车辆路径问题概念、模型与算法(五星推荐)
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遗传算法的时相关动态车辆路径规划模型页数:6
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车辆运输路径规划问题的几点建议页数:2
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车辆路径问题
禁忌搜寻法的主要步骤
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.1 禁忌搜寻法简介
5. 停止准则 停止准则是整个演算过程结束的条件，通常使用以下四种准则： （1）预设最大迭代次数； （2）目标函数值持续未改善的次数； （3）预设允许CPU最长的执行时间； （4）预设可接受的目标函数值。
禁忌搜寻法的主要步骤
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.1 禁忌搜寻法简介
4. 免禁准则 当一个移步为禁忌，但是若此一移步被允许，可以使得目前所搜寻到的目标函数值得以改善时，则接受此一移步，免禁准则的目的就是用来释放原本禁忌的状态，在求解过程中能逃脱局部最优解的局限。
14.1 物流配送车辆优化调度的概述
目前有关VRP的研究已经可以表示为：给定一个或多个中心（中心车库）一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所载的货物不能超过它的容量。
地址特性包括：车场数目、需求类型、作业要求。 车辆特性包括：车辆数量、载重量约束、可运载品种约束、运行路线约束、工作时间约束。 问题的其他特性。 目标函数可能是总成本极小化，或者极小化最大作业成本，或者最大化准时作业。
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.2 问题描述与符号表示
问题中的参数做以下定义： V：需求点集合 O：物流配送中心 K：货车的容量 qi：配送点i的需求量 cij：配送点i到配送点j的距离
添加标题
14.1 物流配送车辆优化调度的概述
旅行商问题
带容量约束的车辆路线问题
带时间窗的车辆路线问题
收集和分发问题
多车型车辆路线问题
优先约束车辆路线问题
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.1 禁忌搜寻法简介
5. 停止准则 停止准则是整个演算过程结束的条件，通常使用以下四种准则： （1）预设最大迭代次数； （2）目标函数值持续未改善的次数； （3）预设允许CPU最长的执行时间； （4）预设可接受的目标函数值。
禁忌搜寻法的主要步骤
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.1 禁忌搜寻法简介
4. 免禁准则 当一个移步为禁忌，但是若此一移步被允许，可以使得目前所搜寻到的目标函数值得以改善时，则接受此一移步，免禁准则的目的就是用来释放原本禁忌的状态，在求解过程中能逃脱局部最优解的局限。
14.1 物流配送车辆优化调度的概述
目前有关VRP的研究已经可以表示为：给定一个或多个中心（中心车库）一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所载的货物不能超过它的容量。
地址特性包括：车场数目、需求类型、作业要求。 车辆特性包括：车辆数量、载重量约束、可运载品种约束、运行路线约束、工作时间约束。 问题的其他特性。 目标函数可能是总成本极小化，或者极小化最大作业成本，或者最大化准时作业。
14.2 单中心非满载送货车辆路径问题启发式算法
14.2.2 问题描述与符号表示
问题中的参数做以下定义： V：需求点集合 O：物流配送中心 K：货车的容量 qi：配送点i的需求量 cij：配送点i到配送点j的距离
添加标题
14.1 物流配送车辆优化调度的概述
旅行商问题
带容量约束的车辆路线问题
带时间窗的车辆路线问题
收集和分发问题
多车型车辆路线问题
优先约束车辆路线问题
车辆路径问题
车辆路径问题一、车辆路径问题描述和建模 1. 车辆路径问题车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）,主要研究满足约束条件的最优车辆使用方案以及最优化车辆路径方案。
定义：设G={V,E}是一个完备的无向图，其中V={0,1,2…n}为节点集，其中0表示车场。
V,={1,2,…n}表示顾客点集。
A={(i,j),I,j∈V,i≠j}为边集。
一对具有相同装载能力Q的车辆从车场点对顾客点进行配送服务。
每个顾客点有一个固定的需求qi和固定的服务时间δi。
每条边（i,j）赋有一个权重，表示旅行距离或者旅行费用cij。
标准车辆路径问题的优化目标为：确定一个具有最小车辆数和对应的最小旅行距离或者费用的路线集，其满足下列约束条件：⑴每一条车辆路线开始于车场点，并且于车场点约束；⑵每个顾客点仅能被一辆车服务一次⑶每一条车辆路线总的顾客点的需求不超过车辆的装载能力Q⑷每一条车辆路线满足一定的边约束，比如持续时间约束和时间窗约束等。
2.标准车辆路径的数学模型:对于车辆路径问题定义如下的符号：cij：表示顾客点或者顾客点和车场之间的旅行费用等 dij：车辆路径问题中，两个节点间的空间距离。
Q：车辆的最大装载能力 di：顾客点i的需求。
δi：顾客点i的车辆服务时间m:服务车辆数，标准车辆路径问题中假设所有的车辆都是同型的。
R：车辆集，R={1,2….，m}Ri:车辆路线，Ri={0，i1,…im,0},i1,…im?V,,i?R。
