矩阵连乘最佳加括号方式-动态规划算法

动态规划法解矩阵连乘问题实验内容给定n个矩阵｛A1,A2,….An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3。

，n-1。

我们要计算这n个矩阵的连乘积。

由于矩阵乘法满足结合性，故计算矩阵连乘积可以有许多不同的计算次序。

这种计算次序可以用加括号的方式确定。

若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则我们可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

解题思路将矩阵连乘积A(i)A(i+1)…A(j)简记为A[i:j]，这里i <= j 。

考察计算A[i:j]的最优计算次序。

设这个计算次序在矩阵A(k)和A(k+1)之间将矩阵链断开，i <= k < j, 则其相应完全加括号方式为(A(i)A(i+1) …A(k)) * (A(k+1)A(k+2) …A(j))。

特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。

设计算A[i:j] , 1 <= i <= j <= n ，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1, n]当i = j 时，A[i:j]=Ai ，因此，m[i,i] = 0 , i = 1,2, …,n当i < j 时，m[i,j] = m[i,k] + m[k+1,j] + p(i-1)p(k)p(j) 这里A(i)的维数为p(i-1)*(i)( 注：p(i-1)为矩阵A(i)的行数，p(i)为矩阵A[i]的列数)实验实验代码#in elude <iostream>#in elude <vector>using n amespaee std ;class matrix_cha in{public:matrix_eha in(const vector <int> & c){ cols = c ;count = cols.size (); mc.resize (co unt);s.resize (co unt);for (i nt i = 0; i < count; ++i) { mc[i].resize (co unt); s[i].resize (co unt);}for (i = 0; i < count; ++i) { for (int j = 0; j < count; ++j) { mc[i][j] = 0 ;s[i][j] = 0 ;//记录每次子问题的结果void lookup_cha in () {__lookup_cha in (1, count - 1);min_count = mc[1][co unt - 1];cout << "min _multi_co unt = "<< min_count << endl ;//输出最优计算次序__trackback (1, count - 1);}//使用普通方法进行计算void calculate () {int n = count - 1; //矩阵的个数// r表示每次宽度// i,j表示从从矩阵i到矩阵j// k表示切割位置for (i nt r = 2; r <= n; ++ r) {for (int i = 1; i <= n - r + 1; ++ i) {int j = i + r - 1 ;//从矩阵i到矩阵j连乘，从i的位置切割，前半部分为0mc[i][j] = mc[i+1][j] + cols[i-1] * cols[i] * cols[j];s[i][j] = i ;for (int k = i + 1; k < j; ++ k) {int temp = mc[i][k] + mc[k + 1][j] +cols[i-1] * cols[k] * cols[j];if (temp < mc[i][j]) {mc[i][j] = temp ;s[i][j] = k ;}} // for k} // for i} // for rmin_count = mc[1][ n];cout << "min _multi_co unt = "<< min_count << endl ;//输出最优计算次序__trackback (1, n);private:int __lookup_cha in (int i, i nt j) {//该最优解已求出，直接返回if (mc[i][j] > 0) {return mc[i][j];}if (i == j) {return 0 ; //不需要计算，直接返回}//下面两行计算从i到j按照顺序计算的情况int u = __lookup_cha in (i, i) + __lookup_cha in (i + 1, j)+ cols[i-1] * cols[i] * cols[j];s[i][j] = i ；for (int k = i + 1; k < j; ++ k) {int temp = __lookup_cha in (i, k) + __lookup_cha in(k + 1, j)+ cols[i - 1] * cols[k] * cols[j];if (temp < u) {u = temp ;s[i][j] = k ；}}mc[i][j] = u ;return u ;}void __trackback (int i, i nt j) {if (i == j) {return ;}__trackback (i, s[i][j]);__trackback (s[i][j] + 1, j);cout <<i << "," << s[i][j] << " " << s[i][j] + 1 << "," << j << endl;}private:vector<int> cols ; // 列数int count ; // 矩阵个数+ 1vector<vector<int> > mc; //从第i个矩阵乘到第j个矩阵最小数乘次数vector<vector<int> > s; //最小数乘的切分位置int min_count ; //最小数乘次数};int mai n(){//初始化con st i nt MATRIX_COUNT = 6 ;vectorvi nt> c(MA TRIX_COUNT + 1);c[0] = 30 ;c[1] = 35 ;c[2] = 15 ;c[3] = 5 ;c[4] = 10 ;c[5] = 20 ;c[6] = 25 ;matrix_cha in me (c); // mc.calculate (); mc」o okup_cha in (); return 0 ;}实验结果实验验证从s 可知计算顺序为((A1(A2A3))((A4A5))A6))实验总结在这次实验中懂得了动态规划法运用方法和解题思路的重要性，在这个程序中如何 建立动态规划的过程建立递归过程 保存已解决的子问题答案。

