9个求积公式

微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。

可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。

可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。

2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。

可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。

它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。

4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。

可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。

5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。

6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。

求和公式和求积公式求和公式：1.等差数列求和公式：等差数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的差都是相等的。

例如，1，3，5，7，9是一个等差数列，差为2、等差数列求和公式可以表示为：S=(n/2)×(a+l)，其中S是等差数列的和，n是等差数列中的数字个数，a是等差数列的首项，l是等差数列的末项。

2.等比数列求和公式：等比数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的比例都是相等的。

例如，1，2，4，8，16是一个等比数列，比例为2、等比数列求和公式可以表示为：S=(a×(1-r^n))/(1-r)，其中S是等比数列的和，a是等比数列的首项，r是等比数列的公比，n是等比数列的项数。

3.平方和公式：平方和公式是指连续整数平方的和。

平方和公式可以表示为：S=(n×(n+1)×(2n+1))/6，其中S是连续整数平方的和，n是最后一个整数。

4.立方和公式：立方和公式是指连续整数立方的和。

立方和公式可以表示为：S=(n^2×(n+1)^2)/4，其中S是连续整数立方的和，n是最后一个整数。

求积公式：1.阶乘公式：阶乘是指从1到一些正整数的所有整数的乘积。

阶乘的公式表示为：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1，其中n是正整数。

2.乘方公式：乘方是指将一个数自乘若干次。

乘方的公式表示为：a^n=a×a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。

3.组合公式：组合是指从n个物品中取出r个物品的方式数，不考虑顺序。

组合的公式表示为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C是组合数，n是总物品数，r是取出的物品数。

4.乘法原理：乘法原理用于计算多个事件同时发生的总次数。

乘法原理的公式表示为：总次数=事件1发生的次数×事件2发生的次数×...×事件n发生的次数。

16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。

下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。

一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。

这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。

2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。

3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。

4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。

5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。

二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。

计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。

2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。

计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。

三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。

2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。

3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。

4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。

5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。

6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。

7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。

8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。

求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。

9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。

1.y=c（c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^（n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y’=e^x4。

y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6。

y=cosx y'=—sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=—1/sin^2x9.y=arcsinx y’=1/√1—x^2 10。

y=arccosx y’=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^212。

y=arccotx y'=—1/1+x^2（1)（2)（3)(4）(5）（6）(7）（8)(9)(10）(11）对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分,等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与。

当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4)、（5）为指数函数的积分,积分后仍是指数函数，因为，故（，)式右边的是在分母，不在分子，应记清。

当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量。

要加以区别，不要混淆。

它们的不定积分所采用的公式不同。

公式（6）、（7）、（8)、(9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式。

公式(10)是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分。

分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式。

解:（为任意常数）例2 求不定积分。

分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于,所以（为任意常数）例3 求不定积分。

常用微积分公式基本枳分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响枳分的能力，应熟记一些常用的积分公式.因为求不左积分是求导数的逆运算，所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。

严;Y=C（C为常数）|'产必=_1_疋+1 十£ (Q M _1)J Q十10仏二丄护十f (o >0,dl)J Inasin xdx = 一cos x^c(9)---- ax= arc sm x ■+• c(10)」Jl - F=-arccos x + cA dx--- T = arcigx十c(11) J1 十x=-arcctgx + c对这些公式应正确熟记•可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数J公式（2）、（3）为幕函数卩=於的积分，应分为。

工一1与O = T.当0工一1时，J Q十1 ,积分后的函数仍是泵函数，而且幕次升髙一次.特别当"0时，有严宀严毎宀当0 = —1 时，J ]x 1 1公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为3）'=小加化故必冷十& （Q>0, 2 H1）式右边的加Q是在分母，不在分子，应记淸.y = QV是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数；指数函数是底为常数，幕为变量•要加以区别，不要混淆•它们的不立积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的枳分arcsin x +e = -arccosx + cT dx = arctgx + c = -arcctgx 十 c 1 十/ " "下而结合恒等变化及不立积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求 不泄积分.例1求不酬分严一徭分析：该不左积分应利用幕函数的积分公式.解:2 2 |=X5 （ °为任意常数）例2求不左积分打十x分析：先利用恒等变换'”加一减一S 将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.丄,一 W 十丄解：由于1十/ 1十X 1十X ,所以訂宀“去冲叮念 W 占心=—一卄 arcigx + 亡3 （ °为任意常数）2 2例3求不泄积分W 存畑dx17P =『2曲-卩％2 2分析：将 仏按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式.解：畑=问4 22 4-3门存+3/存-，)么（C 为任意常数） fees 2 —dx例4求不上枳分」 2分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.A 2 A , *1 + COS X ,I cos —ax = --------- d x解：J 2 J 2（c 为任意常数） 例5求不定积分阿妙分析：基本积分公式表中只有代T …纠七2但我们知道有三角恒等式：sec x=^ " + 1竿 pg 2 xdx = J(sec 2 x - =pec 2 =zg X -x + c=/怦一护j 存必十3" 十 3 T -5 X 2 -3 a 9 - 7 十 5 -3 X 4 -3 Q 9 - 5百度文库•让每个人平等地捉升口我（。