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车辆路径问题一、车辆路径问题描述和建模 1. 车辆路径问题车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）,主要研究满足约束条件的最优车辆使用方案以及最优化车辆路径方案。
定义：设G={V,E}是一个完备的无向图，其中V={0,1,2…n}为节点集，其中0表示车场。
V,={1,2,…n}表示顾客点集。
A={(i,j),I,j∈V,i≠j}为边集。
一对具有相同装载能力Q的车辆从车场点对顾客点进行配送服务。
每个顾客点有一个固定的需求qi和固定的服务时间δi。
每条边（i,j）赋有一个权重，表示旅行距离或者旅行费用cij。
标准车辆路径问题的优化目标为：确定一个具有最小车辆数和对应的最小旅行距离或者费用的路线集，其满足下列约束条件：⑴每一条车辆路线开始于车场点，并且于车场点约束；⑵每个顾客点仅能被一辆车服务一次⑶每一条车辆路线总的顾客点的需求不超过车辆的装载能力Q⑷每一条车辆路线满足一定的边约束，比如持续时间约束和时间窗约束等。
2.标准车辆路径的数学模型:对于车辆路径问题定义如下的符号：cij：表示顾客点或者顾客点和车场之间的旅行费用等 dij：车辆路径问题中，两个节点间的空间距离。
Q：车辆的最大装载能力 di：顾客点i的需求。
δi：顾客点i的车辆服务时间m:服务车辆数，标准车辆路径问题中假设所有的车辆都是同型的。
R：车辆集，R={1,2….，m}Ri:车辆路线，Ri={0，i1,…im,0},i1,…im?V,,i?R。
一般车辆路径问题具有层次目标函数，最小化车辆数和最小化车辆旅行费用，在文献中一般以车辆数作为首要优化目标函数，在此基础上使得对应的车辆旅行费用最小，下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
对于每一条弧（I,j）,定义如下变量:xijv=1 若车辆v从顾客i行驶到顾客点j0 否则yiv=1 顾客点i的需求由车辆v来完成0 否则mnnmminF x =M ni=1 i=1x0iv+ i=0 j=0 v=1xijv.cij (2.1)车辆路径问题的数学模型可以表述为：n, mv=1 i=0xijv≥1 ?j∈V (2.2)nni=0xipv? j=0xpjv=0 ?p∈V,v∈R (2.3) , mv=1yiv=1 ?i∈V (2.4) ni=1diyiv≤Q ?v∈R (2.5) ,yiv=ni=1xijv ?j∈V,v∈R (2.6)式中，F x 表示目标函数，M为一个无穷大的整数，通过在目标函数中引入参数M，能够保证算法在求解车辆路径问题时以车辆数为第一优化目标，以车辆旅行费用作为第二优化目标，也就是一个具有较少车辆数的解比一个具有较大车辆数但是较小车辆旅行距离的解好。
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。
常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。
以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。
该算法适用于路网较小的情况。
2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。
该算法适用于路网较大的情况。
3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。
该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。
车辆路径规划问题研究综述车辆路径规划问题是指在特定条件下，对车辆的路线进行规划，以达到最优或最优化的目标。
它是一种典型的组合优化问题，涉及到多个领域，如计算机科学、数学、人工智能、交通运输、物流管理等。
研究这些问题的主要目的是为了解决一系列实际应用问题，如物流配送、智能交通管理、货车配送等。
本文将从路线规划问题的定义、算法、应用等方面进行综述。
一、定义车辆路径规划问题可以分为两大类：静态路径规划问题和动态路径规划问题。
静态路径规划问题是指在已知起点和终点的情况下，寻找一条最优路线，使得路线具有一定的性质或满足一定的限制条件。
这些限制条件可以是时间限制、路程限制、交通流限制、成本限制等。
常见算法如Dijkstra算法、A*算法、Floyd算法等。
而动态路径规划问题则是指车辆在运行过程中，需要实时调整路线，以适应环境变化或路况变化。
