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数学建模实验四概论

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数学建模实验报告

数学建模实验报告

湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。

实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。

实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

数学建模4

数学建模4
dN/dt=r（1-N/Nm）N即Logistic模型
当Nm与N相比很大时，rN2/Nm与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型，即指数增长模型，但当Nm与N相比不是很大时，rN2/Nm这一项就不能忽略，但当人口很大时Malthus模型是不合理的。
用r（N）代替指数增长模型中的r，N（t0）=N0可推出如下：
>>y=101654*(1+0.0133).^x
y =
1.0e+005 *
Columns 1 through 11
1.0165 1.0301 1.0438 1.0576 1.0717 1.0860 1.1004 1.1150 1.1299 1.1449 1.1601
Columns 12 through 17
dx/dt=rx
x(0)=x0
由这个线性常系数微分方程容易解出:
x(t)=x0ert
表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将t以年为单位，上式表明，人口以er为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r<<1，所以可用近似关系er≈1+r可得出
x(t)=x0(1+r)t即人口增长模型
>>x=0:16;
Columns 12 through 17
1.1742 1.1883 1.2022 1.2161 1.2299 1.2435
3.>>x=0:16;
>>y=101654*(1+0.0133).^x;
>>plot(x,y,'r')
>>hold on
>>x=0:16;
>>y1=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810];

数学建模实验报告4

数学建模实验报告4

数学建模实验报告班级：姓名：学号：元件可靠性问题一、实验问题：给出3种不同情况的元件连接方式，分别求解他们的正常运行概率。

其中每个元件的正常运行概率均为p。

元件数为N，方式2与方式3用到了与A元件相同的N个B元件。

连接方式如图：方式1：方式2：方式3：二、问题分析：Ｎ个元件的连接方式，相当于电阻的串并联，所以可以用电阻串并联的关系去分析各无件之间的关系：对于方式一来说，相当于电阻的串联。

所以，他的正常运行的概率为p^n.对于方式二来说，相当于电阻先串联再并联。

所以，他的正常运行的概率为：1-(1-P^n)(1-P^n)=2P^n-P^2n.对于方式三来说，相当于电阻先并联再串联。

所以，他的正常运行的概率为：(1-(1-P^n)^2)^n=(2p-p^2)^n现在再比较三个系统正常工作概率大小P1- P2= p^n–(2p^n-p^2n )= p^2n–p^n 由于0<p<1,所以易知P^2n-P^n<０。

所以有P1< P2P2- P3=(2p^n- p^2n)- (2p-p^2)^n= p^n［(2- p^n)-(2-p)^n］因为p^n>0,所以只要比较［(2- p^n)-(2-p)^n］大小即可。

对此式求导有-n［p^(n-1)-(2-p)^n-1］可见此式恒大于零,所以函数单调递增。

当p=１时，［(2- p^n)-(2-p)^n］=0.所以P2- P3 <0，再由上求导可知所以P2<P3所以P3最大。

即其的可靠性最高。

理发店问题一、实验题目：某单人理发店有４反椅子接待顾客排队理发，当４把椅子都坐满人时，后来的顾客就不进店而离去。

顾客平均到达速率为４人／Ｈ，理发时间平均10min/人。

设到达过程为泊松流，服务时间服从负指数颁布。

求：（１）顾客一到达就能理发的概率；（２）系统中顾客数的期望值和排队等待顾客数的期望值；（３）顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值；（４）在可能到达的顾客中因客满离开的概率。

数学建模实验四

数学建模实验四
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 9
Total constraints: 10
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 38
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
问题三求解结果为目标函数值是16，此处6门课程分别是x1=x2=x3=x5=x7=x9=1，其余为零，学分最高为22，答案同问题二。
附录：
问题一程序
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
1 、以选课门数最少为目标建立选课策略数学规划模型。
2 、在选课门数最少的前提下，以学分最多为目标建立选课策略数学规划模型。
3 、既要选课门数少，又要学分多，建立2个目标的多目标规划模型，并用线性加权组合的方式将多个目标处理成一个新目标, 化为单目标规划进行求解。
问题分析与假设：
上述问题为数学规划中的多目标规划问题，可以建立0-1规划模型进行求解，设变量Xi表示课号，令Xi=1表示选课，Xi=0表示不选，然后根据题目建立目标函数和约束条件，最后用lingo软件求解。
对于第一个问题: 以选课门数最少为目标建立选课策略数学规划模型,可以直接列目标函数记为最小值求解；
对于第二个问题：在选课门数最少的前提下，以学分最多为目标建立选课策略数学规划模型，可以把问题一选课最少求解结果作为已知量再去建立学分最多目标函数记为最大值；

