双曲线的性质

双曲线性质双曲线性质双曲线，数学术语，简称双曲线。

指具有两个渐近线的函数图形，即渐近线垂直相交的两条曲线，常用I表示。

其中渐近线是一组平行于x轴的直线，其距离为常数。

1。

任何双曲线都可以用“割线法”求出其渐近线。

2。

一般地，双曲线可以分为一般双曲线和极限双曲线。

3。

双曲线和圆有着密切的联系。

4。

双曲线的渐近线是由双曲线和一点构成的向量组成的一个平面区域。

5。

双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。

6。

双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。

7。

两个双曲线相交，它们的公共点就是交点;不在同一个单位球上的双曲线，它们的公共点也不是交点。

8。

任意两个双曲线都可以通过坐标轴化简为一个平面区域。

9。

已知任意两个双曲线的一个面积和另一个面积之比，那么它们的公共面积也可以求出来。

10。

两个双曲线相交，只要它们的面积之比不超过两个公共点之间的距离的平方，就可以说这两个双曲线相互平行。

11。

一条双曲线与两条直线相交，若一条双曲线在此直线的左方，则这两条直线在这条双曲线右方;若一条双曲线在此直线的右方，则这两条直线在这条双曲线的左方。

12。

如果双曲线的一支过(0， 1)，且方程是x=ax+b，另一支过(-1， 0)，且方程是x=bx+c，则两者在y轴的截距分别为|a-b|与|c-a|。

13。

若两双曲线相交，两双曲线的交点在(0， 1)，且方程是x=ax+b，则(-b， a)在双曲线y轴的截距为|-b|与|a-b|之和。

14。

设双曲线的一支过(a， b)，另一支过(0， -b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|a-b|与|-b|之差。

15。

若两条相交双曲线的交点在(0， b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|-b|之和。

16。

若两双曲线相交，两双曲线的交点在(-b， a)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|a-b|之差。

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。

双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。

双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。

这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。

2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。

在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。

3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。

4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。

5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。

双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。

根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。

双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。

虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。

双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。

（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。

（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。

（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。

双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。

（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。

（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。

（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。

（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。

双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。

一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。

假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。

二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。

设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。

三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。

即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。

3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。

这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。

双曲线的定点到焦点的距离等于a。

四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。

1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。

2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。

3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。

总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。

双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。

双曲线的知识点
双曲线是一类空间曲线，即通过三维空间中某点的双曲线来定义曲线的切线方向和斜率。

双曲线用双曲线方程表示，由椭圆和双曲线的混合形式构成的。

双曲线的定义：双曲线是一种曲线，它是由双曲线方程表示的，这个方程一般可以表
述为x2/a2-y2/b2=1。

其中a、b叫做双曲线的离心率。

双曲线的概念：双曲线既包括椭圆表示的偶双曲线, 也包括双曲线表示的奇双曲线。

双曲线特别重要的概念是渐近线，即双曲线上每条切线和本身曲线的交点。

渐近线有两类：正因线和负因线。

双曲线的性质：双曲线的主要性质包括椭圆的部分性质：它的轴对称、它的离心率是
固定的。

其他性质有：它的曲线是可对称的、它的两个焦点相等。

双曲线的性质：双曲线也有一些独有的性质：曲线穿越渐近线具有序列性（即从穿过
左边渐近线的点到右边渐近线的点是有序排列的）；曲线也有切线方向和斜率，这是双曲
线与其他曲线区别的地方。

双曲线的图形：双曲线的图形可分为偶双曲线和奇双曲线。

偶双曲线的图形是一个椭圆，而奇双曲线的图形由两条抛物线组成，两条抛物线的中心点成直线，称为心线。

双曲线的重要应用：双曲线有着重要的应用，用双曲线方程式求速度的问题就是一个
例子，同时双曲线对几何求解有重要的作用，用双曲线可以确定空间直线点积和空间点型
曲线点积。

