数据库关系运算(关系代数)

第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。

学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。

通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。

了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。

教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。

同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。

1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。

关系操作分为两大部分如图所示。

2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。

而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。

关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。

3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。

数据库系统2-7：关系代数的等价变换规则前面介绍的三种关系运算的能力是等价的，它们之间都可以相互等价转换，也都可以转换成关系代数表达式，所以研究关系运算等价变换原则可以从关系代数表达式开始。

关系代数的变换规则记为：E1oE2。

关系代数表达式经过等价变换后，其结果与变换前的关系表达式等价。

常用等价变换规则：1．连接、笛卡儿积的交换律E1XE2o E2XE1E1 >< E2o E2 >< E1 自然连接E1 >F< E2o E2 >F< E1 其中F为连接运算条件2．连接、笛卡儿积结合律设E1、E2、E3为关系代数表达式，F1、F2为连接运算条件。

则（E1XE2）XE3o E1X（E2 XE3）（E1 >< E2）>< E3o E1 >< （ E2 >< E3）（E1 > < F1 E2）>< F2E3o E1 >< F1（ E2 >< F2E3）3．投影的串接定律设E为关系代数表达式，Ai（i=1,2,3….n），Bj（j=1,2,3,….m）是属性名，且AiíBj 则 ?A1,A2,…An（?B1,B2,….Bm（E））o?A1,A2,….An（E）4．选择的串接律设E为关系代数表达式，F1、F2为选择条件。

σ-F1(σ-F2( E ) ) o σ-F1ùF2( E )5．选择和投影的交换律a)选择条件只涉及属性Ai（i=1,2,3….n）σ-F(?A1,A2,…An ( E ) ) o?A1,A2,…An（σ-F( E ) )b)选择条件涉及的属性有不属于A1,A2,…An的属性B1,B2,….Bm ，则规则为：?A1,A2,…An( σ-F( E ) ) o?A1,A2,…An( σ-F(?A1,A2,…An，B1,B2,….Bm( E )) ) ?A1,A2,…An（σ-F( E ) )不能等于σ-F(?A1,A2,…An ( E ) )，因为投影时属性A1,A2,…An不包含B1,B2,….Bm ，致使选择时缺乏有关属性B1,B2,….Bm 。

关系运算除的概念-回复题目：关系运算除的概念及详解引言：关系代数是计算机科学中关系型数据库的基础。

关系运算是关系代数中的一种基本操作，分为除运算、交、差、并、选择、投影、连接和自然连接等多种形式。

本文将详细介绍关系运算除的概念、用法以及相关示例。

一、概念解析：关系运算除是指在关系模型中，将两个关系R和S进行运算，得到一个新的关系，并且该关系中的每个元组在R中均出现，但是不在S中出现。

也就是说，除运算是找出在一个关系中但不在另一个关系中的元组。

除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。

二、除运算的符号和语法：除运算通常用符号“÷”表示。

在关系中，除运算的语法可以表示为：R÷S，其中R和S是两个关系。

三、除运算的实例分析：为了更好地理解除运算的概念，我们以一个具体的示例进行分析。

假设有以下两个关系表：R：A B1 a2 b3 c4 dS：C D1 x2 y3 z现在我们要进行R÷S运算。

1. 首先，我们需要找出关系R中的每个元组在关系S中是否存在。

根据示例表格，可以发现R中的A列对应的值1、2、3都存在于S关系的C 列中。

2. 接下来，我们需要找出关系R中的每个元组是否在关系S中出现。

根据示例，关系R中的A列对应的值4在S关系的C列中不存在。

3. 根据除运算的定义，我们需要找出在R中但不在S中的元组。

所以除运算的结果为：A B4 d四、除运算的计算规则：1. 除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。

2. 除运算的结果关系的属性集合与被除关系相同，即结果关系的属性集合等于被除关系的属性集合。

3. 除运算的结果关系的每个元组在被除关系中均出现，但是不在除数关系中出现。

五、除运算的应用场景：1. 考虑一个学生选课系统，其中有一个学生成绩表和一个课程表。

除运算可以应用于找出没有选课的学生信息。

2. 在生产管理中，除运算可以帮助我们找出没有完成生产的产品。

关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。

分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号。

本例也可以使用或条件来表示。

πSno(σCno=’1’(SC))∪πSno(σCno=’2’(SC)) 或πSno(σCno=’1’∨Cno=’2’(SC))二、交例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。

分析：方法一：只涉及到一个表，但不能直接用∧（为什么？）特别注意，本例不能写为：πSno(σCno=’2’∧Cno=’3’(SC))因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2，又为3。