算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）⼀、问题描述引出问题之前我们先来复习⼀下矩阵乘积的标准算法。

int ra,ca;//矩阵A的⾏数和列数int rb,cb;//矩阵B的⾏数和列数void matrixMultiply(){for(int i=0;i<ra;i++){for(int j=0;j<cb;j++){int sun=0;for(int k=0;k<=ca;k++){sum+=a[i][k]*b[k][j];}c[i][j]=sum;}}}给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。

如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。

加括号的⽅式对计算量有很⼤的影响，于是⾃然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵，如何确定矩阵连乘的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

⼆、问题分析矩阵连乘也是Catalan数的⼀个常⽤的例⼦，关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。

下⾯考虑使⽤动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

1、分析最优解的结构问题的最优⼦结构性质是该问题可以⽤动态规划求解的显著特征！！！2、建⽴递归关系3、计算最优值public static void matrixChain(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}4、构造最优解public static void traceback(int i, int j) {if (i == j) {System.out.printf("A%d", i); // 输出是第⼏个数据return;}System.out.printf("(");traceback(i, s[i][j]);// 递归下⼀个数据System.out.printf(" x ");traceback(s[i][j] + 1, j);System.out.printf(")");}三、总结。

矩阵链乘法（动态规划）
⼀题意描述：
给定由n个要相乘的矩阵构成的序列（链）<A1,A2,A3,····A n>。

由于矩阵满⾜结合律（加括号⽅式表⽰结合⽅式），不同的计算⽅式导致的求出最终计算结果的代价相异，有的花的时间很少，有的⽅式所花时间很多，那么下⾯的任务就是求出算出结果所需要的最少时间及⼀个最优解。

⼆思路分析：
设p(n)表⽰⼀串n个矩阵可能的加全部括号⽅案数。

当n=1时，只有⼀个矩阵，此时p(1)=1。

当n>=2时，⼀个加全部括号的矩阵乘积等于两个加全部括号的⼦矩阵乘积的乘积，⽽且这两个⼦乘积之间的分裂可能发⽣在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k=1，2，····，n-1;因此可以求得递归式：
1.找局部最优解：把问题：转化成两个最优⼦问题：及
2.构造递归解：
⾸先定义m[i,j]为解决⼦问题A[i....j]的最⼩计算次数，那么解决整个问题A[1,n]所花的最⼩时间为m[1,n]。

