关系代数

第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。

学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。

通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。

了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。

同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。

1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。

关系操作分为两大部分如图所示。

2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。

而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。

关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。

3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。

关系代数分类引言：关系代数是一种用于描述和操作关系数据库中数据的形式化语言。

它主要包括关系的基本运算、集合运算和关系的扩展运算。

本文将对关系代数的分类进行详细介绍。

一、关系的基本运算1. 选择运算：选择运算是根据给定的条件从关系中选取满足条件的元组。

它使用谓词逻辑来描述选择条件，常用的符号是σ。

例如，从一个学生关系中选择年龄大于20岁的学生，可以表示为σ(年龄>20)(学生)。

2. 投影运算：投影运算是从给定关系中选择指定的属性形成一个新的关系。

它使用集合运算来描述投影条件，常用的符号是π。

例如，从一个学生关系中选择仅包含学生姓名和年龄的新关系，可以表示为π(姓名, 年龄)(学生)。

3. 连接运算：连接运算是将两个关系按照指定的条件进行连接形成一个新的关系。

它使用集合运算和谓词逻辑来描述连接条件，常用的符号是⨝。

例如，从一个学生关系和一个课程关系中连接出选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生⨝(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。

4. 除运算：除运算是从一个关系中删除满足指定条件的元组，形成一个新的关系。

它使用谓词逻辑来描述除条件，常用的符号是÷。

示为学生÷(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。

二、集合运算1. 并运算：并运算是将两个关系的元组合并在一起形成一个新的关系。

它使用集合运算来描述合并条件，常用的符号是∪。

例如，将一个学生关系和一个教师关系合并在一起，可以表示为学生∪教师。

2. 交运算：交运算是从两个关系中选取共有的元组形成一个新的关系。

它使用集合运算来描述共有条件，常用的符号是∩。

例如，从一个学生关系和一个选课表关系中选取同时存在的学生信息，可以表示为学生∩选课表。

3. 差运算：差运算是从一个关系中删除与另一个关系共有的元组，形成一个新的关系。

它使用集合运算来描述差条件，常用的符号是－。

例如，从一个学生关系中删除已经选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生－选课表。

数据库关系代数运算例题摘要：1.关系代数简介2.数据库关系代数运算例题详解a.并运算b.交运算c.差运算d.笛卡尔积运算e.投影运算f.选择运算g.连接运算3.总结与展望正文：一、关系代数简介关系代数是一种对关系数据库进行操作的数学理论。

它利用基本的集合运算和关系运算对关系数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作。

关系代数的基本运算包括并、交、差、笛卡尔积、投影、选择和连接等。

二、数据库关系代数运算例题详解1.并运算例题1：给定关系R和S，求R并S的结果。

解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R并S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。

2.交运算例题2：给定关系R和S，求R交S的结果。

解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R交S={3, 4}。

3.差运算例题3：给定关系R和S，求R差S的结果。

解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R差S={1, 2}。

4.笛卡尔积运算例题4：给定关系R和S，求R与S的笛卡尔积。

解：设R={1, 2}, S={a, b}，则R与S的笛卡尔积为{（1, a），（1, b），（2, a），（2, b）}。

5.投影运算例题5：给定关系T，求T中属性A的投影。

解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则T中属性A的投影为{（1，3），（2，3），（3，5）}。

6.选择运算例题6：给定关系T，求满足条件“属性B大于2”的选择结果。

解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则满足条件“属性B大于2”的选择结果为{（2，3，4），（3，4，5）}。

7.连接运算例题7：给定关系R和S，求R与S的连接结果。

解：设R={（1, 2），（3, 4）}，S={（2, 3），（4, 5）}，则R与S的连接结果为{（1，2，3），（3，4，5）}。

第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。

用对关系的运算来表达查询。

运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。

例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。

如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。

如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。

元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。

若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。

2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。

由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。

---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。

任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。

所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。

关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。

关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。

其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。

而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。

比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。

2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。

设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。

(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。

竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。

数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。

数据库系统-关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。

任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。

在关系代数中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其他运算如交、连接和除，均可通过这5种基本运算来表达。