数学建模——混合整数规划

数学建模——混合整数规划

实验四 混合整数规划一、问题重述某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。

根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。

这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。

请帮该公司解决以下问题：(1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？(2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。

公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。

(3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。

投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。

专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

二、符号说明i A :：投资额；i b ：i A 个项目所获得的年利润；i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润；i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量；i p ：投资第i A 个项目的投资风险；三、模型的建立 对于问题一目标函数：81max i i i c x ==∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题二 设定0—1变量131130...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ⎧⎨⎩,项目不同时投资,项目同时投资 目标函数：''''11133111332445524455''''322667788322667788max ()(1)()()(1)()()(1)()y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++++++-+++s.t. 11313124545232678267831500001000i i i i i ib x k y x xx x y ky x x x x y k y x x x x x x x x y kb x m ⎧≤⎪⎪=⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎩∑对于问题三：目标函数：max min max()i iii i i c x b x p =∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题三模型的简化固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。

数学模型实验四 综合实验

数学模型实验四 综合实验

实验四 综合实验一、 实验目的：通过实验小结，布置小型研究问题（经过数学处理），使学生在练习过程中进一步熟悉MATLAB的使用，以及深入理解数学模型的建模思想。

为后续课程设计教学环节构筑基础。

二、 预备知识：1.具备数学分析、常微分方程、运筹学和概率论的学科知识基础；2.相关学科知识的简单求解方法以及辅助MATLAB求解相关问题。

三、 实验内容及要求(任选一题完成)：1、黄河小浪底调水调沙问题2004 年6 月至7 月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。

整个试验期为20 多天，小浪底从6 月19 日开始预泄放水，直到7 月13 日恢复正常供水结束。

小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5 亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15 亿t。

这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6 月27 日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7 月3 日达到最大流量2700m3/s，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。

表7 是由小浪底观测站从6 月29 日到7 月10 检测到的试验数据。

现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：（1）给出估计任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；（2）确定排沙量与水流量的关系。

2、炼油厂将A, B, C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

一桶原油加工成一桶汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14000桶。

原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。

问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？一般说来，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可使这种汽油日销量增加10桶，问如何安排生产和广告计划使利润最大？原油类别 买入价（元/桶） 买入量（桶/天）辛烷值硫含量（%）A 45 ≤5000 12 0.5B 35 ≤5000 6 2.0 C25≤50008 3.0汽油类别 卖出价（元/桶） 需求量（桶/天）辛烷值硫含量（%）甲 70 3000 ≥10 ≤1.0 乙 60 2000 ≥8 ≤2.0 丙501000≥6≤1.03、合金的强度y 与其中的碳含量x 有比较密切的关系，今从生产中收集了一批 数据如下表1。

《数学建模》实验四

《数学建模》实验四
Model Class: PILP
Total variables: 9
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 9
Total constraints: 11
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 47
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Row Slack or Surplus Dual Price
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
精心搜集整理，只为你的需要
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
2*x3-x1-x2<0;
x4-x7<0;
2*x5-x1-x2<0;
x6-x7<0;
x8-x5<0;
2*x9-x1-x2<0;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9<6;
@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);@bin(x6);@bin(x7);@bin(x8);@bin(x9);
end
程序结果：
Global optimal solution found.

数学建模实验4

数学建模实验4
beq=[2,1,1]';
L=1e-6.*ones(10,1);
U=inf.*ones(10,1);
x0=ones(10,1);
[x,fval]=fmincon('ex02',x0,[],[],Aeq,beq,L,U)
运行结果如下：
x=
0.3936
0.8032
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
若c变小，第一季度的生产量增加，第二季度不变，第三季度的生产量减少。C变大，第一季度生产量减少，第二季度不变，第三季度生产量增加。这是因为c变小，存储费用会变小，相对于生产费用的快速增长，最好的办法就是在生产费用低的时候多生产，把多余的机器进行存储，存储的费用会小于费用的增长额度，这样做可以节省生产费用，而c变大，情况正好相反。
建模分析：
设三季度分别生产X1,X2,X3台
目标函数：S=f（X1）+f（X2）+f（X3）+（X1-40）*C+(X2+X1-40-60)*C
约束条件：
X1>=40
X2+X1-40>=60
X3+X2+X1-40-60=80
X1<=100,
X2<=100,
X3<=100
MATLAB程序如下：
先编写M文件fun.m如下
vlb=[40;0;0];vub=[100;100;100];
[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
运行结果为
x =
49.9999
60.0000
70.0000
fval =