动态规划问题相对于静态规划问题而言，难度更大，需要更加复杂的算法来求解。
常见算法如遗传算法、模拟退火算法、福尔摩斯算法等。
二、算法1.贪心算法贪心算法是一种基于局部最优原则作出选择的策略。
该算法对于寻找单个最优解十分有效，但在寻找多个最优解或全局最优解时，可能会产生局部最优解而不是全局最优解的问题。
2.动态规划算法动态规划算法是一种可解决具有重叠子问题和最优子结构的问题的算法。
它以自底向上、递推的方式求解问题，具有高效、简单的特点。
该算法可以使我们更加深入地理解问题，在计算机视觉、自然语言处理等领域有广泛的应用。
3.遗传算法遗传算法是一种仿生优化算法，通过模拟进化的过程求解最优解。
在车辆路径规划问题中，该算法一般用于实现路线的优化，通过对种群的遗传进化，不断优化路线，达到最优化的目标。
4.强化学习算法强化学习算法是一种在不断试错过程中学习，以最大化预期收益的方法。
在车辆路径规划问题中，该算法可以用于实现车辆的自主控制和智能驾驶，根据环境变化或路况变化，快速做出反应和调整。
CVRP（车辆路径问题）是一个经典的组合优化问题，旨在为一系列客户分配车辆，使得一定数量的车辆能够以最短的总成本满足所有客户的运输需求。
以下是一个简单的CVRP问题算例：
**问题描述**：
假设有一个物流公司需要在若干城市之间进行货物配送。
公司拥有一定数量的车辆，每辆车的载重量是有限的。
每个城市都有一定的货物需求，且每对城市之间的距离是已知的。
目标是找到一个车辆路径方案，使得所有车辆都能完成配送任务，且总成本最小。
**算例数据**：
* 数据集名称：A-n32-k5
* 最小用车量：5辆
* 最优解路径总长度：784
* 问题类型：CVRP
* 节点数（城市数量）：32
* 边的权重类型：2D欧几里得距离
* 车辆最大载重：100单位
* 节点坐标（部分示例）：1 8276, 2 9644, 3 505, 4 498 ...
**解决方案**：
解决CVRP问题的常见方法包括启发式算法、精确算法和元启发式算法。
对于大规模问题，元启发式算法（如遗传算法、模拟退火算法等）通常是最有效的选择。
**结论**：
通过使用合适的算法和数据结构，可以有效地解决CVRP问题，并找到最优或近似最优的车辆路径方案，从而降低运输成本并提高物流效率。
车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，简称VRP）是指在满足一定条件下，一批需要送货的客户，使得送货车辆的路线总长度最小或者送达所有客户的总成本最小的问题。
VRP的研究在物流管理、智能交通系统等领域具有重要意义。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）是一种优化算法，它模拟鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作，通过群体中个体的协作来寻找最优解。
本文将探讨如何利用粒子群算法解决车辆路径问题，并对其研究进行深入分析。
一、车辆路径问题的基本概念1.1 车辆路径问题的定义车辆路径问题是指在满足一定条件下，一批需要送货的客户，使得送货车辆的路线总长度最小或者送达所有客户的总成本最小的问题。
该问题最早由Dantzig和Ramser于1959年提出，随后在实际应用中得到了广泛的关注和研究。
1.2 车辆路径问题的分类车辆路径问题根据不同的约束条件和优化目标可分为多种类型，常见的包括基本车辆路径问题、时间窗车辆路径问题、多车型车辆路径问题等。
1.3 车辆路径问题的解决方法针对不同类型的车辆路径问题，可以采用不同的解决方法，常见的包括启发式算法、精确算法、元启发式算法等。
其中，粒子群算法作为一种元启发式算法，在解决VRP问题中具有一定优势。
二、粒子群算法的基本原理2.1 粒子群算法的发展历程粒子群算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一种优化算法，其灵感来源于鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作。
该算法通过模拟群体中个体的协作来寻找最优解，在解决多种优化问题方面具有良好的性能。
2.2 粒子群算法的基本原理粒子群算法模拟了鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作过程，其中每个个体被称为粒子，它们以一定的速度在搜索空间中移动，并通过个体最优和群体最优来不断调整自身的位置和速度，最终找到最优解。
2.3 粒子群算法的应用领域粒子群算法在函数优化、特征选择、神经网络训练等领域都得到了广泛的应用，并在一定程度上取得了较好的效果。
