华南师范大学高等代数讲义

在本课程主要讲两个内容:1、知识总结2、例题选讲分七块选讲：1、多项式 2、行列式 3、线性方程组与矩阵4、二次型5、线性空间与线性变换6、欧式空间7、λ矩阵例题又涉及单个内容的，也有涉及综合内容的。

一、多项式主要内容：多项式的次数的概念：多项式的加减乘除四种运算在除法运算中，分整除与不整除两种情况。

带余除法会用，最大公式求法、性质、互素的概念、性质、判别，因式分解、重因式、根、实子数、复子数、有理子数多项式的因式分解。

二、 例题选讲：1、设1P ，2P ，...， S P ,是S 个互不相同的素数，n>1. 证明:作多项式f (x )=nx - 12...S PP P （利用爱森斯坦判别法）它在有理数域上不可解，故f (x )为f (x )的根，故它不是有理数。

用反证法也可以。

2、设f(x)是一个n 次多项式，f '(x)f(x) ⇔f (x )证明有n 重根。

证明： 充分性：设f(x)有n 重根α，则f(x)=n a(x-)α, 则f '(x)=n n-1a(x-)α，显然f '(x)f(x).必要性：设12s ,,..., ααα是f '(x) 的所有互不相同的根，且重数分别为m 1, m 2… m s ,则m 1+m 2+… +m s =n -1 (1) 由于f '(x)f(x)，所以12s ,,..., ααα是f(x)的根且重数分别为m 1+1, m 2+1… m s +1，于是（m 1+1）+（m 2+1）+… +（m s +1）=n （2）由（1）（2）得，n-1+s=n ⇒ s=1, 故f '(x)只有一个根，重数为n-1.故α是f(x)的n 重根。

3、证明：多项式f(x)= 33132m n p xx x ++++能被21x x ++整除。

证明：设ε是21x x ++的任一根，则21εε++=0，于是3ε=1331323322()()10m n p n p εεεεεεεεε++++=+=++=4、设f(x)与g(x)不全为0，n 为任意正整数，证明n (f(x),g(x))=n n(f (x),g (x))。

高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。

教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。

习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。

基础提要 略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。

课堂练习：1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b c a B a b c c b a A 111,111． 2 设A ，B ，C ∈)(F M n ．证明，若AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．3 设A = )()(F M a n nn ij ∈，A 的主对角元素nn a a a ,,,2211 的和∑=ni ii a 1叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n ∈，证明：1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n I ≠．4 设A n M ∈(R )，且A '= A ．证明，若2A = 0，则A = 0．5 设A = B +C 机遇)(F M n ∈，其中C C B B -='=',．证明下列命题彼此等价：1) A A A A '='； 2)BC = CB ； 3)CB 是反对称矩阵．6 设)(F M A n ∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -17 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2,且n I A ±≠.证明：1)A 是可逆矩阵, 并求1-A . 2)A I n +与A I n -都是奇异矩阵.8 设A ，B ，C )(F M n ∈．证明：1)若A 非奇异，则AB = AC ⇒B = C ；2)若A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9 设)(F M A n ∈可逆，且1-A =nn ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij 1)-A ．10 设n M A ∈(R )．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。