总之，双曲线是一类重要的空间曲线，它可以用双曲线方程表示，并且双曲线也有一
些独有的性质，此外，它也具有重要的应用概念。

双曲线的知识点总结双曲线作为数学中的一种重要曲线，具有独特的特点和性质。

在解决各种实际问题中，双曲线有着广泛的应用，如电磁场的分布、天体运动和经济学中的供求关系等。

本文将就双曲线的定义、公式、性质和应用等方面进行探讨，帮助读者更全面地了解双曲线。

一、双曲线的定义和基本公式双曲线通常由两个分离的曲线枝组成，其特点是离心率大于1。

在直角坐标系中，双曲线可表达为以下形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 （当双曲线方程为横轴的方程时）或(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = -1 （当双曲线方程为纵轴的方程时）其中，a和b分别是双曲线的半轴长度。

双曲线的中心为原点O(0,0)。

二、双曲线的性质和特点1. 焦点和离心率：双曲线的焦点是与两条曲线枝的交点，用F1和F2表示。

焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数2a。

双曲线的离心率表示焦点到曲线枝的距离与焦点与中心的距离之比。

双曲线的离心率大于1，可以通过焦点和离心率的关系来判断双曲线。

2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们分别与曲线枝趋于无穷远。

这两条渐近线的斜率分别为±b/a，即y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

在这两条渐近线的范围内，双曲线的形状与直线逐渐靠近。

3. 对称轴：双曲线的对称轴是连接两条曲线枝的直线，过中心且垂直于渐近线。

对称轴的方程可以由双曲线的方程中x和y的系数的交换得到；若双曲线方程为横轴类型，则对称轴方程为y=0；若双曲线方程为纵轴类型，则对称轴方程为x=0。

三、双曲线的应用1. 电磁场分布在电场和磁场的研究中，双曲线常被用来描述特定范围内的电荷分布或者磁场强度。

利用双曲线的性质，可以确定特定区域内的电场强度或磁场强度的分布规律，为电磁场的研究提供重要的工具和理论支持。

2. 天体运动在天文学中，双曲线在描述天体运动时也有着广泛的应用。

例如，彗星的轨迹往往是双曲线状的，通过对双曲线性质的研究，可以了解到彗星的运动轨迹、速度和轨道参数等信息。

双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22a x -22by ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±abx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e ＝ac＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22by ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22by ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝ac(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝cb 2，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22by ＝1的右支上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;P 在左支上时，则 ｜PF 1｜-(ex 1+a),｜PF 2｜＝-(ex 1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y ＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y ＝±43x ，求双曲线方程. 分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b 之间的关系，以Q 点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b 的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x -92y ＝λ(λ≠0)，将Q 点坐标代入求得 λ＝4故所求双曲线方程为 162x -362y ＝1.(2)当双曲线的焦点在x 轴上时，设其方程为22a x -22by ＝1,依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,43,56422222b a c a b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.366422b a 故所求双曲线方程为 642x -362y ＝1当双曲线焦点在y 轴上时，同理求得其方程为：22)332(x -22)9128(y ＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x -362y ＝1或22)332(x -22)9128(y ＝1.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点F 2，作斜率为2的弦AB ，求｜AB ｜的长.分析 运用焦半径知识较为简便. 依题意有a ＝3,c ＝5,e ＝35,F 2(5,0) 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=1169)5(222y x x y 消去y 得 5x 2-90x+261＝0. 设方程的两根为x 1,x 2. 于是｜AB ｜＝e(x 1+x 2)-2a ＝35×590-6＝24. 注：若用弦长｜AB ｜＝221+·212214)(x x x x -+解计算量显然大一些，本例中AB 为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l 和双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：｜AB ｜=｜CD ｜.分析 若直线l 和x 轴垂直，结论显然成立；若直线l 不与x 轴垂直，则可设l 的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2(m 2+b 2)=0,设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=22222ka b kma -再将y=kx+m 代入双曲线渐近线方程b 2x 2-a 2y 2=0 并整理得 (b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2m 2=0.