一般车辆路径问题具有层次目标函数，最小化车辆数和最小化车辆旅行费用，在文献中一般以车辆数作为首要优化目标函数，在此基础上使得对应的车辆旅行费用最小，下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
对于每一条弧（I,j）,定义如下变量:xijv=1 若车辆v从顾客i行驶到顾客点j0 否则yiv=1 顾客点i的需求由车辆v来完成0 否则mnnmminF x =M ni=1 i=1x0iv+ i=0 j=0 v=1xijv.cij (2.1)车辆路径问题的数学模型可以表述为：n, mv=1 i=0xijv≥1 ?j∈V (2.2)nni=0xipv? j=0xpjv=0 ?p∈V,v∈R (2.3) , mv=1yiv=1 ?i∈V (2.4) ni=1diyiv≤Q ?v∈R (2.5) ,yiv=ni=1xijv ?j∈V,v∈R (2.6)式中，F x 表示目标函数，M为一个无穷大的整数，通过在目标函数中引入参数M，能够保证算法在求解车辆路径问题时以车辆数为第一优化目标，以车辆旅行费用作为第二优化目标，也就是一个具有较少车辆数的解比一个具有较大车辆数但是较小车辆旅行距离的解好。
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。
常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。
以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。
该算法适用于路网较小的情况。
2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。
该算法适用于路网较大的情况。
3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。
该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。
车辆路径规划问题研究综述
车辆路径规划问题研究综述车辆路径规划问题是指在给定的网络中，确定车辆的路径和顺序，以最大化效率和减少成本。
该问题在很多领域都有应用，例如物流配送、交通管理和智能交通系统等。
在这篇文章中，我们将对车辆路径规划问题进行综述，包括问题的定义、解决方法和应用领域。
一、车辆路径规划问题的定义车辆路径规划问题是指在给定的网络中，确定一组车辆的路径和顺序，以最小化某种成本函数。
该问题通常包括以下几个要素：1.网络结构：表示车辆可以到达的位置和它们之间的连接关系。
通常用图论中的图来表示，节点表示位置，边表示路径。
2.车辆集合：表示可用的车辆，每辆车有一定的容量和最大行驶距离。
3.配送任务：表示需要在不同位置之间运输的货物，每个任务有一定的需求量。
问题的目标是找到一组车辆的路径和顺序，使得满足配送任务的需求，并且最小化成本函数，通常可以是总行驶距离、总时间或者总成本。
车辆路径规划问题是一个典型的组合优化问题，具有复杂的计算结构和多样的解决方法。
目前，主要的解决方法包括启发式算法、精确算法和元启发式算法。
1.启发式算法：如遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索等，这些算法能够在较短的时间内找到较好的解，但不能保证找到最优解。
2.精确算法：如分枝定界法、整数规划法等，这些算法能够保证找到最优解，但通常需要较长的计算时间。
3.元启发式算法：如粒子群算法、蚁群算法、人工鱼群算法等，这些算法结合了启发式算法和精确算法的优点，能够在较短的时间内找到较好的解，并且具有一定的全局搜索能力。
车辆路径规划问题在许多领域都有着重要的应用价值，其中包括物流配送、交通管理和智能交通系统等。
1.物流配送：在快递、邮政、零售等行业中，车辆路径规划可以帮助优化配送路径，减少行驶距离和时间，从而提高效率和降低成本。
2.交通管理：在城市交通管理中，车辆路径规划可以帮助优化交通信号配时、减少交通拥堵，提高道路通行效率。
3.智能交通系统：在智能交通系统中，车辆路径规划可以帮助导航系统优化路线规划，避开拥堵路段，提供更加智能的交通导航服务。
车辆路径问题专题—VehicleRoutingProblem
Periodic VRP (PVRP)
• In classical VRPs, typically the planning period is a single day. In the case of the Period Vehicle Routing Problem (PVRP), the classical VRP is generalized by extending the planning period to M days. • We define the problem as follows: Objective: The objective is to minimize the vehicle fleet and the sum of travel time needed to supply all customers. Feasibility: A solution is feasible if all constraints of VRP are satisfied. Furthermore a vehicle may not return to the depot in the same day it departs. Over the M-day period, each customer must be visited at least once.
