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12
12
12
又由
I Tn
h3 12
n1 k 0
f
(k )
I Tn
h2
1 n1 12 k 0
f (k )h
1 n1 12 k 0
f (k )xk
1
b
f (x)dx
1
[ f (b)
f (a)]
12 a
12
因此当n足够大时,复合梯形公式的余项为
h n
0
I Tn
h2 [ f (b) f (a)] 1 h2[ f (b) f (a)]
0.94608331
C2
1 [7 180
f
(0)
1
[32
k 0
f
(
x
k
1
4
)
12
f
(
x
k
2
4
)
32
f
(
x
k
3
4
)]
1
14
k 1
f
( xk )
7
f
(1)]
0.94608307
9
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
12
12
13
2. 若被积函数 f (x) C 4[a,b]
则n足够大时 ,复合Simpson公式的余项为
I Sn
n1 k 0
h5 180
24
f (4)(k )
ba 180
h 2
4
f
( 4 ) ( )
h4 180
2
4
[
f
(b)
f (a)]
1 180
h 2
4[
f
(b)
f (a)]
Ci(1) f ( xk i )
k0 i0
n1
h
k 0
1 2
[
f
(
xk
)
f ( xk 1 )]
复合梯形公式
ba[ 2n
f
(a)
n1
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
l 2时,可得复合Simpson求积公式
b a
f
(
x)dx
Sn
n1
h
k 0
2 i0
C(2) i
f
(
x k
i 2
)
4
b
a f ( x)dx Sn
t1
a
h
x 0
1
,
2
t 0
1
2
a
h 2
,t 1
1 2
a
3h , 2
s1 s1 s2(1) s2(2)
I h [s0 2s1 4s2(2)] 6
22
n n n,k k 1,
n 4,k 3,h (b a)/n, s0 f (a) f (b)
y1
t 0
1
,
y2
t1 ,
y3
)
f
(
x
k
i l
)
l
h
i0
Ci(l
)
f
(x k
i l
)
由积分的区间可加性,可得
b
a f (x)dx
复合求积公式
n1
xk1 f ( x)dx
k 0 xk
n1
I
( l
k
)
k 0
n1 l
h
k 0
i0
Ci(l )
f
(
x
k
i
l
)
In
3
l 1时,可得复合梯形求积公式
b
n1 1
a f (x)dx Tn h
为此介绍收敛阶的概念
15
定义1. 对于复合求积公式
I
若存在
n
p
0及c
0, 使其余项
I
I
满足
n
lim
h0
I In hp
c
则称复合求积公式 In是p阶收敛的
显然, p阶收敛的概念也等价于
I In (hp )
不难知道,复合梯形、Simpson、Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶
16
通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可
I T2n
h12 [ f (b) f (a)] 12
1 ( h )2[ f (b) f (a)] 12 2
因此有 即
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
因此T2
作为
n
I的近似值的截断误差约
为
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
有时也去掉 精度会更高
以上这种方法称为自适应求积法
20
以复合Simpson求积公式的特点为例
Sn
ba[ 6n
f
(a)
n1
4
k 0
f
(
x
k
1
2
)
n1
2
k 1
f
( xk
)
f (b)]
具有以下特点:
s0
f (a) f (b)的系数总是 1
s1
f (xk )的和的系数总是 2
旧节点 步
长
s2
f
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
1
一、复合求积公式
将定积分 b f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n
h ba n
在子区间[xk , xk1 ](k 0,1, , n 1)上使用Newton Cotes公式
将[
xk
,
xk
1
]分割为l等份,
步长为h l
,
节点为
xk ,
xk
h l
,
xk
2h l
,
,
xk
lh l
xk 1
记为
xk ,
x
k
1
,
x
k
2
,
,
x
k
l
xk 1
l
l
l
2
在[xk , xk 1 ]上作f (x)的l阶Newton Cotes求积公式
xk1 xk
f (x)dx Il(k) (xk 1
l
xk
)
i0
Ci(l
b
I a f (x)dx
(一) 算法名称
autosimpson( fun,a,b, EPS )
(二) 存储方式
24
a 存积分下限 a b 存积分上限 b
y1 存函数值 f (a) y2 存函数值 f (b)
n1 k 0
f
(k )
由于
min { f (x)} n1 f (k ) max f (x)
a xb
k0 n
a xb
由介值定理 , [a,b], 使得
n1 f (k ) f ()
k0 n
即有
I Tn
nh3 n1 f (k )
12 k 0 n
nh3 f () (b a) h2 f ()
18
依此类推
S2
作为
n
I的近似值的截断误差约
为
I
S2n
1 15
(
S2
n
Sn )
C2n作为I的近似值的截断误差约 为
I
C2 n
1 63
(C2
n
Cn )
因此对一般的复合积分
I
有
n
I
I2n
1 pn )
若预先给定的误差限为 只要I2n In p
就有I I2n
I
2
即为满足要求的
n
I的近似值
[ xn1 , xn ] T (n1) h 2
[ f (xn1 ) f (b)]
Tn
h 2
[ f (a)
2 f (x1 )
2 f (x2 )
2 f (xn1 )
f (b)]
6
S b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)]
6
2
[ x0 , x1 ]
S(0)
h 6
复合求积 公式的程序
newtoncotes.m
函数程序
func.m
8
分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有
T8
1[ 16
f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f (1)]
0.94569086
S4
1 [ f (0) 4 3
24
k 0
3
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f (xk )
f (1)]
3. 若f (x) C 6[a,b],同样可得复合 Cotes公式的余项
I Cn
n1 k 0
2h7 945 46
f (6)(k )
2(b a) 945
h 4
6
f
( 6 ) ( )
2h6 945 46
[
f
(5)(b)
f
(5)(a)]
2 945
h 4
6
[
f
(
5)
(b)
