小学四年级奥数班讲义_和倍问题

四年级奥数讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一讲和倍问题知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。

和÷（倍数+1）= 较小数；较小数 × 倍数= 较大数；和－较小数= 较大数例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？自我检测：填空。

小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。

妈妈岁，小红岁。

生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。

公鸡有只，母鸡有只。

小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了本，数学练习本买了本。

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。

徒弟生产零件个，师傅生产零件个。

A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是，B的速度是。

一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。

这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。

第13讲和倍问题一、知识要点已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和－小数=大数）二、精讲精练【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本？练习1：1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克？2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？练习2：1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。

求甲、乙、丙各是多少。

【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。

每个书橱里各放了多少本书？练习3：1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。

求甲、乙、丙各是多少。

2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。

三块钢板各重多少千克？【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。

两人各得多少分？【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。

三个队各筑多少米？练习5：1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。

解答(180+420)÷(3-1)=300(元)
300+180=480(元)
答:甲、乙两人原来各存款480元。
【例5】三根绳子长度之和是146米，第一根比第二根的2倍少3米，第三根比第二根的3倍少1米。三根绳子长度各是多少米?
分析我们可以假设第一根绳子的长多3米，第三根绳子的长多1米，这时候三根绳子的总长度为146+1+3=150(米)。再把第二根绳子的长度看作1倍数，则第一根的长度为2倍数，第三根绳子的长度为3倍数，三根绳子的总倍数为1+2+3=6倍数，它们所対应的具体数量是150米，这样我们就可以求出1倍数。
解答120÷(3+2+1)=20
20×2=40
20×3=60
答:甲是60、乙是40、丙是20。
【例2】有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个，问:从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍?
分析不管两堆棋子怎样移动，棋子的总数是不变的。我们可以从问题入手，移动棋子以后，我们可以把第二堆棋子数看作1倍数，第一堆棋子数是5倍数，一共是5+1=6倍数。6倍数所对应的具体数量是67+53=120(个)，这样我们可以求出1倍数是120÷6=20(个)，也就是移动后的第二堆棋子的数量。再用原来第二堆棋子的数量减去现在第二堆棋子的数量就得到移动的棋子数量。
解答56÷(4×2-1)=8
8×(1+2+8)=88
答:“车十马十炮”等于88。
【例4】甲、乙两人原来的存款数相等。后来甲取出180元后，乙又存入420元，这时乙的存款是甲的3倍。甲、乙两人原来各存款多少元?
分析原来甲、乙的钱数是相等的，后来甲取出180元后，乙又存入420元，说明現在甲、乙的钱数相差180+420=600(元)，而现在他们的倍数相差3-1=2倍。由此我们可以求出现在的1倍是600÷2=300(元)，也就是现在甲的存款数。再用现在的钱数加上取出的钱数就是原来甲的存款数。

学科教师辅导讲义知识梳理和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．它的构造可用下图来体现：倍数（小数）和几倍数（大数）数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1 倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数（几倍数）和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，规定两个数，普通是把较小数看作1 倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相称于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1 )=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果规定两个数的差，要先求1 份数：l 份数×(倍数－1 )=两数差.解决和倍问题，核心是学会画线段图，这样能够协助我们更加好的搞清各数量之间的关系。

典例分析例1、小华和爷爷今年共72 岁，爷爷的岁数是小华的7 倍.爷爷比小华大多少岁？【解析】小华：72 ÷ (1 + 7) = 9 （岁），爷爷：9 ⨯ 7 = 63 （岁），63 - 9 = 54 （岁）或9 ⨯ (7 -1) = 54 （岁）.例2、一种长方形的周长是36 厘米，长是宽的2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1 份，长就是2 份，长和宽的和对应的就是3 份，因此长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）例3、师、徒两人共加工105 个零件，师傅加工的个数比徒弟的3 倍还多5 个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5 个”的画图办法，并找和与份数之间的关系．从线段图上能够看出，把徒弟加工的个数看作1 份数，师傅加工的个数就比3 份数还多5 个，如果师傅少加工5 个，两人加工的总数就少5 个，总数变为(105-5)个，这样这道题就转化为例5 类型的题目，就能够求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5 个，师、徒共做：105 - 5 =100 (个)，徒弟做了：100 ÷ (3 + 1) = 25 (个),师傅做了：25 ⨯ 3 + 5 = 80 (个)．例4、维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7 个，维尼熊只能摘4个.维尼熊摘了80 分钟，跳跳虎摘了50 分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘个苹果，那么其中维尼熊摘的有个.【解析】依题意有相似时间内若跳跳虎摘了7 份，则维尼熊摘了4 份。