Capacitated VRP (CPRV)
• CVRP is a VRP in which a fixed fleet of delivery vehicles of uniform capacity must service known customer demands for a single commodity from a common depot at minimum transit cost. That is, CVRP is like VRP with the additional constraint that every vehicles must have uniform capacity of a single commodity. We can find below a formal description for the CVRP: • Objective: The objective is to minimize the vehicle fleet and the sum of travel time, and the total demand of commodities for each route may not exceed the capacity of the vehicle which serves that route. • Feasibility: A solution is feasible if the total quantity assigned to each route does not exceed the capacity of the vehicle which services the route.
针对移动车辆的路径规划算法分析
针对移动车辆的路径规划算法分析随着物联网和智能科技的不断发展，人们对于移动车辆路径规划算法的需求也越来越大。
移动车辆路径规划算法是指在实际场景中，通过算法计算，找到一条最优路径，使得车辆能够在最短的时间内到达指定的目的地。
针对移动车辆的路径规划算法应用非常广泛，比如快递运输、公共交通和物流配送等领域。
本文将从两个方面进行分析：一是路径规划算法的设计理念，二是现有路径规划算法的比较和应用。
一、路径规划算法的设计理念路径规划算法的设计，主要考虑三个方面的关键因素：路径、车辆和目标。
下面我们从这三个方面来阐述路径规划算法的设计理念：1. 路径路径是指车辆从出发点到目的地的行驶路线。
路径规划算法的设计，首先要考虑路径的可达性和合理性。
可达性是指路径是否可以到达，合理性是指路径是否经济、安全、效率高。
在路径设计中，需要通过算法计算，找到一条可行的路线，并且最小化路径长度。
同时，还需要考虑不同场景下的路径规划，比如城市道路、高速公路、乡村小道等，根据场景不同选择不同的规划算法。
2. 车辆车辆是指进行路径规划的移动工具。
车辆的性能特征对路径规划算法具有重要影响，比如车辆的最大速度、载重量和燃油消耗等。
设计路径规划算法时，需要根据车辆特性，考虑车辆的燃油消耗、安全性等因素。
3. 目标目标是指路径规划的最终目的地。
路径规划算法需要根据目的地，提前对路径进行规划，以保证车辆能够准确、快速到达目的地。
以上三个关键因素，设计路径规划算法时必须同时进行考虑，找到一条最优的路径。
二、现有路径规划算法的比较和应用目前常见的路径规划算法主要包括最短路径算法、A*算法、Dijkstra算法、Floyd算法等。
下面简要介绍这些算法的特点。
1. 最短路径算法最短路径算法是一种常见的基础算法，在网络优化、数据挖掘等领域有广泛应用。
它是以图论为基础的，可以用来处理带权有向图或无向图的最短路径问题。
2. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，以Dijkstra算法为基础，通过启发式估价函数，减少搜索范围，提高路径规划效率。
随机行驶时间车辆路径问题的模型与算法
维普资讯
第２ ６卷 第 ４ 期 ２０ 年 ８ ０７ 月
兰 州 交 通 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｌｆ ａｚ ｏＪａ ｔｎ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌｃｅ ｃｓ ｏ ｍａｏＬ ｎ ｈ ｕｉｏｏ ｇ ｉｅｓ ｙ ＮａｕａＳ ｉ ｅ） ｔ ｎ
究［ ． ６ 孙丽君等对车辆路径规划问题及其求解方 ｑ］ 法近年来 的研究进展作 了历史性回顾Ｌ． 回顾中 ９从 ］
尚未 发 现有对 随机行 驶 时 间的多类 型车 辆路 径 问题
１ ）每个顾客只能由一辆汽车来负责运货 ；
２ ）一辆汽车经过的配送路径上各个顾客 的商 品需求量之和不能超过该汽车的载重量 ； ３ ）要求每个顾客的商品需求都必须得到满足 ； ４ ）保证每条路径上 的各个顾客的总需求量必 须小于运输车辆的载重量 ；
析， 运用不确 定规 划理论 建立 了该 问题的优化模型， 并利 用遗传 算法 对 问题进 行 求解． 通过 实验证 明 ， 模型及 算 该 法对于多类型车辆路径 问题 具有 一定 的实用价值． 关键词 ： 随机行驶 时间； 多类型车辆路径 问题 ； 遗传 算法
中图分类号 ： ２ ． Ｏ２ １ ５ 文献标 识码 ： Ａ
收稿 日期 ：０ ７ ３１ ２ ０— —７ ０ 作者简介 ： 刘亚苹（ ９ ２）女 ， １ ８一 ， 河北深州人 ， 硕士研究生
维普资讯
８
兰州交通 大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
一
第 ２ 卷 ６
ｎ［ Ａ ｒ Ｅ∑（∑Ｃ ｋ ，
＆ Ｌ
０ 引 言
在 现有 的物 流管 理 系 统研 究 中 ， 车辆 路径 问题 （ ｈｃｅ ｕｉｇＰ ｏ ｌ ＶＲ ） 较 受 关 注 的 一 ＶｅｉｌＲｏ ｔ ｒｂｅ ｎ ｍ， Ｐ 是
第２ ６卷 第 ４ 期 ２０ 年 ８ ０７ 月
兰 州 交 通 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｌｆ ａｚ ｏＪａ ｔｎ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌｃｅ ｃｓ ｏ ｍａｏＬ ｎ ｈ ｕｉｏｏ ｇ ｉｅｓ ｙ ＮａｕａＳ ｉ ｅ） ｔ ｎ
究［ ． ６ 孙丽君等对车辆路径规划问题及其求解方 ｑ］ 法近年来 的研究进展作 了历史性回顾Ｌ． 回顾中 ９从 ］
尚未 发 现有对 随机行 驶 时 间的多类 型车 辆路 径 问题
１ ）每个顾客只能由一辆汽车来负责运货 ；
２ ）一辆汽车经过的配送路径上各个顾客 的商 品需求量之和不能超过该汽车的载重量 ； ３ ）要求每个顾客的商品需求都必须得到满足 ； ４ ）保证每条路径上 的各个顾客的总需求量必 须小于运输车辆的载重量 ；
