4-4 不定积分的应用

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为dxx x d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。

（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。

（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

第四章第1页第四章不定积分讲授内容§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求1、理解不定积分的概念理解不定积分与微分之间的关系. 2、掌握不定积分的性质会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分. 3、熟练掌握常用积分公式. 教学重难点重点——理解的概念与性质熟练掌握常用积分公式. 难点——不定积分的公式熟练掌握. 教学方法讲授法教学建议1、加深对原函数、不定积分的理解. 2、对15个积分公式要进行大量练习. 3、求不定积分一定注意不能漏C . 学时2学时教学过程第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题本章将讨论它的反问题即要寻求一个可导函数使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一. 一原函数与不定积分的概念1. 定义如果在区间I上函数Fx和fx使得F′xfx 或dFxfxdxx∈I. 称Fx为fx或fxdx在区间I上的原函数. 如sincosxx则cosx是sinx 的一个原函数. 第四章第2页1lnxx1x是lnx的一个原函数问ln2x是否是1x的原函数.2. 定理原函数的存在定理连续函数必有原函数.即: 如果fx在I上连续则在I上必有Fx 使得: F′xfx. x∈I. 注①初等函数在定义区间上必有原函数但原函数并非都是初等函数. ②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件不连续的函数也可能有原函数.3. 两个原函数的关系如果Fx为fx在区间I上的一个原函数则FxC为fx的原函数. 因为FxC′fx 如果Fx和Gx为fx的两个原函数则有FxGxC. 因为Fx-Gx′0 FxGxC. 4. 定义在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx 或fxdx在I上的不定积分记为xxfd. 即∫ fxdxFxC. 其中∫为积分符号fx为被积函数fxdx为被积表达式x为积分变量. 注①不定积分∫fxdx可以表示fx的任意一个原函数. ②C 不能去掉5. 函数fx的原函数Fx的图形称为fx的积分曲线. 6. 微分与积分的关系: 1 dxfxxf 或xxfxxfddd. 2 CxFxxFd或dFxFxC. 例1 求2xdx 第四章第3页解Cxdxxxx333223 例2 求dxx1 解当xgt0时由于lnx′1/x ∫1/xdxlnxC. 当xlt0时由于ln-x′1/x ∫1/xdxln-xC. 因此∫fxdxlnxC x≠0 例3 设曲线通过点12且其上任意一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线方程. 解设所求曲线方程为yyx由题义有y′x2x y12. y′x2xyx2C. 代y12 得C1. 所以yx21 二、基本积分表见书本P186 注①11d1xxxC 其中1 ②1dlnxxCx 例4 求下列积分1 ∫x-3dx 解∫x-3dx1313xC-221xC 2 ∫x2xdx 第四章第4页解∫x2xdx∫25xdx125125xC2772xC 注用分式或根式表示的幂函数应化为x的形式然后用公式三、不定积分的性质性质1. dxxgxxfxxgxfdd 性质2. dxxfkdxxkf k≠0k 为常数注性质说明不定积分具有线性性可以推广到所有的积分例5 求下列不定积分1∫xx2-5dx∫21255xxdx732221073xxc 2∫ax-3cosxdx∫axdx-3∫cosxdxaaxln-3sinxc. 3∫2xexdx∫2exdx2ln2eexc2ln12xec 4 ∫tan2xdx∫sec2x-1dxtanx-xc 5∫221xxdx∫2121xxdxx-2lnx-x1c 6 ∫1122xxxxdx∫ x1211xdxlnxarctanxc 7∫241xxdx∫24111xxdx∫2221111xxxdx ∫x2-1211xdx33x-xarctanxc 第四章第5页8∫2sin2xdx∫211-cosxdx21x-sinxc 9 ∫2cos2sin122xxdx∫22sin1xdx24cscdxx-4cotxc 例6 设f′lnxx1求fx 解设tlnx 则f′tet1 从而ft∫et1dtettC fxex xc 例7 设xxfxd arctanxC求xxfd 解将darctanxxxCfx两边求导可得211xxfx 所以12xxxf 从而Cxxdxxf4242. 故有dfxxFxC 作业高等数学练习册C类习题十九教学后记第四章第6页参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题证明xxeshxechx都是的xechxshx原函数. 第四章第7页讲授内容: §4-2换元积分法1 教学目的与要求1、理解第一换元积分法. 2、熟练掌握各种形式的“凑微分”. 教学方法讲授法重难点重点——各种形式的“凑微分”的方法. 难点——灵活的使用“凑微分”法. . 教学建议常用的凑微分的公式和方法要求学生牢记. 学时2学时教学过程将复合函数的微分法用于求不定积分利用中间变量的代换得到求复合函数的不定积分的方法称为换元积分法一、第一类换元法定理1设函数fu具有原函数Fuuφx可导则有换元公式∫fφxφ′xdx∫fuduFuCFφxC 证明由复合函数的微分法有FφxC ′ F′φxφ′x fφxφ′x 注关键是找uφx 例1. 求下列积分: 1∫2cos2xdx∫cos2xd2x sin2xC. u2x 第四章第8页2 ∫x231dx21∫xxd232321ln32xC. u32x 3 cxxddxxx31.3231313113121 u1-3x 注1. 形如faxb总可作uaxb把它化为fu 2. 不要忘记变量还原熟练后中间变量可不用设出4 ∫2x2xedx∫2xedx22xeC. u2x 5∫x21xdx-21∫21xd1-x2 -311-x23/2C. u1-x2 注11dnnnnnfaxbxxfaxbdaxba 10na 6∫tanxdx∫xxcossindx -∫xxdcoscos-lncosxC ucosx 7 ∫221xadx∫12axaaxda1arctanaxC uax 8 ∫221xadxa21∫xa1ax1dxa21∫xa1dx∫ax1dx a21∫ax1dxa-∫xa1da-xln21axaxaC agt0 注对21dxaxbxc 若240bac则用法8 若240bac则用法7 第四章第9页如①221d11darctan232122xxxCxxx ②2dd1dd11ln231341343xxxxxCxxxxxxx 9∫chaxdxa∫chaxdax ashaxC uax 10 ∫22xadx∫21axaxdarcsinaxC 11∫ln21xxdx∫xxdln21ln21∫xxdln21ln2121ln12lnxC 12 ∫xex3dx2∫xdex332∫xdex3332xe3C 13 ∫10121xxdx∫1012111xxdx∫101111xxx10111xdx∫100121xx10111xdx∫9911x10012x10111xdx -981981x991992x10011001xc 另一解法另1tx则原式2981001011011d2dttttttt 14 ∫sin3xdx-∫1-cos2xdcosx-cosx31cos3xC 15∫sin2xcos5xdx∫sin2x1-sin2x2dsinx∫sin2x-2sin4xsinx6dsinx 第四章第10页31sin3x-52sin5x71sin7xC 16 ∫cos2xdx∫1cos2x/2dxx/2sin2x/4C 17∫cos4xdx∫22cos1x2dx41∫12cos2xcos22xdx 41∫12cos2x 24cos1xdx41∫232cos2x 24cosxdx 83x41sin2x321sin4xC 18 ∫cscxdx∫xdxsin∫2cos2sin2xxdx∫2cos2tan22xxxd∫2tan2tanxxdln2tanxClncscx-cotxC 注2tanxxxsin2sin22xxsincos1cscx-cotx 19∫secxdx∫xdxcos∫2sin2xxdlncsc2x-cot2xC lnsecxtanxC 20∫sec6xdx∫1tan2x2dtanx∫12tan2xtan4xdtanx tanx32tan3x51tan5xC 21 ∫tan5xsec3xdx∫tan4xsec2xdsecx∫sec2x-12sec2xdsecx 第四章第11页71sec7x-52sec5x31sec3xC 注被积函数中含三角函数2secx经常将它化为正切22cxxxdxxxdxxdxtan2arctan22tan21tantansecsecsin122222 23∫cos3xcos2xdx21∫cosxcos5xdx21sinx101sin5xC. 2411dddd111xxxxxxeee xxxxeee1d1ln11xxxxexeCe 25665666114111dddd444444xxxxxxxxxxxxx 611lnln4424xxC 26322222221111dd1d122111xxxxxxxxx 3122222221111d111231xxxxcx 注1 将代数式进行恒等变形、分子分母同乘一个阶印⒗ 萌范ㄊ 泻愕裙叵怠⑷ 枪 蕉际谴瘴⒎值某Ｓ梅椒? 2 常用的公式adxdaxb nndxdxnx1 1lnxdxdxlnx xxxtanddsec2 第四章第12页arcsindd122axxxa 作业高等数学练习册C类习题二十1、2 1-14 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxxx2211tan 第四章第13页讲授内容§4-2换元积分法2 教学目的与要求1、理解第二类换元积分法的原理. 2、熟练掌握第二类换元积分法中的几种常用的换元方法及第二类换元积分法所适用的类型. 教学方法讲授法重难点重点——第二类换元积分法中的几种常用的换元法. 难点——如何熟练应用第二类换元法. 教学建议熟悉常用变量代换. 学时2学时教学过程定理设xψt单调可导且ψ′t≠0. 又设fψtψ′t有原函数Ft则有∫fxdx∫fψtψ′tdtFtCFψ--1xC. 证明由复合函数和反函数的求导法则有Fψ-1xC′F′t??txfψtψ′t??1/ψ′tfψtfx. 