主成分分析法建模课后习题

第3题. 利用主成分分析法对我国各地区普通高等教育的发展水平进行综合评价。

近年来，我国普通高等教育得到了迅速发展，为国家培养了大批人才。

但由于我国各地区经济发展水平不均衡，加之高等院校原有布局使各地区高等教育发展的起点不一致，因而各地区普通高等教育的发展水平存在一定的差异，不同的地区具有不同的特点。

对我国各地区普通高等教育的发展状况进行聚类分析，明确各类地区普通高等教育发展状况的差异与特点，有利于管理和决策部门从宏观上把握我国普通高等教育的整体发展现状，分类制定相关政策，更好的指导和规划我国高教事业的整体健康发展。

遵循可比性原则，从高等教育的五个方面选取十项评价指标，具体见下图图1. 高等教育的十项评价指标指标的原始数据取自《中国统计年鉴，1995》和《中国教育统计年鉴，1995》除以各地区相应的人口数得到十项指标值，具体数值见下表见表6，其中：1x 为每百万人口高等院校数；2x 为每十万人口高等院校毕业生数；3x 为每十万人口高等院校招生数；4x 为每十万人口高等院校在校生数；5x 为每十万人口高等院校教职工数；6x 为每十万人口高等院校专职教师数；7x 为高级职称占专职教师的比例；8x 为平均每所高等院校的在校生数；9x 为国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比重；10x 为生均教育经费。

建模与求解：一构造原始数据矩阵X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1021x x x二使矩阵X标准化（程序见附录1）Z= 4.3685 3.9057 4.0909 4.1392 4.5401 4.5748 2.4120 0.39541.98622.6869 2.3854 2.4187 2.0965 1.9157 0.8299 1.13461.0221 1.4520 1.5048 1.3575 0.9509 1.0406 1.4024 1.09910.0952 0.2331 0.1895 0.2072 0.1326 0.1823 0.0558 0.53750.2342 0.3453 0.3790 0.3951 0.0988 0.1823 0.7080 0.72190.3918 0.3133 0.2898 0.2270 0.1495 0.1823 0.5775 -0.2813-0.0717 -0.0556 -0.0111 -0.0169 -0.0536 -0.0533 0.8638 0.2482 -0.1829 0.0086 -0.0223 -0.0136 -0.0649 -0.0701 0.4691 0.7675 -0.2756 -0.0396 0 -0.0466 -0.1383 -0.1374 0.2405 1.0602 -0.5166 -0.4405 -0.2564 -0.3168 -0.3696 -0.3899 0.7418 1.0264 -0.6371 -0.4245 -0.4124 -0.4091 -0.3696 -0.4067 0.4234 1.2987 -0.6279 -0.1358 -0.3344 -0.3959 -0.3922 -0.4235 0.4793 1.3884 -0.4981 -0.3924 -0.3567 -0.3663 -0.3414 -0.3562 -0.3371 0.4664 -0.4703 -0.3924 -0.3678 -0.3531 -0.3696 -0.3899 0.4979 0.4005 -0.3590 -0.3924 -0.2564 -0.3201 -0.3414 -0.3562 -0.0305 -0.03090.0396 -0.3122 -0.2341 -0.1191 -0.0705 -0.0196 -0.7098 -0.5435-0.1922 -0.2160 -0.2564 -0.2740 -0.3584 -0.3562 -0.1881 -0.4775 -0.3683 -0.2160 -0.3233 -0.2740 -0.2850 -0.2889 -0.7606 0.2939 -0.4054 -0.3764 -0.3121 -0.3729 -0.3696 -0.4067 -0.0509 -0.1155 -0.6093 -0.5047 -0.5239 -0.5113 -0.4543 -0.4572 0.4590 0.1806 -0.5444 -0.4886 -0.6019 -0.5640 -0.4656 -0.4740 -0.2660 -0.6889 -0.4425 -0.3764 -0.3455 -0.3531 -0.3358 -0.4067 -0.2220 0.2262 -0.5074 -0.5367 -0.4793 -0.4487 -0.4486 -0.4909 -0.4709 -0.0630 -0.3776 -0.3764 -0.5128 -0.4289 -0.3471 -0.3057 -0.4184 -0.59080.4103 -0.6490 -0.5462 -0.5410 -0.2906 -0.2384 -3.0524 -2.6580-0.6464 -0.5528 -0.5350 -0.5640 -0.4656 -0.5077 -0.2897 -0.0681 -0.6001 -0.6169 -0.5685 -0.5673 -0.4938 -0.5077 0.3065 -0.39800.1322 -0.2962 -0.3567 -0.3070 -0.2793 -0.2216 -1.2569 -1.4908-0.5630 -0.6971 -0.6911 -0.6860 -0.5051 -0.5245 -0.3388 -1.54320.2157 -0.4565 -0.5350 -0.4948 -0.3584 -0.2889 -2.0750 -2.2960三构造矩阵相关系数矩阵R（程序见附录2）R= 1.0000 0.9434 0.9528 0.9591 0.9746 0.9798 0.4065 0.06630.9434 1.0000 0.9946 0.9946 0.9743 0.9702 0.6136 0.35000.9528 0.9946 1.0000 0.9987 0.9831 0.9807 0.6261 0.34450.9591 0.9946 0.9987 1.0000 0.9878 0.9856 0.6096 0.32560.9746 0.9743 0.9831 0.9878 1.0000 0.9986 0.5599 0.24110.9798 0.9702 0.9807 0.9856 0.9986 1.0000 0.5500 0.22220.4065 0.6136 0.6261 0.6096 0.5599 0.5500 1.0000 0.77890.0663 0.3500 0.3445 0.3256 0.2411 0.2222 0.7789 1.00000.8680 0.8039 0.8231 0.8276 0.8590 0.8691 0.3655 0.11220.6609 0.5998 0.6171 0.6124 0.6174 0.6164 0.1510 0.0482四求出R的特征值和累积贡献率（程序见附录3）λ1= 7.5022贡献率τ1=λ1/10=75.0216%λ2= 1.577累积贡献率τ1+τ2=90.7915%λ3= 0.5362累积贡献率τ1+τ2+τ3=96.1536%λ4= 0.2064累积贡献率τ1+τ2+τ3+τ4=98.2174%可以看出，前两个特征根的累计贡献率就达到90%以上，主成分分析效果很好。

