相对论的速度变换

第2课时 狭义相对论的其他结论 广义相对论简介[对点训练]知识点一·相对论速度变换公式1．设想有一艘飞船以v ＝0．8c 的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体，该物体相对于飞船的速度为0．9c ，从地面上的人看来，物体的速度为( )A ．1．7cB ．0．1cC ．0．99cD ．无法确定 答案 C解析 根据相对论速度变换公式：u ＝u ′＋v 1＋u ′v c2，得u ＝0.9c ＋0.8c1＋0.9c ×0.8c c2≈0．99c ，故C正确。

2．在某实验装置中，粒子A 从直线加速器中出来时的速度为0．8c ，粒子B 出来时的速度为0．4c ，方向一样，求粒子A 相对粒子B 的速度是多少？答案 0．59c解析 u ＝0．8c ，v ＝0．4c ，由相对论速度变换公式得u ＝u ′＋v1＋u ′v c2，即0．8c ＝u ′＋0.4c1＋0.4c ·u ′c 2，解得u ′＝0．59c ，粒子A 相对于粒子B 的速度是0．59c 。

知识点二·相对论质量和质能方程3．1905年，爱因斯坦创立了“相对论〞，提出了著名的质能方程，如下对质能方程的理解正确的答案是( )A ．假设物体能量增大，如此它的质量增大B ．假设物体能量增大，如此它的质量减小C ．假设核反响过程质量减小，如此需吸收能量D ．假设核反响过程质量增大，如此会放出能量 答案 A解析 由E ＝mc 2可知，假设E 增大，如此m 增大，假设E 减小，如此m 减小，A 正确，B 、C 、D 错误。

4．(多项选择)关于E ＝mc 2的说法中正确的答案是( )A ．质量为m 的物体，就储存有mc 2的能量 B ．质量为m 的物体，对应着mc 2的能量C ．如果物体质量减少Δm ，就将该质量转化为mc 2的能量 D ．如果物体质量减少Δm ，物体就减少Δmc 2的能量 答案 BD解析 由质能方程E ＝mc 2可知，物体具有的能量和物体的质量存在对应关系，物体的质量减少，能量也减少，减少的能量和减少的质量满足关系：ΔE ＝Δmc 2，B 、D 正确。

狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。

同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。

)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。

狭义相对论原理一，经典力学的特征1， 经典力学的研究对象：低速运动的宏观物体。

2， 经典力学的运动学特征：（1）绝对时空观，认为时间与空间无关。

时间间隔与空间间隔均不随参照系变化。

（2）惯性系间遵循伽利略变换。

约定参照系：S / 系相对S 系以速度u 沿x 轴运动，t=0 时O /O 重合。

⎪⎩⎪⎨⎧='='='⎪⎩⎪⎨⎧='='-='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='-='zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v uv v tt z z y y utx x 3， 经典力学的动力学特征： （1）物体质量不随运动变化，（2）力学规律对任何惯性系都时等价的。

由于质量m 和角速度a 都不随参照系变化，所以 F =m a 对任意惯性系都不变。

二，经典力学的困难经典物理认为存在绝对静止的参照系。

迈克耳孙—莫雷实验就是为了寻找“以太”这种绝对静止的参照系。

设两臂长度均等于l 。

地球（实验室）对以太速度为u 。

光对以太速度为c ，对地速度为v 。

根据速度合成原理：v=c+u 所以水平方向速率分别为：(c+u)，(c-u) 水平往返一次的时间为：()22112cu c l u c l u c l t -=-++=/垂直方向的速率均为：22u c -，往返一次的时间为：22222122cu c l uc l t -=-=两臂光线传播的时间差为：()222222222221212121212c u c l c u c l c u c l c u c l c u c l t t t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈---=-=∆ 将实验装置顺时针转90o ，两臂光线传播的时间差将再继续改变这个数值。

因此转动前后时间差的总改变量为： 32/22c lu t =∆ 所以光程差的改变量为： 22/22c lu t c =∆⋅=∆δ 引起干涉条纹移动的数目：22/2c lu N λλδ=∆=∆麦氏实验中 l =11m , u=3×104m/s (地球公转速度) , c=3×108 m/s λ.=5000A o 。