第一步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。

选修课程号为2和3的学生：σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC)最后取出学生的学号：π1(σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC))方法二：πSno(σCno=’2’(SC))∩πSno(σCno=’3’(SC))三、差例3 将学生信息(‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。

分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。

因此，该删除操作可表示为：Student-{‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’}注意：但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了，就要用到差操作或除操作。

例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。

分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。

由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的，故应当先投影，再进行差运算。

πSno(Student)- πSno(σCno=’2’(SC))特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC))。

第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。

用对关系的运算来表达查询。

运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。

例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。

如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。

如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。

元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。

若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。

并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。

1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。

数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数关系型数据库-关系操作集合1、基本的关系操作关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。

查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。

2、关系数据语言的分类关系操作是通过关系语言来实现的。

关系语言的特点是高度非过程化，即：（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。

关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。

关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。

结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。

关系数据语言可以分为三类：关系代数语言、关系演算语言以及兼具两者双重特点的语言。

三类语言的共同特点是语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够独立使用也可以嵌入高级语言中使用。

3、关系代数操作包含三大要素：操作对象、操作符、操作结果。

数据库关系代数运算转⾃（1）基本概念①　属性和域：每个事物有很多属性，每个属性对应的取值范围叫做域，所有对域都是原⼦数据（第⼀范式）②　相关名词n元关系：R(D1,D2,D3...Dn)是n元关系，其中关系属性的个数称为“元数”，元组的个数称为“基数”，也就是记录值。

候选码：若关系中某⼀个属性或者属性组的值可以唯⼀的标识⼀个元组，则称为候选码主码：可以选择任意⼀个候选码作为主码主属性：包含在任何候选码中的属性叫作主属性全码：关系模型中所有属性都是这个关系模型的候选码，称为全码外码：关系模式中的属性⾮该关系的码，则称为外码③　三种类型：基本表：实际存在的表查询表：查询结果对应的表视图表：由基本表和其他视图表导出的表，不是实际存在数据库中④　完整性约束：实体完整性：主属性A不能为空值参照完整性：⽤实体之间的关系来描述，若F是关系R的外码，则F或者是空值，或者是某个元组的主码值⽤户定义完整性：根据具体关系数据的约束条件，⽐如数据范围等（2）关系五种基本运算①　并：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R U S,返回由R或者S元组构成的集合组成②　差：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R-S，右属于R但不属于S的元组组成③　⼴义笛卡尔积：R×S由n⽬和m⽬的关系R,S组成⼀个（n+m）列的元组集合，若R有K1个元组，S有K2个元组，则R×S有K1*K2个元组④　投影（π）：从关系的垂直⽅向开始运算，选择关系中的若⼲列组成新的列。

⑤　选择（σ）：选择从关系的⽔平⽅向进⾏元算，选择满⾜给定条件的元组组成新的关系。

（3）扩展的关系代数运算①　交：R∩S=R-(R-S),R,S具有相同的关系模式②　链接：链接分为θ链接，等值链接和⾃然链接θ链接：从R,S的笛卡尔积中选择满⾜⼀定条件的元组等值链接：当θ为“=”时为等值链接⾃然链接：是⼀种特殊的等值链接，⽐较的分量必须是相同的属性组，并在结果集中去掉重复列，如果没有重复列，⾃然链接就转换为笛卡尔积③　除：同时从⽔平⽅向和垂直⽅向进⾏运算，给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X,Y,Z为属性组，R÷S应当满⾜在X上的分量值x的像集Yx包含关系S在属性组Y上的投影集合：例如：R是：A B C Da b c da b e fa b h kb d e fb d d lc k c dc k e fS是:C Dc de f则R÷S：A Ba bc k④　⼴义投影：⼴义投影运算容许在投影列表中使⽤算法运算，实现对投影运算的扩充，投影出的列不⼀定是原来的列，可以是通过计算出来的列。

数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案4.1 名词解释(1) 关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。

(2) 关系模式：关系模式实际上就是记录类型。

它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。

关系模式不涉及到物理存储方面的描述，仅仅是对数据特性的描述。

(3) 关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。

(4) 属性：实体的一个特征。

在关系模型中，字段称为属性。

(5) 域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。

(6) 元组：在关系中，记录称为元组。

元组对应表中的一行；表示一个实体。

(7) 超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。

(8) 候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。

(9) 主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。

( 单独出现，要先解释“候选键”)(10) 外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。

(11) 实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。

如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。

(12) 参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。

其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2 的关系中，K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。

这条规则在使用时有三点应注意：1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。

2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。

3)外键值是否允许空应视具体问题而定。

(13) 过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。

如Pascal和C语言等。

(14) 非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必给出具体的操作步骤。

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,O,GRADE)课程关系C(O,AME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE O='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ O='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与XX------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND SC.O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ O='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。