析， 运用不确 定规 划理论 建立 了该 问题的优化模型， 并利 用遗传 算法 对 问题进 行 求解． 通过 实验证 明 ， 模型及 算 该 法对于多类型车辆路径 问题 具有 一定 的实用价值． 关键词 ： 随机行驶 时间； 多类型车辆路径 问题 ； 遗传 算法
中图分类号 ： ２ ． Ｏ２ １ ５ 文献标 识码 ： Ａ
收稿 日期 ：０ ７ ３１ ２ ０— —７ ０ 作者简介 ： 刘亚苹（ ９ ２）女 ， １ ８一 ， 河北深州人 ， 硕士研究生
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８
兰州交通 大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
一
第 ２ 卷 ６
ｎ［ Ａ ｒ Ｅ∑（∑Ｃ ｋ ，
＆ Ｌ
０ 引 言
在 现有 的物 流管 理 系 统研 究 中 ， 车辆 路径 问题 （ ｈｃｅ ｕｉｇＰ ｏ ｌ ＶＲ ） 较 受 关 注 的 一 ＶｅｉｌＲｏ ｔ ｒｂｅ ｎ ｍ， Ｐ 是
车辆路径问题优化算法
车辆路径问题优化算法美国物流管理学会(Council of Logistics Management，CLM)对物流所作的定义为：“为符合顾客的需要，对原料、制造过程中的存货与制成品以及相关信息，从其起运点至最终消费点之间，做出的追求效率与成本效果的计划、执行与控制过程。
”而有关资料显示，物流配送过程(包含仓储、分拣、运输等)的成本构成中，运输成本占到52%之多。
因此，如何在满足客户适当满意度的前提下，将配送的运输成本合理地降低，成为一个紧迫而重要的研究课题，车辆路径问题正是基于这一需求而产生的。
2.1车辆路径问题的定义车辆路径问题可以描述为：给定一组有容量限制的车辆的集合、一个物流中心（或供货地）、若干有供货需求的客户，组织适当的行车路线，使车辆有序地通过所有的客户，在满足一定的约束条件（如需求量、服务时间限制、车辆容量限制、行驶里程限制等）下，达到一定的目标（如路程最短、费用极小、时间尽量少、使用车辆数尽量少等）。
[4] 因此研究车辆的路径问题，就是要研究如何安排运输车辆的行驶路线，使运输车辆依照最短的行驶路径或最短的时间费用，依次服务于每个客户后返回起点，总的运输成本实现最小。
车辆路径问题已被证明是NP-Hard问题，因此求解比较困难。
然而，由于其在现实生活中应用非常广泛，使得它无论在理论上还是在实践上都有极大的研究价值。
Penousal Machado等人[5]指出车辆路径问题(vehicle routing problem，简称VRP)是一个复杂的组合优化问题，是古老的旅行商问题和背包问题的综合。
实际上，车辆路径问题通常可被分解或转化成一个或几个已经研究过的基本问题，再采用相应比较成熟的基本理论和方法，以得到最优解或满意解。
这些与车辆路径问题相关的常用基本问题有；旅行商问题、运输问题、背包问题、最短路问题、最小费用最大流问题、中国邮路问题、指派问题等。
旅行商问题可被描述为：一个推销员欲到n个城市推销商品，每2个城市之间的距离是已知的。
车辆路径问题介绍课件
特点
VRP是一个NP-hard问题，具有高度的复杂性和挑战性。其主要特点包括多个车 辆、多个客户、多种约束条件和优化目标，如最小化总行驶距离、最小化总配送 时间、最大化客户满意度等。
问题的起源与背景
起源
车辆路径问题最早由Dantzig和Ramser于1959年提出，旨在解决美国空军在 欧洲的补给问题。
详细描述
随着电商行业的迅猛发展，电商物流配送问题越来越受到关注。需要解决的问题包括仓 库选址、库存管理、配送路线优化等，目标是实现快速、准确、低成本的配送服务，提
高客户满意度。
05
车辆路径问题的未来研究方向
算法优化与改进
算法并行化
通过将算法拆分成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行执行 ，提高算法的执行效率。
农业物资配送问题主要关注如何有效 地将农资产品从供应商运输到农户手 中，同时满足农时和节约成本的需求 。
详细描述
农业物资配送问题具有时限性强、需 求分散、路况复杂等特点。需要综合 考虑道路状况、运输成本、天气等因 素，制定合理的配送计划，确保农资 及时送达农户手中。
案例三：电商物流配送问题
总结词
电商物流配送问题主要关注如何快速、准确地将商品从仓库运输到消费者手中，提高客 户满意度。
混合智能算法
结合启发式算法和数学规 划方法，利用各自的优点 ，提高算法的求解质量和 效率。
算法优化策略
针对不同的问题特征和约 束条件，研究更加精细和 高效的算法优化策略。
多目标优化问题研究
多目标决策理论
研究多目标决策理论和方法，解 决实际车辆路径问题中存在的多
个相互冲突的目标。
多目标优化算法
研究适用于多目标优化的智能算法 ，如遗传算法、粒子群算法等，以 寻找各目标之间的最优解。
VRP是一个NP-hard问题，具有高度的复杂性和挑战性。其主要特点包括多个车 辆、多个客户、多种约束条件和优化目标，如最小化总行驶距离、最小化总配送 时间、最大化客户满意度等。
问题的起源与背景
起源
车辆路径问题最早由Dantzig和Ramser于1959年提出，旨在解决美国空军在 欧洲的补给问题。
详细描述
随着电商行业的迅猛发展，电商物流配送问题越来越受到关注。需要解决的问题包括仓 库选址、库存管理、配送路线优化等，目标是实现快速、准确、低成本的配送服务，提
高客户满意度。
05
车辆路径问题的未来研究方向
算法优化与改进
算法并行化
通过将算法拆分成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行执行 ，提高算法的执行效率。
农业物资配送问题主要关注如何有效 地将农资产品从供应商运输到农户手 中，同时满足农时和节约成本的需求 。
详细描述
农业物资配送问题具有时限性强、需 求分散、路况复杂等特点。需要综合 考虑道路状况、运输成本、天气等因 素，制定合理的配送计划，确保农资 及时送达农户手中。
案例三：电商物流配送问题
总结词
电商物流配送问题主要关注如何快速、准确地将商品从仓库运输到消费者手中，提高客 户满意度。
混合智能算法
结合启发式算法和数学规 划方法，利用各自的优点 ，提高算法的求解质量和 效率。
算法优化策略
针对不同的问题特征和约 束条件，研究更加精细和 高效的算法优化策略。
多目标优化问题研究
多目标决策理论
研究多目标决策理论和方法，解 决实际车辆路径问题中存在的多
个相互冲突的目标。
多目标优化算法
研究适用于多目标优化的智能算法 ，如遗传算法、粒子群算法等，以 寻找各目标之间的最优解。
车辆路径问题详解课件
多目标优化
将多目标优化技术应用于车辆路径问 题，以实现运输成本、碳排放、时间 等多个目标的平衡优化。
车辆路径问题详 解课件