车辆路径问题模型及算法研究车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）是指对于一些地点的需求，如何安排一定数量的车辆在给定的时间内从仓库或中心出发，服务这些地点并返回仓库或中心，使得总运输成本最小的优化问题。
该问题是组合优化领域中的NP-hard问题，对于大规模问题，需要高效的求解算法，以实现实际应用的可行性。
本论文旨在探讨车辆路径问题模型及算法研究，介绍其应用领域和目前的研究现状，探究主要的求解策略和方法，分析其优缺点并比较其结果。
一、车辆路径问题的应用领域车辆路径问题有着广泛的应用领域，如物流配送、货物集中运输、公共交通车辆的调度等。
在工业中，车辆路径问题常被用来确定设备或原材料的运输路线，以最少的时间和成本满足客户的需求，实现物资顺畅流通和经济效益最大化。
在城市交通领域，车辆路径问题被应用于公共交通和出租车的调度，通过优化路线和时间，减少运营成本和不必要的耗时，提升效率和服务质量。
此外，车辆路径问题还被应用于邮政快递配送、应急救援等领域。
二、车辆路径问题建模车辆路径问题的建模一般分为节点表示和弧表示两种。
在节点表示中，将车辆路径问题抽象为有向无环图（DAG），其中每个节点表示一个客户点或者仓库，每个边表示从一个节点到另一个节点的连线，代表可行的路径集合。
在弧表示中，将车辆路径问题表示为一张图，其中边权表示该路径需要花费的时间或者距离，该图同样也可能存在环。
1.节点表示法以Capacitated Vehicle Routing Problem（CVRP）为例，将每个顾客的需求为Q[i]，仓库的容量为C，每个顾客的坐标为(x[i],y[i])，仓库的坐标为(x[0], y[0])，顾客之间的欧氏距离为d[i,j]。
则模型可以表示为：\begin{aligned} min\left\{\sum_{(i,j) \in A}d_{i,j}X_{i,j} : \sum_{j = 1}^{n} X_{i,j} = 1, \sum_{i=1}^{n} X_{i,j} = 1\\ \sum_{j \in S} Q_{j} X_{i,j} <= C, X_{i,j} =\{0, 1\} \end{aligned}其中，X[i,j] = 1表示第i个点到第j个点有连线，0表示没有连线，S为与仓库联通的点集合。
第14章车辆路径问题14.1 物流配送车辆优化调度概述14.1.1 概述车辆路径问题：对一系列装货点和（或）卸货点，组织适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足一定的约束条件（如货物需求量、发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、时间限制等）下，达到一定的目标（如路程最短、费用最少、时间尽量少，使用车辆数尽量少等）。
又称运输调度问题，包括两部分：一是行车路线的设计；二是出行时间表的安排。
最基本的车辆路径问题，是客户需求位置已知的情况下，确定车辆在各个客户之间的行程路线，使得运输路线最短或运输成本最低，通过研究车辆路径问题，可以合理使用运输工具，优化运输路线，降低企业物流成本。
14.1.2 路径特性（1）地址特性：车场数目、需求类型、作业要求（2）车辆特性：车辆数量、载重量约束、可运载品种约束、运行路线约束、工作时间约束（3）问题的其他特性：道路网络可能是有向的，或者是无向的；单项作业是否可以分割完成；每一辆车是否可以承担多条线路，是否完成作业后必须回到出发点。
（4）目标函数可能是总成本极小化，或者极小化最大作业成本，或者最大化准时作业。
14.1.3 常见的基本问题（1）旅行商问题在一个配送中心p有一辆容量为q的货车，现有m个需求点的货运任务需要完成，已知需求点i的货运量为gi（i=1,2,…,m)，且Σgi≤q，求在满足各收点需求的约束条件下，总发送距离最短的货车送货路线。
在运筹学中，旅行商问题是这样解释的：有一个推销员，要到n个城市去推销商品，当各个城市间的距离已知，并规定每个城市只访问一次，问按什么样的顺序访问，其距离最短。
（2）带容量约束的车辆路线问题在一个配送中心p，有一个车队Qj(j=1,2,…,n)，这个车队每辆车容量均为q，且有足够的运力保证任务的完成，需求点i的货运量gi满足：nq≥Σgi≥q。
这样一来，配送中心需要派出若干的车辆来完成配送任务，每个车可能要为多个需求点服务然后返回配送中心。
该问题包括两个要解决的小问题：一是哪些用户要被分配到一条路线上；二是每条路线上的用户的绕行次序。
