第二章 违背经典假设的线性回归模型及估计在经典基本假设下，应用普通最小二乘法可以得到无偏的、有效的参数估计量。
但是，在实际应用中，完全满足这些基本假设的情况并不多见，如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，就需要发展新的方法估计模型。
这里主要讨论异方差、自相关、多重共线性和随机变量四种情况。
一、异方差异方差是指模型违背了经典假设（1）中的同方差。
回顾经典假设（1），随机误差项的方差阵是一个对角矩阵22101()(')01n n Var E I σσ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥E =EE ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （49） 式（49）表示随机误差向量E 的方差协方差矩阵。
当矩阵的主对角线上的元素相等时，即具有同方差；当非对角线上的元素均为零时，即具有无自相关。
当这些假设不成立时，式（49）中的矩阵不再是纯量对角矩阵。
111212122222212()(')n n n n nn n n Var E I ωωωωωωσσσωωω⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥E =EE =Ω=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （50） 当误差向量E 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量E 中的元素t ε取自不同的分布总体；若方差协方差矩阵非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
本节主要讨论异方差问题，仍假设模型服从其他经典基本假设，误差项之间不相关，即方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等，而非主对角线上的元素仍都为零。
即11222220()(')0nn n n Var E I ωωσσσω⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥E =EE =Ω=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （51） 1、异方差的表现和来源（1）异方差的表现异方差通常有三种表现形式：（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。
（画图）（2）异方差的来源在计量经济学研究中，产生异方差的原因主要有以下几种：1）模型中遗漏某些解释变量；2）模型形式设定不当；3）样本数据的测量误差；4）随机因素的影响。
在计量经济学的实际研究当中，异方差问题是一种普遍现象。
当模型存在异方差问题时，对模型的参数估计、显著性检验和预测等均会产生不利后果。
2、异方差的后果（1）参数估计非有效回顾第一章第三节估计量性质中有关参数估计量线性性、无偏性和有效性的证明（（13）、（14）和（15）），异方差对线性性和无偏性的证明均无影响，即即便误差不具有同方差，参数估计量仍然具有线性性和无偏性；但是，有效性的证明利用了误差同方差性，则当误差存在异方差时，误差向量的方差为^^^^^^^111121121()(())(())'()()'((')''('))(')'(')(')'(')'(')'(')Var E E E E E X X X X X X X X X E X X X X X X X X X X X σσ-------B =B-B B-B =B-B B-B =EE =EE =Ω≠ （52）在式（52）中，误差向量的方差在所有无偏估计量中方差不是最小的，即参数估计量是非有效的。
（2）显著检验失效在第一章第四节的显著性检验中，t 统计量中包含有随机误差项共同的方差2σ，且在实际计算中用其估计量^2σ代替，则并且有统计量服从自由度为（1n k --）的t 分布。
当出现异方差，即2t σ表示n 个不同的值。
此时需要n 个不同的2t σ分别进行估计，这在一组样本观测值中是难以实现的。
如果仍然采用样本标准误差()s 进行检验，则统计量将会产生偏差，则对t 检验就失去意义。
同样地，F 检验也失效。
（3）预测失效回顾第一章第五节的讨论，预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差2σ，同样在实际计算中仍以^2σ代替。
由于参数估计非有效，即参数估计值与真实值的差异增大，模型不具有良好的统计性质。
利用这样的估计模型进行预测将会降低预测精度，造成预测功能失效。
3、异方差的检验（1）图示法：（附图？）相关图分析残差分析（2）Goldfeld-Quandt 检验Goldfeld-Quandt 检验法是由S.M.Goldfeld 和R.E.Quandt 在1956年提出来的。
该检验的基本思想是：将样本分为容量相等的两部分（样本1和样本2），然后对样本1和样本2进行回归，并分别计算两个子样本的残差平方和，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样本的残差平方和应该大致相等；如果存在异方差，则两者会存在较大的差别。
Goldfeld-Quandt 检验法对样本容量要求较大，一般不得少于参数个数的两倍，且随机误差项仅违背同方差假设，其他基本假设均不违背。
检验步骤：1）将样本观测值按解释变量的大小按升序排列；2）将顺序排列后的样本的中间约1/4的观察值剔除（该部份记为c ），将余下的样本平均分为两部分，即每部分的样本量为()/2n c -；3）提出检验假设原假设0H ：t ε具有同方差；备择假设1H ：t ε存在递增异方差。