• 车辆路径问题概述 • 车辆路径问题的数学模型 • 车辆路径问题的优化算法 • 车辆路径问题的扩展问题 • 车辆路径问题的实际应用案例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
车辆路径问题概述
定义与特点
• 定义：车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，VRP）是一种组合优化问题，旨在确定一组最优路径，使得一定数量的 车辆能够在给定的时间窗口内从配送中心出发，完成一系列的客户配送任务，最终返回配送中心。
多目标车辆路径问题
总结词
同时优化多个目标函数，如运输成本、运输时间、车辆空驶时间等。
详细描述
多目标车辆路径问题是在车辆路径问题的基础上，考虑了多个目标函数的优化。这些目标函数可能包括运输成本、 运输时间、车辆空驶时间等。通过权衡这些目标函数的取舍，可以找到一个最优解，使得各个目标函数都能得到 一定程度的满足。
03
CATALOGUE
车辆路径问题的优化算法
精确算法
精确算法是一种求解车辆路径问题的 算法，它能够找到最优解，但计算复 杂度较高，需要消耗大量的时间和计 算资源。
常见的精确算法包括分支定界法、回 溯法等。这些算法通过穷举所有可能 的解来找到最优解，因此计算量较大， 只适用于小型问题。
启发式算法
• 多目标性：通常需要考虑最小化总运输成本、最小化车辆行驶总距离、最小化车辆空驶时间等多个目标。 • 约束条件：需满足车辆装载量、时间窗口、车辆数量等约束条件。 • 组合优化：需考虑多个路径和多个车辆之间的组合优化。
问题的起源和背景
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构造算法最早提出来解决旅行商问题，这些方法一般 速度快，也很灵活，但这类方法有时找到的解离最优 解差得很远。
两阶段法(Two-phase Algorithm)
学者们通过对构造算法的研究，认为由构造算法求 得的解可以被进一步改进，为此提出了两阶段法。 第一阶段得到一可行解，第二阶段通过对点的调整， 在始终保持解可行的情况下，力图向最优目标靠近， 每一步都产生另一个可行解以代替原来的解，使目 标函数值得以改进，一直继续到不能再改进目标函 数值为止。
智能化算法(Intelligent Algorithm)
这类算法以启发式准则来代替精确算法中的决策准 则，以缩小解搜索的空间。
总体来看，尽管启发式算法能够在有限的时间内求 出质量较高的解，但由于其搜索解空间的能力有所 限制，因此经常无法达到预期的要求。20世纪90年 代以来，由于人工智能方法在解决组合优化问题中 的强大功能，不少学者开始将人工智能引入车辆路 线问题的求解中，并构造了大量的基于人工智能的 启发式算法(智能化启发式算法)。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。引 出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
启发式算法
由于车辆路径优化问题是NP难题，高效的精确算 法存在的可能性不大(除非P=NP)，所以寻找近似算 法是必要和现实的，为此专家主要把精力花在构造 高质量的启发式算法上。启发式算法是在状态空间 中的改进搜索算法，它对每一个搜索的位置进行评 价，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到 目标。在启发式搜索中，对位置的估价十分重要， 采用不同的估价可以有不同的效果。目前已提出的 启发式算法较多，分类也相当多，主要的启发式算 法有以下几类：构造算法、两阶段法、智能化算法。
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题 线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是 整数解，则这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是 整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求 解两个线性规划的最优解。
如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做 “分支”。
定义变量如下:
建立此问题的数学模型：
4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以 分为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性 规划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述 物流系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学 领域）
目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为： 给定一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和 顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所装载货 物不能超过它的容量。起初车辆都在中心点，顾客
在空间任意分布，车把货物从车库运送到每一个顾 客（或从每个顾客处把货物运到车库），要求满足 顾客的需求，车辆最后返回车库，每个顾客只能被 服务一次，怎样才能使运输费用最小。而顾客的需 求或已知、或随机、或以时间规律变化。
各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。 每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多 策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效 果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也 不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到 最好的效果。
构造算法(Constructive Algorithm)
这类方法的基本思想是：根据一些准则，每一次将一 个不在线路上的点增加进线路，直到所有点都被安排 进线路为止。该类算法的每一步把当前的线路构形(很 可能是不可行的)跟另外的构形(也可能是不可行的)进 行比较并加以改进，后者或是根据某个判别函数(例如 总费用)会产生最大限度的节约的构形，或是以最小代 价把一个不在当前构形上的需求对象插入进来的构形， 最后得到一个较好的可行构形。这类算法中中最著名 的是Clarke和Wright在1964年提出的节约算法。