可以将这个问题看作是一个广义分配问题和多个旅行商问题的结合。
（3）带时间窗的车辆路线问题由于客户会提出配送的时间要求，因此在上述的问题基础上，要增加时间约束。
假设一组有n个需求点要求送货，并表示为1,…,i,…,n，需求点i有一个固定的完成时间Ti，一个服务时间Si，在任何两个需求点i和j之间的运输时间为DH(i,j)，距离用dij表示。
这个问题首先在无圈有向网络中寻找i到j，并经过所有节点的路径的最小条数（用最大流或最小费用最大流算法来解），它的解为完成所有需求点运输任务所必需的最小车辆数，然后固定车辆数或求解有关的最小费用流问题，这个解保证最小车队规模的同时，使路线运行费用最小。
（4）收集和分发问题这是对以上问题的推广，假设有多个配送中心，或是允许车辆从需求点发车，问题就升级为有几个封闭循环线路的旅行商问题的组合，这是一个组合优化问题。
车辆调度的目标是以最少的车辆通过最经济的线路完成所有的运输任务。
（5）多车型车辆路线问题（6）优先约束车辆路线问题（7）相容性约束车辆路线问题（8）随机需求车辆路线问题14.1.4 车辆路径问题的求解方法（1）数学解析法如动态规划法、整数规划法、树状搜寻法等。
对于配送点的问题，可以求得一个最优的解，但若求解的节点数增加，其结果相对变差，与实际配送的情况相差较大。
（2）人机互动法提供使用者人机互动的方式，结合使用者过去的经验，调整该模型的参数，以作为配送路线规划决策的依据。
（3）先分组再排路线法先将所有的配送点分成若干的群组，再分别对各个群组进行路线规划，如扫描法。
（4）先排路线再分组法先进行路线的规划，再进行分割，如巨集分割法。
又可以分为单巨集分割法和多巨集分割法。
单巨集分割法：取所有配送点进行旅行商问题的求解，建立一个自原点出发，经过所有结点，最后回到原点的巡回路线，然后以最短路径解法对此路线进行分割，求得所需结果。
多巨集分割法：与单巨集分割法相似，最大的差异在于建立巡回路线时并不包含原点，因此在切割路线时，可以有较多的切割方式。
（5）节省或插入法节省法：以三角不等式为基础，一部车只以一个配送点为起始点，如此若有N个配送点就有N条路线，计算节省量，可将较短的路线与原始路线交换，缩短配送距离。
插入法：将节省法中的节省值观念应用于循序路线构建上，并以距离物流中心最远的配送点作为起始点，再以最临近的一点作为下一个插入点的配送点，求其节省值，根据取值最大者决定插入的位置并进行插入，重复选取与插入的步骤，直到所有配送点均被服务到为止。
（6）改善或交换法以其它方法产生的解为初始解，再利用节点或节线交换的方式，对求出的路线解进行改善，达到更好的目标函数值。
（7）数学规划近似法此法针对放松后的数据模式进行最优化处理。
如可以将车辆路径问题，转换成两个相关的子问题组成的数学规划，其中一个为一般化配送点的指派问题，另一个则为旅行商问题，并提出一些准则用来产生路径种子点，再利用节省值产生一个指派问题的目标函数，然后先解指派问题，再针对每辆车的旅行商问题求解。
14.2 旅行商问题旅行商问题属于数学NP难题，所谓NP难题，是完全多项式非确定问题。
有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。
但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。
比如，找大质数的问题。
有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。
再比如，大的合数分解质因数的问题，也没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少。
这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。
这也就是非确定性问题。
而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。
这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。
而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。
完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。
但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。
旅行商问题有很多种解法，有分枝定界解法、整数规划的解法、动态规划的解法、遗传算法的解法等，随着城市数量的增加，其精确解越难找出，只能找出近似解。