数学建模上机实验4

数学建模上机实验4
[y,x]=find(bw);
以上程序可以求得图像中的所有边缘点坐标。
求解的Matlab程序代码：function shiyan 4()
%取出椭圆坐标
f=rgb2gray(imread('椭圆拟合原图test4.bmp'));
bw=edge(f,'sobel');
figure,imshow(bw)
[y,x]=find(bw);
%设出圆锥曲线方程
F=@(p,x)p(1)*x(:,1).^2+p(2)*x(:,1).*x(:,2)+p(3)*x(:,2).^2+p(4)*x(:,1)+p(5)*x(:,2)+p(6);
%离散数据点
x=[y,x]
p0=[1 1 1 1 1 1];
warning off
%拟合系数，最小二乘方法
p=nlinfit(x,zeros(size(x,1),1),F,p0);
title('曲线拟合');
legend('样本点','拟合曲线')
p
计算结果与问题分析讨论：
vv
拟合系数为：
p =
1.0e-029 *
0.0001 0.0000 0.0001 -0.0104 -0.0095 0.4561
bw=edge(f,'sobel');
figure,imshow(bw)
[y,x]=find(bw);
以上程序可以求得图像中的所有边缘点坐标。
问题的分析和假设：
采用最小二乘方法Байду номын сангаас拟合系数。
建模：
f=rgb2gray(imread('椭圆拟合原图.bmp'));

数学建模 第四章

数学建模 第四章

常识上，r应比当时活期存款月利率略高一 些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为 迭代初值，用fzero求解 >>clear; fun=inline('25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-… 1)/r*0.1436' ,'r') >>r=fzero(fun,0.0198/12); >>R=12*r 得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)
c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值
c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x)
x返回一元或
多元函数Fun在x0附近的一个零点， 其中x0为迭代初值; f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 >> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x') >> fzero(fun,[-2 -0.1]) 例4 求方程组在原点附近的解 1 x 4x − y + 10 e = 1 −x + 4y + 1 x2 = 0 8
第t天的储存费为 k2q(t)
一个周期的总储存费为 k2 ∑q(t) ≈ k2 ∫o q(t)dt
T
T
一个周期总费用 C(x) = k1+k2x2/(2r) 优化目标是使单位产品费用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 达到最小 由f’(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得

数学建模实验教学大纲(专业课程)

数学建模实验教学大纲(专业课程)

数学建模实验教学大纲一、制定本大纲的依据根据2006级信息与计算科学专业培养计划和信息与计算科学专业课数学建模课程教学大纲制定本实验教学大纲。

二、本实验课程的具体安排三、本实验课在该课程体系中的地位与作用数学实验是数学建模课程的重要组成部分。

作为与相关教学内容配合的实践性教学环节，应在数学建模理论课教学过程中或数学建模理论课教学完成后开设。

学生应具有计算机的基本操作能力，并在数学上已经达到各门信息与计算科学的基础数学课程的基本要求。

四、学生应达到的实验能力与标准通过本课程的学习，能够熟悉MAPLE软件的功能，语法格式，界面等特点，掌握MAPLE的基本操作；能够利用MAPLE软件进行基本的代数运算，求极限，求导数，计算积分等运算；能够掌握利用MAPLE软件进行向量和矩阵的各种运算，求值等操作；了解利用MAPLE绘制一维和二维的图形和动画的方法；能够掌握利用MAPLE来计算统计学中的各种估计和检验。

五、讲授实验的基本理论与实验技术知识实验一初等数学验1.实验的基本内容（1）熟悉MAPLE语言环境；（2）MAPLE语言的语法结构和特点；（3）MAPLE的基本操作（3）有理函数运算；（4）解代数方程；（5）MAPLE语言的符号运算与数值运算。

2.实验的基本要求（1）熟悉MAPLE软件的运行环境语法和界面的特点；（2）熟悉使用MAPLE解决初等的运算问题；（3）熟悉使用MAPLE进行有理函数的运算和代数方程的求解；（4）熟悉MAPLE语言中数值计算与符号运算。

