“x>2013”．
判断真假
若p则q
q
p
四种命题
【问题导思】 观察下列四个命题： (1)若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数； (2)若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数； (3)若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数； (4)若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数．
【思路探究】
【自主解答】
(1)能判断真假，是真命题；
(2)能判断真假，是假命题； (3)不是命题； (4)能判断真假，是假命题； (5)能判断真假，是真命题； (6)不能判断真假，不是命题．
1．判断语句是否为命题的标准是能否判断其真假，是否 符合已学过的公理、定理、公式等，一般情况下疑问句、祈 使句、感叹句等都不是命题． 2．假命题也是命题，往往有人错误地认为不是命题．
互为逆否命题 ．
2．四种命题之间的关系
3．四种命题的真假性 一般地，互为逆否命题的两个命题，要很都是 真命题 ， 要么都是 假命题 ．
命题的概念及真假判断
判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命 题？ (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)空集是任何集合的真子集； (3)对顶角相等吗？ (4)对顶角不相等； (5)6>3； (6)x>3.
●教学建议 本节课作为数学的工具课程，安排在选修教材的开篇， 是非常合适的，首先之前通过必修课的学习，学生已经具备 大量的数学基本素材，有例可举；其次，学习本章内容，又 可为学习后续课程提供新的逻辑思维方式，因此本章内容承 前启后，作用极大．本节课作为概念理论课，学习时切忌抽 象，从认识的角度出发，由具体到抽象，由特殊到一般，通 过具体实例抽象出相关逻辑概念，由一般到具体，由相关概 念及理论指导学生进行四种命题的互求及真假性的判断．

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 命题及其关系课后知能检测苏教版选修2-1一、填空题1．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④实数的平方是非负数．其中真命题的序号是________．【解析】①④均正确，②③均错误．【答案】①④2．(2013·漳州高二检测)命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．【解析】条件：x2<1，结论：－1<x<1，交换条件结论的位置并全否定可得．【答案】若x≤－1或x≥1，则x2≥13．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．【解析】逆否命题为：若x2－1＝0则x＝1，显然为假命题．【答案】假4．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．【解析】逆命题的条件和结论是它的原命题的结论和条件．【答案】若|a|＝|b|，则a＝－b5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<36．有下列四个命题：①“已知函数y＝f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y＝f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；②“对应边平行的两角相等”的否命题；③“若a≠0，则方程ax＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则B≠A”的逆否命题．其中的真命题是________．【解析】①的逆命题为：若y＝f(x)，x∈D为奇函数，则D关于原点对称，为真命题．②的否命题为：若两个角的对应边不平行，则两角不相等，为假命题．③的逆否命题为：若ax＋b＝0无实根，则a＝0，为真命题．④的逆否命题为：若B＝A，则A∪B≠B，为假命题．【答案】①③7．命题“若a，b是奇数，则a＋b是偶数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中，真命题个数为________．【解析】因为原命题是真命题，而逆命题“若a＋b是偶数，则a，b都是奇数”是假命题，所以逆否命题是真命题，否命题是假命题，所以，真命题的个数是2.【答案】 28．(2013·杭州高二检测)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】可考虑关于x轴、y轴、直线y＝x、原点对称等几种情形之一．【答案】(1)x轴，－log2x；(2)y轴，log2(－x)；(3)直线y＝x,2x；(4)原点，－log2(－x)二、解答题9．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断命题的真假：(1)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数；(3)函数y＝2x＋1为增函数．【解】(1)条件p：x＋y是有理数，结论q：x，y都是有理数，是假命题．(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数，是假命题．(3)将命题“函数y＝2x＋1为增函数”改写为“若p则q”的形式为“若一个函数为y ＝2x＋1，则这个函数为增函数”．则条件p：一个函数为y＝2x＋1，结论q：这个函数为增函数，是真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.【解】(1)逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等，是真命题．否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角不相等，是真命题．逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边不相等，是真命题．(2)原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称，是真命题．逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数，是真命题．否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象关于原点不对称，是真命题．逆否命题：若一个函数的图象关于原点不对称，则这个函数不是奇函数，是真命题．(3)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b、c与d不都相等，则a＋c≠b＋d，是假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等，是真命题．11．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题.。