设B(x 3,y 3),C(x 4,y 4),则x 3+x 4=22222ka b kma - ∴x 1+x 2=x 3+x 4表明线段AD 的中点和线段BC 的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x -92y ＝1的渐近线方程为：y ＝±43x将x ＝2代入方程y ＝43x 得y ＝43·2＝23<3 ∴点(2，3)在直线y ＝43x 的上方，于是设所求的双曲线方程为：22a y -22bx ＝1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=123432222b a b a )2()1( 由(1)设a ＝3k,b ＝4k ，代入(2)得：299k -2164k ＝1∴k ＝±23(舍负) ∴a ＝323b ＝23∴所求方程为：4272y -122x ＝1即2742y -122x ＝1分析二 与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x -92y ＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x -92y ＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ ∴λ＝-43 所求方程为：162x -92y ＝-43即：2742y -122x ＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a 、b ，进而求出双曲线方程.(2)方程22αx -22βy ＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：αx +βy ＝0和αx -βy＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22αx -22βy ＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线122y -132x ＝1的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y 1+y 2;(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标. 分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义. (2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a ＝23,b ＝13,c ＝5,∴e ＝a c＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF ｜＝e(y 1-c a 2)＝ey 1-a ＝635y 1-23, ｜CF ｜＝e(y 2-c a 2)＝ey 2-a ＝635y 2-23, ｜BF ｜＝e(6-c a 2)＝6e-a ＝6×635-23=33. 又｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列，∴｜AF ｜+｜CF ｜＝2｜BF ｜，即(635y 1-23)+( 635y 2-23)＝2×33,∴y 1+y 2＝12. (2)证明：设x 1+x 2＝t ，则线段AC 的中点为(2t,6).∵1221y -1321x ＝1, 1222y -1322x ＝1.∴12))((2121y y y y -+-13))((2121x x x x -+＝0,∴2121x x y y --＝131(x 1+x 2)＝13t .∴线段AC 的垂直平分线的斜率k ＝-t 13，从而其方程为y-6＝-t 13 (x-2t)，即(y-225)t+3x ＝0，显然它过定点(0，225). 点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22a x -22by ＝1上一点P(x 1,y 1)的左、右焦半径长为｜PF 1｜＝±(ex 1+a),｜PF 2｜＝±(ex 1-a)(其中P 在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)左、右焦点分别为F 1和F 2，P 是它左支上点，P 到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P ，使d,｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x 0,y 0)且x 0≤-a ，使d ，｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，则｜PF 1｜2=d ｜PF 2｜， 设d ′为P 点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF 1='2d PF =e ∴｜PF 1｜=ed,∴(ed)2=d ·ed ′，∴ed=d ′，∴e(-c a 2-x 0)=-x 0+ca 2, ∴x 0=e e a -+1)11( ∵x 0≤-a,∴ee a -+1)11(≤-a,∴e 2-2e-1≤0，∴1-2≤e ≤2+1,又e ＞1， ∴1＜e ≤2+1.故当双曲线的离心率e ∈(1, 2+1)时，存在满足条件的P ，而当e ∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD ｜，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e 的取值范围.分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.依题意，记A(-C ，0)，C(2c ,h),E(x 0,y 0,)其中c=21｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h 42e -22b h =1,①42e (12+-λλ)2-(1+λλ)222b h =1 ②由①式得22bh =42e -1③把③式代入②式，整理得42e (4-4λ)=1+2λ 故λ=1-232+e由题设32≤λ≤43得32≤1-232+e ≤43.解得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C 点纵坐标，用a 、b 、c 表示，然后将E 点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e 与λ的等式，由λ范围求出e 的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M 、N ，点M 的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N 的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N 的轨迹有且只有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)恰是线段AB 的中点?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N 的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知 ｜｜SM ｜-｜SN ｜｜=｜｜TM ｜-｜TN ｜｜≠0 ∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM ｜=13,｜TM ｜=15.1°当｜SM ｜-｜SN ｜=｜TM ｜-｜TN ｜时，有｜TN ｜-｜SN ｜=2＜14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的双曲线C 的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C 的方程：x 2-482y =1(x ＜0). ∴点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0,y ≠±12). 