第8讲倍数问题◆理解抽屉原理的本质。

◆学会运用抽屉原理解题。

在我们日常生活中会遇到很多的数学问题。

这些问题可谓是包罗万象，丰富多彩，因此我们在解决这些问题的时候一定要弄清事物之间的特殊关系，抓住其本质特征，从而顺利解决，这一讲，我们来研究倍数问题。

倍数问题主要研究“已知两数的和（差）以及一个数与另一个数之间的倍数关系，求两数”这类问题。

通常我们要弄清两个或两个以上量的和是多少，差是多少，以及它们之间的倍数是多少。

我们可以先确定一个数量为1的倍数，这样另一个数量就相当于它的几倍，然后根据这两个数量的倍数关系，确定和（差）与1倍数关系，求得1倍数，再求几倍数。

对于有些复杂的问题，我们还要灵活晕红转化思想将它们转化成简单的倍数问题来解答。

【例题1】学校买来足球和排球共36个，其中排球的个数是足球的3倍，学校买来足球和排球各多少个?【拓展1】小明和小亮共有邮票45张，小明的邮票张数是小亮的4倍，他们各有多少张邮票?【例题2】小飞的科技书比故事书少14本，故事书是科技书的3倍，小飞有多少本科技书和故事书?【拓展2】(2008年第六届“走美杯”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题) 两个整数，差为16，一个是另一个的5倍。

这两个数分别是多少?【例题3】小明和小亮两人集邮，他们一共有110张邮票，小明的邮票张数比小亮的2倍少10张。

小明和小亮的邮票分别有多少张?【拓展3】（杭州市上城区小学生数学竞赛试题）四、五年级共有学生165人，四年级学生比五年级学生的2倍还少6人，四、五年级各有学生多少人?【例题4】小张有存款5400元，小王有存款3800元。

两人各取出同样多的钱后，小张的存款时小王的3倍。

取款后两人各有存款多少元钱?【拓展4】小红有11支铅笔，小芳有16支铅笔，两人分别用去同样多的铅笔后，小芳的铅笔支数是小红的2倍，现在两人各有多少支铅笔?【例题5】(武汉市“走向北大杯”数学思维水平竞赛试题)哥哥与弟弟每人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟一支，两人就一样多；如果弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍。

第4讲和倍与差倍问题教学目标1.学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍与差倍问题2.掌握寻找和倍差倍的方法解决问题．-知识点说明（1）和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

（2）差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．模块一、和倍问题例题44例题33例题22例题11例题精讲师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？ (第五届小数报数学竞赛初赛)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．WORD 完整版----可编辑----教育资料分享例题99例88例题77例题66例题55（2008第四届“IMC 国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有 块巧克力． 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。

2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、 丙各是多少。
3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的 支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第 三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
我来解答：乙袋现在的质量：147÷（1+2）=49（千克）乙袋原来的质量：49-15=34(千克）
甲袋原来的质量：117-34=83(千克)
答：甲、乙两袋大米原来分别重83千克、34千克。
小结与提示 这道题中两袋各加入了15千克大米，所以一共加入了30千克大米。 在解答和倍问题时，我们一定先要明确总和。
四年级：220×2-32=408(人）或628-220=408(人） 答：四年级有学生408人，五年级有学生220人
小结与提示 在这类题中，当一个数并非正好是另外一个数的整数倍时，我们就要根据数量关系 大胆假设，如果少就添上，如果多就去掉，使其变成整数倍。
实践与应用
【练习2】P57 师徒二人要一起完成114个零件，完工时，师傅做的零件个数比徒弟的3倍
【例1】 希望小学组织了一次向山区小学捐书的活动。 四(1)班、四(2)班共捐书120本， 其中 四（1）班捐的本数是四（2）班的2倍，四（1）班、四(2）班各捐了多少本书？
【分析与解答】
根据“四（1)班捐的本数是四(2）班的2倍”，我们可以把四（2）班捐的本数看成1份， 四（1)班捐的本数就是这样的2份。通过画线段图，可以看出这两个班一共捐了2+1=3份， 这3份就是这两个班一共捐的本数。
少14个。当这批零件完工时，师傅和徒弟各完成了几个零件？

星云站备课教员：***第六讲和差、和倍问题一、教学目标： 1. 会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备。

2. 总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题。

二、教学重点：和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

三、教学难点：知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：同学们在上课之前我们一起来玩一个小游戏吧。