四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
归纳总结2．四种命题的相互关系
甲丢失一头瘸腿毛驴，四处寻找，恰好看见乙牵 着一头瘸腿毛驴经过，甲上前对乙说：“这是我 的毛驴，请还给我。”乙说：“这明明是我的毛 驴，怎么会是你呢？” 甲理直气壮地说：“我的毛驴是瘸腿的；如果你 牵的毛驴不瘸腿，那么就不是我的；但是你牵的 是瘸腿的，当然就是我的。”
你能用命题的知识 判断甲的“理论” 是否正确？
（四）当堂反馈
2.设原命题是“若 x =y 则 |x|=|y|”， 写出它的逆命题、否命题与逆否命题， 并分别判断它们的真假.
（五）课堂小结 1、命题的定义 2、四种命题的关系
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
四种命题
甲丢失一头瘸腿毛驴，四处寻找，恰好看见乙牵 着一头瘸腿毛驴经过，甲上前对乙说：“这是我 的毛驴，请还给我。”乙说：“这明明是我的毛 驴，怎么会是你呢？” 甲理直气壮地说：“我的毛驴是瘸腿的；如果你 牵的毛驴不瘸腿，那么就不是我的；但是你牵的 是瘸腿的，当然就是我的。”

一、关于四种命题综述：（1）四种命题的形式（2）四种命题之间的相互关系二、注意：命题的否定与一个命题的否命题是两个不同的概念：一个命题的否定与命题的否命题是不同的，前者只否定结论，而后者既否条件又否结论；前者它们的真假性相反，而后者它们的真假性关系不确定.-------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈11. 给出命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d ”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有( )(A)0个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个1．命题“若a ，b 都是偶数，则a + b 是偶数”的否命题是______________ _．2．（07重庆,2）命题“若11,12<<<x x 则－”的逆否命题是( ) (A)若12≥x ，则1≥x 或1-≤x (B)若11<<-x ，则12<x(C)若11-<>x x 或，则12>x (D)若1≥x 或1-≤x ，则12≥x例1 写出命题“若b a 、都是正数，则b a +是正数”的逆否命题.--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 即时反馈2.1．写出命题“若b a 、都是偶数，则b a +是偶数”的否命题。

注意：”都是”的否定是”不都是”，而不是”都不是” 例2 已知R y x ∈、,给出下列命题：①00022≠≠⇒≠+y x y x 且；②000≠⇒≠≠xy y x 且；③212≠≠⇒≠y x xy 或；④221≠⇒≠≠xy y x 或.其中真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4注意：命题中出现否定的形式，要善于应用等价转化 即时反馈3．1．下列命题种真命题是( )(A)y x y x y x -≠≠⇔≠且22 (B)22bc ac b a >⇔>(C) A ∠为锐角0sin >⇔A (D)q p q p ⌝⌝⇔且为假命题且为真命题---------------------------------------------------------------------------------------------------------例3 四个命题：（1）“若1=xy ，则y x 、互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若02,12=+-≤m x x m 则有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B ,则A ⊆B ”的逆否命题。

2019-2020年高中数学 1.13命题及其关系习题课教案苏教版选修2-1学习目标：1.复习巩固四种命题及其关系2.熟练掌握充分条件必要条件的判断活动过程:理解充要条件四种命题的关系活动一：巩固充分条件，必要条件，充要条件的判断方法1复习概念四种命题的关系:充要条件的分类:两个条件关系的判断方法2运用逆否命题判断两个条件的关系例1.（1)是或的________________条件。