1三角代换例1 求下列积分1∫22xadxtaxsina2∫cos2tdt22at22asintcostC 22aarcsinax21x22xaC agt02∫22xadxtaxtan∫sectdtlnsecttantC 第四章第14页lnx22axC agt0 3∫22axdx 当xgta时设xasect 0lttltπ/2 则22dxxa∫sectdt lnsecttantC lnx22axC 当xlt-a时令x-u那么ugta则22dxxa22duua -lnu22auC - ln-x-22axC 所以x≠a 有∫22axdx lnx22axC421dxxxtxsincossincostttdt 21cossincossin dtsincossincostttttttt 21tlnsintcostC21arcsinxlnx21xC. 5 22211dxxx tanxt 2222secsinarctansin1sin2tan11tantdtdttcttt2arctan1xcx 第四章第15页注22dfaxx一般令sinxat 22dfaxx一般令tanxat 22dfxax一般令secxat 2倒数代换例2 求下列积分14422 1/ d11dxtxttxxt2211d1ttt-t3/3t-arctantC-231xx1-arctanx1C. 2222211arcsin11dxtdtctxxxtt 0x结果一样3∫4211xxdx21∫4222111xxxxdx 21∫42211xxxdx-21∫42211xxxdx21∫1111222xxxdx-21∫1111222xxxdx 21∫3112xxxxd-21∫1112xxxxd321arctan31xx-41ln1111xxxxC 第四章第16页4∫4211xxxdx∫41xxdx∫411xxdx21∫2221xdx∫43111xxdx 21lnx241x-21∫222111xxd 21lnx241x-21ln21x4111xC 3万能代换例3 求积分xdxcos3 解设2tanxt xdxcos3cxdtt2tan21arctan2122 4整体代换例4 求积分exdx1 解设1ln1xetxt dttdx11 1xdxe11ln111xxdtedtctttte 5根式代换第四章第17页例5 求下列积分xdx21 解设xt2 xdx21cxxcttdttt21ln21ln1 注关于第二类换元法非常灵活除上面几种常用代换外经常二类换元同时应用作业高等数学练习册C类习题二十2 15-28 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算33411xdxx 第四章第18页讲授内容§4-3分部积分法教学目的与要求1、熟练掌握分部积分法公式. 2、会灵活应用分部积分法求一些函数的积分. 教学方法讲授法重难点重点——恰当选取u和v. 难点——恰当选取u和v. 教学建议1、选取原则1v易求2vdu 要比udv简单. 2、用分部积分法有时会出现复原的情况学时2学时教学过程一、分部积分法设ux和vx具有连续导数则uv′u′vuv′ 于是有分部积分法公式∫udvuv-∫vdu. 二、分部积分法常见的几种用法1降幂降低被积函数中幂函数的次幂例1求下列积分 1 ∫xcosxdx∫xdsinxxsinx-∫sinxdxxsinxcosxC 2∫x2exdx∫x2dexx2ex-2∫xexdxx2ex-2xex2exexx2-2x2C 注当被积函数为幂函数、三角函数、指数函数时一般将幂函数视为u将三角函数、指数函数凑微分. 2化难为易降低被积函数中幂函数的次幂利用分部积分法将被积函数中的难积函数如对称函数、反三角函数消第四章第19页除掉. 例2 求下列积分1∫xlnxdx21∫lnxdx221x2lnx-∫xdx21x2lnx-41x2C 2arctanxdx xarctanx-∫21xxdx xarctanx-21ln1x2C 3∫xarcsinxdx∫arcsinxdx2x2arcsinx-∫221xxdx x2arcsinx∫22111xxdx x2arcsinx∫21x-211xdx x2-1arcsinx21arcsinx-21x21xC x2-21arcsinx-21x21xC 注当被积函数为幂函数与反三角函数、对称函数乘积时一般将反三角函数、对称函数视为u 将幂函数凑微3循环积分用分部积分公式后原来积分又重新出现例31∫exsinxdx∫sinxdexexsinx-∫excosxdx exsinx-∫cosxdexexsinx-excosx-∫exsinx21exsinx-cosxC 2sec3xdx∫secxdtanxsecxtanx-∫tan2xsecxdx secxtanx-∫sec3xdx∫secxdx21secxtanxlnsecxtanxC 注当被积函数为指数函数与三角函数乘积时将其中之一视为u用两次分部积分法会出现循环. 第四章第20页4递推例4 求积分sindnxx 导出递推公式解111sindsind-coscossin-cosdsinnnnnnIxxxxxxxx 12cossincos1sincosdnnxxxnxxx 122cossin1sin1sindnnxxnxxx 12cossin11nnnxxnInI12cossin1nnnnIxxnI 所以1211cossinnnnnIxxInn 三、两种积分法的同时运用例5 求下列积分1∫xedx tx 2∫ettdt2ett-1C2xex-1C2∫xsinxcosxdx21∫sin2xdx-41∫xdcos2x-41xcos2x41∫cos2xdx-41xcos2x81∫dsin2x-41xcos2x81sin2xC.3∫23lnxxdx∫ln3xd-x1xx3ln3∫22lnxxdx-xx3ln3∫ln2xd-x1-xx3ln-xx2ln36∫2lnxxdx-xx3ln-xx2ln36∫lnxdx1-xx3ln-xx2ln3-xxln66∫21xdxx1ln3x3ln2x6lnx6C. 或∫23lnxxdxtx/1∫ln3tdttln3t-3∫ln2tdttln3t-3tln2t6∫lntdt 第四章第21页tln3t-3tln2t6tlnt-6tCtln3t-3ln2t6lnt-6C x1 ln3x1-3ln2x16lnx1-6C-x1 ln3x3ln2x6lnx6C4∫coslnxdxxcoslnx∫xsinlnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫xcoslnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫coslnxdx21xsinlnxcoslnxC5∫exsin2xdx∫ex22cos1xdx21ex21∫excos2xdx 121ex21∫exdsin2x2xe41exsin2x∫exsin2xdx 2xe4xesin2x81∫exdcos2x2xe4xesin2x8xecos2x81∫excos2xdx 2 ∫excos2xdx58??4xesin2x21cos2xC1 原式2xe5xesin2x21cos2xCex21101cos2x51sin2xC. 6x2cos22xdx∫x22cos1x21∫x2x2cosxdx2131x3∫x2dsinx61x321x2sinx21∫2xsinxdx63x22xsinx∫xdcosx 63x22xsinxxcosxsinxC. 第四章第22页例6 求In∫naxdx22其中n为正整数. 解当ngt1时有: In-1∫122naxdx122naxx2n-1∫naxx222dx 122naxx2n-1 ∫1221nax-naxa222dx 122naxx2n-1In-1-a2In. 于是In1212na122naxx2n-3In-1. 其中I1a1arctanaxC. 作业高等数学练习册C类习题二十一教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxcosln 第四章第23页讲授内容§4-4 有理函数的不定积分教学目的与要求熟练掌握几种特殊类型函数公式.重难点重点——有理函数的积分三角函数有理式的积分. 难点——无理函数的积分. 教学方法讲授法教学建议1、有理函数必可积但不一定是最简单. 2、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分通常是运用变量代换学时2学时教学过程一、有理函数的积分称xQxPmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa11101110为有理函数.1 其中m和n为非负整数a0 a1??an b0 b1??bm 为实数a0≠0 b0≠0 . 以下总假设Px和Qx没有公因子. 当nltm时称1为真分式当n≥m时称1为假分式. 对假分式总可以利用多项式的除法将其变为一个多项式与一个真分式的和.真分式划为部分分式的和: 设1为一个真分式且Qx在实数范围内可分解为一次因式和二次因式的乘积Qxb0x-aα??x-bβx2pxqλ??x2rxsμ. 其中p2-4qlt0??r2-4slt0. 则第四章第24页xQxP1axA12axA??axA 1bxB12bxB??bxB 211qpxxNxM1222qpxxNxM??qpxxNxM2 211srxxSxR1222srxxSxR??srxxSxR2 其中A1??Aα B1??Bβ M1??Mλ N1??Nλ R1??Rμ S1??Sμ为待定常数. 有理分式函数的积分只有三种形式多项式函数分式函数naxA 和nqpxxNMx2 但前两个函数的积分较简单主要是第三个积分. 对∫nqpxxNMx2dx 可以用配方法x2pxqx2p2q-22p设tx2p a2q-22p bN-2Mp 则有∫nqpxxNMx2dx∫natMtdt22∫natbdt22 例1. 将真分式6532xxx分解为部分分式. 解设6532xxx323xxx32xBxA 第四章第25页方法一两边去分母:x3Ax-3Bx-2 2 比较同次幂的系数有:AB1-3A-2B3解得A-5B6. 方法二在2中代特殊值:令x2得A-5令x3得B6. 例2. 将真分式1122xxx分解为部分分式. 解设1122xxxxA121xB21xDCx 去分母得xA1x1x2B1x2CxD1x23 即xABDAC2DxAB2CDx2ACx3 于是002020CADCBADCADBA解得A0 B-21C0 D21. 即有1122xxx21211x-211x. 例3. 求下列积分: 1∫6532xxxdx∫36x-25xdx6lnx-3-5lnx-2C 2 ∫1122xxxdx21∫211x-211xdx21 arctanxx11C 3 ∫3222xxxdx21∫326222xxxdx 21∫323222xxxxddx-3∫22211x xd 21lnx22x3-23 arctan21xC 第四章第26页 4 ∫xxxx3458dx∫x2x11182xxxxxdx 31x321x2x∫14138xxxdx31x321x2x8lnx-3lnx-1-4lnx1C. 5 ∫411xdx21∫422111xxxdx21∫222111xxxdx-∫222111xxxdx 21∫22211xxxxd-∫22211xxxxd2121xxarctan21xx-221ln2121xxxxC 42arctanxx212-82ln121222xx.。