生：好的。

拍三令人数：无限制方法：多人参加，从1-99报数，有人数到“3”的倍数时，不许报数，拍一下桌子，下一个人继续报数。

如果有人报错数或拍错则出局。

奖励：最后剩下的人可以获得大拇指奖励。

师：刚才我们玩的这个游戏和我们学习的知识有一定的联系哦，今天我们要学习的是和差、和倍问题。

（板书课题：和差、和倍问题）师：我们一起去看看吧。

二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）米德期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，米德语文和数学各得多少分？师：米德期末考试时语文和数学平均分是94分，那么米德的语文和数学总成绩是多少分呢？生：米德语文与数学的总成绩是94×2=188分。

师：我们知道了总成绩，要想知道语文成绩应该怎么办？生：因为数学比语文多8分，从数学成绩中减去8分，此时语文与数学的成绩相等了。

师：语文成绩为多少？生：（94×2-8）÷2=90（分）。

师：知道了语文成绩，数学成绩是多少分？生：数学成绩为90+8=98（分）。

板书：语文成绩为：（94×2-8）÷2=（188-8）÷2=180÷2=90（分）则数学成绩为：90+8=98（分）答：米德的语文成绩是90分，数学成绩是98分。

（四年级）备课教员：第12讲和倍问题一、教学目标：1、让学生通过认真观察与思考，理解有关解和倍问题的基本方法。

2、通过例题的线段示意图，引导学生化抽象为具体，锻炼学生的逻辑思维能力。

3、通过数形结合的方式，使学生掌握将复杂问题简单化的能力，领会和倍问题的求解技巧，增强学生将数学知识应用于生活中去的意识。

4、通过师生互动，重点培养学生的语言表述能力、逻辑思维能力以及计算能力。

进一步引导学生形成抽象与概括的思维能力。

二、教学重点：1、学会利用和倍问题的解题规律来求解相关问题。

2、引导学生掌握求解和倍问题的方法。

三、教学难点：理解并掌握公式：两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（6分)师：同学们，元旦快要到了，欧拉正在布置班级的时候，遇到了阿派，正好欧拉听说最近阿派变得越来越勤奋了，于是就想考一考阿派。

师：欧拉对阿派说道：马上到元旦了我和卡尔一共准备了150个黄气球和红气球，黄气球的个数是红气球的2倍，你知道我们准备的黄气球和红气球各多少个吗？阿派想了想说到，红气球你们准备了50个，黄气球准备了100个。

欧拉高兴地说道,看样子你说得没错，你最近进步确实很大嘛，不过你是怎么去计算的呢？师：同学们，你们知道阿派是怎么计算的吗？生：不知道。

师：看来，阿派学到的知识比你们多呢！想不想超越阿派？生：想。

师：很好，学了今天的知识，你们就能超越阿派了，有信心吗？生：有信心。

师：很好，那今天到底要学什么呢？【出示课题“和倍问题”并板书。

】师：同学们，看了我们今天要学的课题，有没有什么想说的？生：跟我们之前学的“和差问题”类似。

师：对了，之前我们学的是“和差问题”，还记得吗？生：记得。

师：掌握了吗？生：掌握了。

师：很好，既然掌握了，那我们今天学习的“和倍问题”也可以用之前所学的“和差问题”的解题思路来考虑问题，那样会变得容易了。

第十讲和倍、差倍问题一、学习目标1、认识和倍、差倍问题。

2、运用数量间的倍数关系，学会运用线段图求1倍数。

二、重难点突破解决和倍或差倍的问题时，先确定一个数量为1倍数，这样另一个数量就相当于它的几倍，然后根据这些数量间的倍数关系，确定和（差）与1倍数的关系，求得1倍数，再求几倍数。

三、例题精讲【例题1】三块钢板共重1026千克，第一块的质量是第二块的4倍，第三块和第一块一样重，这三块钢板各重多少千克？思路点拨：【例题2】甲、乙、丙三人共有人民币195元，已知甲的钱数十乙的4倍，比丙多12元。

求甲、乙、丙各有人民币多少元？思路点拨：【例题3】两个数的差是279，去掉被减数个位上的0，被减数和减数相等，被减数和减数格式多少？思路点拨：【例题4】有三堆玩具，第二堆比第一堆多10个，第三堆比第二堆多20个，第三堆是第一堆的3倍。

三堆玩具各有多少个？思路点拨：【例题5】甲、乙、丙三数和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商5余1。