2°当｜SM ｜-｜SN ｜=-(｜TM ｜-｜TN ｜)时，有｜TN ｜+｜SN ｜=28＞14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的椭圆Q ，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q 方程：1962x +1472y =1.∴点N 的轨迹方程为1962x +1472y =1(y ≠±12).综合1°、2°，点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0＝和1962x +1472y =1，其中y ≠±12.(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x=1，可得m=1.2°当k 存在时，设直线l :y=kx+m-k.若l 过点M 或点D.∵两点M 、D 既在双曲线C 上，又在椭圆Q 上，但不在点N 的轨迹上 ∴l 与点N 的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l 不过M 、D 两点.当-43＜k 2＜43时(双曲线C 的渐近线方程为y ±43=0)，利用图像知，直线l 与点N 的轨迹有三个公共点，不合题意.当-∞＜k ≤-43或43＜k ≤+∞时，直线l 与点N 的轨迹有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)是AB 的中点. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则在 3x 21+4y 21=12×49, ① 3x 22+4y 22=12×49, ② ①-②，得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)(y 1-y 2) ③ 将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m,2121x x y y -- =k 代入③，得k=-m43.当43≤k ＜+∞，即43≤-m43＜+∞时，有-163≤m ＜0.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知双曲线kx 2-2ky 2=4的一条准线是y=1，则实数k 的值等于( ) A.23 B.-32 C.-23 D.32 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点B.焦点C.准线D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-42x +22y =1B. 42x -22y =1C.- 22x +42y =1D. 22x +42y =14.已知双曲线的半焦距为C ，两准线间的距离为d ，且c=d,则双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C.3D.25.当8＜k ＜17时，曲线k x -172+ky -82=1与82x +172y =1有相同的( )A.焦距B.准线C.焦点D.离心率二、填空题 6.以y=±21x 为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 . 7.双曲线42x -82y =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线92x -162y =1的右焦点F 作倾斜角为4的弦AB ，求弦AB 的长及AB 的中点M到右焦点F 的距离.AA 级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线32x -y 2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y 2-x 2=9 B.x 2-3y 2=9C.3y 2-9x 2=1D.3x 2-y 2=3 2.双曲线的两条渐近线方程为y=±43x,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或215 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是( )A.49 B.29C.9D.104.已知双曲线642x -362y =1上的一点P 到右焦点的距离为14，则P 点到左准线的距离为( )A.22B.24C.26D.285.已知双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k PF 的取值范围是( )A.k ≤0或k ≥1B.k ＜0或k ＞1C.k ≤-1或k ≥1D.k ＜-1或k ＞1二、填空题6.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .7.双曲线32x -y 2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线22ax -22b y =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2，0)和AB 中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化训练】1.过点A(1，1)且与双曲线x 2-y 2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A.33B. 2C.3D.23.若双曲线的两条渐近线是y=±23x ，焦点F 1(-26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A.26138B.26134C.261318D.261394.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x 2+25y 2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. 62x -42y =1B. 42x -62y =1C.52x -32y =1D.32x -52y =15.已知E 、F 分别是离心率为215 的双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF 等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题6.已知双曲线162x -92y =1和点A(6，2)、B(5，0)，M 是双曲线上的一个动点，则45｜MA ｜+｜MB ｜的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y=±21x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A(5，0)和曲线y=142x (2≤x ≤25)上的点P 1，P 2，…，P n ，若｜P 1A ｜，｜P 2A ｜,…，｜P n A ｜成等差数列并且公差d ∈(51,51),求n 的最大值.10.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)离心率e=323，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离23. (1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为362x -225162y =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x 2-y 2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C 、D 两点，且使N 为CD 的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x 0,y 0)，双曲线方程为22a x -22by =1，若过点N 的双曲线的中点弦存在，则N 点应在什么位置?