教案4-不定积分n e w(共18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 不定积分§ 不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。

但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。

“积分”是“微分”的逆运算。

一、 原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=。

现在提出相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程随时间变化的规律()s s t =。

显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时，要求()s t 的问题。

例2 已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。

从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。

由此引出原函数的概念。

定义 : 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一点x I ∈，都有：()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。

例如，由于(sin )cos x x '=，所以在(,)-∞+∞内，sin x 是cos x 的一个原函数；又因为(sin 2)cos x x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin 2x +是cos x 的一个原函数；更进一步，对任意常数C ，有(sin )cos x C x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin x C +都是cos x 的原函数。

不定积分的四则运算公式1.加法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的和函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C2.减法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的差函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx + C3.乘法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的乘积函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) * g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx * ∫g(x)dx乘法的不定积分不能直接用乘法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。

4.除法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，且g(x)不等于0，则它们的商函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) / g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx / ∫g(x)dx除法的不定积分也不能直接用除法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。

此外，还有一些辅助的运算公式可以用于简化不定积分的计算：5.常数倍公式：如果k为常数，则有：∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx + C6.积分换元公式：设y=g(x)是函数g的一个可导函数，而f是g的一个原函数，则有：∫f(g(x)) * g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F表示函数f的一个原函数。

7.分部积分公式：设函数u(x)和v(x)在区间上连续且可导，则有如下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx + C以上是不定积分的四则运算公式及其辅助公式。

在实际计算中，根据具体的函数表达式，可以灵活运用这些公式来简化不定积分的计算。

第四章 不定积分 一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含 ，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含 ，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一） 填空题 【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+， 故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解 由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】 设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++， 故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】 下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解 若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】 设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解 由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】 设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解 由不定积分的性质选答案D .【例4.14】 已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解 令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】 若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解 本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注 当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】 求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解 （1） 原式22.C ===+⎰（2） 原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】 求 （1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解 （1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】 求 （1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解 （1） 原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2） 原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】 求 （1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解 （1） 原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含 ，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含 ，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】 求 （1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解 （1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2） 令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3） 令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】 求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】 求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】 求 （1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解 （1） 原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2） 原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3） 原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】 求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注 对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解 取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解 取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】 求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】 设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】 求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解 当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】 已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解 原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注 这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】 求 （1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解 （1） 原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2） 原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注 拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】 求2(1)dxx x +⎰.解 设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注 比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】 求42.21dxx x -+⎰解 设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得； 上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ； 用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】 求 （1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解 （1） 原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2） 原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】 求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】 求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】 求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】 求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解 设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++， 解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】 求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】 求 （1）（2）（3）.dx解 （1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3） 令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】 求 （1）. （2）解 （1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2） 原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注 当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】 设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解 令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】 设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解 由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】 设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解 令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注 这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案 一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案 一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。

第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及根本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个函数的导数〔或微分〕的问题，例如，变速直线运动中位移函数为()s s t =， 那么质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：假设()()'=F x f x ，那么对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，那么有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么()()-=F x x C φ〔C 为任意常数〕． 假设()()'=F x f x ，那么()+F x C 〔C 为任意常数〕表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，假设()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，那么()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 〔1〕不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．〔2〕求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 〔1〕因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．〔2〕因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． 〔3〕因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，那么加速度d ()d va t g t==〔其中g 为重力加速度〕． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，那么ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，假设()()F x f x '=，那么称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点〔如图4.1〕：〔1〕积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；〔2〕积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 根本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为根本积分公式． ①d k x kx C =+⎰〔k 是常数〕; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰;⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个根本积分公式，是求不定积分的根底，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用根本积分公式求解，那么可以结合不定积分的性质和根本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算〔1〕()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． 〔2〕()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，那么[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，那么()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x+⎰()()1sin d 1sin 1sin xx x x -=+-⎰21-sin d cos x x x=⎰ 2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和根本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和根本积分公式，这种方法称为根本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算〔求导〕来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否那么是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求以下不定积分．〔1〕41d x x⎰； 〔2〕x ⎰； 〔3〕； 〔4〕()2d ax b x -⎰；〔5〕22d 1x x x +⎰； 〔6〕4223d 1x x x x +++⎰；〔7〕x ； 〔8〕22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； 〔9〕32e d x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； 〔10〕()22d 1x xx+⎰；〔11〕x ；〔12〕2tan d x x ⎰； 〔13〕2sin d 2xx ⎰；〔14〕cos 2d cos sin x xx x-⎰；〔15〕21cos d 1cos 2xx x++⎰； 〔16〕()sec sec tan d x x x x +⎰；〔17〕2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰；〔18〕x ．2．某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b 〔a ，b 为常数〕．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用根本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最根本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其根本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为根本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，那么有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． 〔4.2.1〕证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,那么[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法那么显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:〔1〕将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； 〔2〕引入中间变量作换元；〔3〕利用根本积分公式计算不定积分； 〔4〕变量复原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a +⎰． 解221x a+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据根本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x=-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d d cot sin =-=-x x x x x．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ． 解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d d cos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数〔如n 是奇数，那么取cos x 〕与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，那么利用倍角〔半角〕公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如以下形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分〔m n ≠〕，先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+ ⎪-+⎝⎭⎰⎰ ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数〔形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式〕的积分，将有理函数分解成更简单的局部分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，那么有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法那么得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 那么()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=复原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求22d a x x -⎰(0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，于是22d a x x -⎰=2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a = 为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形〔图4-2〕，求得22cos a x t a-=， 所以 22222221d d arcsin 22a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+⎰⎰．图4-2例20 求22d x x a+⎰(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，22d xx a +⎰=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ⋅==++⎰⎰． 利用tan xt a=作辅助三角形〔图4-3〕，求得 22ππsec ,,22x a t t a +⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝ 所以 ()2222122d ln ln xx x a c x x a C a ax a ⎛⎫+ ⎪=++=+++ ⎪+⎝⎭⎰．图4-3例21 求22x a-(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，22x a -=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形〔图4-4〕，求得22tan x a t -=所以 (2222122lnln x x a C x x a C aax a -=+=+-+-，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-那么u a >，由上面的结果，得((2222112222ln ln u u a C x x a C x a u a =-=-+=---+--=(221,(2ln )x x a C C C a --+=-． 综上，2222ln x x a C x a =-+-．图4-4注 22a x -22a x +22x a -换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求12x+．解 令22,,d d 2u u x x x u u ===，12x +=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 12ln 12u u C x x C =-+++． 例23 求3(1+)x x．解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令6t x =6x t =，5d 6d x t t =，从而522322361d 6d 61d (1)11(1+)t t t t t t t t t x x ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 666(arctan )6()t t C x x C =-+=+．例24 求211d xx x x +． 解 为了去掉根式，作如下代换：1x t x +=，那么211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222112d (1)d 2d (1)x t x t t t t t x x t +-=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式〔1〕()d n R x ax b x +⎰，那么作变换n t ax b +〔2〕(,)d n m R x ax b ax b x ++⎰，那么作变换pt ax b +p 是m ，n 的最小公倍数；〔3〕(R x x ⎰，那么作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt ==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰x x x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的根本积分公式，将常用的积分公式再添加几个〔0a >〕：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x=++⎰; ⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsin xx C a =+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，那么2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰ 3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作〔辅助三角形图4-5〕，那么有2cos 22t x x =-+，2sin 22t x x =-+，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法那么〞来推导求积分的另一种根本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，那么d d =-⎰⎰u v uv v u ．〔4.2.2〕证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式〔4.2.2〕称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，那么cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，那么222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比拟原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: 〔1〕v 要容易求得；〔2〕d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,那么e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，那么利用分部积分公式得22222e d dee e d e 2e d xxx x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正〔余〕弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正〔余〕弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，那么 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比拟熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比拟典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 〔法一〕e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． 〔法二〕x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会复原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法〞，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 ()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求以下不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x 〔0b ≠〕； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．；15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰；23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．；34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x xx ；36．2x ；37．3222d ()+⎰xx a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ； 44．x ；45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求以下不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰； 4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰〔1n ≠〕； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰；10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d xx x⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,那么先因式分解,然后化成局部分式再积分.例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四那么运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,那么212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求以下不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ；5.()()x dx x x ++-⎰22111；6.()()x dx x ++⎰22211；7.sin dx x +⎰23； 8.cos dxx +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的根底上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．假设()f x 的一个原函数为cos x ，那么()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，那么2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，那么该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，那么()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，那么．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，那么()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22xxx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2x x x x C -+(D) 222x x C + 三、计算以下各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰；22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ；23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ． (B)1.〔1999、数学一〕设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,那么( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.〔2006、数学二〕 求arctan xxe dx e ⎰. 3.〔2003、数学二〕 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2021、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。