（2）是的________________条件。

练习：是的________________条件例2.在下列四个结论中,正确的有 ___________________(1)是的必要不充分条件;(2)在中是“为直角三角形”的充要条件;(3)若,则“”是“全不为0”的充要条件;(4)若,则“”是“不全为0”的充要条件.例3.判断下列命题的真假.(1)“”是“”的充要条件;(2)“”是“”的必要条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件;(4)“”是“”的必要而不充分条件.归纳小结:判断p是q的什么条件,实际是确定命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”的真假的过程(1)若原命题真而其逆命题假,则p是q的_____________条件(2)若____________________,则p是q的必要不充分条件;(3)若____________________,则p是q的充要条件(4)若原命题,逆命题__________,则___________________练习: 给出下列表格,判断p是q的何种条件,请在最后一列中填写出对应结论;(1)充分不必要条件.(2)必要不充分条件 (3)充要条件., (4)既不充分又不必要条件p q p是q的四边形ABCD 是平行四边形四边形ABCD是矩形活动二：掌握充要条件的证明例4.求证:关于的方程有一个根为1的充要条件是练习:设,求证:成立的充要条件是.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）命题及其关系--四种命题 同步练习一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 1. 给出以下四个命题：①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 2. “△ABC 中，若∠C=90°，则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为（ ）A ．△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不是锐角 B ．△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 不都是锐角 C ．△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不一定是锐角D ．以上都不对 3. 给出4个命题：①若0232=+-x x ，则x =1或x =2； ②若32<≤-x ，则0)3)(2(≤-+x x ； ③若x =y =0，则022=+y x ；④若*∈N y x ,，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．那么：（ ）A ．①的逆命题为真B ．②的否命题为真C ．③的逆否命题为假D ．④的逆命题为假4. 命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是 （ ） A ．“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”C ．“若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形.”D ．“若△ABC 任何两个角相等，则它是等腰三角形.”5. 命题p ：若A ∩B=B ，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A ∩B ≠B ．那么命题p 与命题q 的关系是（ ）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定6. 对以下四个命题的判断正确的是 ( ) (1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除 (2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除 (4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0 A ．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假 B ．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假 C ．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假 D ．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假二、填写题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．7. 命题“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 . 8. 命题“若ab =0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是 . 9. 有下列四个命题：①“若x ＋y =0 ，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q =0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中的真命题为10. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).11.命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号）．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 把命题“未位数是0的整数可以被5整除”改写为“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题13. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假： (1)若xy =0，则x ，y 中至少有一个是0； (2)若x ＞0，y ＞0，则xy ＞0；14*.已知{}n a 是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ，设集合*221(,),(,)1,,4n n S A a n N B x y x y x y R n ⎧⎫⎧⎫=∈=-=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭．试问下列命题是否是真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．（1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）A B 至多有一个元素； （3）当a 1≠0时，一定有A B φ≠．参考答案一、选择题： 1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 二、填空题：7．【 答案】若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形． 8．【 答案】若a ，b 都不为零，则ab ≠0. 9．【 答案】①③ 10．【 答案】② 11．【 答案】①④⑤⑥ 三、解答题：12. 【 解析】 若p 则q 形式：若一个整数的末位数是0，则它可以被5整除逆命题：若一个整数可以被5整除，则它的末位数是0 否命题：若一个整数的末位数不是0，则它不能被5整除 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则它的末位数不是0 13. 【 解析】 (1)逆命题：若x =0，或y=0则xy=0； 否命题：xy ≠0，则x ≠0且y ≠0； 逆否命题：若x ≠0，且 y ≠0则xy ≠0； (2)逆命题：若xy ＞0,则x ＞0，y ＞0； 否命题：若x ≤0，或y ≤0则xy ≤0； 逆否命题：若xy ≤0；则 x ≤0，或y ≤014. 【 解析】 （1）正确．在等差数列{}n a 中，12(),2n n a a S +=则11(),2n n S a a n =+这表明点(,)n n S a n的坐标适合方程11()2y x a =+，于是点(,)n n S a n 均在直线11122y x a =+上．（2）正确．设(,)x y A B ∈,则（x ，y ）中的坐标x ，y 应是方程组1221122114y x a x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解．由方程组消去y 得：21124(*)a x a +=-，当a 1＝0时，方程（*）无解，此时A B φ≠；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解21142a x a --=，此时，方程组也只有一个解2112114244a x a a y a ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故上述方程组至多有一解．∴A B 至多有一个元素．（3）不正确．取a 1=1,d =1，对一切的*,x N ∈有1(1)0,0nn S a a n d n n=+-=>>，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于110a =≠．如果A B φ≠，那么由（2）知AB 中至多有一个元素00(,)x y ，而21010014530,02224a x a x y a +--==-<==-<， 这样的00(,)x y A ∉，矛盾，故a 1＝1，d ＝1时A B φ=，所以a 1≠0时，一定有A B φ≠是不正确的．。

•)•)ks5u精品课件问题1:下面的语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗？(1)若xy=1,则x、y互为倒数;(2)相似三角形的周长相等;(3) 2+4=5 ;(4) 如果bS—1,那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根;(5) 若AUB=B,则A B(6) 3不能被2整除亍我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句称为命题.句称为假命题・0精品课件ks5u精品课件命题(1)(4) (5),具有“若R则q"的形式也可写成"如果R那么q"的形式通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.记做：pn q 指出下列命题中的条件P和结论q： (1)若整数a能被2整除■则a是偶数;(2)若四边形是菱形"则它的对角线互相垂直且平分.表面上不是“若P,贝!lq”的形式，但可以改变为“若P,贝！Iq"形式的命题.思考“垂直于同一条直线的两个平面平行” O 可以写成“若P,则q”的形式吗?问题2:判断下列命题的真假，、你能发现各命题之间有什么关系？•①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等;•②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等;•③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相纟•④如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等;数学理论：原命题与逆命题的知识即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题；如果轎劇勰器命题'那么另一原命题是：⑴同位角相等，两直线平行; 逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.数学理论：否命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命颠，若把其申一个斋颠叫做原斋题，则另一个就叫做原命题的否命题.否命题⑶同位角不相等，两直线不平行;逆否命题⑷两直线不平行，同位角不相等.数学理论：原命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的逆否命题.四种命题的形式・原命题：若p则q；逆命题：若q则P；•否命题：若iP则iq；逆否命题：若iq则lP・■、匸匸o MM I I例1 •写出命题“若a=0,贝!|ab=(r的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。