狭义相对论的五个公式高考物理高分之路《数理天地》高lf1版高考物理高分之路?狭义相对论五个式徐学金(河南省洛阳市第十九中学471000)1.相对长度z—z./1一(一u)V\c,(1)公式中l.是相对于杆静止的观察者测量出的杆的长度,而l可认为是杆沿杆的长度方向以速度7d运动时,静止的观察者测量出的杆的长度,也可以认为是杆不动,而观察者沿杆的长度方向以速度运动时测量出的杆的长度.(2)由公式可知运动的物体长度缩短.注意:杆沿运动方向的长度缩短,而垂直于运动方向上的长度不变.(3)长度的相对性又称为长度缩短.当物体以光速C运动,即一C时,由公式可得l一0,物体缩短为一个点;当物体运动速度q~tl,时,即《C时,由公式可得z—z.,回归到经典力学和经典时空观.例1惯性系S中有一边长为z的正方形(如图(A)所示),从相对S系沿z轴方向以接近光速匀速飞行的飞行器上测得该正方形的图象是(A)(B)(C)(D)(2008年江苏卷)分析由相对论知,沿运动方向的长度变短,垂直于运动方向的长度不变,所以正方形在z轴方向的边长变短,在Y轴方向的边长不变,图象(C)正确.2.相对时间间隔△￡垒三√卜()(1)公式中△r是相对于事件发生地静止的观察者测量同一地点两个事件发生的时间间隔,At则是相对于事件发生地以速度7-)运动的观察者测量同一地点同样两个事件发生的时间间隔.(2)由公式可知,运动的事件变化过程变慢,时问变长,即动钟变慢.钟慢效应不仅仅是时问变慢,物理,化学过程和生命过程都变慢了.(3)当物体运动速度很小时,即《C时,由公式可得At一△r,回归到经典力学和经典时空观.例2A,B,C是三个完全相同的时钟,A放在地面上,B,C分别放在两个火箭上,以速度和朝同一方向飞行,>.在地面上的人看来,关于时钟快慢的说法正确的是()(A)B钟最快,C钟最慢.(B)A钟最快,C钟最慢.(C)C钟最快,B钟最慢.(D)A钟最快,B钟最慢.分析根据狭义相对论的运动时钟的钟慢效应,速度越大,钟走得越慢,(D)正确.,03.相对速度变换公式”一±1+C(1)公式中和”如果满足《C,”《C,,则可忽略不计,这时相对论的速度变换公C式成为”一/d,+,与经典物理学的速度合成公式相同.(2)公式只适用于和V在一条直线上的情况.例3如图所示,强09c05c强乘速度为0.9c(c为光j——b速)的宇宙飞船追赶正前强强光束壮壮方的壮壮,壮壮的飞行速度为O.5c,强强向壮壮发出一束光进行联络,则壮壮观测到该光束的传播速度为()(A)0.4c.(B)O.5c.(C)0.m是物体以速度22运动时的质量. 公式表明,物体的质量随物体运动速度的增大而增大.(2)当《C时,IT/一Ⅲ..也就是说,低速运动的物体,可认为质量与速度无关.(3)对于光子,速度为c,静质量为零.微观粒子,运动速度很大,粒子运动质量远远大于静质量.5.质能方程E—lYt(“.(1)公式中m为运动质量.静止物体的能量—TH.c,称为物体的静质能.每个具有静质量的物体都具有静质能.(2)物体的能量等于静质能与动能之和,即E—Ek+E【】一?HC.物体动能Ek一(E(j一7D7ufm.f2,√一()一(3)当物体质量变化Am时,其能量变化AE—Amc.(4)频率为的光子能量E—hv,由E一“z(1.,可知质量Ⅲ一hv.例4设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k倍.则粒子运动时的质量等于其静止质量的倍,粒子运动速度是光速的分析根据相对论,运动粒子的能量E一.,静止粒子的能量E.一m.c,由运动粒子的能量是其静止能量的k倍可知,粒子运动时的质量等于其静止质量的k倍;由m一—竺=可得k一——,√一().√一()解得粒子运动速度与光速的比值√一1一—一.(上接41页)例3如图3所示,一轻杆可绕过0点的水平轴无摩擦地转动,杆两端各固图3定一个小球,球心到0轴的距离分别为r和r,球的质量分别为m1和Ⅲ2,且Dql>Ⅲ2,r1>r2, 将杆由水平位置从静止开始释放,不考虑空气阻力,求小球摆到最低点时的速度是多少?分析以轻杆两端的小球,组成的系统为研究对象,在摆下的过程中系统机械能守恒.摆到最低点时,其重力势能减少了1gr,动能增加了去,在此过程中,.的厶1动能,势能分别增加了去m.和mgr..根据机厶械能守恒定律能量转移的观点AE一一AE,减少的机械能(即减少的重力势能减去其增加的.4n?动能)等于.增加的动能和重力势能之和,列出表达式为gF1一一一1,-m2v~+m2gr21721grgr,①一l一十’又,m.的角速度cU相同,有口1二==,口2一r2,即一,,17”2所以712摆到最下端时的速度为/2r;g(1r】一2,-2)一√—一?1rj十2r;另外,也可将①式写成如下形式7121gr一:gr.一2+1.z,②②式中左端表示系统重力势能的减少量,右端表示系统动能的增加量,该式从能的转化角度反映了机械能守恒定律.。

