八年级上华东师大版第十四章勾股定理复习教案

第十四章 勾股定理回顾与思考教学目标1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。

2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。

3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。

教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。

教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。

教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等 教学方法：启发式教育 教学过程一、回顾与思考1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？ 3．直角三角形还有哪些性质？4．如何判断一个三角形是直角三角形？ 5．你知道勾股定理的历史吗？ 一、讲例问题：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？（留几分钟的时间给学生思考） 分析：1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的长？解：根据勾股定理，在Rt △OAB 中，AB=3m ，OA=2.5m ，OB 2=AB 2-OA 2= 32-2.52=2.75。

∴OB ≈1.658m ；在Rt △OCD 中，OC=OA-AC=2m ，CD=AB=3m ，OD 2=CD 2-OC 2= 322。

BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m∴如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.58m 。

例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c 2＝a 2＋b 2证明：大正方形面积可表示为c 2，也可以表示为21ab ·4＋（b —a ）2所以c 2＝21ab ·4＋（b —a ）2＝2ab ＋b 2－2ab ＋a 2＝a 2＋b 2故c 2＝a 2十b2 例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD ＝4，AB ＝3，DB ＝5，DC ＝12，BC ＝13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。

解：在△ABC 中，AB 2＋AD 2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD 2所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90°在△DBC 中，BD 2＋DC 2＝52＋122＝25＋144＝169＝132＝BC2所以△DBC 是直角三角形，∠CDB ＝90° 因此这个零件符合要求。

二、随堂练习一、判断题。

1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）二、填空题。

1．已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形是 2．△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，以BC 为边的正方形面积为 3．三条线段m 、n 、p 满足m 2一 n 2＝ p 2，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。

BA341．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（）。

A．4组 B．3组 C．2组 D．l组2．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定一．作业1．已知 a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）。

试说明LABC为直角三角形。

2．若三角形ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c 试判断△ABC 的形状。

3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC内一点，PA＝l，PB＝3，PC2＝7，求∠CPA 的大小。

4．四边形 ABCD中∠A＝90°，AB＝4cm，AD＝3cm，CD＝12cm，BC＝13CC，求S四边形ABCD三随堂练习巩固新知1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形．（1）a=7, b=24, c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn, c=m2+n2.（m，n是正整数，且m＞n）．△ABC是直角三角形吗？请说明理由．3 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？ABEFDC六巩固提高运用1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB=米，4BC=米，12CD=米，13DA=米，且AB BC⊥，这块草坪的面积是多少？ABCＡＤＣB拓展3 在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高?板书设计电教资源探究1 写出规律探究2 写出解题的过程探究4 建立方程探究5 写出解题的过程教学反思第14章勾股定理小结与复习教学目标知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．教学准备教师准备：投影仪，补充资料．学生准备：写一份单元复习小结．教学设计教学过程一、回顾与交流1．重点精析勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．2．例题精讲例在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．教师分析：因为Rt△的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．•分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2a2+b2=q2（勾股定理）∴2ab=p2-q2∴S Rt△ABC=12ab=（14p2-q2）（厘米2）学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．媒体使用：投影显示例题．教学形式：师生互动．3．课堂演练演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．参考答案：480m．演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b 当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．参考答案：b=34演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，•你能算出水池的深度吗？思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，•然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，•BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．4．难点精析勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）先确定最大边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC•不是直角三角形．此时情况有两种：（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；（2）当a2+b2<c2时，三角形为钝角三角形．5．范例精讲例如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC•是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，•所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，•从而再应用勾股定理求出AC的长．解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，所以BD=DC=12BC=10因为AD2+BD2=576+100=676，AB2=262=676，AD2+BD2=AB2所以∠ADB=90°，即AD⊥BC．（勾股逆定理）在Rt△ADC中AC=22222410AD DC +=+=26（勾股定理）评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD 垂直平分BC ，所以AC=AB=26． 6．课堂演练演练一：在数轴上作表示-5的点．思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A ，以O （原点）为圆心，OA 为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？ 演练三：设△ABC 的3条边长分别是a ，b ，c ，且a=n 2-1，b=2n ，c=n 2+1． （1）填表：n a b c a 2+b 2c 2△ABC 是不是直角三角形 2 3 4 5 25 25 3 4 5 6… … … … ………（2）当n 取大于1的整数时，以表中各组a ，b ，c•的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3•个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n 倍呢？为什么？ （4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，•把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，•工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．媒体使用：投影显示“演练题”．教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．二、构筑知识系A.B.三、随堂练习课本P62复习题第4，7，10，11题．四、布置作业1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题．2．选用课时作业设计．五、课后反思（略）课时作业设计一、填空题1．在△ABC中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________．二、选择题5．在下列说法中是错误的（）．A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若a=35c，b=45c，则△ABC为Rt△D．在△ABC中，若a：b：c=2：2：4，则△ABC为直角三角形6．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．A．6cm B．5cm C．3060. 1313cm D cm7．下列线段不能组成直角三角形的是（）．A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，b=2，c=6C．a=54，b=1，c=34D．a=2，b=3，c=138．有四个三角形：（1）△ABC的三边之比为3：4：5；（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；（3）△A″B″C″的三个内角之比为1：2：3；（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（）．A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）三、解答题9．如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3•条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC•是直角吗？请说明理由．11．在图中，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A 点和B 点间的距离，一个观测者在C 点设桩，•使△ABC 为直角三角形，并测得AC 长20米，BC 长16米，A 、B 两点间距离是多少？四、探究题13．如图所示，在一块正方形ABCD•的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD 边上找出中点F ，在BC 边上找出点E ，使EC=14BC ，•然后沿着AF 、EF 、AE 裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．14．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，•使点D 与点B 重合．求：（1）折叠后DE 的长； （2）以折痕EF 为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A答案:一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8二、5．B 6．D 7．B 8．D三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2 •12．12米四、13．方案正确，理由:裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．在Rt•△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，∴△AFE是直角三角形．14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-•（9-x）2=32，故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF•互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，∴以EF为边的正方形面积为144cm2．。