智能化启发式算法从本质上讲仍然属于启发式算法，
其基本思想是从一初始解开始，通过对当前的解进 行反复地局部扰乱(Perturbations)以达到较好的解。
目前，最常见的智能化启发式算法包括模拟退火算 法(Simulated Annealing)、禁忌搜索算法(Tabu Search)、遗传算法(Genetic Algorithm)、蚁群算法 (Ant Colony)和神经网络(Neutral Networks)、粒子 群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）方法等。
2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该 车辆的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的 一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程 中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣 于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程， 叫做“定界”。
割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整 数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最 优解，即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满 足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的 约束条件重新求解。这个新增加的约束条件的作用就 是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的 部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。而把所 有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割 平面。当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来 的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是 所求问题的整数最优解。即切割后所对应的松弛问题， 与原整数规划问题具有相同的最优解。
总的说来，精确性算法基于严格的数学手段，在可 以求解的情况下，其解通常要优于人工智能算法。
但由于引入严格的数学方法，计算量一般随问题规
模的增大呈指数增长，因而无法避开指数爆炸问题，
从而使该类算法只能有效求解中小规模的确定性 VRP，并且通常这些算法都是针对某一特定问题设 计的,适用能力较差,因此在实际中其应用范围很有 限。
车辆路径问题概念、模型及算法
1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点 和卸货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通 过它们，在满足一定的约束条件(如货物需求量、 发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限 制、时间限制等)下，达到一定问题的目标(如路程 最短、费用最少、时间尽量少、使用车辆数尽量少 等)。
(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车 的最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配 送，每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最 终回到中心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且qi<Q。记配送中心编号为0，各客户 编号为i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。 求满足车辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方 案。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand， VRPSD)。
模拟退火算法(Simulated Annealing) 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，
再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状， 内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到 平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为 Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模 拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合 优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始， 对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃” 的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近 似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机 搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制， 包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次 数L和停止条件S。
网络流算法(Network Flow Approach)
