高考数学大一轮复习 第二章 第11课 对数的运算自主学习

高一必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，尤其是在数学和物理学中。

对数可以帮助我们解决指数运算中的一些问题，可以将复杂的乘法运算简化为简单的加法运算。

在数学中，对于任意正数 a 和正数 b，如果满足等式 a^x = b，则我们说 x 是以 a 为底数的对数，记作 x = log_a(b)。

其中，a 称为底数，b称为真数，x 称为对数。

以 10 为底的对数称为常用对数，常用对数的记法为 log(b)。

以 e（自然对数的底）为底的对数称为自然对数，自然对数的记法为ln(b)。

二、对数的性质1. log(a * b) = log(a) + log(b)对数的乘法性质：对数的底数相同的情况下，多个数的乘积的对数等于这些数的对数之和。

2. log(a / b) = log(a) - log(b)对数的除法性质：对数的底数相同的情况下，一个数除以另一个数的对数等于这两个数的对数之差。

3. log(a^k) = k * log(a)对数的幂次性质：对数的底数相同的情况下，一个数的幂的对数等于该数的对数乘以幂。

4. log(a) = log(b) / log(c)对数的换底公式：可以将一个对数转化为另一个底数的对数。

三、对数的应用1. 对数在指数函数中的应用对数和指数函数是互为逆运算的，可以相互转化。

通过使用对数，可以将指数函数转化为线性函数，从而更方便进行计算和分析。

2. 对数在科学计算中的应用在科学计算中，对数经常用于表示极大或极小的数值。

例如在物理学中，天文学中，对数常用于表示星等、震级、声音强度等。

3. 对数在经济学和金融学中的应用对数在经济学和金融学中广泛应用于计算复利和折现，帮助分析投资回报率和风险等。

4. 对数在数据科学中的应用对数可以用于数据的缩放和归一化，使得不同数量级的数据可以在同一个尺度上进行比较和分析。

四、对数的练习题1. 计算 log(2 * 3) + log(5) 的值。

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

第11课对数的运算 (本课对应学生用书第21-22页) 自主学习 回归教材1. 对数的相关概念(1) 对数的定义:如果a b=N(a>0,且a ≠1),那么b 叫作以a 为底N 的对数,记作log a N=b .(2) 常用对数和自然对数①常用对数:以10为底N 的对数,简记为lgN ;②自然对数:以e 为底N 的对数,简记为lnN.(3) 指数式与对数式的相互转化:a b =N log a N=b (a>0且a ≠1,N>0). 两个式子表示的a,b,N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.2. 对数运算的性质(M>0,N>0,a>0且a ≠1)(1) log a (MN)=log a M+log a N ; (2) log a MN =log a M-log a N ;(3) log a M n=nlog a M .3. 对数换底公式(N>0,a>0且a ≠1,b>0且b ≠1) log b N=a a log Nlog b .由换底公式可以得到:log a b=b 1log a ,lo n a g b m =m n log a b ,log a b ·log b c=log a c .4. 几个常用的结论(N>0,a>0,a ≠1)(1) log a a=1,log a 1=0;(2) log a a N =N ,a log N a =N .1. (必修1P60练习2改编)计算:log=.[答案]1 2[解析]log=log2122=12log22=12.2. (必修1P58练习7改编[答案]13. (必修1P62练习1改编)log29×log34=.[答案]4[解析]结合换底公式考虑此题.4. (必修1P69练习4改编)方程lgx+lg(x+3)=1的解为x=. [答案]2[解析]原方程等价于x0,x30,x(x3)10,>⎧⎪+>⎨⎪+=⎩解得x=2.5. (必修1P60练习3改编)已知lg2=a,lg3=b,那么lg 1825=.(用a,b表示)[答案]3a+2b-2[解析]lg 1825=lg72100=lg8+lg9-2=3lg2+2lg3-2=3a+2b-2.。

§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的概念对数的概念：一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .知识点二 对数与指数的关系思考 求log a 1(a >0，且a ≠1)的值．答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．1．若3x＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e .( × )类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 D 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x1－x 1＋x的定义域． 考点 对数的概念题点 对数的概念 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 类型二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 327＝a ；(4)反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A ．log 2a ＝bB ．log 2b ＝aC ．log b a ＝2D ．log b 2＝a考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式答案 C解析 log b a ＝2，故选C.(2)将3－2＝19，⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164化为对数式．考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164可化为(3)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ； (4)－lne 2＝x ；(5)log (2－1)13＋22＝x . 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)(2)因为x 6＝8，所以(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2.(5)因为所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.∴x ＝16.(3)∴x ＝3.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C 3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与＝3D ．log 77＝1与71＝7考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 C4．已知log x 16＝2，则x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 45．设10lg x ＝100，则x ＝________.考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 C解析 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．2．已知log 3a ＝2，则a 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 D解析 把log 3a ＝2化为指数式，有a ＝32＝9.3．ln e 等于( )A ．0B.12C ．1D ．2考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B解析 设ln e ＝x ，则e x ＝e ＝e ，∴x ＝12.4．方程2＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 A解析 ∵2＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确的是( )A ．①③B．②④C．①②D．③④考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e .6.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54的值为( )A ．6B.72C ．0D.37考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log4＝2－2＝0.7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.8．log(3－22)等于( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2. 设log(3－22)＝t ，则(2＋1)t ＝3－2 2＝(2＋1)－2，∴t ＝－2.二、填空题9．log81＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 8解析 设log81＝t ，则(3)t ＝81,3＝34，t2＝4，t ＝8.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x ＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴x ＝(23)＝18＝122＝24.11．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7，∴3a －b ＝3a3b ＝107.三、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2＝582.②因为log x 3＝－13，所以x ＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a3. ③由6a3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3a .13．求2＋3的值．考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用解 2＋3＝22×2＋＝4×3＋99＝12＋1＝13.四、探究与拓展14．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (log 22)＝ 2.15．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 919解析 由x ＝log 23，得2x ＝3，∴2－x ＝12x ＝13，∴23x ＝(2x )3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.。