3.实验的基本仪器设备和耗材微机。

实验二微积分学实验1.实验的基本内容（1）利用MAPLE软件求极限；（1）利用MAPLE求一元函数的导数和多元函数的偏导数；（2）利用MAPLE计算高阶导数；（3）利用MAPLE计算积分。

2.实验的基本要求（1）熟练掌握使用MAPLE软件求极限；（2）熟练掌握使用MAPLE软件进行求导运算；（3）熟练掌握利用MAPLE软件进行积分运算。

数学模型实验4个

数学模型实验4个

内江师范学院数学模型实验报告册编制数学建模组审定牟廉明专业：数学与应用数学班级：级班学号：姓名：数学与信息科学学院2015年5月说明一、学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告；二、要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；若学生无故旷课，则本次实验等级计为D；三、学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告；四、实验成绩评定分为A+、A、A-、B+、B、C、D各等级。

根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定，具体对应等级如下：完全符合、非常符合、很符合、比较符合、基本符合、不符合、完全不符合。

实验名称：插值与数据拟合（实验一）指导教师：实验时数： 4 实验设备：安装了VC++、mathematica、matlab的计算机实验日期：2015年3月13日实验地点：第五教学楼北802实验目的：掌握插值与拟合的原理，熟悉插值与拟合的软件实现。

实验准备：1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有VC++6.0的计算机。

实验内容及要求下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据。

从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。

要求：1、构造合适的模型全面地描述生产批量与单位成本的关系；2、对于这种关系，试采用分段函数进行详细分析。

另外，从误差的角度出发，定量与定性相结合的方式来说明采用分段函数来描述这种关系的优点。

数学建模上机实验报告4

数学建模上机实验报告4

西华大学数学建模基础实验报告课程名称： 数学建模基础 年级： 实验成绩： 指导教师姓名：实验名称：数据拟合与线性规划 学号： 实验日期： 实验编号： 组号：实验时间：一、实验目的学习简单的数据拟合与线性规划。

找出函数关系，解决最值问题。

二、实验内容1．已知飞机下轮廓线上数据如下（1）作数据的点图形。

（2）确定X 和 Y 之间的近似关系。

2．已知下列数据为录像机磁带的测试数据 试求出下列关系bn an t +=23．用MATLAB 或 Lingo 求解线性规划问题6543218121110913min x x x x x x z +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++=+=+=+6,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600400x ..654321635241 i x x x x x x x x x x x x t s i4．用MATLAB 或 Lingo 求解线性规划问题m a x 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x6,2,10 =≥j x j 5．用MATLAB 或 Lingo 求解线性规划问题X 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 Y1.21.72.02.12.01.81.21.01.6321436min x x x z ++= 120..321=++x x x t s 301≥x5002≤≤x203≥x三、使用环境MATLAB7.0四、核心代码、调试过程及结果1．题（1）X=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15] Y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6] plot(X,Y,'*')(2)x=polyfit(X,Y,2) x =-0.0249 0.4416 0.0683 >> x=polyfit(X,Y,3) x =0.0012 -0.0517 0.5939 -0.0541>> x=polyfit(X,Y,4) x =0.0004 -0.0123 0.0769 0.2146 0.03003.C=[13 9 10 11 12 8];A=[0.4 1.1 1 0 0 0;0 0 0 0.5 1.2 1.3];b=[800;900];Aeq=[1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1]; beq=[400;600;500];VLB=[0;0;0;0;0;0];VUB=[];[x,fval]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) Optimization terminated.x =1.6518e-0126004.4013e-0134001.4351e-012500fval =138004.c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)>> xxgh4Optimization terminated.x =1.0e+004 *3.50000.50003.00000.00000.00000.0000fval =-2.5000e+0045.c=[6 3 4]’;A=[0 1 0];b=[50];Aeq=[1 1 1];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)>> xxgh5Optimization terminated.x =30.000050.000040.0000fval =490.0000五、总结通过这个上机，我对MA TLAB解决简单的线性规划问题只能说有初步的了解，但是还是编程起来很吃力。

Matlab数学建模实验报告

Matlab数学建模实验报告

数学实验报告实验序号：实验一日期：实验序号：实验二日期：实验序号： 实验三 日期：班级 姓名 学号实验 名称架设电缆的总费用问题背景描述：一条河宽1km ，两岸各有一个城镇A 与B ，A 与B 的直线距离为4km ，今需铺设一条电缆连接A 于B ，已知地下电缆的铺设费用是2万元/km ，水下电缆的修建费用是4万元/km 。