那么递归⽅程可以写成如下形式：
为了跟踪如何构造⼀个最优解我们可以定义s[i,j]为这样的⼀个k值，在该处分裂乘积后可得⼀个最优解。

3.构造函数进⾏求解
输出最优路径的函数⾃⼰编写，经过调⽤数组s[i][j]即可。

矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。

这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。

本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。

问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。

动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。

它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。

下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。

定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。

确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。

根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。

填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。

具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。

重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。

C语⾔矩阵连乘（动态规划）详解动态规划法题⽬描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的⽅式相乘，使得相乘的次数最少!以矩阵链ABCD为例按照矩阵链长度递增计算最优值矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值动归⽅程：分析:k为矩阵链断开的位置d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为⾸，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0m数组内存放矩阵链的⾏列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的⾏和列（i = 1、2、3...）c语⾔实现代码：#include <stdio.h>#define N 20void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){int i,j,t,k;int r; //记录相乘的矩阵个数变量for(i=1;i<=n;i++){m[i][i]=0; //当⼀个矩阵相乘时，相乘次数为 0}//矩阵个数从两个开始⼀次递增for(r=2;r<=n;r++){//从某个矩阵开始for(i=1;i<=n-r+1;i++){//到某个矩阵的结束j=i+r-1;//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//拿到矩阵连乘断开的位置s[i][j]=i;//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最⼩值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组for(k=i+1;k<j;k++){t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}}}int main(void){int n,n1,m1,i,j=2;int p[N]={0}; //存储矩阵的⾏和列数组int m[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘的最⼩次数int s[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘断开的位置printf("请输⼊矩阵个数:\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输⼊第%d个矩阵的⾏和列(n1*m1 格式):",i);scanf("%d*%d",&n1,&m1);if(i==1){p[0]=n1;p[1]=m1;}else{p[j++]=m1;}}printf("\n记录矩阵⾏和列:\n");for(i=0;i<=n;i++){printf("%d ",p[i]);}printf("\n");MatrixChain(p,n,m,s);printf("\n矩阵相乘的最⼩次数矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",m[i][j]);}printf("\n");}printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",s[i][j]);}printf("\n");}printf("矩阵最⼩相乘次数为:%d\n",m[1][n]);return 0;}感谢阅读，希望能帮助到⼤家，谢谢⼤家对本站的⽀持！。

动态规划之矩阵连乘【问题描述】给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。

如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。

分析：矩阵链乘法问题描述：给定由n个矩阵构成的序列｛A1，A2，...，An}，对乘积A1A2...An，找到最⼩化乘法次数的加括号⽅法。

1）寻找最优⼦结构此问题最难的地⽅在于找到最优⼦结构。

对乘积A1A2...An的任意加括号⽅法都会将序列在某个地⽅分成两部分，也就是最后⼀次乘法计算的地⽅，我们将这个位置记为k，也就是说⾸先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。

最优⼦结构如下：假设A1A2...An的⼀个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀⼦链A1...Ak的加括号⽅式必定为A1...Ak的⼀个最优加括号，后缀⼦链同理。

⼀开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。

2）构造递归解设m[i,j]为矩阵链Ai...Aj的最优解的代价，则3）构建辅助表，解决重叠⼦问题从第⼆步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠⼦问题，可以⽤⼀个nXn维的辅助表m[n][n] s[n][n]分别表⽰最优乘积代价及其分割位置k 。

辅助表s[n][n]可以由2种⽅法构造，⼀种是⾃底向上填表构建，该⽅法要求按照递增的⽅式逐步填写⼦问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n；另⼀种是⾃顶向下填表的备忘录法，该⽅法将表的每个元素初始化为某特殊值(本问题中可以将最优乘积代价设置为⼀极⼤值)，以表⽰待计算，在递归的过程中逐个填⼊遇到的⼦问题的解。

矩阵连乘最优结合问题(一)
矩阵连乘最优结合问题
简介
矩阵连乘最优结合问题是一个经典的动态规划问题，它的目标是找到一种最优的方式来计算一系列矩阵的乘积。

在实际应用中，这个问题往往涉及到优化计算时间和空间的需求。

相关问题及解释
1.矩阵连乘的计算顺序问题：给定一系列矩阵的维度，如何确定它
们的乘积计算顺序，使得总的计算次数最少。

2.最优连乘加括号问题：在确定计算顺序的基础上，如何添加括号
来改变计算的顺序，使得计算的效率更高。

问题1：矩阵连乘的计算顺序问题
•当只有两个矩阵相乘时，它们的乘积计算次数是确定的，并且只有一种可能的计算顺序。

•然而，当矩阵的数量增加时，不同的计算顺序会导致不同的计算次数。

•因此，需要通过动态规划的方法来确定最优的计算顺序。

问题2：最优连乘加括号问题
•在确定了矩阵乘法的计算顺序后，可以通过添加括号来改变计算的顺序。

•这样做的目的是为了减少矩阵乘法的计算次数，从而提高计算效率。

•通过动态规划的方法，可以找到一种最优的添加括号方式。

总结
矩阵连乘最优结合问题是一个经典的动态规划问题，涉及到确定最优的矩阵乘法计算顺序和添加最优的括号方式。

通过动态规划的方法，可以高效地解决这些问题，优化计算时间和空间的利用。

在实际应用中，矩阵连乘最优结合问题具有广泛的应用领域，如计算机图形学、数据分析等。

动态规划实现矩阵链乘法问题矩阵链乘法问题( matrix-chain multiplication problem ) (1)问题描述 给定n个矩阵的链<A 1 ,A 2 ,…,A n >，其中i=1,2,…,n，矩阵A i的维数为p i-1 ×p i。