人教版高中数学知识与巩固•对数及对数运算(提高)【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4.了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.5.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果a b Na 0,且a 1 ,那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0且a 1, N>0 , b R.2.对数log a N a 0,且a 1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即N 0；(2)1的对数为0,即log a1 0 ;(3)底的对数等于1,即log a a 1.3.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10g l0N简记作lgN .以e (e是一个无理数，e 2.7182 )为底的对数叫做自然对数，log e N简记作ln N .4.对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表本.指数式对数式指数对数孑其数底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化^要点二、对数的运算法则已知log a M ,log a N a 0且a 1, M、N 0(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；log a MN log a M log a N推广：log a N1N2 ||Nk log a N1 log a N \\\血$ Np 电、| 小N 0(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；M log a log a M log a NN(3)正数的哥的对数等于哥的底数的对数乘以哥指数；log a M log a M要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:10g2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 10g2(-3)(-5)是存在白1 但 10g2(-3)与 10g2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、哥的对数与对数的和、差、积、商、哥混淆起来，即下面的等式是错误的：log a(M N)=log a M log a N,l0g a(M N)=l0g aM log a N ,M log a M lOg aN log a N要点三、对数公式 1 .对数恒等式: ba N log a N b2 .换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0, awl M>0的前提下有：⑴ log a M log n M n(n R) a令 log a M=b ,则有 a b=M,(a b )n =M n,即(a n)b M n,即 blog a n M n,即：log a Mlog a n M n.log c M 人八b (2) log a M -------- (c 0,c 1),令 log a M=b,则有 a b=M ,则有 log c a log c M (c 0, c 1)log c alog c M log c M即 b log c a log c M ,即 b —，即 log a M —(c 0,c 1) log c a log c a当然，细心一些的同学会发现 (1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个 重要的结论：【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 要手段. 举一反三：【变式1 ］求下列各式中x 的值：11c C__2(1)log 16x -(2) log x 8 6(3)lg1000=x(4) -2ln e x2【答案】(1) 1； (2) 72; (3) 3; (4) -4.4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数哥的运算性质求出x.1212( 1) 11⑴ x (16) 2(42) 2 4 241 1；41111(2)x 6 8,所以 x (x 6)6(8)6(23)622 拒；⑶10x=1000=103,于是 x=3;x2x 2 二 2(4)由 2ln ex,得 -lne,即e 2e 所以 x 4.【变式2】计算：10g 2 4;10g 2 8;10g 2 32并比较. 【答案】2 3 52【解析】1og 2 4 log 2 2 2;lo g aNalog a blog b a(a 0, a 1,b 0, b 1).⑴10g 216 4； (2) log 1273【解析】运用对数的定义进行互化3 13； (3) log 3 x 3； (4)5 125； (5)21 2；1 2 Q(6)-9.341 - 31⑴2⑹⑵32九⑶石x ；(4)l0g5125 3；⑸10g2万1； (6)log 」923log 28 1og 2 25log 2 32 log 2 2类型二、利用对数恒等式化简求值【解析】将骞指数中的乘积关系转化为骞的骞，再进行运算类型三、积、商、哥的对数 例3.用log a X, log a y, log a Z 表示下列各式厂⑴logaA;(2)log a (x 3y 5);(3)log a—;(4)log 【解析】(1) log a ^y log a x log a z x 、y 23-log a 3 =10g a (x y) log a '. Z 210g a\Z【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确 地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、哥的对数运算对应着对 数的和、差、积得运算. 举一反三： 【变式1】求值3；例2.求值: 【答案】35 【解析】71【总结升华】 举一反71 10g 75 log 757 710g 7 5对数恒等式a 7 5log a NN35.中要注意格式：①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为真数.log a blog b clog c N 的值(ab, cC R+,且不等于 1, N>0)log a b log b c log c N alog a b 10g b e(a )log c N(b10g b e )1og c N c log c Nyzy 1og a Z ；(2) (3) 3 5 3 .— 510g a (x y ) log a x 10g a y10g a — 10g a X 10g a (yz) yz 310g a X 11”2lOg a X510g a y ；lOg a y 10g a Z ；(4)1 1x -log a y -lOg a Z .2 3⑴ 210g 5 25 【答案】(1) 3log 264 8log 10122; (2) 1; (3) 2. (2)1g2 lg50+(1g5)2(3)1g25+1g2 1g50+(1g2) 2【解析】⑴2 log 5 25 31og 2 64262 log 5 5 31og 2 2 8 0810g 10I4 18 0 22.(2)原式=1g2(1+1g5)+(1g5) 2=1g2+1g21g5+(1g5) 2=1g2+1g5(1g2+1g5)=1g2+1g5=1(3)原式=21g5+1g2(1+1g5)+(1g2) 2=21g5+1g2+1g21g5+(1g2) =1+1g5+1g2(1g5+1g2)=1+1g5+1g2=2. 【变式2】（1）已知2X(2)已知 10g 2 3 a,3b 3【答案】(1) 1; (2)— 5y 10 ,则 xy 7 ,求 1og 12 56 .ab【解析】（1）2x 5y10 ,x 10g 210, y 10g 510,故答案为:,n 182 x1og 18一 a9 a bx210g 181810g 18 9【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.(3)解决这类问题要注意隐含条件’log a a 1 ”的灵活运用.举一反三：1 【变式 1】求值：⑴(10g 4 3 10g 8 3)(10g 32 10g 9 2)；(2) 10g 8 9 10g 27 32 ； (3) 92【答案】(1) 5 ； (2) 10; (3)-25【解析】(1) (10g 4 3 10g 8 3)(10g 3 2 10g 9 2)x y xylg5 lg2 lg10⑵ Jog 23故 56 23 ab2a 3, 又3b2ab故 log 12 56 33 ab2a 4 2a 2,从而562a 23 ab2 a3 ab12210g 1212 2ab类型四、换底公式的运用例 4.已知 10g l89 a,18b5 ，求 log 36 45 .