4）构造检验统计量－F 统计量首先对两个子样本分别进行回归，分别计算得到两部分的残差1SSE 和2SSE ，它们的自由度均为()/21n c k ---。
其次，构造如下检验统计量2211/[()/21](()/21,()/21)/[()/21]SSE n c k SSE F F n c k n c k SSE n c k SSE ---==--------- 5）判别 给定显著性水平α，若()/21,()/21)F F n c k n c k α≤------，则接受原假设0H ，即随机误差不存在异方差性；若(()/21,()/21)F F n c k n c k α>------，则拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，表明第二个子样本的随机误差项方差显著地大于第一个子样本的随机误差项方差，即随机误差项存在递增异方差性。
Goldfeld-Quandt 检验法的特点：1）该方法要求将样本观测值按解释变量的大小按升序排列；2）该方法仅适用于递增型异方差；3）对样本容量要求较大，一般不得少于参数个数的两倍；4）要求随机误差项仅违背同方差假设，其他基本假设均不违背。
（3）Glejser 检验和Park 检验Glejser 检验和Park 检验方法是由Glejser 和Park 在1969年提出来的。
该检验的基本思想是：通过建立残差序列对解释变量的回归模型，判断随机误差项的方差与解释变量之间是否存在着较强的相关关系，即是检验残差的绝对值 t e （Glejser 检验）或残差平方2t e （Park 检验）是否与解释变量t x 存在函数关系，若存在某种显著的函数关系，则表明异方差性的存在；若不存在，则表明异方差性不存在。
检验步骤：1）利用普通最小二乘法对样本观测值进行回归，估计模型参数并求得残差t e ；2）分别建立残差的绝对值 t e （Glejser 检验）或残差平方2t e （Park 检验）对每个解释变量的回归方程；3）检验各回归模型参数的显著性；4）判别：若残差序列与解释变量的回归模型参数显著地不为零，则表明存在异方差；反之，若模型参数显著地为零，则随机误差项满足同方差性。
检验通常假设的几种函数形式：1）Glejser 提出的假设函数形式 01h t t t e x ααμ=++ （1,2,1/2,h =±±± ）2）Park 提出的假设函数形式120t t t e x e μαα=或 201t t t e x ααμ=++Glejser 检验的特点：1）既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差；2）当存在异方差时，能够发现了异方差的具体表现形式；3）对样本容量要求也较大，且计算量相对较大；4）当原模型为多元回归模型时，可以把t e 或2t e 拟合成多变量回归形式。
（4）White 检验White 检验法是由H. White 在1980年提出来的。
前述的Goldfeld-Quandt 检验要求先把数据按解释变量的值从小到大进行排序，且随机误差项除违背同方差性外，仍然必须服从其他基本假设，包括正态性假设；Glejser 检验通常要试拟合多种形式的回归模型，而对回归模型形式的准备把握要求具备关于异方差的一定的先验知识。
而White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，不需要任何关于异方差的先验知识，它是通过构造一个辅助回归模型的方式来对异方差性进行检验。
同样地，White 检验法也对样本容量要求较大。
检验步骤：以如下的二元线性回归模型为例01122t t t t y x x βββε=+++ （1,2,,t n = ） （53）1）对二元线性回归模型（53）进行OLS 回归，求得残差t e ；2）构造如下辅助回归模型222011223142512t t t t t t t t e x x x x x x ααααααμ=++++++ （1,2,,t n = ）（54） 求出辅助回归模型（54）的未调整可决系数2W R 。
3）提出检验假设原假设0H ：123450ααααα=====，即模型(53)中的t ε不存在异方差；备择假设1H ：i α（1,2,,5i = ）不全为零，即模型(53)中的t ε存在异方差。
4）构造检验统计量在原假设下，即t ε不存在异方差时统计量 22(5)W nR χ其中自由度5表示辅助回归模型（54）中解释变量个数（不包括常数项）。
5）判别给定显著性水平α，若22(5)W nR αχ≤，则接受原假设0H ，即t ε不存在异方差；若22(5)W nR αχ>，则拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，即t ε存在异方差。
（5）ARCH LM 检验Engle 在1982年针对时间序列回归模型中的残差序列是否存在自回归条件异方差（AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity ，ARCH ）效应，提出了拉格朗日乘数检验（lagrange Multiplier test ），即ARCH LM 检验。
即如果样本数据为时间序列数据，当存在异方差时，可采用ARCH 检验方法进行检验。
该检验方法把原回归模型中随机误差项的二阶矩2t ε看作其滞后项2212,,t t εε-- 的函数。
检验步骤：1）对原模型作最小二乘估计，计算残差t e 和2212,,t t e e --2）定义p 阶辅助回归模型 222201122t t t p t p t e e e e ααααμ---=+++++ （1,2,,t p p n =++ ） （55）估计辅助回归模型（55），计算未调整可决系数2A R 。
