变量与函数1

变量与函数（知识讲解）【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.【典型例题】类型一、变量与函数例1、下列是关于变量x 与y 的八个关系式：① y = x ；② y 2 = x ；③ 2x 2 − y = 0；④ 2x − y 2 = 0；⑤ y = x 3 ；⑥ y =∣x ∣；⑦ x = ∣y ∣；⑧ x =2y ．其中y 不是x 的函数的有_____．（填序号）【变式】下列：①2y x ；②21y x =+；③22(0)y x x =≥；④0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是______．类型二、函数解析式的取值范围 例2、求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）2321y x x =--； （2）2131x y x -=+；（3）y =（4）y =.举一反三：【变式】等腰三角形的周长为10，底边长y 与腰x 的函数关系式是102y x =-，则自变量x 的取值范围是________．类型三、函数解析式例3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙（住房墙的长度大于BC ），另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在CD 边上留一个1m 宽的门．若设AB 为()y m ，BC 为()x m ，则y 与x 之间的函数关系式为______．【变式】如图，ABC 中，90BAC ∠=，4BC =，BD 是ABC 的角平分线，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E .若设AB x =，CE y =，则y 关于x 的函数解析式为___________.类型四、函数值例4、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝时，y 的值为（ ）A ．5B ．10C ．4D ．－413课后练习1．下列式子：①y=3x ﹣5；②y=1x ；③y 2=x ；⑤y=|x|，其中y 是x 的函数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．下列说法中，正确的是（ ）A ．对于两个变量x ，y ，若y x =，则y 是x 的函数B ．对于两个变量x ，y ，若22016x y +=，则y 是x 的函数C ．对于两个变量x ，y ，若2y x =，则y 是x 的函数D ．对于两个变量x ，y ，若22y x =，则y 是x 的函数3．函数y =的自变量的取值范围是（ ） A ．0x B ．0x > C ．0x ≠ D ．0x =4．下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图象中，表示y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉. 当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点……. 用 s 1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ）A ．B ．C ．D ．。

变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。

其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。

一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。

在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。

变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。

在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。

变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。

二、函数函数是数学中另一个重要的概念。

函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。

函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。

函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。

函数在数学中有着广泛的应用。

它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。

通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。

函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。

因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。

三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。

在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。

变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。

因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。

在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。

通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。

例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。

数学中的变量与函数关系数学中的变量与函数关系是一项基础而重要的概念。

变量和函数是数学中常见的概念，它们用于描述事物之间的关系以及数值的变化规律。

在本文中，将详细探讨数学中的变量与函数关系的基本概念、性质和应用。

一、变量变量是数学中用来表示不确定或可变值的符号。

通常用字母表示，比如x、y或者其他字母。

变量可以代表不同的数值，并且可以随着问题的不同而改变。

例如，当我们要描述一辆汽车的速度时，可以用v表示变量，因为不同的汽车会有不同的速度。

变量可以分为独立变量和因变量。

独立变量是研究中独立选择或设定的变量，它不依赖于其他变量。

而因变量是依赖于其他变量的变量，它的值根据独立变量的取值而改变。

例如，在研究中，以一个人的年龄为独立变量，体重为因变量，我们可以观察到随着年龄的增加，体重也会有相应的变化。

二、函数函数是数学中常见的关系类型，它描述了变量之间的映射关系。

对于给定的输入（自变量），函数会给出相应的输出（因变量）。

函数通常用f(x)来表示，其中，f表示函数名称，x表示自变量的取值。

函数有许多不同的类型，包括线性函数、二次函数、指数函数等。

不同类型的函数具有不同的性质和特点，它们可以用来描述不同类型的变量与变量之间的关系。

函数可以通过图像、表格或者公式来表示，这些表示方式都能够清晰地展示出变量与函数的关系。

三、变量与函数关系的性质在数学中，变量与函数关系具有许多重要的性质，其中包括：1. 单调性：变量与函数关系可以是单调递增的或单调递减的。

当自变量增大时，函数值也增大，则称其为单调递增；当自变量增大时，函数值减小，则称其为单调递减。

2. 奇偶性：变量与函数关系可以是奇函数或偶函数。

当函数满足f(-x) = -f(x)时，称其为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，称其为偶函数。

3. 周期性：变量与函数关系可以是周期函数。

周期函数在一定区间内重复出现相同的值。

例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们在一定范围内以一定的周期重复出现。

一.常量与变量：函数与变量1.概念;在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量．2.了解变量的概念，会区别常量与变量．3.注意：区别自变量与因变量和常量4.练习：1、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）A 、沙漠B 、体温C 、时间D 、骆驼2.圆的面积S （cm 2）与圆的半径r(cm)之间的函数关系式是S=Πｒ2,，此关系式中的变量是（ ）A ，r 2B ，r C,S, Π, r 2D,S 和r二：函数的概念1. 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系2.概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．3.注意：①两个变量x 与y ②对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应③一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化 4.练习：1.下列各种表达方式中，能表示变量y 与变量x 之间的函数关系的有（ ）A ，1个 ，B ，2个 ，C ，3个，D ，4个，2.下列函数中，不是函数关系的是（ ）A,y=x （x>0）; B ，y=x -（x<0） C,y=±x （x>0）; D, y=－x （x>0）; 3、下列各图象中，y 不是x 函数的是 （ ）4.. 下列函数中，表示同一函数的是（ ）Ａ.y=x 与.y=x x 2； B.y=x 与y=（x ）2； C.y= x 与y=33x ； D.y= x 与y=2x三：自变量的取值范围的确定1. 自变量的取值必须使含自变量的代数式（数学式子）有意义 ① 整式：全体实数 ② 分式：分母不等于0③ 二次根式下含自变量：开偶数次方中的被开方数必须大于等于0。