【解析】 110g l8 9 a,18b5 ，10g 18 5 b,于是 10g 36 4510g 18 45 10g 18(9 5) 10g 18 9 10g 18 5 10g 18 36 10g 18(18 2)1 10g 18 2a b7718 110g18 W9解法二：.10g 189 a,18b 5，10g 18 5 b,是 1og 36 45 10g 18 45 10g 18(9 5)10g 18 9 10g 18 5 10g183610g 18 解法三：.1og 1891g 4510g 36 45 1g36 b .a,18 51g(9 5)18291g9 1g9 210g 18 18 10g 18 9a1g18,1g5b1g18 ,1g5 1g解法四：110g l8 9 又 118b5, 45 令 log 36 45 x,贝U182918a21g18 1g9a1g18 b1g18 21g18 a1g189.36即36x 吕百)a 18 18bt 18a18ab. 45 18ab,b,(曳)x18ab9b. 10g 3 5Z l0g 2 310g 2 3()(log3 210g 2 4 10g 2 8(2) log 8 9 log 27321g9 Ig8 10g 3 2log 39 lg 32 lg27 log 2 3 log 2 3 21g 3 3lg2 110g 3 5 ⑶法一：921 2(- log 3 5) 3 2251g 2 3lg33310 9喇2萼） 31 log 32510g3 25251 I 匚 10g 3 5 法二：921 1 log g 2592195 910g 9 25 3 25 类型五、对数运算法则的应用 例5. （2016春安徽桐城市月考） (1) 计算：（丝严 9log 232 112" ,3log 2 3 10g 94(2) 1g14 21g 3 lg7 lg18 (3) 10g 2(log 2 32 lo g 3 1 log 4 36)42(4) 若 log 2 x log 4(x 2),求 x 的值. 【思路点拨】（1） （2） （3）利用指数与对数的运算法则即可得出; （4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出. (1) 3；⑵ 0； (3) 3； (4) (1)原式（3）20.5 (2) , -5 - log 2 2 2 32 lg3 2lg lg2 2lg 36 113 3 3 (2)原式=1g(2 7) 2(1g7 lg 3) lg7 =lg 2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg(32 lg2 02)(3)原式=10g 2(5 log 2 32\1 log 22 6 )4 210g 2(5log(4) log 2 x log 4(x 2) 5 356 10g23- 10g3 2 -；3 2 log 2 6) log 2 8 3 4,Igx . lg2lg(x 2) lg4 ' ,igx. lg21g(x 2)2lg 2 x 2, 解得x= — 1或x=2, ,. x> 0, . ・ x=2 举一反三:【变式1】求值：71g21 1g —(12) 10【解析】71g2另解：设71g21g(1)1021 1g(1) 10210g7 2而710 11g 7 17 (2)(71Og72)1Og710111X 1o g710(2 5)2 2.•• 1g 2 1g 7•1-1g2=1gm , 例6.设函数=m (m>0). 1- 1g 71g2.7.1, .一1g ——1g —1gm，.二1g 210 21g工2=m ,即71g 2(-) 102af(x) 1g(ax) 1g 2 x(1)当 a=0.1,求 f (1000)的值.(2)若 f (10) =10,求 a 的值；【思路点拨】(1)当a=0.1时,f(x)af (10) 1g(10a) 1g — (1100(1) — 14； (2) a 104或a(1)当 a=0.1 时, f(x). 1••• f (1000) 1g100 1g —7⑵•• f(10)1g(10a) 1喂1g2a 1ga12 0(1g a 4)(1ga 3) 01ga4 或1ga 34 . 3a 10 或a 10举一反三：【变式1】若a,b是方程2(1g x)2【答案】12【解析】原方程可化2t24t 1 0. 11t22,t1t2由已知a,b是原方程的两个根,则t1 1g a,t2 1g b ,即1g a 1g b 1g(ab) (1og a b 1og b a) (1g a1 1g—叱)101g7 (1g7 1)(1g 2) 1g m,1g(0.1x)x=1000代入可求1g a)(1ga2) 1g2a 1g a 2 10,可求1g a ,进而可求10 311g(0.1x) 1g祓7) 14(1 1g a)(1g a 2) 1g2 a1g x4 1 0的两个实根，求1g a 21g(ab)10(1og a b 1og b a)的值.为2(1g x)241g x 1 012设1g x t 则原方程化为1 2,1g a 1gb -,21gb)她地1ga1gblg a lg b lg b lg a=lgalg a lg b2lg b lg a 2lg algb lgb - ------ ------- .. —lg alg b22=2 —2 1 产12.2即lg ab log a b log b a 12. 【巩固练习】1.有以下四个结论：①lg （lg10）的是（）A.①③B.②④=0;② ln (lne) =0;③若 10=lgx ,贝UC.①②D.③④x=10; ④若e=lnx,则x=e2,其中正确2.下列等式成立的有（①lg100 2 ；② log3 3石;③ 210g255；④ e ln e 1；⑤ 31g33；A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④⑤3,已知3a 2,那么脸8 2log3 6用a表不是（B. 5aC. 3a (1 a)2D. 3a4. （2016杭州模拟）已知2x 72y2, 则A的值是（B. 772C. 7^2D. 985.若y log 5 6 log 6 7 10g78 10g89 10g910,A. y (0,1) B. y (1,2) C. (2,3)D. y (3,4)6.设a1 A .一c b, c为正数，且3a=4b=6c,则有（1 2— B.—b cC.27.若lg a ,lg b是方程2x 4xD.0的两个实根,则ab的值等于A. 2B. 1C. 1002 D. ,108.已知函数 f （x）满足：当x 4 时，f(x);当乂4时，f（x）f(x 1),则f(2 10g23)=()1A . 一241B. 一121C.一8D. 19.已知a24一,贝U log 2 a9 310 . (1) log 281 log 216 log 2 2011 .已知 a=0. 33, b=30 3, c=1og 30. 3, d=1og o 33,则 a, b, c, d 的大小关系是12 .已知 f(3x ) 4x1og 23 233,则 f (2) f(4) f(8) f (28)的值等于.13 .计算：(1) 10g 2(4725) lg^WQ 10g 23 10g 34.⑵若a b1g 32 1g 35 31g 2 1g5,求 3ab a 3b 3.14 .已知实数x 满足32x 4 103x19 0且f(x) 10g 2x log 方近 3 22(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x)的最大值和最小值，并求此时 x 的值.15 . 2010年我国国民生产总值为 a 亿元，如果平均每年增长 8%,那么经过多少年后国民生产总值是 2 倍(1g 2 0.3010,1g1.080.0334,精确至U 1 年)？(2) 7 log 7 6 10g 6 510g 54log 2 30=2010年的【答案与解析】1 .【答案】C【解析】由log a a 1,log a 1 0知①②正确. 2 .【答案】B1 2【解析】lg ——lg10 2;1003 .【答案】A3【解析】原式=log 3 2 2(log 3 2 1) = log 3 2 2 a 2 ,故选 A. 4 .【答案】B1 1【解析】2x 72yA,且一一2,x ylog 2 A x, log 49 A y ,1 1, c , c , cc c•• 一 一 log A 2 log A 49 log A 98 2 , x y.2___•• A 98,解得A 7,2, 故选B. 5 .【答案】B故选B.2【解析】••• lg a ,lg b 是万程2x 4x 1 0的两个实根,4由韦达TE 理得：lg a lg b —— 2 ,2ab=100. 故选C.点评：本题考查对数的运算，由题意得到 lga lgb 2是解决问题的关键.8 .【答案】A【解析】由于1 log 2 3 2 ,所以3 2 log 2 3 4 ,lg 6 Ig7 Ig8 Ig9 lg5 lg6 lg7 lg8lg10 lg910g 510 1 log 5 2 , 因为0 log 5 2 1 ,所以1 y 2,6.【答案】B【解析】设3a =4b=6c =k ,贝U a=log 3k, b=log 4k, 1 1 1.1 • • — ----- log k 3,同理一log k 4 ,— a log 3 k bc一 1 11 1而一log k 2,- log k 3 logk 2 ,，— — 2bcc ac=log 6k,log k 6,2b解得 32x 410 3x 2 9 0,则 f(2 log 23) f(2 log 23 1) f(3 log 23)9 .【答案】44 【解析】因为a 2-, 910 .【答案】 (1) -3; (2) 4.一，一， 2 故答案为：212;522⑵ a b (1g2 1g5)(1g 2 lg 21g5 lg 5) 31g 21g52 ___2lg 2 21g 21g5 lg 521g2 1g512 2 _ . 2,(a b)(a ab b ) 3ab = a b 114 .【答案】(1) 2WxW4； (2)当 10g 2X 。