如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。

，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。

于是K aaK a a ∈=∈−=10，。

进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。

最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。

这就证明了Q ⊆K 。

证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。

A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。

高考数学高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点应用能力 学习能力 探索能力创造能力 能 力基本思想和方法 基本知识点 知识点的积累、掌握和运用P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．〖解〗（1）2OP ＝2OM ＋2MP －245cos ⋅⋅MP OM ＝2，⇒ OP ＝2；（2）如图建立直角坐标系y xo '，若点P 在xoy 中的坐标为P （x ，y ），在y xo '中的坐标为P （x '，y '），则x '＝x ＋y 22，y '＝y 22． 在坐标系y xo '中，圆的方程为2x '＋2y '＝1，故在斜坐标系xoy 中，圆的方程为2)22(y x +＋2)22(y ＝1，⇒ 2x ＋xy 2＋2y ＝1． 【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？〖分析〗（1）当b ＝n ＝1时，b ＝1，a ＝1，由c ≥b ，得c ＝1，2，┅．若c ＝1，得正三角形，若c ≥2，a ＋b ＝2，不能组成三角形，故b ＝n ＝1时，只有1个三角形；（2）当b ＝n ＝2时，a ＝2，c ＝2，3，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝2，三角形个数为1个，则1＋2＝3（个）； （3）当b ＝n ＝3时，a ＝3，c ＝3，4，5，三角形个数为3个，a ＝2，c ＝3，4，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝3，三角形个数为1个，则1＋2＋3＝6（个）； 〖解〗当b ＝n 时，三角形总数应有1＋2＋3＋┅＋n ＝2)1(+n n （个） 事实上，当b ＝n 时，a 由n 个值，即a ＝1，2，3，┅，n ；对于每一个a 值，若a ＝k （1≤k ≤n ），因为b ≤c ＜a ＋b ，即n ≤c ＜n ＋k ，所以c 的取值刚好有k 个，即c ＝n ，n ＋1，┅，n ＋k －1，故三角形总数为2)1(+n n （个）． 『说明』探求所满足的各种条件，求出在相应的条件下的结论时一种能力．【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．〖分析〗本题直接针对x 来证明本题是很困难的，故针对a 来考虑．〖证〗)(x f ＝)43(24--x x a ＋4x ＋3x －22x ＝)(a ϕ，它是a 的一次式．对（1），要证明对任意a ，有)(x f ＝0，即)(a ϕ＝0，只需证⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--0204323424x x x x x 有实数解，得x ＝－2； 对（2），只需⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--020*******x x x x x ，解得0x ＝2． 变形方程4x －22ax －x ＋2a －a ＝0有且仅有两个实根（可以是重根），求a 的取值范围． 〖解〗4x －22ax －x ＋2a －a ＝0 ⇒ 2a －a x )12(2+＋)(4x x -＝0，即)]1()][([22++---x x a x x a ＝0，当2x ＋x ＋1－a ＝0时，△＝1－)1(4a -＝4a －3，当a ≥43有两个实根，当a ＜43无实根； 当2x －x －a ＝0时，△＝1＋4a ，当a ≥－41有两个实根，当a ＜－41无实根． 故a 的取值范围为－41≤a ＜43．（探索条件） 『说明』要找到问题的解决方法，思维必须开阔、灵活，横的不行，试试竖的；平面上不行，空间中试试；正面思考不行，反面考虑试试．这种多角度、多层次的思维方式称之为“立体思维”．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．〖解〗（1）任取－1＜1x ＜2x ＜1，∴)(1x f －)(2x f ＝2111x x +－2221x x +＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--，∵－1＜1x ＜2x ＜1，∴1x －2x ＜0，∣21x x ∣＜1，1－21x x ＞0，得)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ，∴函数)(x f ＝21xx +在区间（－1，1）内是单调递增函数． （2）当x ≠0时，∣)(x f ∣＝21||x x +≤||2||x x ＝21． ∵)1(f ＝21，)1(-f ＝－21， ∴)1(f 为为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．〖解1〗设1a ，2a ，┅，n a 与1b ，2b ，┅，n b 都是正数，且21a ＋22a ＋┅＋2n a ＝1，21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1， 则11b a ，22b a ，┅，nn b a 中的最小数一定不大于1． 〖证2〗①设r r b a 为n 个分数中的最小数，则r r b a ≤kk b a （k ＝1，2，┅，n ）． ∵k b ≥0，∴k r r b b a ⋅≤k a ，⇒ 22)(k r r b b a ⋅≤2k a （k ＝1，2，┅，n ）， 于是)()(222212n r r b b b b a +⋅⋅⋅++≤21a ＋22a ＋┅＋2n a ，即rr b a ≤1． ②反证法．假设n 个分数中的最小数大于1，则全部分数均大于1． 即11b a ＞1，22b a ＞1，┅， nn b a ＞1，⇒ 1a ＞1b ，2a ＞2b ，┅，n a ＞n b ， 得21a ＞21b ，22a ＞22b ，┅，2n a ＞2n b ，∴21a ＋22a ＋┅＋2n a ＞21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1，与已知矛盾．故n 个分数中的最小数一定不大于1．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．〖证〗设等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }公比为q ．