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概率论习题册

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概率论与数理统计习题册江苏师范大学科文学院目录第一章随机事件与概率第二章随机变量的分布与数字特征第三章随机向量第四章数理统计的基础知识第五章参数估计第一章随机事件与概率知识要点：一、随机试验 称具有以下三个特点的试验为随机试验： （1）在相同的条件下可重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且所有可能的结果是确定的； （3）哪一结果是否发生，在试验之前是无法确定的。

二、随机事件 随机事件的某种结果称为随机事件，简称事件，用A 、B 、C 等表示。

事件可分为基本事件和复合事件：基本事件：指试验直接得到的基本结果； 复合事件：由试验的若干基本结果组成的事件。

注意：基本事件和复合事件是相对于具体的试而言的，如{正面恰好出现一次}是E 3的基本事件，而是E 2的复合事件。

必然事件Ω：每次试验中都必然发生的事件； 不可能事件φ：每一次试验中都不发生的事件。

三、样本空间试验E 的所有基本结果构成的集合称为样本空间，记为Ω，Ω中的元素即E 的每个结果称为样本点。

四、事件间的关系及其运算 1．事件的包含与相等若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ，记作A ⊂B 。

若事件A 与B 满足A ⊂B 且B ⊂A ，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。

2．事件的和事件“事件A 与事件B 至少有一个发生”称为事件A 事件B 的和（并），记作A ∪B ，即A ∪B={ω|ω∈A 或ω∈B}。

一般地，“n 个事件A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生”称为A 1，A 2，…，A n 的和，记作A 1∪A 2∪…∪A n ，简记i ni A 1=类似地，可列个事件A 1，A 2，…，A n ，…至少有一个发生，可记作1i i A ∞=⋃3．事件的积事件“事件A 与事件B 同时发生”称为事件A 与事件B 的积（交），记作A ∩B 或AB 。

即A ∩B={ω|ω∈A 且ω∈B}。

“n 个事件A 1，A 2，…，A n 同时发生”称为事件A 1，A 2，…，A n 积，记作A 1∩A 2∩…∩A n ，或A 1A 2…A n ，也可简记为1ni i A =∏。

“可列个事件A 1，A 2，…，A n ，…同时发生”简记为1i i A ∞=∏。

4．互不相容事件若事件A 与事件B 不同时发生，即AB=φ，则称A 与B 是互不相容事件或互斥事件。

若n 个事件A 1，A 2，…，A n 中任意两个事件都互不相容，即φ=j i A A （=≠j i j i ,,1，2，…，n ），则称这n 个事件互不相容。

5．对立事件若A ，B 互不相容，且它们的和事件 为必然事件，即AB=φ，且A ∪B=Ω，则称A 与B 互为对立事件，或称A 与B 互为逆事件。

事件A 的逆事件记为A ，表示“A 不发生”。

显然有A A =， φ=A A ， Ω=A A ， φ=Ω， Ω=注意：A 与B 对立，是指在每次试验中，事件A 与B 既不同时发生又必然有一个发生，即A 与B 有且只有一个发生，故对立事件必为互不相容事件，而互不相容事件未必是对立事件。

6．事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”称为事件A 与事件B 的差，记为A -B 。

即A -B={ω|ω∈А但ωВ}。

显然有AB A B A B A -==-， A A -Ω=A AB AB =⋃， ()()A B A BA B AB ⋃=⋃=⋃7．事件的运算律De Morgan 律：,A B A B A B A B ⋃=⋂⋂=⋃；De Morgan 律的推广：11n n iii i A A ===⋃⋂， 1nn i ii i A A ===∑∏11n n iii i A A ===⋂⋃， 11n ni ii i A A ===∑∏五、随机事件的概率1．概率的描述性定义 一个事件发生的可能性的大小。

2．概率的公理化定义 设ℋ为样本空间Ω上的一个子集,P 是定义在ℋ上的实值函数,如果它满足:(1) 对于任意的∈A ℋ，有()10≤≤A P ； (2) ()1=ΩP ；(3) 若∈i A ℋ，=i 1，2，…，且当j i ≠时φ=j i A A ，则()11i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⋃则称P 为定义在（Ω，ℋ）上的概率，()A P 为事件A 的概率，三元总体（Ω，ℋ，P ）称为概率空间。

定义中的条件（3）称为可列可加性。

3．性质 （1）()0=φP（2）如果∈i A ℋ，=i 1，2，…，n ，且j i A A j i ≠=,φ，则()11nn i i i i P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⋃特别若∈B A ,ℋ，且φ=AB ，则()()()P A B P A P B ⋃=+(3)对任意两事件B A ,,总有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-（4）如果B A ,为两事件，且B A ⊂，则()()()A P B P A B P -=-， ()()A P B P ≥ 一般地有 ()()()AB P B P A B P -=-（5） ()()A P A P -=1 六、古典概型和几何概型 1．古典概型概率计算公式设E 是只含有n 个基本事件的古典概型，A 是由m 个基本事件组成的随机事件，则A 发生的概率定义为()nm A P =。