高一对数的运算知识点对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域的计算和问题求解中。

在高中数学中，高一学生将接触到对数的运算知识点，本文将就高一对数的运算知识点进行详细介绍。

一、对数的定义对数是一个数学运算符，用来表示幂运算的逆运算。

如果b^x = a，那么我们可以说x是以b为底，以a为真数的对数，记作log_b(a)。

其中，b称为底数，x称为指数，a称为反函数。

二、对数的性质1. log_b(1) = 0：任何数以自身为底数的对数都等于0。

2. log_b(b) = 1：任何数以自身为底数的对数都等于1。

3. log_b(b^x) = x：取底数为b的对数时，可以得到指数。

4. b^(log_b(x)) = x：取对数时，可以得到幂的结果。

5. log_b(a * c) = log_b(a) + log_b(c)：对数的乘法法则。

6. log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c)：对数的除法法则。

7. log_b(a^r) = r * log_b(a)：对数的幂法法则。

三、对数的运算法则1. 对数的乘法法则：log_b(a * c) = log_b(a) + log_b(c)例如：log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52. 对数的除法法则：log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c)例如：log_2(8 / 4) = log_2(8) - log_2(4) = 3 - 2 = 13. 对数的幂法法则：log_b(a^r) = r * log_b(a)例如：log_2(4^3) = 3 * log_2(4) = 3 * 2 = 6四、常用的对数在实际应用中，常用的对数是以10为底的对数（常用对数）和以自然数e（约等于2.71828）为底的对数（自然对数）。

1. 常用对数的表示法：log(a) = log_10(a)2. 自然对数的表示法：ln(a) = log_e(a)五、对数运算的应用1. 解指数方程：通过对数运算，将指数方程转化为等式求解。

