一元一次方程-等式的基本性质(学生版)

小学五年级等式知识点归纳等式是数学中非常重要的概念，它在解决数学问题和方程等方面起着关键作用。

在小学五年级，学生开始接触和掌握一些基本的等式知识。

本文将逐步介绍五年级学生需要掌握的等式知识点。

一、等式的基本概念等式由等号“=”连接的两个数或算式组成。

等号左边和右边的数或算式是相等的。

例如：3 + 5 = 8，表示左边的算式结果等于右边的数8。

小学五年级学生需要理解并正确运用等式的基本概念。

二、等式的性质1.对称性：等式两边可以互换位置而不改变等式的成立。

例如：3 + 5 =8可以写成8 = 3 + 5，意义相同。

2.传递性：如果a = b，b = c，那么a = c。

这个性质可以帮助学生推导解题过程。

三、等式的运算法则1.加法法则：等式两边同时加上（或减去）相同的数，等式仍然成立。

例如：如果a = b，则a + c = b + c。

2.乘法法则：等式两边同时乘上（或除以）相同的数，等式仍然成立。

例如：如果a = b，则a × c = b × c。

四、解一元一次方程在小学五年级，学生开始学习解一元一次方程。

一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c表示已知的数，x表示未知数。

解方程意味着找到使方程成立的未知数x的值。

解一元一次方程的步骤如下：1.对方程进行变形，将未知数项移到一个边，常数项移到另一个边。

2.通过逆运算，消去未知数项前的系数，将方程化简为ax = b的形式。

3.通过除法，求出未知数x的值。

例如，解方程2x + 5 = 11的步骤如下：第一步，将未知数项2x移到等号右边，常数项5移到等号左边，得到2x = 11 - 5。

第二步，化简方程，得到2x = 6。

第三步，通过除法，求得x = 3。

五、应用等式解决问题等式在解决实际问题中起到重要的作用。

学生需要将等式的概念和运算法则应用到各种实际问题中。

例如，小明有一些苹果，他给了小红3个苹果后还剩下7个。

1、会解一元一次方程2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程3、合理规划等量关系，设未知数、列方程知识点说明：一、 等式的基本性质 1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.二、解一元一次方程的基本步骤1、去括号；2、移项；3、未知数系数化为1，即求解。

三、列方程解应用题（一）、列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．（二）、列方程解应用题的主要步骤是1、 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2、 设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其他量；3、 找到题目中的等量关系，建立方程；4、 运用加减法、乘除法的互逆关系解方程；5、通过求到的关键量求得题目答案．板块一、直接设未知数 【例 1】 长方形周长是64厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？例题精讲知识精讲教学目标列方程解应用题【巩固】(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到0.01，π 3.14)【例 2】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【例 3】(全国小学数学奥林匹克)某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．【巩固】有一个六位数1abcde乘以3后变成1abcde，求这个六位数．【巩固】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是．【例 4】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【巩固】已知三个连续奇数之和为75，求这三个数。

第三章 一元一次方程专题复习（学生版）一．知识网络结构二．知识要点剖析知识点一.等式与方程1．等式：表示_____关系的式子.等式的基本性质（方程的同解原理）：等式的性质1：等式两边加（或减）___一个数（或式子），结果仍_____。

即:若a=b ，则a ±c ＝b_____；(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个________的数，结果仍相等。

即:若a=b ，则ac=b___, cbc a （c_____0）其它性质：若a=b ，b=c,则a=c （传递性）．注意：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件． 2.方程：含有______的等式叫方程．方程的解:能使方程左右两边________的未知数的值.注意：等式、方程含有等号, 方程是含有未知数的等式； 代数式不含等号；不等式含不等号. 知识点二.一元一次方程（1）定义：只含有_____未知数，并且未知数的次数是_____（次），系数_________的整式方程．（2）一般形式：______________(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a ≠0). 注意：（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等. 知识点三.一元一次方程的解法思路：通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x ＝a 的形式。

解一元一次方程的一般步骤： 知识点四.列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题，②_______，③_________，④解方程，⑤检验，⑥________． 解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。