第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。

因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。

同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。

相对论速度叠加公式相对论速度叠加公式是指两个物体在相对运动中的速度叠加计算公式。

在经典力学中，两个物体在同一参考系下，它们的相对速度等于它们的矢量差。

然而，在相对论中，由于相对论速度变换的原理，两个物体在不同参考系中的速度叠加并不简单地等于它们的矢量差。

下面将详细介绍相对论速度叠加公式及其推导。

首先，我们知道相对论中速度叠加是根据洛伦兹变换进行的。

洛伦兹变换是一种将一个参考系中的事件的时空坐标变换到另一个参考系中的变换。

在相对论中，两个参考系之间的变换可以用洛伦兹变换的公式表示：\[x′=\gamma (x -vt)\]\[t′=\gamma (t-\frac{v}{c^2}x)\]其中，x和t表示原参考系中的空间和时间坐标，x'和t'表示变换到新参考系中的空间和时间坐标，v是两个参考系之间的相对速度，c是光速，γ是洛伦兹因子：\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}\]假设有一个物体A，在原参考系中具有速度v1，另外有一个物体B，以速度v2相对于原参考系运动。

现在我们要求在原参考系中，B相对于A的速度v。

根据相对论速度叠加公式的推导过程，我们一步一步求解。

首先，设A物体相对于原参考系的速度为v1，B物体相对于原参考系的速度为v2，B物体相对于A物体的速度为v。

我们可以通过洛伦兹变换，将B的速度叠加到A的速度上，得到B相对于原参考系的速度：\[v'=\frac{v - v_1}{1-\frac{v \cdot v_1}{c^2}}\]然后，通过洛伦兹变换，将B物体相对于原参考系的速度v'和B物体相对于A物体的速度v叠加到A物体的速度上，得到A相对于原参考系的速度：\[v=\frac{v'+v_1}{1+\frac{v' \cdot v_1}{c^2}}\]综上所述，我们可以得到相对论速度叠加公式：\[v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1 \cdot v_2}{c^2}}\]这个公式描述了两个物体在相对运动中的速度叠加规律。

相对论洛伦兹变换公式相对论洛伦兹变换公式是描述相对论中物体间相对运动的公式，它的历史可以追溯到1905年爱因斯坦提出狭义相对论的时候。

该公式的推导基于爱因斯坦的两个假设：光速不变原理和相对性原理。

以下是相对论洛伦兹变换公式的详细介绍。

1. 事件的坐标系在相对论中，我们需要定义一个事件的坐标系，用来描述事件在空间和时间上的位置。

假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴正方向运动。

对于一个在S中发生的事件，我们可以用坐标(x,y,z,t)来描述它在S中的位置，用坐标(x',y',z',t')来描述它在S'中的位置。

2. 相对论洛伦兹变换公式相对论洛伦兹变换公式描述了一个事件在不同惯性参考系中的坐标之间的关系。

假设一个事件在S中的坐标为(x,y,z,t)，那么它在S'中的坐标可以用以下公式计算：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，γ是洛伦兹因子，定义为γ=1/√(1-v^2/c^2)，c是光速，v是S'相对于S 的速度。

这个公式描述了空间和时间的相对性，即在不同的惯性参考系中，同一个事件的坐标会发生变化。

3. 洛伦兹变换的特殊情况当v=0时，相对论洛伦兹变换公式退化为经典的伽利略变换公式。

当v接近光速时，γ趋近于无穷大，时间t'会变得非常缓慢，这就是著名的时间膨胀效应。

同时，空间也会发生收缩，即一个在S中看来很长的物体，在S'中看来会变得更短。

4. 洛伦兹变换的应用相对论洛伦兹变换公式在物理学中有广泛的应用，例如在粒子物理学中，它被用来描述高速粒子的运动；在天文学中，它被用来解释星系的相对运动；在GPS 导航系统中，它被用来校正卫星和地面接收器之间的时间差等等。