5．(多选)已知 lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是
A．lg 6＝lg (2×3)＝a＋b C．log212＝a＋2b
B．log34＝2ab D．lg 32＝b－a
【解析】对于A，lg 6＝lg (2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；
对于 B，log34＝llgg 43＝2ba，故 B 错误；
换底公式的应用
2 (1) 若 log23×log36m×log96＝12，则实数 m 的值为
A．4
B．6
C．9
D．12
(A)
【解析】因为 log23×log36m×log96＝llgg 32×llgg 3m6×llgg 69＝llgg 32×2lglgm6×2llgg63＝4lglgm2＝14log2m ＝12，log2m＝2，所以 m＝4.
lg 3 10－lg
5
＋
2
＝
a＋2－2b 1－b .
4．已知 18x＝2，1.5y＝2，则1x－2y＝___3__．
【解析】由
y
＝
log
32
2
，
则
1 x
－
2 y
＝
1 log182
－
2 log32
3
B．lg 5＋lg 2＝1 D．log35－log315＝13
【解析】 对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；
对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；
对于 C，ln 3＋ln 13＝ln 1＝0，故 C 错误； 对于 D，log35－log315＝log313＝－1，故 D 错误．
logab＝log1ba.
对数的基本运算

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。

(1) log2 0.6
(2) log 2 30
43 (3) log 2 125
课堂小结
1．运算法则的内容 2．运算法则的推导与证明 3．运算法则的使用
由指数运算法则得：
ap aq
a pq
M N
∴
log a
M N
p q loga
M
loga
N
例2：计算
(1) lg 10 100
(2) lg 20 lg 2
新问题： log a M n ? (a 0, a 1, M 0)
证明： 设 log a M p, 则 a p M ,
M n (a p )n a pn log a M n n log a M
巩固练习
1．计算
(1) log9 3 log9 27 (3) lg 1 2lg 5
4 (5) lg100000
lg 100
(2) lg 5 100 (4) log2 (4 4) (6) log 2 (47 25 )
2．已知 log2 3 a, log2 5 b，用 a, b 的式子表示
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则 解题．
2．通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归 思想及逻辑思维能力．
3．通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科 学精神．
教学重点难点
重点是对数的运算法则及推导和应用； 难点是法则的探究与证明．
引入
问题：如果看到 log a N b 这个式子会有何联想?
答： （1）a 0 （2）a 1 （3）N 0 （4）ab N
新授：对数的运算法则
先回顾一下指数的运算法则：

1 即 logaa ≤loga ≤logaa， 3
－1
1 即当 a>1 时，得 a ≤ ≤a，即 a≥3； 3
－1
1 1 当 0<a<1 时，得 a ≥ ≥a，得 0<a≤ . 3 3 1 0， ∪[3，＋∞)． 综上所述，a 的取值范围是 3
－1
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菜 单 隐 藏
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
1 [解析] 由函数 y＝f(x)的图象知，当 x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以 log 2 1 f(x)≤0.又函数 f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以 y＝log 2 f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选 C.
3 答案： e
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考向二 对数函数的图象与性质 [例 2] (2013 年南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝ 1 log f(x)的图象大致是( 2 )
[解析] ∵f(x)＝logax，
1 1 f －|f(2)|＝loga ＋loga2 当 0<a<1 时， 3 3
2 ＝loga >0， 3
1 1 当 a>1 时，f3 －|f(2)|＝－loga －loga2 3

高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数知识点总
结
高三开学已经有一段时间了,高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中,小编带来了高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数，希望能帮助大家复习!
考纲要求
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。

2.理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。

3.了解指数函数 y=a 与对数函数 y=loga_ 互为反函数(a>0，a≠1)。

考纲研读
1.能进行指数式与对数式的互化，能根据运算法则、换底公式进行运算。

2.能利用对数函数的单调性比较大小、解对数不等式，会解对数方程，利用图象判断解的个数。

3.反函数的概念仅限于指数函数与对数函数之间。

4.会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围。

以上就是整理的高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数，希望能帮助大家做好高考第一轮复习！。

对数的运算法则教案及反思一．教学目标：1. 掌握对数的运算性质，能运用对数的运算性质进行化简、求值；2. 明确对数运算性质与幂的运算性质的区别。

二．教学重点：应用对数运算性质进行化简、求值。

三．教学难点：对数运算性质的发现与证明。

四．教学过程：1. 复习旧知：对数的引进，已经指数运算的性质加深学生对对数与指数间的联系的印象2. 新课讲解：对照指数运算的运算性质，你能猜想一下对数运算具有哪些性质吗？ 计算：1log 2，2log 2，4log 2，8log 2⑴从这些计算中，你能得到什么结论？——N M MN z a log log log a +=）（（其中0,0,1,0>>≠>N M a a ） ⑵你能证明你刚才得到的结论吗？分析：可以从指数运算性质中得到启发。

证明:性质一：设p log =M a ，q N a =log由对数的定义得：p a M =，q a N =所以，q p q p a a a MN +==故，N M q p a MN a a q p a a log log log )(log +=+==+即：N M MN a a a log log log +=）（ ⑶你还能得到什么新的结论吗？N M NM a a a log log log -= M n M a n a log log ⋅=(4)你能证明这些结论吗？3．例题讲解：例一．求下列各式的值：)6432(log )1(2⨯ 51l o g 5l o g )2(33+ 3log 2log )3(66+ )44(l o g )4(2+10010lg )5( 100lg 100000lg )6( 2lg 20lg )7(-例二．已知a =2lg ，b =3lg ，试用a,b 表示下列各数：（1）12lg ；（2）1627lg思考题．求值：25lg 50lg 2lg 2lg 2+⋅+）（。

4.小结:本节课我们主要学习了什么内容？1．运算法则的内容2．运算法则的推导与证明3．运算法则的使用反思：本堂课的设计思路，旨在让学生经历从猜想到证明的过程，体会数学发现的过程与乐趣。