则乙数是多少？思路点拨：四、巩固精练【精练1】甲、乙、丙三箱茶叶共重1711千克，甲箱茶叶的质量比乙箱的3倍少12千克，丙箱茶叶比甲箱少15千克。

这三箱茶叶各重多少千克？【精练2】王爷爷家养鸡、鸭、鹅共161只，养的鸡只数是鸭的5倍，养的鹅和鸭一样多。

王爷爷家鸡、鸭、鹅各多少只？【精练3】某校四年级四个班总共有176名学生，其中一班和二班共有87人，一班和三班共有82人，二班和三班共有85人，四班有多少人？【精练4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的质量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖的质量相等。

商店原有红糖和白糖各有多少千克？。

志存高远务实求索课题：和倍问题授课日期：2021-9-23教师：教师：班级：四年级数学〔1〕班学生：励志名言：宁可慢些，不要太急而错误；宁可笨些，不要太巧而败事！和倍问题两个数的和与两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，通常叫做“和倍问题〞，它是常见的典型应用题之一。

解答和倍问题，可以根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。

正确列式的关键是要找出两数和以及与之对应的倍数和，先求出1倍也就是每份的数〔小数〕，再求几倍数〔大数〕，数量间的关系可以这样表示：小数〔1倍数〕=两数和÷〔倍数+1〕大数〔几倍数〕=小数×倍数或大数=两数和-小数难题点拨1学校合唱队一共有184人，五年级参加合唱的人数是三年级的3倍，两个年级各参加了多少人？拓展张阿姨是养鸡专业户，她家有9只鸡笼，这些笼子里共养了1782只鸡，其中每个笼子中母鸡只数是公鸡的8倍。

每只笼子里有几只公鸡，几只母鸡？想一想·做一做1.小生和小海两人集邮，共集了108张邮票，其中小海的张数是小生的5倍，两人各集了多少张邮票？2.学校新买了一批图书，文艺书与科技书共买了1072本，其中文艺书的本数是科技书的7倍。

文艺书与科技书各买了多少本？3.5个框子中共放了435个苹果和梨，其中每个框子中苹果的个数是梨的2倍。

每个框子中有几个苹果几个梨？4.学校开展节目主持人大赛，五六年级8个班，共有48名同学参加，每班推荐参加的人数中女生人数是男生的2倍。

问：每班几名女生，几名男生参加节目支持人大赛？难题点拨2被除数与除数的和是392，两数的商是6，那么被除数与除数各是几？拓展两数相除商42余5，被除数除数商和余数四个数的和是396，被除数与除数分别是多少？想一想·做一做1.被除数和除数的和是392，商是7，被除数与除数各是多少？2.一个数乘9与它原来的数合起来后正好是360，这个数是多少？3.两数相除商7余6，被除数除数商和余数四个数的和是523，求被除数和除数各是多少？4.两数相除商9余8，被除数除数商和余数四个数的和是485，求被除数和除数各是多少？难题点拨3松鼠妈妈与小松鼠拾松果，松鼠妈妈拾了32只松果，小松鼠拾了17只。

第二讲和倍问题一、专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做和倍问题。

二、典型例题例1：学校有科技书和故事书共480本，科技书是故事书的三倍，两种书各有多少本？练一练：1.甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？2.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。

这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？例2：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？练一练：1、小红和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小红的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？2、学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段的比低年级段的3倍多8本，中年级段的比低年级段的2倍多4本，问高、中、低年级段的图书各有多少本？，例3：小华和小明共有邮票70张，如果小华增加15张，小明拿出5张，小华的张数就是小明的3倍。

两人原来各有邮票多少张？练一练：1、学校的两个美术兴趣小组共有40人，如果第一组增加8人，第二组减少3人，则第一小组人数变为第二小组的4倍，两组各有多少人？2、食堂有大米和面粉共6300千克，如果再运进大米200千克，运出面粉100千克，大米的质量变为面粉的7倍。

食堂的大米和面粉原来各有多少千克？3、生物组养了白兔和黑兔共25只，如果再买4只白兔，卖5只黑兔，黑兔的只数就是白兔的3倍。

生物组原来养白兔、黑兔各多少只？例4 ：果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍，求桃树、梨树、苹果树各有多少棵？练一练：1、甲、乙、丙三数之和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，甲、乙、丙各是多少？2、商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。

铅笔、钢笔、圆珠笔各有多少支？三、熟能生巧1、白金是由黄金和其他金属制成的，一块白金168克，其中黄金的质量是其他金属的3倍，黄金和其他金属各多少克？2、一块长方形的地周长是100米，长是宽的4倍。