总之，相对论洛伦兹变换公式是相对论中最基本的公式之一，它描述了物体在不同惯性参考系中的坐标之间的关系，是理解相对论的关键。

洛伦兹速度变换式的u是什么
洛伦兹变换是狭义相对论中描述时间和空间相对性的一种数学形式。

在相对论中，当一个观察者观察另一个以恒定速度运动的参考系中发生的事件时，由于光速是不变的，物体的速度并不是简单地相加。

洛伦兹速度变换式描述了两个参考系间速度的换算关系。

在洛伦兹速度变换式中，变换前后的速度分别用u和v表示。

假设一个参考系S’相对于一个参考系S以速度v运动，而某物体在S中以速度u相对于S运动，那么在S’中关于同一物体的速度将用u’表示。

洛伦兹速度变换式可以表示为：\[ u’ = \frac{u - v}{1 - uv/c^2} \]
其中，u和v分别表示物体在两个参考系中的速度，c是光速。

在这个公式中，u’表示在不同参考系中观察到的物体的速度。

这个公式的推导是基于狭义相对论的基本原理，包括光速不变原理和参考系相对性原理。

这个公式的形式主要是为了满足相对论下速度的变换规律，以便在不同参考系中描述相对运动。

洛伦兹速度变换式的出现使得我们能够更加准确地描述相对论下物体之间的相对运动关系，而不必受限于牛顿力学下简单的速度叠加规则。

这个公式在实际物理问题中有着重要的应用，特别是在光速接近时，相对论效应就会变得非常明显。

总的来说，洛伦兹速度变换式的u代表着物体在一个参考系中相对另一个运动的速度，而这个公式则描述了不同参考系中物体速度的变换规律，是狭义相对论中不可或缺的一部分。

相对论效应公式相对论效应公式是物理学中用来描述相对论效应的公式，它基于爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论。

相对论效应公式主要包括洛伦兹变换、质速关系、质能关系等。

一、洛伦兹变换洛伦兹变换是狭义相对论中的一个基本概念，用来描述不同参考系之间物理量的变换关系。

简单来说，当观察同一个物理事件的两个参考系之间有相对运动时，时间、长度和质量等物理量都会发生变化。

洛伦兹变换的公式如下：1.时间变换：t' = t * (1 / (1 - v^2 / c^2))^(1 / 2)2.长度变换：x' = x * (1 - v^2 / c^2)^(1 / 2)3.质量变换：m' = m / ((1 - v^2 / c^2)^(1 / 2))其中，v是两个参考系之间的相对速度，c是光速，t、x和m分别是原参考系中的时间、长度和质量。

二、质速关系质速关系是狭义相对论中的一个基本公式，它描述了物体的质量与其速度之间的关系。

当物体的速度接近光速时，其质量会显著增加。

质速关系的公式如下：m = m0 / ((1 - v^2 / c^2)^(1 / 2))其中，m0是物体在静止状态下的质量，v是物体的速度，c 是光速，m是物体在运动状态下的质量。

三、质能关系质能关系是狭义相对论中的一个著名公式，它描述了物体的质量和能量之间的关系。

这个公式在核反应堆、核武器等领域有着广泛的应用。

质能关系的公式如下：E = mc^2其中，E是物体的能量，m是物体的质量，c是光速。

这个公式表明，物体的能量与其质量之间存在等价关系。

四、广义相对论效应公式广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的，它把引力看作是由时空弯曲引起的。

广义相对论效应公式主要描述了引力场对时间、长度和质量等物理量的影响。

其中最著名的公式是爱因斯坦场方程：Gab = 8πTa b / c^4其中，Gab是引力场张量，Tab是能量-动量张量，c是光速。

这个公式表明，引力场是由能量-动量分布引起的时空弯曲效应。

单位符号坐标：m (x, y, z)力：N F(f)时间：s t(T)质量:kg m(M)位移：m r 动量: kg*m/s p(P)速度：m/s v(u)能量:J E加速度：m/s^2 a 冲量：N*s Ixx：m l(L)动能：J Ek路程：m s(S)势能：J Ep角速度：rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：xx力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：(1)xx：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)xx：物体加速度与合外力xx与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)xx：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。