一轮总复习·数学（理）
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞

B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。

定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。

换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。

拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

“兴趣是最好的老师”。

做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。

但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。

有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。

如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。

建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。

首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。

因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。

其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。

要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。

即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。

高中数学对数运算教案
目标：学会对数的基本运算，能够灵活运用对数定律解决实际问题。

一、概念复习：
1. 对数和指数的基本概念；
2. 对数的性质：对数的乘法和除法定律、指数函数的性质；
3. 对数运算的基本步骤。

二、对数的基本运算：
1. 对数的加法和减法：
a. 对数的加法：log(a) + log(b) = log(ab)
b. 对数的减法：log(a) - log(b) = log(a/b)
2. 对数的乘法和除法：
a. 对数的乘法：log(a) * b = b * log(a)
b. 对数的除法：log(a) / b = log(a^1/b)
三、对数运算的应用：
1. 解决实际问题时，如何利用对数化简复杂的计算；
2. 使用对数定律简化计算过程，提高计算效率；
3. 练习题目训练学生对对数定律的熟练掌握和灵活运用。

四、实例演练：
1. 计算 log(2) + log(5) 的值；
2. 计算 log(8) - log(2) 的值；
3. 计算 log(3) * 4 的值；
4. 计算 log(64) / 3 的值。

五、课堂小结：
1. 总结对数的基本运算和定律；
2. 总结对数运算的实际应用；
3. 激励学生继续深入学习数学知识，提高数学运算能力。

六、作业布置：
1. 完成课堂练习题目；
2. 自主学习对数运算的相关知识，准确掌握对数的基本运算和应用。

以上是一份高中数学对数运算教案范本，希望对您有所帮助。

祝教学顺利！。

对数与对数函数[课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N；＝03log a M－log a N；(2)log a MN(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1，0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05.反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1log b a(a，b均大于0且不等于1)；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d；(4)log am b n＝nmlog a b.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设a log34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D.16答案B解析由a log 34＝2可得log 34a ＝2，所以4a ＝9，所以4－a ＝19.故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c答案C解析a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C.3．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________．答案(－1，－2)解析由log a 1＝0(a >0，且a ≠1)知，f (－1)＝log a (－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f (x )的图象必过定点(－1，－2)．4．(人教B 必修第二册4.2.2练习B T 3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．答案1解析原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.5．(人教A 必修第一册习题4.4T 1(2)改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．答案1解析由log 23(2x －1)≥0得log 23(2x －1)≥log 231，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1.故函数y ＝log 23（2x－1）的定义域为1.例1(1)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427×log 258×log 95＝89C ．lg 2＋lg 50＝10D ．log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－54答案D解析对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15(102×0.25)＝log 1552＝－2，A 错误；对于B ，log 427×log 258×log 95＝lg 33lg 22×lg 23lg 52×lg 5lg 32＝3×32×2×2＝98，B 错误；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C 错误；对于D ，log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－1＝－54，D 正确．(2)(2024·银川模拟)设函数f (x )＋log 2（2－x ）（x ≤1），x －1（x >1），则f (1)＋f (log 26)＝()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析因为log 26>1，所以f (1)＋f (log 26)＝1＋log 2(2－1)＋2log 26－1＝1＋0＋2log 23＝1＋3＝4.故选A.(3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a ＝lg 2，b ＝lg 3，则()A ．102a ＋b ＝7B ．2a ＋b ＝lg 12C.1a ＋2b＝log 1810D ．log 365＝1－a 2a ＋2b答案BCD解析因为a ＝lg 2，b ＝lg 3，所以10a ＝2，10b ＝3，所以102a ＋b ＝(10a )2×10b＝4×3＝12，A 错误；2a ＋b ＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B 正确；1a ＋2b ＝1lg 2＋2lg 3＝1lg 18＝log 1810，C 正确；log 365＝lg 5lg (4×9)＝lg 52lg 2＋2lg 3＝1－a 2a ＋2b，D 正确．故选BCD.对数运算的策略1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“log”“(”“a ”“，”“b ”“)”6个键．某同学使用该计算器计算log a b (a >1，b >1)时，误将“log”“(”“b ”“，”“a ”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的49，则()A ．2a ＝3bB ．a 3b 2＝1C ．a 2＝b 3D ．a 3＝b 2答案D解析由题意可知log b a ＝49log a b ，∴(log b a )2＝49，又a >1，b >1，∴log b a >0，log b a ＝23，∴a ＝b 23，即a 3＝b 2.故选D.2．(2024·广东重点中学联考)已知4a ＝3b ＝6，则2a ＋bab＝________．答案2解析由题意可得a ＝log 46，b ＝log 36，则1a ＝log 64，1b ＝log 63，故2a ＋b ab＝1a ＋2b＝log 64＋2log 63＝log 64＋log 69＝log 636＝2.例2(1)(2024·潍坊模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是()答案A解析由于f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝k －1－1＝0，k ＝2，因为f (x )＝a x －1a x 为减函数，所以0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)，x >－2，g (x )为(－2，＋∞)上的减函数，g (－1)＝0，排除B ，C ，D ，故选A.(2)若方程4x ＝log a x ，12内有解，则实数a 的取值范围为________．答案，22解析构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，，12上有交点即可，则即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a ，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．1.函数f(x)＝log a|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()答案A解析由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则() A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3.多角度探究突破角度比较对数值的大小，b＝log25，c＝log35，则()例3(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2log312A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．a<c<b答案D解析因为log31<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝2log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D.(2)(多选)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2，则下列关系中可能成立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案BCD解析由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．(3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg p，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是p0实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2答案ACD解析解法一：由题意可知，L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，L p 3＝40，对于A ，L p 1－L p 2＝20×lgp 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lg p 1p 2≥0，所以p1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于B ，L p 2－L p 3＝20×lgp 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lg p 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥10且p 2，p 3>0，可得p 2≥10p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为L p 3＝20×lgp 3p 0＝40，即lg p3p 0＝2，可得p3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于D ，由选项A 可知，L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p1p 2≤100且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.解法二：因为L p ＝20×lgpp 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg pp 0，得p ＝p 010Lp20，因为L p 3＝40，所以p 3＝p 0104020＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010L p 220＞10p 010L p 320，所以10L p 220－L p 320＞10，所以L p 2－L p 3＞20，该式不可能成立，故B 错误；因为100p 2p 1＝100p 010L p 220p 010L p 120＝10L p 220－L p 120+2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.比较对数值大小的方法1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则下列关系式中，正确的是()A ．a >bB ．a >cC ．c >aD ．a ＋b ＝2答案AC解析a ＝log 2e>log 22＝1，即a >1，b ＝ln 2<ln e ＝1，即b <1，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a >b ，a ＋b ＝log 2e ＋ln 2＝1ln 2＋ln 2，由基本不等式知D 错误．故选AC.2．(多选)对于0<a <1，下列四个不等式中成立的是()A ．log a (1＋a )<logB ．log a(1＋a )>logC ．a 1＋a<a1＋1aD ．