实验目的：通过建立适当的模型，算出如何铺设电缆可以使总花费最少。

数学模型：如图中所示，A-C-D-B 为铺设的电缆路线，我们就讨论a=30度，AE （A 到河岸的距离）=0.5km ，则图中：DG=4-AC cos b -1/tan c ； BG=0.5km AC=AE/sin bCD=EF/sin c=1/sin c BD=BG D 22G则有总的花费为：W=2*（AC+BD ）+4*CD ；我们所要做的就是求最优解。

实验所用软件及版本：Matlab 7.10.0实验序号： 实验四 日期：班级 姓名 学号实验 名称慢跑者与狗问题背景描述：一个慢跑者在平面上沿曲线25y x 22=+以恒定的速度v 从（5,0）起逆时钟方向跑步，一直狗从原点一恒定的速度w ，跑向慢跑者，在运动的过程中狗的运动方向始终指向慢跑者。

实验目的：用matlab 编程讨论不同的v 和w 是的追逐过程。

数学模型：人的坐标为（manx,many ）,狗的坐标为（dogx,dogy ）,则时间t 时刻的人的坐标可以表示为manx=R*cos(v*t/R); many=R*sin(v*t/R);sin θ=| (many-dogy)/sqrt((manx-dogx)^2+(many-dogy)^2)|;cos θ=| (manx-dogx)/sqrt((manx-dogx)^2+(many-dogy)^2)|;则可知在t+dt 时刻狗的坐标可以表示为：dogx=dogx(+/-)w* cos θ*dt; dogy=dogy(+/-)w* sin θ*dt; (如果manx-dogx>0则为正号，反之则为负号)实验所用软件及版本：Matlab 7.10.0实验序号：实验五日期：班级姓名学号两圆的相对滚动实验名称问题背景描述：有一个小圆在大圆内沿着大圆的圆周无滑动的滚动。

数学建模与数学实验第四讲§1

数学建模与数学实验第四讲§1
§1 传染病模型
传染病的传播问题是现代人类社会十分关注的一 类问题。建立传染病的数学模型，用来传染病的传播 过程，分析被感染人数的变化规律，预报传染病高潮 期的到来等等，一直是整个社会关注的问题。 人们不可能做传染病传播的试验来获取数据，从 医疗卫生机构得到的资料也是不完整的和不充分的， 所以通常是用机理分析的方法建立模型。 不同类型传染病传播过程的特点不同，弄清这些 特点需要相当多的医学知识，这里不可能从医学的角 度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传 播机理建立数学模型。
0 s0 s

ln
s0
整理可得
此式可作为ζ的估计式。
ln s0 ln s s0 s
如果当病人数量有增加的趋势时, 我们认为该传 染病在蔓延。那么, 1/ζ就是一个阈值。当s0> 1/ζ时传 染病就会蔓延, 否则就不会蔓延。但是在一般情况下, 通常s0 ≈1, 所以, 要控制传染病的蔓延, 只有加大1/ζ的 值, 即, 提高医疗技术水平, 增加日治愈率μ的值, 改善 环境卫生条件和人口的素质, 减低日接触率λ的值, 就 可以达到加大1/ζ值的目的。 但是这两条受到科学技术、经济与文化发展和社 会进步的制约。在现有医学科学技术水平基础的条件 下, 加大强制免疫措施, 使更多的人在传染病出现之前 已经获得抵御这种疾病的免疫能力, 就可以使 s0 的值 大大减低, 最大限度地减少传染性疾病的传播和蔓延。 而强制免疫措施要求具有免疫力人口的数量比例较大, 且要均匀地分布在整个人群中, 同样有一定难度。
1 1 i ( ) 0
1 1
根据以上讨论我们将病人数量的变化曲线描绘如下：
i i0 i0 i
ζ ≤1
ζ >1
1-1/ ζ i0 o t o

北京工业大学数学建模-实验4答案

北京工业大学数学建模-实验4答案

最
大值 约束条件为：
1x11 2x12 3x13 3x21 5x22 6x23 2 x31 4 x32 5x33 10 x11 x12 x13 1
x21 x22 x23 1 x31 x32 x33 1
xij 0或1
采用 LINGO 软件进行计算：
运行结果：
Linearization components added: Constraints: Variables: Integers: 21 18 9
Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Model Class: Total variables: Nonlinear variables: Integer variables: Total constraints: Nonlinear constraints: Total nonzeros: Nonlinear nonzeros: Variable Y1 X1 -0.5000000E-03 Y2 X2 Y3 X3 Row 1 2 3 4 5 6 1.000000 2000.000 0.000000 999.0000 Slack or Surplus 6000000. 0.000000 10000.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 999000.0 0.000000 Dual Price 1.000000 1000.000 0.000000 499500.0 0.000000 0.000000 75 18 Value 0.000000 999.0000 Reduced Cost 0.000000 24 6 12 27 3 6000000. 6000000. 0.000000 3 120 MINLP