同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。

)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。

)(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

速度合成公式的思考1、相对论速度变换在S 、'S 系上测某一质点在某一瞬时的速度S 系上： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===dt dz v dt dy v dt dxv z y x ； 'S 系 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=)()(2''''x c vt t zz yy vt x x γγ.⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=)()(2''''dx c vdt dt dzdz dydy vdt dx dx γγ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=-=-==--=--=--==)1()1()()1()1()(11)()(222'''222'''222'''x zz x yy xx x v c vv dt dx c v dt dz dx c v dt dzdt dz v v cv v dt dx c v dtdy dx c v dt dy dt dy v v cvvv dt dx c v vdt dxdx c v dt vdt dx dt dx v γγγγγγγγ即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=--=)1()1(12'2'2'x z z x y y x x x v c v v v v c v v v v c v vv v γγ 及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=)1()1(1'2''2''2'x zz xyy xx x v c v v v v c v v v v c v vv v γγ（17-11）讨论： 1<<c v 时，1→γ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧==-=z 'z y 'y x 'x v v v v v v v 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==+='z z'y y 'x x v v v v v v v 洛伦兹变换→伽利略变换.2、速度合成公式在以速度 v 沿 K 系的 X 轴运动着的k 系中，设有一个点依照下面的方程在运动：此处和都表示常数.求这个点对于 K 系的运动.借助于§3 中得出的变换方程，我们把x ，y ，z ，t 这些量引进这个点的运动方程中来，我们就得到：，，这样，依照我们的理论，速度的平行四边形定律只在第一级近似范围内才是有效的.我们令：和；[20]α因而被看做是 v 和ω两速度之间的交角.经过简单演算后，我们得到：值得注意的是，v 和ω是以对称的形式进入合成速度的式子里的.如果ω也取 X 轴 (Ξ轴 ) 的方向，那么我们就得到：，从这个方程得知，由两个小于 V 的速度合成而得的速度总是小于 V .因为如果我们置此处k 和λ都是正的并且小于V，那么：进一步还可看出，光速 V 不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变.在这场合下，我们得到：当 U 和ω具有同一方向时，我们也可以把两个依照§3 的变换联合起来，而得到 U 的公式.如果除了在§3 中所描述的 K 和 k 这两个坐标系之外，我们还引进另一个对 k 做平行运动的坐标系k' ，它的原点以速度ω在Ξ轴上运动着，那么我们就得到x，y，z，t 这些量同 k' 的对应量之间的方程，它们同那些在§3 中所得到的方程的区别，仅仅在于以这个量来代替“v”；由此可知，这样的一些平行变换——必然地——形成一个群.洛伦兹变换和爱因斯坦速度相加规建立在平直时空惯性参考系基础上，而现实世界中纯粹的惯性参考系是不存在的，在这种意义上狭义相对论应当被看成一种理想状态的理论.一般而言在有引力场存在的情况下，爱因斯坦速度相加规则仅是一个近似公式.但我们也知道，现有的关于光速不变的实验和观察都是在地球、太阳系和银河系的弱引力场空间范围内进行的.例如在地球绕太阳转动的轨道上完成的迈克耳逊-雷默干涉实验，对自转的太阳两边缘发出的光的观察【3】，对银河系内双星系统的光速的观察【4】，以及银河系内恒星和河外星系光行差现象的观察等等【5】.所有这些实验和观察都证明，即使在弱引力场和弱非惯性运动情况下，光的速度仍然与光源的运动状态无关，近似地满足爱因斯坦速度相加规则.假设我们的旧相识，火车车厢，在铁轨上以恒定速度v行驶；并假设有一个人在车厢里沿着车厢行驶的方向以速度w从车厢一头走到另一头.那么在这个过程中，对于路基而言，这个人向前走得有多快呢？换句话说，这个人前进的速度W有多大呢？唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得：如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了一段距离v，在数值上与车厢的速度相等.但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离w，这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度.