图论中的一种理论与方法，研究网络上的一类最优化 问题 。1955年 ，T.E.哈里斯在研究铁路最大通量时首 先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的 问题。1956年，L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了 解决这类问题的算法，从而建立了网络流理论。所谓 网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、 E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集， C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终 点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是 定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制， 另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保 持流入量和流出量是平衡的。
两阶段法(Two-phase Algorithm)
学者们通过对构造算法的研究，认为由构造算法求 得的解可以被进一步改进，为此提出了两阶段法。 第一阶段得到一可行解，第二阶段通过对点的调整， 在始终保持解可行的情况下，力图向最优目标靠近， 每一步都产生另一个可行解以代替原来的解，使目 标函数值得以改进，一直继续到不能再改进目标函 数值为止。
智能化算法(Intelligent Algorithm)
这类算法以启发式准则来代替精确算法中的决策准 则，以缩小解搜索的空间。
总体来看，尽管启发式算法能够在有限的时间内求 出质量较高的解，但由于其搜索解空间的能力有所 限制，因此经常无法达到预期的要求。20世纪90年 代以来，由于人工智能方法在解决组合优化问题中 的强大功能，不少学者开始将人工智能引入车辆路 线问题的求解中，并构造了大量的基于人工智能的 启发式算法(智能化启发式算法)。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。引 出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
启发式算法
由于车辆路径优化问题是NP难题，高效的精确算 法存在的可能性不大(除非P=NP)，所以寻找近似算 法是必要和现实的，为此专家主要把精力花在构造 高质量的启发式算法上。启发式算法是在状态空间 中的改进搜索算法，它对每一个搜索的位置进行评 价，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到 目标。在启发式搜索中，对位置的估价十分重要， 采用不同的估价可以有不同的效果。目前已提出的 启发式算法较多，分类也相当多，主要的启发式算 法有以下几类：构造算法、两阶段法、智能化算法。
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题 线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是 整数解，则这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是 整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求 解两个线性规划的最优解。
如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做 “分支”。
定义变量如下:
建立此问题的数学模型：
4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以 分为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性 规划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述 物流系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学 领域）
目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为： 给定一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一个车辆集合和一个顾客集合，车辆和 顾客各有自己的属性，每辆车都有容量，所装载货 物不能超过它的容量。起初车辆都在中心点，顾客
在空间任意分布，车把货物从车库运送到每一个顾 客（或从每个顾客处把货物运到车库），要求满足 顾客的需求，车辆最后返回车库，每个顾客只能被 服务一次，怎样才能使运输费用最小。而顾客的需 求或已知、或随机、或以时间规律变化。
各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。 每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多 策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效 果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也 不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到 最好的效果。
构造算法(Constructive Algorithm)
这类方法的基本思想是：根据一些准则，每一次将一 个不在线路上的点增加进线路，直到所有点都被安排 进线路为止。该类算法的每一步把当前的线路构形(很 可能是不可行的)跟另外的构形(也可能是不可行的)进 行比较并加以改进，后者或是根据某个判别函数(例如 总费用)会产生最大限度的节约的构形，或是以最小代 价把一个不在当前构形上的需求对象插入进来的构形， 最后得到一个较好的可行构形。这类算法中中最著名 的是Clarke和Wright在1964年提出的节约算法。
智能化启发式算法从本质上讲仍然属于启发式算法，
其基本思想是从一初始解开始，通过对当前的解进 行反复地局部扰乱(Perturbations)以达到较好的解。
目前，最常见的智能化启发式算法包括模拟退火算 法(Simulated Annealing)、禁忌搜索算法(Tabu Search)、遗传算法(Genetic Algorithm)、蚁群算法 (Ant Colony)和神经网络(Neutral Networks)、粒子 群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）方法等。