126第4章 不定积分一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和定积分的应用．不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是由研究微小量的无限累加问题而引入．这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来．本章介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法．§1 不定积分的概念一、原函数的概念已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题．在许多实际应用中，还会碰到它的逆问题．例如，从微分学知道，若已知曲线方程为()y f x =，则可求出该曲线在任一点(,())x f x 处切线的斜率()f x '．现假设知道某一曲线上在任一点处切线斜率为2x ，且曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点的位置函数为()s s t =，则质点在任一时刻的瞬时速度为()s t '．现若知道从静止状态开始作变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度为at ，则如何求出它的位置函数()s s t =？以上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数表达式的问题．为了解决这类问题，我们引入原函数的概念．定义1 设()f x 是定义在区间I （有限或无穷）上的已知函数，如果存在函数()F x ，使得对区间I 上任一点x ，恒有()()F x f x '=或d ()()d F x f x x =，则称()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数．例如，当(1,1)x ∈-时，因为(arcsin )x '=arcsin x在区间(1,1)-上的一个原函数．当(,)x ∈-∞+∞时，因为2()2x x '=，所以2x 是2x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．当(,)x ∈-∞+∞时，因为2(1)2x x '+=，所以21x +是2x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．从上述后面两个例子可见，2x 的原函数是不唯一的．127一般地，若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，由于常数的导数是零，所以对任意常数C ，()F x C +也是()f x 在区间I 上的一个原函数．因此，如果函数()f x 存在原函数，则它的原函数必有无穷多个．为此需要讨论两个问题：（1）一个函数满足什么条件才有原函数？（2）如果函数()f x 有原函数，它的无穷多个原函数相互之间有什么关系？ 对于上述两个问题，我们有以下两个结论：定理1（原函数存在定理）如果函数在某区间上连续，那么它在该区间上必定存在原函数．简单的叙述是：连续函数必定有原函数．定理的证明将在下一章给出．需要指出的是，因为一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以每个初等函数在其定义区间上都有原函数．定理2（原函数族定理）若()F x 是()f x 在某区间上的一个原函数，则()F x C +是()f x 在该区间上的全部原函数，其中C 是任意常数．证 一方面，由于()F x 是()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=．因此对任意常数C ，[]()()F x C f x '+=，即()F x C +都是()f x 的原函数．另一方面，若()G x 是()f x 的任意一个原函数，即()()G x f x '=，则由第3章§1定理2的推论2可得，()G x 与()F x 最多相差一个常数，即()()G x F x C =+．由以上两个方面可得，()F x C +是()f x 在该区间上的全部原函数，其中C 是任意常数．证毕．二、不定积分的概念定义2 设()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C +（C 是任意常数）称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()d f x x ⎰，即()d ()f x x F x C =+⎰，其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，C称为积分常数．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3x x '=，所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin d x x ⎰．128解 因为(cos )sin x x '-=，所以sin d cos x x x C =-+⎰．例3 求21d 1x x +⎰．解 因为21(arctan )1x x '=+，所以21d arctan 1x x C x=++⎰． 三、不定积分的几何意义设()F x 是()f x 的一个原函数，那么方程()y F x =的图形是平面直角坐标系上的一条曲线，称为()f x 的一条积分曲线．将这条积分曲线沿着y 轴方向任意平行移动，就可以得到()f x 的无穷多条积分曲 线，它们构成一个曲线族，称为()f x 的积分曲线族．不定积 分()d f x x ⎰的几何意义就是一个积分曲线族．它的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率相等，都是()f x即各切线相互平行（如图4-1）．在求()f x 的所有原函数中，有时需要确定一个满足条件00()y x y =的原函数，也就是求通过点00(,)x y 的积分曲线．这个条件一般称为初始条件，它可以唯一确定积分常数C 的值．例4 求2()f x x =通过点1(,1)2的积分曲线． 解 231d 3y x x x C ==+⎰， 代入初始条件，31211132x y C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得2324C =．因此所求的积分曲线为 3123324y x =+． 四、不定积分的性质由于()d f x x ⎰为()f x 的原函数族，因而有：性质1 d ()d ()d f x x f x x⎡⎤=⎣⎦⎰或d ()d ()d f x x f x x ⎡⎤=⎣⎦⎰． 又由于()F x 是()F x '的原函数，故有：性质2()d ()F x x F x C '=+⎰或d ()()F x F x C =+⎰．注 由上可见微分运算与积分运算是互逆的．两个运算连在一起时，d ⎰完全抵消，d⎰抵消后相差一常数．129利用微分运算法则和不定积分的定义，可得下列运算性质： 性质3 若函数()f x 及()g x 的原函数均存在，则有[]()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰．证 ()d ()d f x x g x x '⎡⎤±⎣⎦⎰⎰()d ()d ()()f x x g x x f x g x ''⎡⎤⎡⎤=±=±⎣⎦⎣⎦⎰⎰．证毕．注 此性质可推广到有限多个函数的情形．性质4 若函数()f x 的原函数存在，k 为常数()0k ≠，则有()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰．证 ()d ()d ()()d k f x x k f x x kf x kf x x '''⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰．证毕．五、基本积分表由于不定积分运算是导数运算的逆运算，因此可以从导数的基本公式得到相应的积分基本公式．（1）d k x kx C =+⎰(k 为常数)；（2）()1d 11x x x C μμμμ+=+≠-+⎰； （3）d ln xx C x =+⎰；（4）d ln xxa a x C a=+⎰；特例d x x e x e C =+⎰； （5）sin d cos x x x C =-+⎰； （6）cos d sin x x x C =+⎰；（7）22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰； （8）22d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰； (9）sec tan d sec x x x x C =+⎰； (10)csc cot d csc x x x x C =-+⎰；130（11)arcsin x C =+⎰；（12)2d arctan 1xx C x =++⎰． 六、直接积分法从前面的例题知道，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的．为解决一些简单函数的不定积分的计算问题，这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，即直接积分法．例5 求21d 1xe x x ⎛⎫+⎪+⎝⎭⎰． 解2211d d d arctan 11x x xe x e x x e x C x x ⎛⎫+=+=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰． 例6求2(1d x ⎰．解242423333(1d (12)d 1d 2d d x x x x x x x x x =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰24571133331163224571133x xxC x x x C ++=-++=-++++．例7 求2d x x e x ⎰．解 (2)22d (2)d ln(2)1ln 2x x xxxxe e e x e x C C e ==+=++⎰⎰． 例8 求2tan d x x ⎰．