这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距离W=v+w.我们以后将会看到，表述了经典力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支持的;换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的.但目前我们暂时假定这个定理是正确的.（摘自《浅说》第6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文）在狭义相对论中，两惯性系相对速度与和平行（1）（）为坐标系的坐标，（）为坐标系的坐标，令，，所以变换矩阵为（2）如果,,,4321→xxxx;,,,4321→''''xxxx,相对速度不变，那么(3)比较与（4）（5）比较后知道（4）式=（5）式（6）相对论中速度合成公式V=(V1±V2)÷（1±V1V2/C2），仅适用于同一直线上两个速度的合成.当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢？下面探讨一下当两个速度垂直时速度的合成，由于互相垂直的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用Lorentz transformation推导出来.设物体的引力静止质量为m0，水平速度为v1，垂直速度为v2，合速度为v，不妨设先有水平速度v1，此时引力质量为 m1，由Lorentz transformation得m1=m0÷（1－ v12÷c2）0.5，m2=m1÷（1－ v22÷c2）0.5=m0÷（1－ v12÷c2－ v22÷c2+v12 v22÷c4)0.5=m0÷（1－ v2÷c2）0.5.∴V2= v12+v22－v12 v22÷c2，当v1＜＜c,v2＜＜c时，v12 v22÷c2→0，此时V2= v12+v22，这就是经典力学中正交速度合成公式.在经典力学中速度合成公式为v=(v12+v22+2v1v2cosθ)0.5，在相对论中v12+v22变为 v12+v22－v 12 v 22÷c 2，可设其合速度公式为v=(v 12+v 22－v 12 v 22÷c 2+Xcos θ)0.5，令θ=0，解得X ，代入上式得到合速度的计算公式.当v 1＜＜c,v 2＜＜c 时，v 12 v 22÷c 2→0，也可以回到经典力学中的速度合成公式，在此从略.这也符合量子力学的对应原理.由于整个宇宙形成的绝对空间不存在运动问题，因此相对论中的速度合成公式，仅适用于有限多个合成，不适用于无限多个.早在二十世纪初，人们就已经对Einstein 相对论力学和Newton 力学的数学结构做了最透彻的研究.其研究后果之一就是把Newton 力学与Galileo 抛物几何空间【1】相对应；把Einstein 相对论力学与Minkowski 双曲几何空间【2】相对应；直言之，Galileo 惯性运动变换群确定了Newton 力学空间为非Euclid 性质的Galileo 抛物空间；而Lorentz 惯性运动变换群确定了Einstein 相对论力学空间为非Euclid 性质的Minkowski 双曲空间.古新妙先生认为：因为牛顿力学意义下的速度与相对论力学意义下的速度并不相同，各自满足不同的加法公式，牛顿速度满足的加法公式是：u U U +=' （1）而相对论速度满足的加法公式是： 21cv V v V V ⋅++=' （2） 从牛顿速度到相对论速度之间存在如下的映射关系： c U th c V '⋅=' c U th c V ⋅= cu th c v ⋅= （3） 这里的映射关系由双曲正切函数来实现.双曲函数的定义如下： 双曲正弦：2x x e e shx --=， 双曲余弦：2xx e e chx -+=， 双曲正切：chx shx thx =. 双曲正切具有下列性质：thythx thy thx y x th ⋅++=+1)(. 从牛顿速度加法公式（1）转换到相对论速度加法公式（2），是双曲正切的功劳，是相对论的奥秘.参考文献：【1】Galileo 几何 H. Beek 最小曲面的几何学，Sitzungsber. Leipziger Berliner Math. Gee.12:14-30,1913 L. Silberstein, Galileo 时空中的射影几何 ，Philos. Mag. 10: 1925 Makarova, N., M., Tow-dimensional Noneuclidean Geometry with Parabolic Angle and Dissertation, Leningrad, 1962【2】Minkowski几何 A. Einstein关于相对性原理和有此得出的结论 Einstein文集第二卷商务印书馆出版，1977 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons Books Lnc. 1975 Shervatov, V. G.., Hyperbolic Functions. Heath, Boston,1963 【3】狭义相对论入门，叶壬葵，厦门大学出版社，317，(1988).【4】. P. de Bernardis at al, Nature, 404, 955 (2000). Mermentt C. L., et al, Astrophys, J., Suppl., 148, 1 (2003).【5】S. 温伯格，引力论和宇宙学，科学出版社，478 (1984)。