2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该 车辆的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的 一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程 中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣 于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程， 叫做“定界”。
割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整 数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最 优解，即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满 足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的 约束条件重新求解。这个新增加的约束条件的作用就 是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的 部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。而把所 有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割 平面。当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来 的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是 所求问题的整数最优解。即切割后所对应的松弛问题， 与原整数规划问题具有相同的最优解。
总的说来，精确性算法基于严格的数学手段，在可 以求解的情况下，其解通常要优于人工智能算法。
但由于引入严格的数学方法，计算量一般随问题规
模的增大呈指数增长，因而无法避开指数爆炸问题，
从而使该类算法只能有效求解中小规模的确定性 VRP，并且通常这些算法都是针对某一特定问题设 计的,适用能力较差,因此在实际中其应用范围很有 限。
车辆路径问题概念、模型及算法
1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点 和卸货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通 过它们，在满足一定的约束条件(如货物需求量、 发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限 制、时间限制等)下，达到一定问题的目标(如路程 最短、费用最少、时间尽量少、使用车辆数尽量少 等)。
(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车 的最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配 送，每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最 终回到中心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且qi<Q。记配送中心编号为0，各客户 编号为i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。 求满足车辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方 案。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand， VRPSD)。
模拟退火算法(Simulated Annealing) 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，
再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状， 内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到 平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为 Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模 拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合 优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始， 对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃” 的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近 似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机 搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制， 包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次 数L和停止条件S。
网络流算法(Network Flow Approach)
图论中的一种理论与方法，研究网络上的一类最优化 问题 。1955年 ，T.E.哈里斯在研究铁路最大通量时首 先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的 问题。1956年，L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了 解决这类问题的算法，从而建立了网络流理论。所谓 网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、 E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集， C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终 点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是 定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制， 另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保 持流入量和流出量是平衡的。