注意：(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x 的代数式表示。

一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。

如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。

注意：等式中一定含有等号。

2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。

找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。

可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。

①直接设未知数：题目求什么就设什么。

②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。

③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。

（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。

一元一次方程单元复习与巩固一、知识网络二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。

板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题一、等式的概念和性质1．等式的概念 用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则． 2．等式的类型（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=． （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x +=需要1x =才成立．（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x +=-． 注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号． 3．等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a mb m ±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠．注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．知识点睛中考要求一元一次方程的认识及解法（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=．②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=．二、方程的相关概念1．方程含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．2．方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．3．方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示．如：关于x、y的方程2-、ax by c-=中，a、2b c是已知数，x、y是未知数．4．方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．5．解方程求得方程的解的过程．注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．6．方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．三、一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．一元一次方程的形式标准形式：0a≠，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．ax b+=（其中0最简形式：方程ax b=（0a≠，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．（2）方程ax b=与方程(0)ax b a=≠是不同的，方程ax b=的解需要分类讨论完成．四、一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax b=的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a≠），得到方程的解bxa=．注意：不要把分子、分母搞颠倒．2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．一、等式的概念和性质【题01】判断题．（1）11123x y++是代数式．（2）12S ah=是等式．（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立．（4）若x y=，则44x m y m+-=+-．【题02】回答下列问题，并说明理由．（1）由2323a b+=-能不能得到a b=？（2）由56ab b=能不能得到56a=？（3）由7xy=能不能得到7yx =？（4）由0x=能不能得到11xx x+=？【题03】下列说法不正确的是（）例题精讲A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．【题04】下列结论中正确的是（ ）A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+．B ．如果2x =-，那么2x =-．C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =．D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+．【题05】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =． B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=．D ．若x ya a =，则ax ay =．【题06】根据等式的性质填空． （1）4a b =-，则a b =+； （2）359x -=，则39x =+；（3）683x y =+，则x =； （4）122x y =+，则x =．【题07】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的． （1）如果23x =+，那么x =； （2）如果6x y -=，那么6x =+；（3）如果324x y -=，那么2y -=-；（4）如果324x =，那么x =．二、方程的相关概念 【题08】下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a +；②28x y +=；③532-=；④1x y ->；⑤61x x --；⑥83x-=；⑦230y y +=；⑧2223a a -；⑨32a a <-．【题09】判断题． （1）所有的方程一定是等式． （ ） （2）所有的等式一定是方程． （ ） （3）241x x -+是方程． （ ） （4）51x -不是方程． （ ） （5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系． （ ） （6）55=是等式，也是方程． （ ） （7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程． （ ）【题10】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -= B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题11】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由． （1）373x x -=-+； （2）223y -=； （3）2351x x -+；（4）112--=-；（5）42x x -=-；（6）152x y-=．【题12】下列说法不正确的是（ ） A ．解方程指的是求方程解的过程． B ．解方程指的是方程变形的过程． C ．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程． D ．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程．【题13】检验括号里的数是不是方程的解：()3212y y -=（1y =，32y =）【题14】在1y =、2y =、3y =中，是方程104y y =-的解．【题15】解为2x =-的方程是（ ）三、一元一次方程的定义【题16】下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x=；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【题17】下列方程是一元一次方程的是（ ）A ．2237x x x +=+B ．3435322x x -+=+C ．22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=【题18】下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）A ．1xy =B ．225x+=C ．0x =D ．13ax +=E ．235x +=F ．2π 6.28R =【题19】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．【题20】已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件．【题21】已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值．【题22】方程23350m x --=是一元一次方程，求m 的值．【题23】若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k ．