第39卷 第11期 高 师 理 科 学 刊 Vol．39 No.11 2019年 11月 Journal of Science of Teachers′College and University Nov. 2019文章编号：1007-9831（2019）11-0044-05相对论加速度变换式及动力学基本方程的推导马禄彬（江西新能源科技职业学院 光伏材料学院，江西 新余 338004）摘要：根据爱因斯坦相对论时空观，基于洛伦兹变换，推导出了惯性系中速度的变换式．以此为基础，根据加速度的定义，给出了加速度变换式的详细推导过程及结果．依据质点所受力为动量的变化率，结合加速度变换，对狭义相对论动力学基本方程进行推导与拓展，并对不同惯性系下质点所受力的相互关系进行了讨论．关键词：狭义相对论；洛伦兹变换；加速度中图分类号：O31文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.11.012Derivation of acceleration transformation of special theory of relativity andthe basic equation of dynamicsMA Lu-bin（School of Photovoltaic Material，Jiangxi New Energy Technology Institute，Xinyu 338004，China）Abstract：The derived transformation of velocity in the inertial system is provided on the grounds of Einstein′s theory of space-time relativity and on the basis of Lorentz transformation. Then，the detailed derivation process and results of the acceleration transformation are described based on the foregoing and as per the definition of acceleration. Furthermore，a basic equation of dynamics in the special theory of relativity is derived and extended in line with the rate of change of stress on particles as momentum and by referring to the acceleration transformation，followed by a discussion on the correlation of stresses on particles under different inertial systems.Key words：special theory of relativity；Lorentz transformation；acceleration狭义相对论被列为20世纪物理学最伟大的科学成就，已经成为现代物理理论的基础．狭义相对论的诞生使人们对物理世界有了重新的认识和更加深刻的理解[1]．一百多年过去了，狭义相对论预言的一些相对论效应和现象已经被许多高精度实验和观测所证实．2019年4月10日，视界望远镜（EHT）拍摄的第一张黑洞照片的问世，是继引力波被发现后，爱因斯坦相对论在宇宙尺度上的又一证据．其实相对论离我们并不遥远，大到航空航天、核武器，小到GPS定位、放射治疗都需要借助于相对论效应． 狭义相对论的教学是大学物理课程的一大亮点，也是一大难点[2]．然而，其对于初学者往往难于理解、深奥晦涩，如不清楚惯性系中的变换关系，便会给理解和应用带来困难．大学物理教材中的狭义相对论部分缺少加速度变换的推导，也未对相对论动力学方程进行拓展，相关文献中也只给出了最终结果，没有中间步骤与计算方法．本文基于牛顿第二定律的狭义相对论形式[3]，同样选取沿着x轴做变速直线运动的受力质点作为研究对象，对相对论加速度变换式以及动力学方程进行推导，补充中间推导的关键环节．收稿日期：2019-05-30基金项目：江西省教育厅科学技术研究项目（GJJ181419）作者简介：马禄彬（1982-），男，山东菏泽人，讲师，硕士，从事凝聚态物理研究．E-mail：ilyfjfj@第11期 马禄彬：相对论加速度变换式及动力学基本方程的推导 451 狭义相对论加速度变换式的推导只讨论质点在x 轴方向上的受力与运动情况（见图1），设2个惯性参考系分别为S S ¢，，两者的坐标轴分别相互平行，S ¢相对于S 沿x 轴方向以速度u 运动，静止质量为0m 的质点q 受力沿x 轴方向运动，在S 系中测得的速度、加速度分别为：xxv a ，，而在S ¢系中测得的速度、加速度分别为：x xv a ¢¢，．根据爱因斯坦的相对论时空观，S ¢系相对于S 系以不变速度u 沿x 轴的正方向运动，当0t t ¢==时，S 系和S ¢系的原点O 与O ¢互相重合．同一个物理事件在S 系和S ¢系中的时空坐标由洛伦兹变换关系式相联系（c 为真空中的光速）x ¢= （1）y y ¢=，z z ¢=，2u t x t -¢= （2） 质点在S 系中的运动速度d d x x v t =，在S ¢系中的运动速度d d x x v t¢¢=¢，再由d d d d d d x x x t v t t t ¢¢¢==¢¢（3）式（1）、（2）分别对t求导，可得d d x t ¢=，221d d xu v t t -¢=21x x xv u v u v c-¢=- （4）由式（4）可推导出21x x xv u v u v c¢+=¢+ （5）由式（2）可知，2ut t x c=，代入式（1）可得SS'y y'xx' q46 高 师 理 科 学 刊 第39卷2u t x t ¢¢+= （6） 根据变换关系，由加速度的定义：在S 系中d d x x v a t =，在S ¢系中d d x x v a t ¢¢=¢，根据d d d d d d d d x x x x v v v t t t tv ¢¢=××¢¢，可得d d d d x x x xv t a a t v ¢¢=××¢ （7） 由式（5）可推导出22221d d 1x x x u v c v uv c -=¢¢æöç÷+ç÷èø（8）由式（2）可推导出2d 1d x t u v t c ö¢=-÷ø，将式（5）代入计算可得 222d d x t c u t c uv æö¢-÷=¢÷+ø （9） 将式（8）、式（9）代入式（7）可得32223211x x x u c a a u v c æö-ç÷èø¢=×æö¢+ç÷èø，同理 d d d d x x x x v t a a v t ¢¢=××¢（10） 由式（4）可推导出22221d d 1x x x u v c v uv c -¢=æö-ç÷èø（11）由式（6）可推出2d 1d x tu v t c ö¢=+÷¢ø，将式（4）代入可得 222d d x t c u t c uv æö-=÷÷¢-ø （12） 再将式（11）、式（12）代入式（10）可得32223211x x x u c a a u v c æö-ç÷èø¢=×æö-ç÷èø． 