1. 并运算：结果为二者元组之和去除重复行。

2. 交运算：结果为二者重复行。

3. 差运算：前者去除二者重复行。

4. 笛卡尔积：从数学角度理解，就是将集合A和集合B中所有有序对元素集合。

在数据库系统中，表示得是对两个关系R 和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。

5. 投影：关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。

6. 选择：选择又称为限制（Restriction）。

7. 自然连接：结果列数为二者属性列数之和减去重复列，行数为二者同名属性列其值相同时的结果元组。

此外，关系代数还有许多等价表示，如常考的关系代数是笛
卡尔积、选择、投影组合与自然连接的等价表示等。

一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'πSNO,GRADE(σCNO='C2'(SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------πSNO,SNAME(σCNO='C2'(S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。

----πSNO,SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。

关系代数知识点总结一、基本概念1. 关系在关系代数中，关系是元素的集合。

在数据库中，关系通常是二维表格，每一行代表一个元组，每一列代表一个属性。

例如，一个包含学生信息的关系可以包括学生的学号、姓名、年龄等属性。

关系可以表示为R(A1, A2, …, An)，其中R是关系的名称，A1, A2, …, An是关系的属性。

2. 元组在关系中，元组是一个有序的元素序列，其中每个元素对应关系的一个属性。

在对关系进行操作时，我们通常需要操作整个元组或者选取符合特定条件的元组。

3. 属性关系的每一列都是一个属性，用来描述元组的特定信息。

属性可以有不同的数据类型，例如整数、字符、日期等。

在数据库中，属性通常用来对关系进行分类和索引。

4. 关系键关系键是一组属性的集合，用来唯一确定关系中的元组。

在数据库中，关系键通常用来在关系中快速定位元组，以及对关系进行连接操作。

5. 关系模式关系模式是关系的结构描述，它包括了关系的名称、属性以及属性的数据类型等信息。

通过关系模式，我们可以了解一个关系的结构和特性。

6. 域在关系代数中，域指的是关系的属性值的集合。

每个属性都有自己的域，例如整数属性的域包括所有整数，而日期属性的域包括所有日期。

二、基本操作在关系代数中，有一系列基本的操作，包括选择、投影、连接、并集、差集和笛卡尔积等。

这些操作可以对关系进行组合和转换，从而实现对数据的查询和处理。

1. 选择选择操作是从关系中选择满足特定条件的元组。

例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行选择操作，找出所有年龄大于20岁的学生。

投影操作是从关系中选取特定的属性。

例如，我们可以对一个包含学生信息的关系进行投影操作，只选取学生的姓名和年龄属性。

3. 连接连接操作是将两个关系进行连接，通常是通过他们的共同属性进行连接。

例如，我们可以将一个包含学生信息的关系和一个包含课程信息的关系进行连接，获取学生选修课程的信息。

4. 并集并集操作是将两个关系进行合并，得到一个包含两个关系所有元组的新关系。

sql 关系代数
SQL（Structured Query Language）是一种用于管理和操作关系数据库的标准化语言。

关系代数是数据库中的一种数据操作语言，它用于描述和操作关系数据库中的数据。

关系代数的特点包括：
1. 关系代数是一种严格的形式化语言，具有严密的语法和语义规则。

2. 关系代数操作是基于集合论和逻辑推理的，可以实现对关系数据库进行高效、准确的操作。

3. 关系代数操作是无状态的，即每次操作都是独立的，不依赖于之前的操作结果。

4. 关系代数操作是封闭的，即对关系的操作结果仍然是一个关系。

关系代数的作用包括：
1. 查询数据：通过关系代数操作，可以对关系数据库进行查询，获取所需的数据信息。

2. 插入数据：可以使用关系代数操作向关系数据库中插入新的数据。

3. 更新数据：通过关系代数操作，可以更新关系数据库中已有的数据。

4. 删除数据：可以使用关系代数操作从关系数据库中删除指定的数据。

5. 数据库设计：关系代数可以用于数据库的设计和规划，帮助确定关系之间的联系和约束条件。

总结来说，关系代数是一种用于描述和操作关系数据库中数据的形式化语言，具有严密的语法和语义规则，可以实现数据的查询、插入、更新和删除等操作，用于管理和操作关系数据库。