专题3：实验建模ch4

专题3：实验建模ch4

一.引言
什么情况下需要建立经验模型?
在拟合一条曲线时,理想的情况是 理想的情况是:建模者利用一些假定 理想的情况是 利用一些假定来 利用一些假定 选择一个特定的模型,以解释 解释观测值反映的状况.如果收集到 选择一个特定的模型 解释 的数据证实了这些假定的合理性 证实了这些假定的合理性,建模者的任务就是根据某 证实了这些假定的合理性 些准则(例如最小二乘)为选定 选定的曲线选取最佳的参数 最佳的参数.从而 选定 最佳的参数 建立解释已知状况的模型 模型. 建立 模型 但是在许多情况下,建模者不能构造一个满意的解释已知状 但是在许多情况下 建模者不能构造一个满意的解释已知状 况的易于处理的模型形式.这时,就可以进行实验 实验(或收集更 况的易于处理的模型形式 实验 多的数据),在某一区域中选择独立变量的值研究相依变量 在某一区域中选择独立变量的值研究相依变量 的状况.在此意义上,建模者是基于收集的数据构造一个经验 的状况 基于收集的数据构造一个经验 模型,而不是基于某些假定选择一个模型. 模型 在这种情况下,建模者要收集数据 收集数据,细心分析数据的影响, 收集数据 搜寻一条曲线,追踪数据的倾向 在数据点做出预测. 追踪数据的倾向,在数据点做出预测 搜寻一条曲线 追踪数据的倾向 在数据点做出预测
变换后同一数据集合在图形上的差异
结论:对于个同一数据集合: 变化阶梯,将z变成其他性似乎, 变化阶梯, 变成其他性似乎 变成其他性似乎,
y与x之间是非线形的,模型 比较复杂 y与x2之间是线形的,对应的 模型是简单的线形模型 这就是说,对于同一个数据 集合,我们要寻找合适的变 量形式,以便使数据间呈现 简单的关系.即通过变换变量 通过变换变量 的形式寻找建模的模型. 的形式寻找建模的模型.
图形显示, 图形显示,对x的变换没有产生线形图形 的变换没有产生线形图形

数学建模实验报告指要

数学建模实验报告指要

说明：本实验大纲供写报告时参考。

每个实验报告写明实验名称、目的要求、时间、实验类型、实验内容。

实验环境：Windows2000 + MA TLAB5.3实验内容要写清所做的具体内容，步骤，及对结果的分析。

建模实验要在实验课前做好模型，然后上机实验。

《数学建模》实验大纲课程编号：07010071课程英文名：Mathematics Modeling适用专业：计算机科学与技术本科实验总学时数：16学时学分：0.5学分一、课程目的及性质《数学建模》是计算机科学与技术本科专业选修课程。

本课程的实验内容要求学生有一定量的实践才能切实掌握数学建模的各个环节。

二、课程实验环境安装有Windows2000/2003/XP操作系统和MA TLAB5.0以上版本软件的计算机。

三、本课程的实验项目与内容一、MATLAB程序设计（一）实验目的和要求认识MA TLAB的操作界面，初步掌握MA TLA T的使用方法。

掌握MA TLAB的数值运算，常用的绘图方法，M文件的创建及调用。

（二）实验学时：2学时（三）实验类型：验证（四）实验内容1、MA TLAB的操作界面：命令窗口，工作空间，当前目录，M文件编辑及绘图窗口。

2、数组创建，数组元素的访问，数组运算。

矩阵的创建及运算。

3、关系及逻辑运算，程序流程控制。

M文件的创建及调用。

4、MA TLAB绘制二维、三维图形：使用plot、plot3,surf,mesh,contour,二．线性规划建模（一）实验目的和要求掌握线性规划模型。

能用MA TLAB的优化工具linprog或者Lingo求解线性规划问题。

（二）实验学时：2学时（三）实验类型：验证（四）实验内容1、MA TLAB的三种线性规划模型，及linprog工具的调用方式。

2、用Lingo求解线性规划模型。

3、编写程序求解预先建立的线性规划模型，对解作出分析评价。

三．无约束优化（一）实验目的和要求掌握MA TLAB无约束优化工具的运用。

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西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院 专业年级：2013级信计1班 姓 名： 学 号 课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2013年12月1日拟合模型与回归分析实验目的配合《数学建模与数学模型》的第3章“常见的模型及其组建”，介绍如何运用数学软件进行模型组建，并结合数学理论分析求解模型。

拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据（散点图）的观察、分析。

结合问题背景，运用数学分析，选择当前恰当的数学表达方式得到的。

拟合的目的是寻找一条光滑曲线y=ψ(x),能够很好地表现受随机因素干扰的观测数据(){}ni i i y x 1,=所反映的规律。

原则上尽量选择简单的数学公式表达规律，在简单的数学表达式中选择拟合效果好的。

一、赛跑成绩与赛跑距离1 实验题目赛跑成绩与赛跑距离2 实验问题陈述下面的表2.1.1给出了1997年以前6个不同距离的中短距离赛跑成绩的世界纪录：3 实验内容解 共分4个步骤，分别叙述如下。

步骤1 在坐标系上画出观测数据的散点图。

>> X=[100 200 400 800 1000 1500];>> Y=[9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1]; >> plot(X,Y,'*')步骤2 根据散点图，取线性拟合模型y=a+bx.步骤3 利用数据（x i ,y i ）估计模型参数a,b 。

就是在寻找超定方程（方程个数多于未知数的个数）Ad =y ′的近似解d =(a,b)′,其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x A ...1...11，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y ...y ′1 称X=（x 1,x 2,....,x n ）′为设计矩阵。

采用最小二乘法确定参数的估计值∧a ,∧b ,也就是求拟合残差平方和∑=--=ni i i bx a y Q 12)(的最小值（a,b)。

下面利用MATLAB 指令完成参数估计。

>> A=[ones(size(X))',X']; >> d=A\Y';>> z=d(1)+d(2).*X; ;得到线性模型：y=-9.99+0.145x. 步骤4 分析拟合效果，做拟合图。

>> plot(X,Y,'*',X,z,'LineWidth',2) >> Q=sum((Y-z).^2)简单的根据拟合残差图和拟合的残差平方和Q=81.76看，拟合的效果不是特别糟糕，但是，结果不符合实际。

根据拟合得到的模型，当x<68.89m时，跑步时间y<0，显然不正确。

实际上当跑步距离为0时，所需要的时间也为0.在前面选择模型时没有考虑到实际问题的这一基本要求，因此导致矛盾的结果。

修正模型，要求拟合函数满足条件y（0）=0，并根据散点图特点，取幂函数模型：y=ax b.为了利用线性拟合指令，令z=lny,u=lnx,a*=lna,则幂函数拟合问题转变为线性拟合z=a*+bu.>> A=[ones(size(X))',log(X)'];D=A\log(Y)';d0=[exp(D(1)),D(2)];fun=inline('d(1).*X.^(d(2))','d','X');>> Q1=sum((Y-fun(d0,X)).^2);于是得到幂函数模型y=0.048x1.145,结果比较符合实际。

但是这样拟合得到的不是使得残差平方和∑=--=nii ibxayQ12)(达到最小的参数（a,b）,为了改进拟合效果，可以进一步利用MATLAB的非线性拟合指令。

由于非线性拟合求最小值点通常使用迭代逼近算法，需要先输入参数估计值作为初始值（a0,b）.因此选择前面通过线性化方法得到的参数拟合值作为下一步非线性拟合的参数初始估计值。

>> d=nlinfit(X,Y,fun,d0);>> Q2=sum((Y-fun(d,X)).^2);这样得到幂函数模型：y=0.0416x1.1678,残差平方和为Q2=6.1319,可见非线性拟合极大的改进了拟合效果。

注意，拟合模型通常也称为经验模型。

二、投资预测1 实验题目投资预测2 实验问题陈述研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP）的关系，以便根据对未来国民生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。