解222tan d (sec 1)d sec d d tan x x x x x x x x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 例9 求42d 1x x x +⎰．解 442222211(1)(1)1d d d 111x x x x x x x x x x -++-+==+++⎰⎰⎰131222211(1)d d d d 11x x x x x x x x =-+=-+++⎰⎰⎰⎰ 3arctan 3x x x C =-++． 例10 求2sind 2xx ⎰．解 21cos 11sin d d d cos d 2222x x x x x x x -==-⎰⎰⎰⎰1sin 22x x C =-+．例11 求221d sin cos x x x⎰． 解 2222221sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x+=⎰⎰ 2211d d cos sin x x xx =+⎰⎰tan cot x x C =-+． 习题 4-11．简述原函数及不定积分的定义．2．已知函数()y f x =的导数为2x +，且2x =时5y =，求()f x ． 3．设2()x f x xe -=，则()d f x x '=⎰（ ）． A ．212x e C --+；B ．2x xe C -+；C ．212x e C -+；D ．22x e C --+． 4．若()d cos x f x x e x C -=+⎰，则()f x =（ ）． A ．sin xe x --； B ．()cos sin xe x x C --+；C ．()cos sin xex x --+； D ．()sin cos x e x x C --+．5．求下列不定积分：（1）23d x x ⎰； （2）32(1)d x x +⎰；（3）1)(1)d x x ⎰； （4）sec (sec tan )d x x x x -⎰；（5）1d 1cos 2x x +⎰； （6）21x x +；132（7）221d (1)x x x +⎰； （8）(1x xe x -⎰； （9）23(1x x +⎰； （10）2352d 3x x x x ⋅-⋅⎰； （11）21(1x x -⎰； （12）x ； （13）22212d (1)x x x x ++⎰． §2 换元积分法前一节介绍了利用不定积分的性质与基本积分公式计算不定积分的直接积分法．但能直接积分的简单函数是有限的．这一节我们将把复合函数的微分法反过来用于求不定积分．利用中间变量的代换得到的积分法，称为换元积分法，简称换元法．换元法通常分为两类，第一类是把积分变量x 作为自变量，引入中间变量()u x ϕ=；第二类是把积分变量x 作中间变量，引入自变量t 作变换()x t ψ=，从而将复杂的被积函数化为简单的类型，运用直接积分法求出积分．一、第一换元积分法（凑微分法或配方法）例1 求不定积分cos 2d x x ⎰．解 如果凑上一个常数因子2，使之成为11cos 2d cos 22d cos 2d(2)22x x x x x x =⋅=⎰⎰⎰， 令2x u =，则111cos 2d(2)cos d sin 222x x u u u C ==+⎰⎰， 回代，求得原不定积分1cos 2d sin 22x x x C =+⎰． 更一般地，若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，()u x ϕ=是可微函数，且复合函数[()]F x ϕ有意义，根据复合函数求导法则{}[()][()]()[()]()F x F x x f x x ϕϕϕϕϕ''''==，133及不定积分的定义，有[][()]()d ()f x x x F x C ϕϕϕ'=+⎰，由于()d ()f u u F u C =+⎰，从而()()[()]()d ()d u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰．综上所述，可得如下定理1： 定理1 设()f u 是连续函数，()F u 是()f u 的一个原函数．如果()u x ϕ=可微，且复合函数[()]F x ϕ有意义，那么()()()[()]()d ()d ()[()]u x u x f x x x f u u F u C F x C ϕϕϕϕϕ=='==+=+⎰⎰．这种求不定积分的方法称为第一换元积分法，也称为“凑微分法”．凑微分时，要灵活运用以下微分公式：1d d()x ax b a =+； 21d d()2x x x =；=； ()d d x x e x e =； 1d d(ln )x x x =； 211d d()x x x=-； ()()11d d 11x x x μμμμ+=≠-+； s i n d d (c o s x x x =-； cos d d(sin )x x x =； 2sec d d(tan )x x x =； 2csc d d(cot )x x x =-；d(arcsin )x =；21d d(arctan )1x x x =+． 例2 求525d xe x -⎰．解 令52u x =-，由d(52)5d x x -=，得1d d(52)5x x =-． 于是5252525d d(52)x x x e x e x e C ---=-=+⎰⎰．134例3求x ．解2x e x e ==⎰⎰2233e e C ==+⎰．例4 求tan d x x ⎰． 解sin d(cos )tan d d ln cos cos cos x x x x x x C x x==-=-+⎰⎰⎰． 类似可得cot d ln sin x x x C =+⎰．例5 求d (12ln )xx x +⎰．解d d(ln )1d(12ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x +==+++⎰⎰⎰1ln 12ln 2x C =++．有时，需要将被积函数作适当的代数或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例6 求221d x x a -⎰． 解 221111d ()d 2x x x a a x a x a =---+⎰⎰111(d d )2x x a x a x a=--+⎰⎰ 1(ln ln )2x a x a C a=--++1ln 2x a C a x a -=++． 类似可得2211d ln 2x ax C a x a x a+=+--⎰． 例7 求221d x x a +⎰．解2222221111d d d()1()(1)x x x x x x a a a a aa==+++⎰⎰⎰1arctan xC a a =+． 类似可得135arcsin(0)xx C a a=+>． 例8 求csc d x x ⎰． 解22d sin d(cos )csc d d sin sin cos 1x x x x x x x x x ===-⎰⎰⎰⎰， 利用例6得2d(cos )1cos 1ln cos 12cos 1x x C x x -=+-+⎰．故1cos 11(cos 1)(cos 1)csc d ln ln 2cos 12(cos 1)(cos 1)x x x x x C C x x x ---=+=+++-⎰ 2221(cos 1)1cos 1ln ln ()2cos 12sin x x C C x x--=+=+- cos 1lnln csc cot sin x C x x C x-=+=-+．类似可得sec d ln sec tan x x x x C =++⎰．例9 求4tan d x x ⎰．解422222tan d tan (sec 1)d tan sec d tan d x x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰⎰22tan d(tan )(sec 1)d x x x x =--⎰⎰31tan tan 3x x x C =-++．二、第二换元积分法（代换法或置换法）我们通过一个具体的例子来说明第二换元积分法计算不定积分的基本思想． 例10求x ．解作变量代换t =，即2(0)x t t =>，其目的是把被积函数中的根号去掉，在上述代换下，有1361,d2d1x t tt==+，于是2d1112d2(1)d111t t tx t tt t t+-===-+++⎰⎰⎰12d2d(1)22ln11t t t t Ct=-+=-+++⎰⎰2ln1C=++．一般地，若积分()df x x⎰不易计算，而如能作适当变换()x tψ=，把原积分化为[]()()df t t tψψ'⎰的形式后容易积分，并且在求出原函数后容易将1()t xψ-=代回还原，则可以使用这种方法．这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想．定理 2 设()f x连续，()x tψ=是单调、可导函数，且()0tψ'≠．若()tϕ是[]()()f t tψψ'的一个原函数，即[]()()d()f t t t t Cψψϕ'=+⎰，(1)则1()d()f x x x Cϕψ-⎡⎤=+⎣⎦⎰．(2)证由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有[]1d d d1()()()dd d ddtx f t txx t xtϕϕψψψ-'⎡⎤=⋅=⋅⋅⎣⎦[][]1()()()()()f t t f t f xtψψψψ'=⋅⋅=='．这说明1()xϕψ-⎡⎤⎣⎦是()f x的原函数，即(2)式成立．证毕．将(1)式和(2)式合起来写成便于应用的形式：[]()()d()()d()x tf x x f t t t t Cψψψϕ='==+⎰⎰1()1()t xx Cψϕψ-=-⎡⎤=+⎣⎦．例11求x．解令t=31x t=-，2d3dx t t=．于是1372213d 3d 11t x t t t t t =⋅=++⎰⎰2133(1)d 3d 33ln 112t t t t t t C t =-+=-++++⎰⎰233ln 12C =-++．一般来说，若不定积分中的被积函数含有(0,a n ≠为正整数)时，则可令t =清除根式．这种代换，称为一次根式代换．例12求x ．解令t 21xe t =-，d 2d xe x t t =，22d d 1tx t t =-．于是22221d d ln (1)11t t x t t C t t t t -===+--+⎰⎰C =+． 