a1＋a>a1＋1a答案BD解析∵0<a <1，∴a <1a ，从而1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>loga 1＋a >a1＋1a.故选BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝2ln4，b＝ln3ln2，c＝32，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝2ln4－32＝2－3ln22ln2＝ln e2－ln82ln2<0，∴a＜c；∵b－c＝ln3ln2－32＝2ln3－3ln22ln2＝ln9－ln82ln2＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D.角度解简单的对数不等式例4(1)设函数f(x)2x，x>0，12（－x），x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析>0，2a>log12a<0，12(－a)>log2（－a），解得a>1或－1<a<0.故选C.(2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为()A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，6)D．(2，8)答案D解析由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x <8，所以不等式f (log 2x )>f (1)的解集为(2，8)．对数不等式的类型及其解法1.(2024·昆明五华区质检)函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为()C ．(1，＋∞)(1，＋∞)答案A解析0.5（4x －3）>0，x －3>0，解得34<x <1，所以原函数的定义域为故选A.2．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是________．答案解析由题意得a >0，且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a 角度对数函数性质的综合应用例5(1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案解析当a>1时，f(x)＝log a(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－2a)>1，解得1<a<83；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a(2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．答案39解析函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)≤x≤16，≤x2≤16，解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x ＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．当log2x＝2时，g(x)max ＝39.解对数函数综合问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D.2．(多选)已知函数f(x)＝ln 2x＋12x－1，则下列说法正确的是()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )D ．f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD 解析f (x )＝ln2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1＞0，解得x ＞12或x ＜－12，∴f (x )的定义域为∞又f (－x )＝ln －2x ＋1－2x －1＝ln 2x －12x ＋1＝ln 1＝－ln 2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故A 正确，B 错误；又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln令t ＝1＋22x －1，t ＞0且t ≠1，∴y ＝ln t ，又t ＝1＋22x －1在上单调递减，且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )C 正确；f (x )的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D 正确．3．(2023·十堰模拟)已知函数f (x )＝|ln x －a |＋a (a >0)在[1，e 2]上的最小值为1，则a 的值为________．答案1解析由题意得ln x ∈[0，2]，当a ≥2时，f (x )＝2a －ln x 在[1，e 2]上单调递减，∴f (x )的最小值为f (e 2)＝2a －2＝1，a ＝32<2，不符合题意；当0<a <2时，f (x )a －ln x ，x ∈[1，e a ），x ，x ∈[e a ，e 2]，f (x )在[1，e a ]上单调递减，在[e a ，e 2]上单调递增，∴f (x )的最小值为f (e a )＝a ＝1，符合题意，故a ＝1.课时作业一、单项选择题1．已知x ，y 为正实数，则()A ．lg (x 2y )＝(lg x )2＋lg yB ．lg (x y )＝lg x ＋12lg yC ．e ln x ＋ln y ＝x ＋yD ．e ln x －ln y ＝xy答案B解析x ，y 为正实数，lg (x 2y )＝lg x 2＋lg y ＝2lg x ＋lg y ，故A 错误；lg (x y )＝lg x ＋lg y ＝lg x ＋12lg y ，故B 正确；e ln x ＋ln y ＝e ln x ·e ln y ＝xy ，故C ，D 错误．故选B.2．(2022·浙江高考)已知2a ＝5，log 83＝b ，则4a －3b ＝()A ．25B ．5C.259D.53答案C解析因为2a＝5，b ＝log 83＝13log 23，即23b ＝3，所以4a －3b＝4a 43b ＝（2a ）2（23b ）2＝5232＝259.故选C.3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N 可以表示成N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，这样我们可以知道N 的位数．已知正整数M 31是35位数，则M 的值为()N 23451112131415lg N 0.300.480.600.701.04 1.081.111.151.18C ．13D ．14答案C解析因为N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，所以1034≤M 31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M <35，于是3431≤lg M <3531，即1.09<lg M <1.13，所以M ＝13.故选C.4．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是()(1，＋∞)(1，＋∞)答案D解析因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a (1，＋∞)．故选D.5.已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由题图易得a >1，∴0<a －1<1.取特殊点x ＝0⇒－1<y ＝log a b <0⇒－1＝log a 1a<log a b <log a 1＝0，∴0<a －1<b <1.故选A.6．(2023·宜宾模拟)若函数f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，则a 的取值范围是()A ．[－e 3，0) B.－e 3C.－e 3，－1e e 3答案C解析当0≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋2x ∈[－3，1]，当a ≤x ＜0时，f (x )＝－ln (－x )≥－ln (－a )，因为f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a )≤1，故－1≤ln (－a )≤3，解得－e 3≤a ≤－1e.故选C.7．(2023·铜陵三模)已知a ＝log 75，b ＝log 97，c ＝log 119，则()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案A解析因为log 75－log 97＝lg 5lg 7－lg 7lg 9＝lg 5·lg 9－（lg 7）2lg 7·lg 9，又因为lg 5·lg 9＝(lg 7)2，所以log 75－log 97<0，即a <b ；因为log 97－log 119＝lg 7lg 9－lg 9lg 11＝lg 7·lg 11－（lg 9）2lg 11·lg 9，又因为lg 7·lg 11＝＝(lg 9)2，所以log 97－log 119<0，即b <c ，所以a <b <c .故选A.8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x >0，y >0，a ≥1，若a ＋log 2x ＝log 8y 3＋2－x ，则()A ．ln |1＋x －3y |<0B ．ln |1＋x －3y |≤0C ．ln (1＋3y －x )>0D ．ln (1＋3y －x )>1答案C解析由题意可知，a y ＋log 2x ＝log 2y ，∴log 2x ＝log 2y －a y <log 2(3y )－a y ≤log 2(3y )y ，令f (x )＝log 2x ，则f (x )<f (3y )，易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (3y )，得x <3y ，∴3y －x >0，∴1＋3y －x >1，∴ln (1＋3y －x )>ln 1＝0.故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知2x ＝3，y ＝2log 32，则()A ．x <32B ．xy ＝2C ．x >yD.1x ＋1y>2解析由2x＝3，可得x＝log23>log28＝12log28＝32，所以A不正确；因为y＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·2log23＝2，所以B正确；因为y＝2log32＝log34<log327＝32，所以x>y，所以C正确；1x＋1y＝1log23＋12log32＝log32＋12log32≥2log32·12log32＝2，因为log32≠12log32，所以等号不成立，所以1x＋1y>2，所以D正确．故选BCD.10．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的是()A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D．函数f(x)有且仅有两个零点答案ABD解析函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)解析根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log252>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝logt＝12x＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.三、填空题12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln |a＋11－x|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－12ln2解析因为函数f(x)＝ln |a＋11－x|＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋11－x≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以a＋1a＝－1，解得a＝－12，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝ln |－12＋11－x|＋ln2＝ln|1＋x1－x|，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(－3，3)(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－3<a<3.设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－3或a≥ 3.14．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________．答案433log 23解析设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即，16log 233，12log 2，12log 233，32log 2∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )·BC ＝12×23＋log 223＝433log 23.四、解答题15．(2024·镇江模拟)已知函数f (x )＝9x－28×3x ＋1＋243，g (x )＝log 2x 28·log 2x2.(1)设集合A ＝{x ∈R |f (x )≤0}，求集合A ；(2)当x ∈A 时，求g (x )的最大值和最小值．解(1)由f (x )＝9x －28×3x ＋1＋243≤0，得(3x )2－84×3x ＋243≤0，即(3x －3)(3x －81)≤0，则3≤3x ≤81，解得1≤x ≤4，∴A ＝{x |1≤x ≤4}．(2)g (x )＝log 2x 28·log 2x2＝(2log2x－2x－＝(log2x)2－72log2x＋32x－1 16.∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴当log2x＝0时，g(x)max＝3；当log2x＝74时，g(x)min＝－116.故g(x)的最大值为3，最小值为－116.16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为m2，n2，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．解∵函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a>1时，z＝a x＋t2在R上单调递增，y＝log a z在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，∴方程log a(a x＋t2)＝12x有两个不同的根，∴a x ＋t2＝，即a x－＋t2＝0，令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t －12，21。