附：以往20年数据表如表2.1.4所示。

3 实验内容解现在我们按回归分析方法讨论问题。

首先，表述问题，选择变量。

为确定实际投资额对国民生产总值和物价指数的依赖关系，取实际投资额为因变量y，国民生产总值和物价指数分别为自变量x1和x2.然后，进行数据描述分析。

有散点图可见y线性依赖x1和x2，而且变化趋势很相似，怀疑x1与x2之间存在共线性性质，画x1-x2散点图马上证实了这一点。

指令如下：>> x1=[596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 992.7 1077.6 118 5.9 1326.4 1434.2 1549.3 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2631.7 29 54.7 3073];>> x2=[0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 0.914 5 0.96011 1.0575 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1.5042 1 .6342 1.7842 1.9514 2.0688];>> y=[90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3 144.2 166.4 1 95 229.8 228.7 206.1 257.9 324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.4];>> subplot(1,3,1),plot(x1,y,'*'),title('x1-y')>> subplot(1,3,2),plot(x2,y,'*'),title('x2-y')>> subplot(1,3,3),plot(x1,x2,'*'),title('x1-2')因此，实际投资额y可以表示成其中一个自变量的函数，选择国民生产总值，取线性模型y=a+bx做回归分析，指令如下：x=x1>> A=[ones(size(x1))',x1'];[d,bint,r,rint,stats]=regress(y',A);plot(r,'*'),axis([0,20,-60,60]),title('residual')结果如表2.1.5所示：表2.1.5 投资额与国民生产总值的回归结果参数估计值置信区间虽然，拟合优度R 2接近1，F 统计量概率值P ＜0.0001很小，但是参数估计的95%置信区间太大，而且含有零点，这意味着参数参数有可能取零值。

特别是残差序列图2.1.5出现异方差现象，残差散布的范围随着序列变化增大。

这与回归分析成立的前提“残差具有零均值和均方差”相矛盾。

考虑到投资额和国民生产总值这些数据（x t ,y t )都是来自同一个体的不同时间t 的观测值，不同时间的数据之间可能存在相关性，这种相关性简称为自相关性。

自相关性分析也称为自回归分析，是研究时间序列的常用方法。

但不是对所有时间序列数据都可以直接进行自回归分析，希望利用过去的数据预测未来的关系，就必须假设两个变量之间未来的依赖关系与过去的有着某种相似性，统计上定义这种相似性为时间序列的平稳性。

严格的说，称一个时间序列{r t }是平稳的，如果该序列满足：对任意的整数k ，任意的的时间点t 0，随机变量r t0,r t0+1,...,r t0+k 是独立同分布的。

也就是说该序列的均值和方差不会随时间的改变而变化。

从上面的残差图可见，对于k=0，残差序列{r t =y t -a-bx t }的方差随时间逐渐增大，它不是一个平稳过程，自相关性也非常不好，因此不能采用自回归模型。

重新考虑到作为时间序列，实际投资额对国民生产总值的依赖可能存在滞后，国民生产总值对实际投资额的部分影响可能隔几年后才显现出来。

经过多次试验，得到统计分析结果最佳的模型：y t =a+b 1x t-2+b2x t对这个模型进行模型回归分析，指令如下：>> A=[ones(size(x1(3:end)))',x1(1:end-2)',x1(3:end)']; >> [d,bt,r,rt,sts]=regress(y(3:end)',A); >> plot(r,'*'),grid结果表明，当年的国民生产总值与实际投资额是正相关的，前年的国民生产总值对实际投资额的影响是抑制的。

根据这个模型，只要知道国民生产总值就不难估计相应时间的实际投资额。

步骤5 预测预报建立拟合模型的一个主要目的是为了进行预测预报，在x 0处的拟合模型预测值的点估计为0∧∧∧0b a x y +=，多数情况下这个预报值是不可靠的。

科学的方法是给出区间估计，即给出95%置信度的预测区间|y -∧0y |≤L.为了确定区间半径L,需要知道随机变量y -∧0y 的概率分布。

以一元线性拟合模型为例说明设定置信区间的原理和方法。

引理2.1.1 设()()2σ,0~N r bx a y i i i =+-服从正态分布，则由最小二乘法得到的拟合模型x b a ∧∧∧y +=满足（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xx l x n a N a //1σ~22∧； （2）()xx l b N b /σ,~2∧； （3）()2-n χ~σ/2Q ；于是，在x 0处的拟合模型预测值是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-xx l x n bx x N x b a y //1σ,~2200∧∧∧0 因为，观测值()20000σ,~bx a N r bx a y +++=所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--xx l x n N y y //11σ,0~22∧00 取统计量1)]-(n σQ/[√/x 1/n 1√σ/2-2∧00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx l y y T可以证明，)2(~-n t T ，即服从自由度为n-2的t 分布。