、4 关系代数关系代数就是一种抽象的查询语言,通过对关系的运算来表达查询。

关系代数的运算对象就是关系,运算结果也就是关系。

系代数运算可以分为四类:1.普通的集合运算: 并、交、差2.删除一部分关系的运算选择运算“σ”会删除某些行投影运算“π”会删除某些列3.合并两个关系的运算“笛卡儿积”运算把两个关系的元组以所有可能的方式组合起来、“连接”运算有选择地从两个关系取出元组组合在一起4.改名运算不改变关系的元组,只改变关系的模式:改变属性的名字或者关系本身的名字一、关系的集合运算三种最普通的集合运算:并、交与差:1、R∪S,R与S的并,它就是R中的元素与S中的元素共同组成的集合。

2、R∩S,R与S的交,它就是既出现在R中又出现在S中的元素组成的集合。

3、R―S,R与S的差,它就是只在R中出现,不在S中出现的元素组成的集合。

要想对两个关系R与S进行上述运算,R与S必须满足如下条件:R与S的模式具有相同的属性集在对R与S进行集合运算之前,要对R与S的属性列进行排序,保证两个关系的属性顺序相同1、并, R∪S ={ r | r∈R ∨ r∈S }关系R:关系SR∪S:2、交, R∩S ={ r | r∈R ∧ r∈S }R∩S:3、差, R-S ={ r | r∈R ∧ r?S }R-S:二、投影运算投影运算符就是π,该运算作用于关系R将产生一个新关系S,S只具有R的某几个属性列。

投影运算的一般表达式如下:S = πA1, A2, … , An(R)S就是投影运算产生的新关系,它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。

例:对于关系表:Student投影运算:πStudentNo, StudentName(Student) 结果为:三、选择运算(σ)选择运算符就是σ,该运算符作用于关系R也将产生一个新关系S,S的元组集合就是R的一个满足某条件C的子集。

选择运算的一般表达式为:S = σC(R)S的模式与R的模式完全相同。

关系代数表达式 3 个
并（Union）：关系R与S具有相同的关系模式。

关系R与S 并由属于S的元组构成的集合。

记作RUS={t|t∈R∨t∈S} t为元组变量。

差(Differece)：关系R与S具有相同的关系模式，关系R与S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合，记作R-S，其形式定义如下：R-S={t|t∈R∧t∉S}
广义笛卡尔积：关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。

记作R×S。

投影（Projection）：投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系R中选择出若干个属性列A组成新的关系，记作π(R)={t[A]|t∈R }。

可以理解为数据库查询某张表某几个列。

选择(Selection):选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作∂(R)={t|t∈R∧F(t)=True}。

可以理解为查询语句后面加where查询条件。

五种基本关系代数
【原创版】
目录
1.关系代数的基本概念
2.关系代数的五种基本操作
3.关系代数的实际应用
正文
关系代数是数据库中的一种重要理论，它涉及到对数据库中数据的操作和处理。

在学习关系代数之前，我们需要先了解什么是关系。

在数据库中，关系指的是一个表格，表格中的每一行被称为一个元组，每一列被称为一个属性。

关系代数就是对这些表格进行操作的一种数学模型。

关系代数中有五种基本操作，它们分别是并、差、笛卡尔积、投影和选择。

这五种基本操作可以组合其他复杂的操作，从而实现对数据库中数据的各种处理。

并操作是指将两个关系合并成一个新的关系，其中包含了两个关系中的所有元组。

差操作则是指从一个关系中减去另一个关系，得到的结果是两个关系中不同的元组。

笛卡尔积是指将两个关系中的所有元组进行组合，得到的结果是两个关系中所有元组的组合。

投影操作是指从一个关系中选择某些属性，得到的结果是只包含这些属性的新关系。

选择操作则是指从一个关系中选择满足某些条件的元组，得到的结果是满足条件的元组的集合。

在实际应用中，关系代数可以帮助我们更好地管理和处理数据库中的数据。

比如，我们可以通过选择操作来筛选出满足条件的数据，通过投影操作来获取某些特定属性的数据，通过差操作来找出两个关系之间的差异等等。

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