其方程又为何?2.点P 是双曲线32x -122y =1右分支上任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：3tan2α=tan 2β. 解：在△PF 1F 2中，利用正弦定理及分比定理得βsin 1PF =αsin 2PF =)sin(21βα+F F =αβsin sin 21--PF PF ，∴2cos2sin28βαβα++=2sin2cos24αββα-+，即2sin2αβ-=sin2βα+,展开并简化，得3sin2αcos 2β=sin 2βcos 2β， ∴3tan 2α=tan 2β.【知识探究学习】舰A 在舰B 的正东6km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4s 后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s ，炮弹的速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则A 、B 、C 舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，23).记动物所在位置为P ，则｜PB ｜=｜PC ｜，于是P 在BC 中垂线上，其方程为3x-3y+73 =0.又A 、C 两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB ｜-｜PA ｜=4,于是P 在双曲线42x -52y =1的右支上，求得P 点坐标是(8，53)且｜PA ｜=10.又k PA =3，∴直线PA 的倾斜角为60°，于是舰A 发射炮弹的方位角是北偏东30°，设发射的仰角是θ，初速度为v 0=3320g ,则g v θsin 20=θcos 100v ，∴sin2θ=210v g =23, ∴仰角θ=30°参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.D3.A4.B5.A6. 202x -52y =1或202x -52y =-1 7. 334,arctan228.332 9.解：由椭圆1692x +1442y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±34x 的距离为圆的半径.∴r=50354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2=16.10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB 的方程代入双曲方程，得7x 2+90x-369=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-790,x 1x 2=-7369,∴｜AB ｜=212214)(2x x x x -+=7184322=7192，又x m =221x x +=-745,∴｜MF ｜=2｜x M -5｜=7280 AA 级1.B2.C3.B4.B5.B6.-5217.y=±21 8.a9.解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y 消去y 得，(1-k 2)x 2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k 2)x 2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A 、B 两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<-=+>-+=0)1()1(2120)1(84222122f k k k x x k k △ 解得1＜k ＜2，又AB 中点为(221k k -,211k -)，∴直线l 的方程为211k y-=2122+-+k kx ⇒y=2222++-+k k x ，令x=0,b=2222++-k k =1617)41(12+--k ，由k ∈(1, 2)知b ＜-2-2或b ＞2，故直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2,+∞).10.证明：设PQ 是过焦点F 的弦，M 是PQ 的中点，l 是与F 相应的准线，分别过P 、Q 、M 作l 的垂线，垂足为P 1、Q 1、M 1，则｜MM 1｜=21｜｜PP 1｜±｜QQ 1｜｜=21·｜e PF 1±e PF 2｜=e21｜PQ ｜=e R＜R ，当P 、Q 位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ 为直径的圆必与准线l 相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos RMM 1=2arccose1为定值. 【素质优化训练】1.B2.C3.A4.A5.C6. 277.arctan 724 8. 42x -y 2=19.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即42x -y 2=1,(2≤x ≤25,y ≥0),A(5 ,0)是它的右焦点，其右准线为l :x=54,e=25,设P n (x n ,y n )(2≤x n ≤25,y n ≥0)，则｜P n A ｜=e(x n -54)=25x n -2,∴｜P n A ｜min=5-2,｜P n A ｜max=3,依题意，可设等差数列首项a 1＝5-2,第n 项a n =3=5-2+(n-1)d,得d=155--n (n ＞1)，又51＜d ＜51，∴51＜155--n ＜51,得55-4＜n ＜26-55,而7＜55-4且26-55＜15，∴7＜n ＜15，故n 可取最大值为14.10.解：(1)过AB 的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得22b a ab +=23①，又e=a b a 22+=332 ②，由①、②得b=1,a=3，即所求双曲线方程为32x -y 2=1(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 消去y,得(3k 2-1)x 2+6kmx+3(m 2+1)=0，当3k 2-1≠0即k ≠±33时，△=12(m 2-3k 2+1)＞0,即m 2-3k 2+1＞0 ③，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 中点为M(x 0,y 0).则x 0=221x x +=1332--k km ，y 0=kx 0+m=-132-k m，因C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，∴AM ⊥CD,而k AM =km m k 313--- k CD =k ，∴km m k 313---=-k1⇒3k 2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0m ＞-41 ⑤，将④代入③：m 2-(4m+1)+1＞0，得m ＜0或m ＞4，综合⑤得m 的取值范围为(-41，0)∪(4,+∞)。