【题24】若22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求a ．【题25】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题26】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =．【题27】若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =．【题28】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m =．【题29】求关于x 的一元一次方程21(1)(1)80k k x k x --+--=的解．【题30】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ）A ．2140-B ．2140C ．5615-D ．5615【题31】已知4553a ax a -+=是关于x 的一元一次方程，求这个方程式的解．【题32】已知方程1(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a =；x =．【题33】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =．若关于x 的方程 2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =．四、一元一次方程的解法 1．基本类型的一元一次方程的解法 【题34】解方程：6(1)5(2)2(23)x x x ---=+【题35】解方程：3(3)52(25)x x -=--【题36】解方程：2(43)56(32)2(1)x x x --=--+【题37】解方程：135(3)3(2)36 524x x---=【题38】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题39】解方程：12225y yy-+ -=-【题40】解方程：12225y yy-+ -=-【题41】解方程：31 26 x xx+-=-【题42】解方程：253164x x---=【题43】解方程：122233x xx-+ -=-【题44】解方程：2321 64x x++=+【题45】解方程：2135 43x x+--=【题46】解方程：122233x xx-+ -=-【题47】解方程：21511 36x x+--=【题48】解方程：43232.548x x x+-=-＋【题49】解方程：122233x xx-+ -=-【题50】解方程：2352 246x x---=2．分式中含有小数的一元一次方程的解法【题51】方程0251x=．的解是x=．【题52】解方程：7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-去分母，得．根据等式的性质（）去括号，得．移项，得．根据等式的性质（）合并同类项，得．系数化为1，得．根据等式的性质（）【题53】解方程：1121321 32xx-+-=【题54】解方程：10.50.210.3 0.30.30.02x x x ---=【题55】解方程：0.10.020.10.13 0.0020.05x x-+-=【题56】解方程：0.10.40.2111.20.3x x-+-=【题57】解方程：2 1.21 0.70.3x x--=【题58】解方程：0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=【题59】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题60】解方程：0.130.4120 0.20.5x x+--=【题61】解方程：0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=【题62】解方程：421.7 30%50%x x-+-=【题63】解方程：1(4)335190.50.125x x x +++=+【题64】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx ++-=-【题65】解方程：0.10.90.210.030.7x x--=3．含有多层括号的一元一次方程的解法【题66】解方程：11133312242y ⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【题67】解方程：42132[()]3324x x x --=【题68】解方程：1112{[(4)6]8}19753x ++++=【题69】解方程：111[(1)6]20343x --+=【题70】解方程：11111[(1)]3261224x ------=-【题71】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【题72】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【题73】解方程：111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【题74】解方程：[]{}234(51)82071x ----=【题75】解方程：11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．一元一次方程的技巧解法【题76】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【题77】解方程：113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【题78】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题79】解方程：31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【题80】解方程：2009122320092010x x x+++=⨯⨯⨯【题81】解方程： (200312232002200320032004)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯【题82】解方程： (200613352003200520052007)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯【题83】解方程：20181614125357911x x x x x -----++++=【题84】解方程：2325118357911x x x x x -----++++=【题85】解方程：1111(1)(2)(3)(2009)20092342010y y y y ++++++++=【题86】解方程：20101309720092007x x x---++=【题87】解方程：3x a b x b c x c a c a b ------++=，（1110a b c++≠）【题88】解方程：4x a b c x b c d x a c d x a b d d a b c ------------+++=（11110a b c d+++≠）【题89】已知1abc =，求关于x 的方程2004111x x xa ab b bc c ca++=++++++的解．【题90】若1abc =，解关于x 的方程：2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++。

第1讲 等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 .知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110a b≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0<b ⇒1a <1b . ③a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m>0)． 3.不等式的基本性质【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B. a ＞b ＞0，则C. a ＜b ＜0，则D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4<b <2，所以-2<a -b <6.乙：因为2<b <3，所以13<1b <12， 又因为-6<a <8，所以-2<a b <4. 丙：因为2<a -b <4，所以-4<b -a <-2.又因为-2<a +b <2，所以0<a <3，-3<b <0，所以-3<a +b <3.考法01不等关系的表示：【典例1】a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b>0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a <b (a ，b ∈R )；一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b>0)． 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【典例3】1）已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定2）设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B3）若0a b >>， 0c d <<，则一定有（ ） A. a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. a b d c< 4）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．5）已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 222a b c >>B. a b c b >C. ac bc >D. ab ac >考法03不等式的性质的运用：【典例4】已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．考法04。