④ 有分式也有二次根式下含自变量：两个的公共部分2.当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义3.注意: 自变量的取值范围可以是有限也可以是无限，可以是一个或几个数X 1 2 3 4 y33 16O yxOxyOxyxyOy 2=x+1 (3)4.有的要列不等式或不等式组来求5.练习： 1、在函数y=xx 32+中,自变量的取值范围是( )A 、x ≥-2且x ≠0； B 、x ≤2且x ≠0； C 、x ≠0； D 、x ≤-2； 2.、函数212-++=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≥-2； B 、x ＞-2且x ≠2； C 、x ≥0且x ≠2； D 、x ≥-2且x ≠2。

11.1 变量与函数第一教时 11.1.1 变 量教学要求：通过课本上的五个问题，引入并理解常量、变量的概念，会求函数自变量的取值范围教学重点：针对具体问题，分清常量与变量教学难点：在不同的变化过程中，常量与变量并不是固定不变的教学过程：一、导入新课：1．有关图形的体积、面积、周长公式：图形的周长：C 圆=2лR ；C 正方形=4a ；图形的面积：S △ABC =21×ah ； S 圆=лR 2；S 梯形=21×(a+b)h ； 图形的体积：V 圆柱=лR 2h ， V 圆锥=31лR 2h ；V 正方体=a 3． 2．从实际问题出发，出于从具体到抽象在认识事物的考虑，列举课本上的物理问题、销售问题、几何问题等，要求学生会用填表、求值、写解析式等二、新授：1．常量、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量；数值不发生变化的量叫常量两个变量之间相互依赖、互相制约、互相转化．如在匀速直线运动中，当速度是常量，时间和路程都是变量，即s=vt ；当路程一定时，速度、时间是变量．例如，v=t s , t=v s．2．共同解答例子：[例1]下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组(岁)的平均身高(cm)．(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？(3)上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是函数？[思维点拨] 借助表格，可以直接找到自变量与函数的具体对应值．从中挖掘有用的信息．[解] (1)从表中能看出该市14岁的男学生的平均身高为146.1㎝；(2)该市男学生的平均身高是从14岁开始迅速增加(在14～17岁之间，后一年比上一年的身高分别增加了8.7cm,8.1cm,5.3cm)；(3)表中反映了2000年某市男生的平均身高与学生年龄的关系．三、小结：由学生举一实际问题，说明哪些量是变量？哪些量是常量？四、课堂练习：课本18页第1、2、8、9题．五、教学后记：第二教时 11.1.2 函 数教学要求：通过经历从具体到抽象的认识过程，理解函数的概念、函数的单值对应． 教学重点：针对具体问题，利用表格、解析式和图象，体会相关变量之间的对应关系 教学难点：变量之间的单值对应关系教学过程：一、导入新课：从上节课的五个实际问题出发，直接导入新课二、新授：1．理解单值对应：变量之间的单值对应关系，当一个变量取定一个值时，单值对应有两重含义：（一）另一变量有对应值；（二）对应值只有一个2．理解函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性，函数是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的。

数学的变量与函数数学作为一门精确的科学，扮演着解决问题、推导规律的重要角色。

在数学的世界中，变量和函数是两个基本概念，它们的关系和应用广泛存在于数学的各个领域。

本文将详细介绍数学中的变量与函数，探讨它们的定义、特性及其在数学中的应用。

1. 变量在数学中，变量是指可以取不同值的量。

它是数学中用来表示未知数或可变因素的一个符号。

通常用字母表示变量，如x、y、z等。

变量的值可以随着问题或条件的变化而改变，可以是实数、整数、分数等。

在数学中，我们经常遇到需要利用变量来表示和解决问题的情况。

变量的特性有以下几个方面：首先，变量具有可变性。

它的值没有固定的限制，可以随着问题的不同而取不同的值。

其次，变量的值可以通过计算、观察或实验来确定。

一般来说，变量的值可以通过解方程、代入等方法来求解。

最后，变量可以进行运算。

我们可以对变量进行加减乘除等基本运算，通过这些运算可以得到新的变量或确定变量的取值范围。

2. 函数函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。

函数可以看作是一种特殊的关联，将一个变量的值映射到另一个变量的值。

数学上，函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

函数可以看作是一个规则，它给出了自变量和因变量之间的关系。

函数有以下几个要素：首先，函数有定义域和值域。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

其次，函数可以用图像来表示。

通过绘制函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和关系。

最后，函数可以进行运算和组合。

我们可以对函数进行加减乘除、求导等运算，也可以通过组合两个或多个函数来构造新的函数。

函数在数学中的应用非常广泛。

例如，它可以用来描述物体的运动规律、计算数列的通项公式、解决最优化问题等。

函数的概念在数学分析、微积分、代数等学科中都有重要的应用。

3. 变量与函数的关系变量和函数是数学中密切相关的两个概念。

变量可以看作是函数中的自变量，它决定了函数的取值范围和性质。

18.1变量与函数（1）教学目标：1、掌握函数的概念，理解两个变量之间的对应关系．2、知道函数关系的三种表示方法。

3、能列出简单的函数关系式。

创设情景：看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？想一想：在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻对应？课堂研讨：问题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解 :(1) l 与f 的乘积是一个定值，即lf＝300 000，或者说(2)波长l越，频率f 就越。

函数的定义：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做。

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的。

试一试：下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。

（1）xy=2 （2）x2+y2=10 （3）x+y=5 （4）|y|=3x+1 （5）y=x2-4x+5 （6）x2+y=10函数关系的表示：表示函数关系的方法通常有三种：问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为，如问题2中的课堂练习：1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；(3)n 边形的内角和 S与边数n 的关系式．2.写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式；②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关系式；③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式;3.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．4.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是: 。