对数函数笔记整理最近在学习数学中的对数函数，这可真是让我费了不少心思。

不过，在整理笔记的过程中，倒是发生了不少有趣的事儿。

一开始接触对数函数的时候，我整个人都是懵的。

那些奇怪的符号和复杂的公式，就像是一道道谜题摆在我面前。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

没办法，为了搞清楚这玩意儿，我决定好好整理一下笔记。

我找了一个安静的下午，坐在书桌前，摊开课本和笔记本，准备大干一场。

先从最基础的概念开始，对数函数的定义：如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN。

这定义看起来简单，可要真正理解透彻可不容易。

我一边写一边在心里默默念叨：“这到底是个啥呀？”然后我就开始给自己举例子，比如说 2 的 3 次方等于 8，那么以 2 为底 8 的对数就是3，记作 log₂8 = 3。

这么一想，好像稍微有点明白了。

接下来是对数函数的图像和性质。

这部分可把我难住了，那图像弯弯扭扭的，一会儿上升一会儿下降，真让人头疼。

我就拿着笔，在纸上一遍又一遍地画，嘴里还嘟囔着：“这图像咋就这么不听话呢？”画了好几遍，总算是有点像样了。

我发现当底数 a 大于 1 时，对数函数是单调递增的；当底数 a 大于0 小于 1 时，对数函数是单调递减的。

为了记住这个，我还特意在笔记旁边画了两个小笑脸，一个笑着往上爬，代表递增；一个哭着往下滑，代表递减。

然后是对数函数的运算性质，这更是让我手忙脚乱。

什么logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN，logₐMⁿ = nlogₐM 。

我一边写一边想：“这都什么跟什么呀，怎么这么多公式！”不过抱怨归抱怨，该记还得记。

我在整理这些运算性质的时候，还出了个小岔子。

我把一个公式写错了，结果后面做题的时候怎么都算不对，急得我抓耳挠腮。

最后仔细一检查，才发现是笔记记错了，哎呀，真是自己给自己找麻烦。