• •• • • •
上面的四张图中， 上面的四张图中，哪一种有更高的 精度？原始变量的信息损失最少？ 精度？原始变量的信息损失最少？
旋转变换的目的是为了使得n个样品点在 Fl轴方向上的离 散程度最大，即Fl的方差最大。 变量Fl代表了原始数据的绝大 部分信息，在研 究某经济问题时，即使不考虑变量F2也无损大 局。经过上述旋转变换原始数据的大部分信息 集中到Fl轴上，对数据中包含的信息起到了浓 缩作用。
F 1
x1
平移、旋转坐标轴 主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
•• •• •• ••• •• • •• •
x2 F2
••• • •• •• • •• •• • • •• • •
F 1
x1
平移、旋转坐标轴 x2 F 1 主 F2 成 • • •• •• • • • 分 • • 分 • •• •• • • • • • • • ••• • • • •• 析 • •••• • • •• • • • • • 的 • • • • •• • ••• • • • 几 • • •• • x1 • 何 • • • • •• • • • • •• • • 解 • • • • • • • • • • •• • 释
F1 F1 F2 F3 i Δi i t 1 0 0
F2
F3
i
i
t
1 0 -0.041 1 0.057 -0.124 l -0.102 -0.414 l -0.112 1
0.995
-0.056 -0.369
பைடு நூலகம்
0.948
-0.282
-0.836
二、主成分分析的意义 主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂 关系进行简化的分析方法。 在社会经济的研究中，为了全面系统的分析 和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标 能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征， 但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相 关性。

65
81
98
94
95
29
79
95
83
89
89
79
30
81
90
79
73
85
80
31
85
77
75
52
73
59
32
68
85
70
84
89
86
33
85
91
95
63
76
66
34
91
85
100
70
65
76
35
74
74
84
61
80
69
36
88
100
85
49
71
66
37
63
82
66
89
78
80
38
87
84
100
74
81
.554
Bartlett's Test of Sphericity
Approx. Chi-Square
df
28
Sig.
.000
从检验表中可见，Bartlett球度检验统计量为。检验的值接近0。表明8个变量之间有较强的相关关系。而KMO统计量为，小于。进行因子分析的效果不一定很好。
（2）旋转后的因子载荷矩阵如下：
Cumulative %
1
2
3
4
.843
5
.754
6
.337
7
.249
8
.163
Extraction Method: Principal Component Analysis.

0.68791zf -0.006045 -0.0054031
6
R的特征值及贡献率见下表
特征值 6.1366
贡献率（%） 0.76708
1.0421
0.13027
0.43595
0.054494
0.22037
0.027547
0.15191
0.018988
0.0088274
0.0011034
0.0029624
71.672 29.029 49.278 49.146 75.404 103.02 6.8215 74.523

8.602 4.7846 3.629 3.6747 5.0022 6.8215 1.137 6.7217
101.62 44.023 39.41 38.718 59.723 74.523 6.7217 102.71
0.32113x*1 +0.29516x*2 +0.38912x*3 +0.38472x*4+0.37955x*5 +0.37087x*6 +0.31996x*7 +0.35546x*8 -0.4151x*1-0.59766x*2 +0.22974x*3 +0.27869x*4+0.31632x*5 +0.37151x*6 -0.27814x*7 -0.15684x*8
主成分分析例题
2021/7/28
zf
1
某市为了全面分析机械类14个企业的经济效益，选择了8个不同的利润指标， 14个企业关于这8个指标的统计数据如下表所示，试比较这 14个企业的经济效 益。
2021/7/28
zf
2
表1 14家企业的利润指标的统计数据