和倍问题
1、体育馆有排球和篮球共180个，篮球是排球的3倍，体育馆有篮球和排球各多少个？
2、学校买来两种粉笔共240盒，已知白色粉笔的盒数是彩色的5倍，两种粉笔各买了多少盒?
3、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，长和宽分别是多少厘米？
4、舞蹈队共有队员42人，其中女队员比男队员的2倍少3人，求男、女队员各有多少人？
6、甲、乙两架飞机同时从机场向相反的方向飞行，3小进共飞行3600千米，甲的速度是乙的速度的2倍，求它们的速度各是多少？
7、某校四年级和五年级共有160人，四年级人数比五年级人数年的2倍少8人，问
四、五年级各有学生多少人？
8、弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？
9、甲、乙两个书架共有120本书，后来从甲书架取出15本书放到乙书架，这时甲书架是乙书架的3倍。

甲书架原有多少本？
10、弟弟有12张邮票，哥哥有33张邮票。

哥哥要给弟弟多少张邮票，哥哥的邮票才是弟弟的2倍？
11、姐弟俩共有180元，后来姐姐给弟弟10元钱后，这时姐姐的钱是弟弟的2倍，姐弟俩原来各有多少钱？
12、糖果盒里一共有奶糖、水果糖、咖啡糖140颗，已知奶糖颗数是水果糖的2倍，而水果糖的颗数又是咖啡糖的2倍，求奶糖、水果糖和咖啡糖各有多颗？
13、三条绳子共长250米，其中第一条绳长是第二条的3倍，第三条绳长是第一条的2倍，三条绳子各长多米？。

小学四年级奥数专题讲解之“和倍问题”杨启令例题1：学校将360本书分给二、三年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，二、三年级各分得多少本书？分析：解：（1）、二年级：360÷（1+2）=120（本）（2）、三年级：120×2=240（本）答：二年级分得120本书；三年级分得240本书。

公式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）练习题：1、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，问小红和小明分别有压岁钱多少元？2、A、B两个生产队共收橘子1200千克，B队收的是A队的3倍，A、B两队各收了多少千克橘子？3、果园里有梨树和苹果树共40棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，问苹果树和梨树各有多少棵？4、学校生物兴趣小组一共饲养白兔和黑兔54只，白兔的只数是黑兔的2倍，问白兔和黑兔各有多少只？5、学校图书馆买来文艺书和科技书共480本，买来的科技书是文艺书的5倍。

学校图书馆买来文艺书和科技书各有多少本？例题2：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。

问二、三年级各分得图书多少本？分析：解：（1）、二年级：（360-60）÷（1+2）=100（本）（2）、三年级：100×2+60=260（本）答：二年级分得图书100本；三年级分得图书260本。

练习题：1、三（1）班和三（2）班在学校运动会上共得160分，三（2）班的得分比三（1）班的2倍多7分，问两个班各得多少分？2、舞蹈队共有队员30人，其中女队员比男队员的2倍少3人，问男、女队员各有多少人？3、A、B两个粮库共存粮560吨，A粮库有粮吨数比B粮库有粮吨数的2倍少40吨，问A、B两个粮库各有粮多少吨？4、师、徒两人共生产了380个零件，师傅生产的零件个数比徒弟生产的个数的2倍还多20个。

问师、徒两人各生产了多少个零件？5、植树节那天，某学校植杨树和柳树共400棵，其中杨树的棵数是柳树棵数的5倍少44棵。

2
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例2、花园小学买来足球和篮球共48只，已知买来足球的 个数比篮球的2倍少3只，学校买来足球和篮球各多少个？
据题意，画线段图：
48+3=51 (只) 2+1=3 (份) 51÷3=17 (只) 篮球 17×2-3=31 (只) 足球
3
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例3、有两堆棋子，第一堆有66枚，第二堆有54枚。问从 第二堆中拿出多少枚棋子放入第一堆，就能使第一堆的 棋子数是第二堆的2倍？
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练 6、商店运来梨子、苹果、香蕉共53千克， 习 梨子的重量比苹果的3倍少3千克，香蕉的重
量比苹果的2倍多2千克。梨子重多少千克？
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练 7、有两堆棋子，第一堆有87枚，第二堆有 习 69枚，每次从第一堆中拿4枚放入第二堆中，
经过多少次后，第二堆的棋子是第一堆的3
倍？
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练 8、已知被减数、减数与差的和为592，其中减 习 数比差的2倍还多2。求减数。
和倍问题
笼子里共有白兔和黑兔56只，白兔的只数是黑 兔的3倍，问白兔和黑兔各有多少只？
上述问题是已知两个数的和，与两个数的倍数 关系，求这两个数是多少。这类应用题叫和倍问 题。解答这类应用题一般，假设小的数为1份， 确定总数里有多少份，用除法求出1份是多少？
和倍的数量关系式：
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
330÷11=30 (本) 第一书橱
30×2=60 (本) 第二书橱
60×4=240 (本) 第三书橱
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例5、两数相除商3余2，已知被除数、除数、商与余数的 和是179，问被除数是多少？
据题意，画线段图：
被除数÷除数=商...2 被除数+除数+商+余数=179 被除数+除数+3+2=179

弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本以后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？变式题：1.四（1）班和四（2）班共有图书160本，四（1）班图书的本数是四（2）班的3倍，四（1）班和四（2）班各有图书多少本？2.一个停车场共停大车、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大车、小车各多少辆？3.有两筐苹果，第一筐73个，第二筐77个，从第二筐中拿出多少个苹果放入第一筐，就能使第一筐的苹果数是第二筐的2倍？4.一块长方形菜地，长是宽的2倍，周长是90米，它的面积是多少平方米？水果商店有香蕉和橘子一共240箱，香蕉卖出40箱后，又运进橘子70箱，这时橘子的箱数正好是香蕉的2倍。

水果店原来有香蕉和橘子各多少箱？变式题：1.甲、乙两人共有10000元，甲用去2000，乙用去800元，乙剩下的钱是甲的2倍，甲和乙原来各有多少钱？2.朝阳小学有篮球、足球和排球共95个，其中排球的个数是篮球个数的2倍，足球的个数比排球个数少5个，这个学校有篮球、足球和排球各多少个？3.新世纪小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？幼儿园里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球一共370个，如果红球的个数加上2、黄球的个数减去3，蓝球的个数乘2，绿球的个数除以2，四种颜色的球的个数正好相等，那么红、黄、蓝、绿四种球原来各有多少个？变式题：1.两层书架上共有173本书，从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层书的2倍还多6本，那么，第二层有多少本书？2.一个养殖厂牛、羊的总数量为3561，如果牛减少60头，羊增加100只后，牛的头数比羊的只数的2倍还多1，养殖厂原有牛、羊各多少？定义新运算基础题：如果a△b=3×a-2×b①求3△2和2△3。

此题这个运算“△”有交换律吗？②求（16△7）△3和16△（7△3）。

此题这个运算“△”有结合律吗？变式题：1.如果a※b=a×b+a+b，请解答下面各题。

例9：①被除数、除数、商三个数的和是215，已 知商是2，被除数和除数各是多少？
②两数相除的商为12，余数是26，被除数、 除数、商、余数的和等于454，被除数和除数各 是多少？
例9：①被除数、除数、商三个数的和是215，已知商 是2，被除数和除数各是多少？
②两数相除的商为12，余数是26，被除数、除数、 商、余数的和等于454，被除数和除数各是多少？ 分析：①已知商是2，说明被除数是除数的2倍。把除数 看作是1倍数，被除数则是2倍数，从215里去掉2所得的 结果则是3倍数，从而就可以求出1倍数——除数，然后 再用“商×除数=被除数”的关系式，算出被除数。 ②根据题意，用4个数的和减去商12，再减去余数26就 得到了被除数和除数之和，因为商是12，也就是被除数 是除数的12倍，可以把除数看作是1倍数，被除数就是 12倍数，它们的和是1+12=13倍数，用和倍公式即可求 出除数。
例8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水 2800立方数，小水池里有水1000立方数，如果 大水池里的水以每分钟20立方米的速度流入小 水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池 的4倍？
例8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水2800立 方数，小水池里有水1000立方数，如果大水池里的水 以每分钟20立方米的速度流入小水池，那么多少分钟 后小水池中的水是大水池的4倍？ 分析：解答这道题时，应明确不管大水池的水往小水 池里流，还是小水池的水往大水池里流，两池水的总 量是不变的。两池里的水一共是2800+1000=380（m3）， 把大水池所剩的水看作是1倍数，那么小水池现在的水 就是4倍数，两池水一共是1+4=5倍数，从而能求出大水 池里所剩的水。再用2800减法剩下的水就等于流走的 水，流出的水除以流速就求出流水的时间。