例13求x ()0a >．解 令sin ()22x a t t ππ=-<<，则arcsinxt a=，d cos d x a t t =．于是22cos d cos d x t t a t t ==⎰2221cos 21d (sin 2)(sin cos )2222t a a a t t t C t t t C +==++=++⎰222arcsin arcsin 222a x a x a x C C a a a =+⋅=+． 一般来说，为了消除根号，通常利用三角函数关系式来换元．比如(1)sin ()22x a t t ππ=-<<； (2)tan ()22x a t t ππ=-<<；(3)sec (0)2x a t t π=<<．我们称以上代换为三角代换．在采用三角代换求不定积分时，为了将t 回代x ，可根据代换式()x t ϕ=的形式，构造一个以t 为锐角的直角三角形(如图4-2)，将会给变量回代138带来许多方便．例14求0)a >．解 令tan ()22x a t t ππ=-<<，则2d sec d x a t t =，于是21sec d sec d ln sec tan sec a t t t t t t C a t ===++⎰⎰1lnln xC x C a=+=++， 其中1ln C C a =-．例15求(0)x a >．解 被积函数的定义域为(,)(,)a a -∞-+∞．当x a >时，令sec x a t =(02t π<<)，则d sec tan d x a t t t =⋅，于是sec d x t t t ==⎰1ln sec tan t t C =++1ln ln x C a =-ln x C =+，其中1ln C C a =-．当x a <-时，则()x a ->．根据上面的计算，有2)ln ()x x C -=-222ln C x C a =+=-++，故x22x a -图4-213922ln lnx x a C x C=--=+，其中22lnC a C=--．综上所述，xln x C=+．下面我们再介绍一种很有用的代换---倒代换．例16求x．解令1xt=，则21d dx tt=-．于是当0t>时，241)d()x ttt=-11222221(1)d(1)d(1)2t t t t t=-+=-++⎰⎰33222231(1)(1)33xt C Cx+=-++=-+；类似可求0t<有4d xx⎰3223(1)3xCx+=-+．故4d xx⎰3223(1)3xCx+=-+．为了以后计算不定积分的方便，我们将几个重要的积分公式放入基本积分表中，以便在今后的积分中引用．(13)tan d ln cosx x x C=-+⎰；(14)cot d ln sinx x x C=+⎰；(15)sec d ln sec tanx x x x C=++⎰；(16)csc d x x⎰ln csc cotx x C=-+；140(17)221d x x a -⎰1ln 2x a C a x a -=++； (18)2211d ln 2x ax C a x a x a+=+--⎰； (19)221d x x a +⎰1arctan xC a a=+； (20)arcsin(0)xx C a a=+>； (21)x =2arcsin 2a x C a (0)a >； (22)xln x C =+(0)a >．习题 4-21．求下列不定积分：(1)cos(12)d x x -⎰； (2)21d 9x x +⎰；(3)21d 94x x -⎰； (4)2ln d x x x ⎰； (5)21cos d (sin )xx x x --⎰； (6)x ； (7)x ； (8)2cos sin d (sin )x x x x x x +⎰； (9)232d x x +⎰； (10)4d 1xx x+⎰； (11)2d 25x x x -+⎰； (12)32d x x e x -⎰；(13)211cos d x x x ⎰； (14)ln(tan )d sin cos x x x x⎰；141(15)sin5cos3d x x x ⎰； (16)x ；(17)(18)2(19)x ； (20)x ⎰；(21)2arccos x x ； (22)x ；(23)； (24)x ；(25)(0)x x x >⎰； (26)(27)x ； (28)2．若已知()d ()f x x F x C =+⎰，求(1)()d f ax b x +⎰； (2)cos(3)(sin3)d x f x x ⎰．§3 分部积分法前一节我们在复合函数求导法则的基础上研究了换元积分法．现在我们利用两个函数乘积的微分法则，来推得另一个求积分的基本方法---分部积分法．定理1 设,u v 都是x 的函数且有连续导数，则有d d u v uv v u =-⎰⎰．证 由于,u v 都有连续导数，故,u v 的微分存在，于是有d()d d uv u v v u =+，两边积分得d()d d uv u v v u =+⎰⎰⎰，142所以d d uv u v v u =+⎰⎰，移项得到d d u v uv v u =-⎰⎰．证毕．注 因上式等式右端还保留不定积分号，所以不必写上C ．上面这个公式称为分部积分公式．它把所求的积分分成了两个部分，一部分是uv ，是已经求出了的；另一部分是d v u ⎰，是还要积分的，即求不定积分d u v ⎰的问题转化成了求不定积分d v u ⎰的问题．它适用于d u v ⎰不易计算，而d v u ⎰比较容易计算的情况．例1 求cos d x x x ⎰．解 把某个函数与d x 凑微分，化成分部积分公式左边的形式，现将cos x 凑入微分：cos d d(sin )(,sin )x x x x x u x v x ===⎰⎰sin sin d sin cos x x x x x x x C =-=++⎰．如果把x 与d x 凑微分，则有21cos d cos d()2x x x x x =⎰⎰2211cos d(cos )22x x x x =-⎰ 2211cos sin d 22x x x x x =+⎰， 上式右端的积分比原来的积分更不容易求出．由此可见，如果u 和d v 选择不当，就求不出结果．所以应用分部积分法时，适当选取u 和d v 是一个关键．一般选择u 与v 有个经验公式：“反、对、幂、指、三”，指的是按反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数及三角函数的顺序．被积函数若为其中某两个函数的乘积时，排在前面顺序的函数作为u ，排在后面顺序的函数作为v '，凑入微分成为d v ．例2 求2d x x e x ⎰．解2222d d()d()x x x x x e x x e x e e x ==-⎰⎰⎰222d 2d()xx x x x exe x x e x e =-=-⎰⎰222(d )22x x x x x x x e xe e x x e xe e C =--=-++⎰．例3 求ln d x x x ⎰．143解 222ln d ln d()ln d(ln )222x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰ 22221ln d ln 2224x x x x x x x C x =-⋅=-+⎰． 例4 求2tan d x x x ⎰．解22tan d (sec 1)d d(tan )d x x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰⎰ 21tan tan d 2x x x x x =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =+-+．例5 求arccos d x x ⎰． 解arccos d arccos d(arccos )x x x x x x =-⎰⎰()21arccos arccos 12x x x x x x =+=--arccos x x C =．例6 求cos d xe x x ⎰． 解cos d cos d()cos d(cos )xx x x ex x x e e x e x ==-⎰⎰⎰cos sin d cos sin d()x x x x e x e x x e x x e =+=+⎰⎰cos sin d(sin )cos sin cos d x x x x x x e x e x e x e x e x e x x =+-=+-⎰⎰，移项得12cos d cos sin x x x e x x e x e x C =++⎰，故1cos d (sin cos )2xx e x x e x x C =++⎰． 类似可得1441sin d (sin cos )2xx e x x e x x C =-+⎰． 以上这种解题方法称为循环法．例7 求3sec d x x ⎰．解32sec d sec sec d sec d(tan )x x x x x x x =⋅=⎰⎰⎰2sec tan tan d(sec )sec tan sec tan d x x x x x x x x x =-=-⎰⎰ 2sec tan sec (sec 1)d x x x x x =--⎰3sec tan ln sec tan sec d x x x x x x =++-⎰，移项得312sec d sec tan ln sec tan x x x x x x C =+++⎰，故31sec d (sec tan ln sec tan )2x x x x x x C =+++⎰． 当被积函数是某一简单函数的高次幂函数时，我们可以适当选取u 和d v ，通过分部积分后，得到该函数的高次幂函数与低次幂函数的关系，即所谓递推公式，故称递推法．例8 求(ln )d nn I x x =⎰的递推公式(其中n 为正整数)，并用公式计算()3ln d x x ⎰．解 当1n =时，1ln d ln d(ln )I x x x x x x ==-⎰⎰1ln d ln x x x x x x x C x=-⋅=-+⎰，当2n ≥时，()()ln d (ln )d ln nnn n I x x x x x x ==-⎰⎰11(ln )(ln )d nn x x x n x x x-=-⋅⎰11(ln )(ln )d (ln )n n n n x x n x x x x nI --=-=-⎰．所求的递推公式为：1(ln )n n n I x x nI -=-(2n ≥)．从而由1ln I x x x C =-+可求得n I (2)n ≥．