2．几何概型概率计算公式 ()()()Ω=L A L A P ，()()ΩL A L ,分别表示A 与Ω的度量。

七、条件概率1．条件概率 ()()()B P AB P B A P =2．乘法公式 ()()()B A P B P AB P = （()B P >0） ()()()A B P A P AB P = (()A P >0) 3．全概率公式与贝叶斯公式（1）全概率公式：1A ，2A ，…，n A 为Ω的一个划分，且()i A P >０，=i １，２，…，n 。

则()()()i ni i A B P A P B P ∑==1（2）贝叶斯公式：1A ，2A ，…，n A 为Ω的一个划分，B 为任一事件,且()i A P >０，=i １，２，…，n ,()B P >０，则()()()()()∑==nj jji i i A B P A P A B P A P B A P 1，八、事件的独立性1．B A ,为两事件，若有()()()B P A P AB P =则称事件A 与B 独立。

2．A 、B 、C 两两独立：()()()()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫===C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P3．A 、B 、C 相互独立：()()()()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫===C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P()()()()C P B P A P ABC P 4．贝努里试验模型事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为()kn k k n n q p C k P -= =k 1，2，…，n ，p q -=1典型习题练习一、选择题1．事件A 、B 、C 中至少有一个发生可表示为（ ） A C B A C B A C B A ++； B C B A ++； C BC A C B A C AB ++； D ABC 。

2．设A 、B 是两个事件，则下列等式不一定成立的是（ ） A )(1)(A P A P -=； B )()()(B P A P B A P +=+； C )()()(AB P A P B A P -=-； D )()()(AB P B P A B P -=-。

3．A 、B 是两个事件，且相互独立。

则（ ） A A 与B 互不相容； B A 与B 对立； C A 与B 相互独立； D φ=AB 4．事件A 、B 、C 同时发生可表示为（ ） A C B A C B A C B A ++； B C B A ++； C BC A C B A C AB ++； D ABC 。

5．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球，若第一次取得白球，则第二次取得黑球的概率是（ ）A103； B 92； C 31； D 102。

6．一袋中有6个球，其中3个黑球，3个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球，若第一次取得白球，则第二次取得黑球的概率是（ ）A63； B 52； C 53； D 62。

7、设=i A {第i 次击中目标}，=i 1，2，3。

则“第一次击中而第二、三次没有击中目标”可表示为（ ）（A ）123A A A ⋃⋃； （B ）321A A A ； （C ）123()A A A ⋃； （D ）123()A A A ⋃。

8、设B A ⊂，()0>B P ，则（ ）（A ）()()B A P A P |<； （B ）()()B A P A P |≤； （C ）()()B A P A P |>； （D ）()()B A P A P |≥。

9、已知()A P ＝31，()B P ＝41 ，()A B P ＝21，则P(A ∪B)＝（ ）； （A ）41； （B ）61； （C ）31； （D ）125。

10．写有d ，g ，o ，o 的四张卡片随机排列，恰好能排成“good ”的概率是（ ） （A ）241； （B ）61； （C ）121； （D ）41。

二、填空题1．设A 、B 、C 表示三个事件，则A 、B 、C 中恰有一个发生的事件可表示为 ；至少有一个发生的事件可表示为 。

2．设A 、B 、C 表示三个事件，则A 、B 、C 中恰有两个发生的事件可表示为 ；至多有一个发生的事件可表示为 。

3．已知4.0)(=A P ，25.0)(=B P ，25.0)(=-B A P ，则=)(AB P 4．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ，=+)(B A P 。

=+)(B A P 。

5、已知6.0)(=A P ，4.0)(=A B P ，则=)(AB P 。

6．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，则()P A B -= 。

7．两封信随机投入4个邮箱，每个邮箱最多只有一封信的概率是 ；某个邮箱中没有信的概率是 。

8．两个球随机投入5个箱子，每个箱子最多只有一个球的概率是 ；某个箱子中没有球的概率是 。

第一个邮箱恰有一封信的概率是 。

9．如果每次试验的成功率为8.0，则在3次独立重复的试验中恰有2次成功的概率为 。

10．设()()41==B P A P ，()161=AB P ，则()=B A P 。

11．件产品中有3件次品，从中任取2件，全为次品的概率为 ，至少有1件次品的概率为 。

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概率论与数理统计练习册答案

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概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

概率论_习题集(含答案)

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《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。

2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。

（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。

若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。

概率论与数理统计练习册(最新)

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院（系） 班 姓名 学号第一章 概率论的基本概念 练习1.1 随机试验与随机事件一、填空题1.样本空间是 .2.样本空间中各个基本事件之间是 关系.3.对立事件____ 不相容事件；不相容事件 对立事件.(填一定是，不是，不一定是)4.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.5.设随机事件A 与B ，若AB ＝A B ，则A 与B 的关系为___________6.设A ，B 为任意两个随机事件，请把下列事件化为最简式： （1）(A B)(A B)(A B)(A B)=______； （2）ABAB AB A B AB=______－；二、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

三、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多有两人考取；3.恰好有两人落榜。

四、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

五、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？六、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是女生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是会弹钢琴”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

概率论与数理统计练习册题目

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第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。

2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。

3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。

A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。