根据推导结果，在S S ¢，两惯性系中，狭义相对论的加速度变换关系式为第11期 马禄彬：相对论加速度变换式及动力学基本方程的推导 4732223211x x x u c a a u v c æö-ç÷èø¢=×æö¢+ç÷èø （13） 32223211x x x u c a a u v c æö-ç÷èø¢=×æö-ç÷èø（14） 2 狭义相对论动力学基本方程的推导在相对论力学中，仍然用动量变化率定义质点受的力，即()d d d d mv p F t t==，由相对论质量变换式：m =m 为相对论质量；0m 为静止质量；v 为运动速率），在图1中，以,,x x x P F m 代表质点在S 系中所测得的动量、所受的力以及相对论质量；以,,x x x P F m ¢¢¢代表质点在S ¢系中所测得的动量、所受的力以及相对论质量．所以，在S 和S ¢两惯性系中相对论质量变换式可分别表示为x m =（15）x m ¢= （16）根据()d d d d d d x x x x x x x m v v m F m v t t t ==+，将式（15）代入得320221xx x m a F v c =æö-ç÷èø，同理()d d x x x m v F t ¢¢¢==¢d d d d x x x x v m m v t t ¢¢¢¢+¢¢，将式（16）代入得320221x x x m a F v c ¢¢=¢æöç÷-ç÷èø． 所以根据推导结果，在S S ¢，两惯性系中，狭义相对论的动力学基本方程可写为320221xx x m a F v c =æö-ç÷èø （17）320221x x x m a F v c ¢¢=¢æöç÷-ç÷èø（18） 力是受力物体自身所承受的，可用固定在物体上的测量仪器直接测得，故不应相对不同的参考系而不同[4]．为讨论x F 和¢x F 的相互关系，将式（17）与式（18）相除得：（下转第56页）56 高 师 理 科 学 刊 第39卷 [2] 赵海涛，王俏，刘瑞萍，等．锰锌铁氧体的低温合成及表征[J]．材料工程，2016，44（11）：73-77[3] Cai K，Shen W，Ren B，et al．A phytic acid modified CoFe 2O 4 magnetic adsorbent with controllable morphology，excellent selective adsorption for dyes and ultra-strong adsorption ability for metal ions[J]．Chemical Engineering Journal，2017（330）：936-946 [4] 何世鼎，李海宁，王凯凯，等．高铁酸盐去除废水中重金属及其他污染物的研究进展[J]．工业水处理，2019，39（5）：5-9[5]Yu Ming，Zhang Jian，Tian Yu．Change of heavy metal speciation，mobility，bioavailability，and ecological risk during potassium ferrate treatment of waste-activated sludge[J]．Environmental Science and Pollution Research，2018，25（14）：13569-13578 [6] He Dengliang，Liu Shuxin，Qin Haili，et al．Synthesis of K 2FeO 4 for Removing Heavy Metals in the Phenol-Aqueous Solution[J]．Chinese Journal of Inorganic Chemistry，2017，33（10）：1825-1834[7]Prucek Robert，Tucek Jiri，Kolarik Jan，et al．Ferrate（VI）-Prompted Removal of Metals in Aqueous Media：Mechanistic Delineation of Enhanced 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¢æö¢æöç÷-ç÷-ç÷èøç÷=×=×¢¢¢ç÷æö-ç÷-ç÷èøèø再将式（５）代入得()()3322323222222222222222222222111x x x x x x x x x u v u c v c v u c F c F v u uv c v u c v u c c ¢æöéù¢¢--ç÷--+êúèøêú===¢¢êúéù¢¢æöê--+ú¢êúç÷+-+ëûêúç÷èøëû，即x x F F ¢=． 3 结语根据推导结果可知，狭义相对论的动力学基本方程在任意惯性系中，具有相同的形式．在x 轴方向上可表示为320221x x x m a F v c =æö-ç÷èø，从而得到320221xx x m F a v c =æö-ç÷èø，可知当x v c ®时，x F ®¥，x a ®¥，说明光速c 是物体运动的极限速度．参考文献：[1] 王淙可．浅析狭义相对论的建立[J]．科学教育，2018（5）：30[2] 何春山．狭义相对论时空观的教学探讨[J]．物理与工程，2018，28（5）：55-58 [3] 吴晓．牛顿第二定律的狭义相对论形式[J]．物理通报，2018（S2）：125-127 [4]李武钢．万有引力定律的狭义相对论形式[J]．梧州师专学报，1998（1）：49-51，69。