3332(ln )d (ln )3I x x x x I ==-⎰145321(ln )3[(ln )2]x x x x I =-- 321(ln )3(ln )6x x x x I =-+32(ln )3(ln )6(ln )x x x x x x x C =-+-+ 32(ln )3(ln )6ln 6x x x x x x x C =-+-+．例9 求22d ()n n xI x a =+⎰(其中n 为正整数，0a >)．解 当1n =时，122d 1arctan x xI C x a a a==++⎰，当2n ≥时，因为1221d ()n n x I x a --=+⎰2212211d ()()n n x x x a x a --⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦⎰ 2221222(1)d ()()n nx x n x x a x a -=+-++⎰ 222221222(1)d ()()n n x x a a n x x a x a -+-=+-++⎰ 212212(1)2(1)()n n n x n I n a I x a --=+---+， 于是，得递推公式122211(23)(2)(22)()n n n xI n I n n a x a --⎡⎤=+-≥⎢⎥-+⎣⎦． 从而由11arctan xI C a a=+可求得n I (2)n ≥． 到现在为止，我们一共讲了三种积分方法:直接积分法、换元积分法和分部积分法．这几种方法，哪一种都不是万能的，每种方法都是对某些积分适用，而对另一些积分就不适用．实际计算时，究竟在什么情况下采用哪种积分方法，这要求我们通过对题目的观察自己决定，而且有时一道题要采用几种积分法综合计算．这就要求对以上这些方法会灵活运用．146例10求x ⎰．解t =，则2x t =，d 2d x t t =，于是2sin d 2d(cos )x t t t t t ==-⎰⎰⎰2(cos cos d )2cos 2sin t t t t t t t C =--=-++⎰C =-．例11 设()F x 为()f x 的一个原函数，()F x '连续，(0)1F =，()0F x >，且当0x ≥时，有2()()2(1)xxe f x F x x =+，求()f x ．解 由()()F x f x '=代入得22()()(1)xxe F x F x x '=+，于是 22()()d d (1)xxe F x F x x x x '=+⎰⎰， 则 211()d()d()111x xx xe F x xe xe x x x=-=-++++⎰⎰ 1d 1111x x x x xxe x xe e e x e C C x x x x+=-+=-++=+++++⎰．由(0)1F =及2(0)1F C =+得0C =，因为()0F x >，所以()F x ， 则232()2(1)x xef x x =+．147习题 4-31．求下列不定积分：(1)cos3d x x x ⎰； (2)d x x ；(3)4d x xe x -⎰； (4)2arctan d x x x ⎰；(5)sin d x e nx x -⎰； (6)sin(ln )d x x ⎰；(7)1lnd 1xx x x+-⎰； (8)x ⎰； (9)sin cos d x x x x ⎰； (10)2(arcsin )d x x ⎰； (11)ln(x x ⎰； (12)2ln d (1)x xx x ++⎰；(13)2(1)ln d x x x +⎰； (14)2d (1)xx xe x e +⎰． 2．证明下列递推公式： 设tan d n n I x x =⎰，则121tan ,1n n n I x I n n --=--为自然数且2n ≥． §4 几种特殊类型函数的积分前面介绍了不定积分的两种基本方法---换元积分法和分部积分法．下面介绍几种特殊类型函数的积分．一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即如下形式的函数11101110()()n n n n m m m m a x a x a x a P x Q x b x b x b x b ----++++=++++， 其中,m n 皆为自然数．当n m ≥时称有理函数为假分式；当n m <时称有理函数为真分式．利用多项式的除法，可以把假分式化为多项式与真分式之和，例如1484333212111x x x xx x x --+=-+--， 多项式的不定积分我们已经会求了，因此只需讨论真分式的不定积分的求法．1．真分式()()P x Q x 分解成最简分式 根据代数学的部分分式分解定理，任何一个真分式()()P x Q x 都可以唯一地分解为下列四种形式的最简分式的和：Ax a-； ()k A x a -； 2M x N x p x q +++； 2()kMx N x px q +++． 其中,,,,,A M N a p q 都是常数；240p q -<，即二次三项式2x px q ++在实数范围内不能再分解成两个一次因式的乘积；2,3,k =．分解的具体原则是：（1）若()Q x 中含有一次单因式x a -，则()()P x Q x 的分解式含有一项： A x a-． （2）若()Q x 中含有一次k 重因式()(2)kx a k -≥，则()()P x Q x 的分解式一般含有k 项： 31223,,,,()()()kkA A A A x a x a x a x a ----． （3）若()Q x 中含有二次单因式2x px q ++(240p q -<)，则()()P x Q x 的分解式含有一项：2Mx Nx px q+++．（4）若()Q x 中含有二次k 重因式2()kx px q ++(240,2p q k -<≥)，则()()P x Q x 的分解式一般含有k 项：14911222222,,,()()k kkM x N M x N M x N x px q x px q x px q +++++++++． 例1 化真分式25()(1)(2)x f x x x -=+-为部分分式的和．解 设225(1)(2)1(2)2x A B Cx x x x x -=+++-+--(,,A B C 为待定系数) 22(2)(1)(1)(2)(1)(2)A xB xC x x x x -++++-=+-， 两端去分母后，有2(2)(1)(1)(2)5A x B x C x x x -++++-=-． 比较等式两边x 的同次幂的系数得041425A C A B C A B C +=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=-⎩， 解方程组得 22,1,33A B C =-=-=， 所以22521121()(1)(2)31(2)32x f x x x x x x -==-⋅-+⋅+-+--．例2 化真分式21()(12)(1)f x x x =++为部分分式的和． 解 设221(12)(1)121A Bx Cx x x x +=+++++(,,A B C 为待定系数)，两端去分母后有21(1)()(12)A x Bx C x =++++，比较等式两边x 的同次幂的系数得20201A B B C A C +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩， 解方程组得 421,,555A B C ==-=，150所以 22141121()(12)(1)51251x f x x x x x-==⋅-⋅++++． 2．四类最简分式的不定积分由于真分式都可以分解为最简分式之和，因此真分式的积分归结为四类最简分式的积分，下面分别讨论其求解方法．(1)d ln Ax A x a C x a =-+-⎰．(2)1d (2,3,)()(1)()nn A Ax C n x a n x a -=+=---⎰． (3)22(2)22d d M Mp x p NMx N x x x px q x px q+-++=++++⎰⎰ 2222d()d ()22()()24Mx px q MpxN p px px q x q ++=+-++++-⎰⎰2ln 2Mp p N x M x px q C -+=++++， 其中240p q -<．(4)22(2)22d d ()()n nM Mpx p NMx N x x x px q x px q +-++=++++⎰⎰ 222d()d ()2()2()nnMx px q Mp xN x px q x px q ++=+-++++⎰⎰ 2122d()()2()2(1)24()24nn p x M x px q Mp N n p q p x -+++=+--⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰， 其中240,2,3,p q n -<=．等式右端第二项的不定积分可以利用§4.3例9得到的递推公式计算．151通过上面的讨论可知，每一个有理函数的原函数都是初等函数．从原则上说，有理函数的不定积分的求法已经解决．例3 求43321d 1x x x x x --+-⎰． 解 被积函数是假分式，先将它表示成多项式和真分式之和，4333212111x x x xx x x --+=-+--，再将真分式分解成最简分式之和，3221(1)(1)11x x A Bx Cx x x x x x x +==+--++-++， 两边去分母得2(1)(1)()x A x x x Bx C =+++-+，比较等式两边x 的同次幂的系数得010A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩， 解方程组得 111,,333A B C ==-=． 于是43322111d 21d 13(1)3(1)x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-=-+-⎢⎥--++⎣⎦⎰⎰ 2211213ln 1d 361x x x x x x x +-=-+--++⎰2221d()11d(1)1ln 13612)(22x x x x x x x x +++=-+--+++⎰2211ln 1ln 136x x x x x C =-+--+++．例4 求25d (1)(2)x x x x -+-⎰．