∵0＜1a ＜2a ，∴d ＝2a －1a ＞0，q ＝12b b ＝12a a ＞1． ∵1a ＋d ＝2a ＝2b ＝q a 1，∴d ＝)1(1-q a ．∵q ＞1，∴当n ＞2且n ∈N 时，2-n q ＋3-n q ＋┅＋q ＋1＞n －1，即111---q q n ＞n －1，1-n q －1＞)1)(1(--n q ， ⇒ n b ＝11-⋅n q a ＞)1)(1(1--n q a ＋1a ＝d n )1(-＋1a ＝n a ．∴当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim -∞→存在，求n n n a a 1lim -∞→． 〖解〗设n n n a a 1lim -∞→＝a ，则a ≥0，且)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a ＋1． 而n n a a 1-＋1＝n n n a a a +-1＝n n a a 1+，∴)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a 1， ⇒ a 1＝a ＋1，得a ＝215-．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ． 〖解〗（1）设公差为d （d ≠0），则⎩⎨⎧-=--=-dl n b d l m a )(1)(1 ⇒ 11--b a ＝l n l m --；设公比为q （q ≠1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--l n l m q b q a 11 ⇒ b a lg lg ＝l n l m --＝11--b a ， ∴1-b a ＝1-a b ．（2）若d ＝0，则1＝a ＝b ，且q ＝1，此时也满足1-b a＝1-a b ． 综上可得1-b a＝1-a b ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列． （1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝nx x n lg lg 11-． 〖解1〗设数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅的公差为d ，则d ＝2lg x －1lg x ＝3lg x －2lg x ＝┅＝1lg +n x －n x lg ＝┅ ＝12lg x x ＝23lg x x ＝┅＝nn x x 1lg +＝┅， ⇒12x x ＝23x x ＝┅＝nn x x 1+＝┅＝d 10． ⎩⎨⎧=-+==-+=md l x x l d m x x l m )1(lg lg )1(lg lg 11 ⇒ d l m )(-＝l －m ， ∵l ≠m ，∴d ＝－1，1x ＝110-+m l ． 得数列{n x }是以110-+m l 为首项，以d 10为公比的等比数列，m l S +＝1011])101(1[101--+-+m l m l ＝)110(91-+m l ． 〖证2〗∵数列{n x }是等比数列，且q ＞0，则2x ＝q x 1，2lg x ＝1lg x ＋q lg ，21lg lg 1x x ＝)lg (lg lg 111q x x +＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -，同理32lg lg 1x x ＝)lg 1lg 1(lg 132x x q -，n n x x lg lg 11-＝)lg 1lg 1(lg 11nn x x q --， ⇒ 原式＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -＋)lg 1lg 1(lg 132x x q -＋┅＋)lg 1lg 1(lg 11n n x x q -- ＝)lg 1lg 1(lg 11n x x q -＝n n x x q x x lg lg lg lg lg 11-＝nx x q x q n x lg lg lg lg lg )1(lg 111--+ ＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．〖解〗y ＝2)1(-x －22m ＋m ＝22y －22m ＋m ，得22y －y －22m ＋m ＝0， ⇒))(122(m y m y --+＝0，得y ＝221m -或y ＝m ． 当221m -≠m ，即m ≠41时，含有两个元素； 当221m -＝m ，即m ＝41时，含有1个元素． ∴集合M ∩N 中含有元素的个数是1或2．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．〖解〗设A 为{1，2，3，┅，n }的子集，且含有元素k （1≤k ≤n ），则对{1，2，3，┅，n }中不等于k 的每个元素i 均有i ∈A 或i ∉A 两种可能，故{1，2，3，┅，n }中含元素k 的子集有12-n 个，所以各个子集中元素之和的总和为)321(21n n +⋅⋅⋅+++-＝)1(22-⋅-n n n ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．〖解〗)1(-x x ≤)1(y y -⇒2)21(-x ＋2)21(-y ≤21． 圆周上的点到原点的最大距离为2，∴min k ＝2．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ． 〖解〗设y ＝|1|x -，则2y ＝∣1－x ∣． 当x ≥1时，设y ＝x k '与y ＝|1|x -＝1-x⇒2)(x k '＝x －1，△＝1－42)(k '＝0，得2)(k '＝41， ∵k ∈（0，21），∴有3个解． 【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．〖分析〗该方程的实根就是曲线y ＝22x a -（半径为a 的上半圆周）与曲线y ＝2－∣x ∣（固定的折线）交点的横坐标．〖解〗（1）当0＜a ＜1（2）当a ＝1时，有两个切点，故方程有2相异的实根；（3）当1＜a ＜2时，有44个相异的实根；（4）当a ＝2时，有3个交点，故方程有3个相异的实根；（5）当a ＞2时，无交点，故方程没有实根．『说明』用数形结合的方法，交点一目了然．高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45 放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下： 应用能力 学习能力探索能力 创造能力 能 力 基本思想和方法基本知识点 知识点的积累、掌握和运用过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim-∞→存在，求nn n a a 1lim -∞→．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列．（1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ．【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．。