求⼀个完全“括号化⽅案”，使得计算乘积A 1 A 2 …A n 所需的标量乘法次数最⼩ (2)最优括号化⽅案的结构特征 ⽤记号 A i,j表⽰ A i A i+1 …A j通过加括号后得到的⼀个最优计算模式，且恰好在A k与A k+1之间分开。

则“前缀”⼦链A i A i+1 …A k必是⼀个最优的括号化⼦⽅案，记为A i,k；同理“后缀”⼦链A k+1 A k+2 …A j也必是⼀个最优的括号化⼦⽅案，记为A k+1,j。

(3)⼀个递归求解的⽅案 对于矩阵链乘法问题，我们将所有对于1≤i≤j≤n确定A i A i+1 …A j的最⼩代价括号⽅案作为⼦问题。

令m[i,j]表⽰计算矩阵A i,j所需要的标量乘法的次数最⼩值，则最优解就是计算A i...n所需的最低代价就是m[1,n] 递归定义m[i，j]。

①对于i=j的情况下，显然有m=0，不需要做任何标量乘法运算。

所以，对于所有的i=1、2......n，m[i，i] = 0. ②当i < j的情况，就按照最优括号化⽅案的结构特征进⾏计算m[i,j]。

假设最优括号化⽅案的分割点在矩阵A k和A k+1之间，那么m的值就是A i...k和A k+1...j的代价加上两者量程的代价的最⼩值。

即。

该公式的假设是最优分割点是已知的，但是实际上不知道。

然⽽，k只有j-i中情况取值。

由于最优分割点k必定在i~j内取得，只需要检查所有可能的情况，找到最优解即可。

可以得出⼀个递归公式 m只是给出了⼦问题最优解的代价，但是并未给出构造最优解的⾜够信息(即分割点的位置信息)。

所以，在此基础之上，我们使⽤⼀个⼆维数组s[i,j]来保存 A i A i+1 …A j 的分割点位置k。

矩阵链相乘问题的算法是用矩阵链相乘问题是一个经典的问题，它的目标是找到一种最优的方式来连乘一系列矩阵，使得计算乘积的总运算量最小。

这个问题在计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。

一种常用的算法解决矩阵链相乘问题是动态规划算法。

动态规划算法是一种通过构建一个最优解的递归结构，并利用子问题的最优解来逐步构建整个问题的最优解的方法。

为了使用动态规划算法解决矩阵链相乘问题，首先需要定义一个特定的问题形式，并设计一个递归解法来解决它。

对于矩阵链相乘问题，可以定义以下形式：假设有n个矩阵 {A1, A2, ..., An}，它们的维度分别是 {d0, d1,d2, ..., dn}，其中Ai的维度是di-1 x di。

要解决矩阵链相乘问题，需要找到一种最优的括号方案，使得计算乘积的总运算量最小。

可以定义一个函数MCM(i, j)来表示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。

那么，这个问题可以分解为以下两个子问题：1. 计算第i个矩阵到第k个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(i, k)2. 计算第k+1个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(k+1, j)接下来，需要设计一个递归解法来解决这个问题。

可以使用一个循环来遍历可能的k值，从而得到所有可能的组合方式。

对于每个k值，可以计算出相应的运算量，并选择最小的结果。

递归方程可以表示如下：MCM(i, j) = min { MCM(i, k) + MCM(k+1, j) + di-1 * dk * dj } 其中i ≤ k < j，i ≤ 1 < n，MCM(i, i) = 0通过自底向上的方式，可以使用动态规划算法来解决矩阵链相乘问题。

需要构建一个二维数组dp来保存中间计算结果，其中dp[i][j]表示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。

动态规划算法的伪代码如下所示：```for l = 2 to n:for i = 1 to n-l+1:j = i + l - 1dp[i][j] = infinityfor k = i to j-1:q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1 * dk * djif q < dp[i][j]:dp[i][j] = q```最后，动态规划算法的最优解可以通过访问dp[1][n]来获取。