152解 由例1得22521121(1)(2)31(2)32x x x x x x -=-⋅-+⋅+-+--， 所以22521121d d d d (1)(2)31(2)32x x x x x x x x x x -=--++-+--⎰⎰⎰⎰ 212ln 1ln 2323x x C x =-+++-+-122ln 231x C x x -=++-+． 例5 求22d (1)(1)xx x +-⎰．解 222222d (1)(1)d (1)(1)2(1)(1)x x x x x x x x +--=+-+-⎰⎰22111()d 211x x x =--+⎰ 111ln arctan 412x x C x -=-++． 二、三角函数有理式的积分由三角函数及常数经过有限次四则运算而得到的式子叫做三角函数有理式．例如1sin 11,,cos (1tan )sin tan 54sin x x x x x x++++等均是三角函数有理式．因为各种三角函数都可用sin x 和cos x 的有理式表示，所以一般用记号(sin ,cos )R x x 表示三角函数有理式．对于一般的三角函数有理式的不定积分，可用万能代换tan2xt =化为有理函数的积分，即令tan 2x t =，则2arctan x t =，22d d 1x t t =+，22sin 1tx t=+，221cos 1t x t -=+，于是 2222212(sin ,cos )d (,)d 111t t R x x x R t t t t -=+++⎰⎰，从而上式成为右端是t 的有理函数的积分．例6 求d 2sin cos 3xx x -+⎰．153解 令tan2xt =，于是 2222d 12d 212sin cos 312311xt t t x x tt t =⋅--++-+++⎰⎰222d d(12)4421(12)t t t t t +==++++⎰⎰ arctan(12)arctan(12tan )2xt C C =++=++．如果被积函数是由22sin ,sin cos ,cos ,tan x x x x x 及常数施于四则运算而得到的，那么令tan x t =，可使解法更为简单．例7 求2tan d 12cos xx x +⎰．解 令tan t x =，则22211cos ,1tan 1t x x ==++2d d d(arctan ),1t tx t ==+于是222tan d d 212cos 1t 11t x t t x x =++++⎰⎰221d ln(3)3t 2t t t C ==+++⎰21ln(3tan )2x C =++． 必须注意，万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但有时代换后所得到的被积函数是较复杂的有理函数，积分较繁．因此在计算三角函数有理式的积分时，不能单一地套用万能代换，要选择适当的代换或方法，以简化计算，例如：若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可令sin t x =； 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可令cos t x =； 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可令tan t x =． 例8 求23sin cos d x x x ⎰．解 被积函数满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，于是令sin t x =，得2322sin cos d sin (1sin )d(sin )x x x x x x =-⎰⎰24()d t t t =-⎰351135t t C =-+3511sin sin 35x x C =-+． 例9 求2sin d 1sin xx x +⎰．解 被积函数满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，于是令cos t x =，得222sin d(cos )d d 1sin cos 22x x tx x x t ==+--⎰⎰⎰154C =+C =+．例10 求421d sin cos x x x ⎰．解 被积函数满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，于是令tan t x =，得224442244111(1tan )cos d d d(tan )sin sin cos cos tan cos x xx x x x x x x x x+=⋅=⎰⎰⎰22442(1)12d (1)d t t t t t t+==++⎰⎰ 331212tan 33tan tan t C x C t t x x=--++=--++． 三、简单无理函数的积分简单无理函数的积分在第二换元积分法中已有提到，只是那时所举的例题比较特殊，而一般简单无理函数的积分只有在学习了有理函数的积分后才能解决．对不定积分(R x x ⎰t =，将其化为有理函数的积分来求解．对不定积分(R x x ⎰t =，将其化为有理函数的积分来求解．例11求x ．解t =，则322,d 3d x t x t t =-=，于是231d 3(1)d 11t x t t t t t ==-+++⎰⎰213ln 12t t t C ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦3ln 1C =． 例12求x ．解t=，则211xt=-，222dd(1)t txt-=-，于是222222d d(1)2(1)1t t t tx t tt t-=-=---⎰⎰2112(1)d2ln11tt t Ct t-=-+=--+-+⎰ln C=-+ln C=-+．例13求x．解t=，则6x t=，5d6dx t t=，于是522326d6d(1)1t tx t tt t t==+⋅+⎰⎰6(arctan)arctant t C C=-+=+．注一般地，形如R x⎰的积分，令t=(k是,m n的最小公倍数)．例14求x．解先对分母进行有理化，于是x x=x=⎰111)1)32x x=+-+155156332221(31)(21)93x x C =+-++． 在本章的最后需要指出，积分运算与微分运算还有一个很不同的地方．大家知道，任何一个初等函数若存在导数，则其导数都可以根据基本导数表和微分法的一般法则求出来，并且求导后仍然是初等函数．但是有许多初等函数的原函数不能表示为初等函数．例如sin d x x x ⎰d ,,ln x x ⎰2d ,x e x -⎰2sin d x x ⎰等． 习题 4-41．求下列不定积分： (1)3d 1x x +⎰； (2)()2d 1xx x +⎰； (3)3237d 44x x x x x -+++⎰； (4)3d 32xx x x -+⎰；(5)1d (1)(2)(3)x x x x +++⎰； (6)3d 3x x x +⎰； (7)221d (1)(1)x x x x ++-⎰； (8)522d (1)(1)x x x x --⎰； (9)331d 4x x x x--⎰； (10)2221d (1)(1)x x x x ++-⎰． 2．求下列不定积分：(1)d 2sin x x +⎰ ； (2)d 4sin 3cos 5xx x ++⎰； (3)2d 3sin x x+⎰； (4)d sin tan xx x +⎰； (5)sin d sin cos xx x x+⎰； (6)5sin d x x ⎰；(7)2sin d 1sin x x x +⎰； (8)sin d 1sin xx x+⎰； (9)1d (54sin )cos x x x +⎰．1573．求下列不定积分： (1)； (2)x ； (3)x ⎰； (4)x ； (5)2d (2)xx -； (6)；(7)x ； (8)x ； (9)x ； (10)x ． 总 习 题 四1．求下列不定积分： (1)44cos 2d sin cos xx x x+⎰； (2)x ； (3)； (4)x ⎰； (5)(arctanx ⎰； (6)211ln d 11xx x x+--⎰； (7)ln(2)ln d (2)x x x x x +-+⎰； (8)；(9)d sin cos 5x x x --⎰； (10)cos d x xe x x ⎰；(11)x ⎰； (12)22d sin 2cos x x x+⎰；158(13)x ； (14)2d (1)x xxe e +⎰； (15)(1sin )d 1cos x e x x x ++⎰； (16)x ；(17)(18)d 1cos xx x +⎰；(19)arcsin d x x ； (20)d x x ；(21)arcsin arccos d x x x ⋅⎰； (22)x ；(23)x ； (24)2arcsin d (1)xx x -⎰；(25)2(d x x⎰； (26)22sin d x e x x ⎰； (27)()arctan 322d 1xe x x +⎰； (28)22(tan 1)d x e x x +⎰；(29)xx ； (30)arctan(1x ⎰；(31)x ； (32)；(33)arctan 322d (1)x xe x x +⎰； (34)2(ln )d x x e x x +⎰；(35)22arctan d (1)x x x x +⎰； (36)2ln(1)d x x x x +-⎰；(37)3x ； (38)x x ；159(39)322ln d (1)x x x +⎰．2．设2(sin )(01)sin x f x x x =<<，求()d f x x ． 3．()f x 的原函数()0F x >，且(0)1F =，当0x >时，()()cos 2f x F x x =，求()f x ． 4．计算2222d sin cos xI a x b x =+⎰，其中,a b 是不全为0的非负常数． 5．已知sin xx是()f x 的一个原函数，求3()d x f x x '⎰．6．设222(1)ln 2x f x x -=-，且[]()ln f g x x =，求()d g x x ⎰．7．设()F x 为()f x 的一个原函数，且21()()2x f x F x xe =，已知(0)1F =，()0F x >，求()f x ．8．设1()()()F x f x f x =-，1()()()G x f x f x =+，2()()F x G x '=，且()14f π=，求()f x ．9．若()f x 的一个原函数为2x e ，求2()d x f x x ''⎰．。