这里介绍一种简单的算法，称为最小增量法。
设有N个城市，每个城市之间的距离已知，要从某一个城市出发，再回到该城市，其余每个城市都仅到一次，选择经过城市的顺序，使总路程最短。
最小增量法计算的步骤：（1）选择离出发点最近的点作为初始回路，设这两个点为（i,j)（2）在已知回路上（i,j）中插入一个城市点k，计算增加的路程数，即：δ（3）比较所有的点的δk值，取最小的δk值所对应的点作为新插入点。
（4）重复前两步，直到所有的点都被插入为止，所得的回路即为要求的最优解。
8出发，再回到城市8，找一个最短的回路。
（2）将剩余的点1、2、3、4、5、6六个点分别插入到7→8和8→7之间，算出每个δk值，计算结果见表1。
（4）将剩余的点2、3、4、5、6分别插入到7→1，1→8，8→7，1→7，7→8，8→1之间；点1、2、4、5、k 值，见表3。
4。
总路程为：318 8 51出发回到城市1的最优旅行方案14.3 扫描法当配送点较多，需要多个运输车辆进行配送时，可以用比较简单的扫描法找出最优解的近似解。
扫描法由两个阶段组成：第一个阶段是将停留点的货运量分配给送货车，第二阶段是安排停留点在路线上的顺序。
其具体步骤为：（1）将配送中心和配送点的位置及需要量，按实际的位置画在图上。
（2）从规定的位置或习惯上从正北方向开始，用直尺按顺时针或逆时针方向转动直尺，直到直尺交到一个配送点，此时判断累积的装货量是不是超过配送车辆的载重，如果是，则将最后停留的点排除后将路线定下来。
再从这个被排除的点开始继续扫描，从而开始一条新的路线。
一直到所有的点都被扫描到为止。
（3）对每条运行路线安排停留顺序，以求运行距离最小化。
例3：某公司从其所属的配送中心用货车给各个客户点送货，全天的送货量如图所示，送货数量按件计算，货车每次可运载10000件，完成一次运行路线一般需要一天时间。
该公司需要确定：需要多少辆货车才能完成所有的配送工作？每条路线上有哪些客户点？货车途径有关客户点的顺序。
14.4 单中心非满载送货车辆路径问题的启发式算法一、禁忌搜寻法简介主要内容是使用移步的方式，运用具有弹性的记忆结构，以迭代的方式从目前的解出发开展对邻近解的搜寻，而其记忆结构可分为长期记忆结构和短期记忆结构两种。
记忆的目的在于使寻求解的过程能越过局部最优解而找到更好的解。
（1）初始解（2）移步：在所有合法的邻近解里，选最优解，作为下一步找邻近解的基础。
（3）禁忌名单：为了避免重复前面已选取过的解，将最近几次移步的解记录在禁忌名单中。
（4）免禁准则：如果被禁忌的解可以使目标函数得以改善，则可以被释放。
（5）停止准则：整个计算过程结束的条件。
二、问题特点（1）物流配送中心的位置为已知并且唯一（2）需求点的位置及需求量为已知（3）需求点与需求点之间的路线及距离为已知且确定（4）货车经过需求点只有卸货而无装货，配送完毕后空车返回配送中心 （5）物流中心只有一种货车（6）目标函数为：使货车配送路线的总成本最小，或距离最短。
V —需求点集合 O —配送中心 W —货车的容量 K —货车集合 qi —需求点i 的需求量 cij —需求点i 到j 点的距离 yik=1如果配送点i 由货车k 服务，0其它情形yik=1如果配送点i 由货车k 服务，0其它情形数学模型目标函数：约束条件：三、求解过程1、构造初始解可以用扫描法作为基础，先进行分组，分组后求最优顺序。
由于扫描的起点为不同，因此可以得到很多不同的路线构造结果。
因此，当一组初始解完成最优化求解之后，要继续建立另一组新的初始解，并进行另一次最优化求解，直到完成所有可能的初始解为止。
2、搜索移步（1）建立配送点数据表（2）设定参数：禁忌名单长度，最大重复搜寻次数（3）目标函数与移步例4：下表为各个配送点的距离，求旅行商问题。
解：（1）交换相邻两个配送点，计算回路的距离增量，距离增量为：δ=d13+d24-d12-d34距离增量可写为：δ=dik+dhj-dij-dhk5→6→1。
此时回路总长为40。
再进行交换，列出交换结果见表所示：∑∑∑∈∈∈K k V i Vj ijijk c x min K k W y q Vi ik i ∈∀≤∑∈,K k V i y x K k V j y x V i y i k y ik V j ijk jk Vi ijk K k ik K k ik ∈∈∀=∈∈∀=∈===∑∑∑∑∈∈∈∈,,,,,10, 34 5 6 7 58 3 11 2 6 3 46 67 54 3 121 25用扫描法求出的分组结果，由于不同的线路之间不可以交换节点，所以所得的解可能并不是最优的解，为了得到更优的解，应当允许不同的线路之间交换节点。
