学而思培优之一元一次方程—解法大比拼含答案

一元一次方程-培优训练(含答案)11．方程2008261220082009x x x x ++++=⨯的解是x ＝_______．12．汽车A 从甲站出发开往乙站，同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站，途中A 与B 相遇后15分钟后再与C 相遇，已知A 、B 、C 的速度分别是每小时90km ，80km ，70km ，那么甲、乙两站的路程是_______km ．13．对于任意实数a 、b 、c 、d 制定了一种新运算a cb d ＝ad －bc ．则当23x - 45-＝25时，x ＝_______．三、解答题14．若关于x 的方程(m －1）x m＋4＝0是一元一次方程，求m 的值，并求出方程的解．15．若方程12111252xx x +--=-与方程62223a x a x x -+=-的解相同，求22a a a -的值．16．已知方程a－2x＝－4的解为x＝4，求式子a3－a2－a的值．17．解关于x的方程：2ax－3b＝4x＋9有无穷多个解，求(a＋b)2011的值．18．北京市2012年生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？19．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）．有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把力架？多少片刃片？20．某通信运营商的短信收费标准为：发送网内短信0.1元／条，发送网际短信0.15元／条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短信各多少条？21．有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．(1)此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？(2)若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤情况下提前了6分钟通过道口，维持秩序的时间是多少？22．在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到西安华山游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话：问题：(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．23．(1)在2011年6月的日历中(如图(1)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为x，则用含x的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_______．(2)现将连续自然数1到2011按图(2)中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数．①图中框出的这16个数的和是_______；②在图(2)中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2010，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．24．民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克（b>a）时，所交的费用为Q＝10b－200（单位：元）(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，用m表示Q．25．根据有关规定：企业单位职工，当年按如下办法缴纳养老保险费，如果个人月工资在当地职工去年人均月工资的60%到300%范围内，那么需按个人月工资7%缴纳；如果个人月工资超过当地职工去年人均月工资的300%，那么超过的部分不再缴纳；如果个人月工资低于当地职工去年人均月工资的60%，那么仍需按去年人均月工资的60%来计算缴纳．已知某市企业单位职工去年人均月工资为930元．序号姓名 10月份工资（元）缴纳养老保险（元①徐建3000②王磊500③李华56(1)该市企业单位职工，今年个人月缴纳的养老保险费最多为多少元？最少为多少元？(2)根据上表中的已知数据填空．26．某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价，某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．27．王先生看到银行公布的存款利率如下表所示：王先生要将一笔钱存入银行5年，他可以选择一次存5年，也可以分几次存够5年，每次都将所有本息一并存入．回答：(1)有多少种获息不同的存取方案？(2)在各种获息不同的存取方案中，哪一种方案获息最高？对此请你提出自己的建议和设想并说明理由．（注：①银行利率按单利计算，如100存入银行3年的利息是100×2.7%×3）＝8.1元；②为简化运算，本题不考虑利息税）参考答案1．D 2．A3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D9．3 10．43 11．x＝2009．12．68013．－3414．x＝2.15．4856416．44.17．－1.18．生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．19．这段时间内乙厂家销售了400把刀架，20000片刀片．20．小王该月发送网内短信70条，发送网际短信80条．21．(1)王老师应选择绕道而行去学校．(2)3分钟22．(1)小明他们共去了8个成人，4个学生；(2)购买团体票可节省14元钱23．(1)x－7，x，x＋7.(2)①352；②不能等于2010．等于2000是可能的，这时，方框中最小的数是113．最大的数是137. 24．(1)150（元）；(2)30(3)Q＝10m（元）．25．(1)最多为195.3元，最少为39.06元，(2)195.3元39.06元800元．26．50%27．(1)有6种．(2)一次性存入银行5年的方案获息最高．。

人教版七年级上册 解一元一次方程培优专题（含答案）一、单选题1．若关于x 的方程()2018201662018(1)k x x --=-+的解是整数，则整数k 的取值个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．关于x 的方程253x a +=的解及方程220x +=的解相同，则a 的值是（）. A ．1 B ．4 C ．-1 D ．-43．若3a 及96a -互为相反数，则a 的值为（ ） A ．32 B ．32- C ．3 D ．3-4．解方程时，去分母后得到的方程是（ ）A ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝1B ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝1C ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝6D ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝65．若代数式32x +及代数式510x -的值互为相反数，则x 的值为（）A.1B.0C.-1D.26．方程去分母后正确的结果是( )A. B.C. D.7．若方程：()2160x --=及的解互为相反数，则a 的值为（ ） A.-13 B.13 C.73 D.-18．规定，若，则x =（ ）A.0B.3C.1D.29．方程2y ﹣12＝12y ﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y ＝﹣53．这个常数应是( ) A.1 B.2C.3D.4 10．已知|m －2|＋(n －1)2＝0，则关于x 的方程2m ＋x ＝n 的解是( )A.x ＝－4B.x ＝－3C.x ＝－2D.x ＝－1 二、填空题11．代数式及代数式32x -的和为4，则x =_____．12．若1y =-是方程237y a -=的解，则关于x 的方程(31)42a x x a -=+-的解为_______________.13．()00ax b a -=≠,a 、b 互为相反数，则x 等于___________14．代数式31a -及2a 互为相反数，则a =___________15．请你写出一个一元一次方程_____,使它的解及一元一次方程3x x 1的解相同．(只需写出一个满足条件的方程即可)16．若代数式 4x 8- 及 3x 22+ 的值互为相反数，则x 的值是____.17．解一元一次方程时，“去分母”这一变形的依据是等式性质；去分母时，要在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项．（______）三、解答题18．m 为整数，关于x 的方程x=6-mx 的解为正整数，求m 的值19．已知y 1＝2x +8，y 2＝6﹣2x ．当x 取何值时，y 1比y 2小5？20．已知3x =是方程()131234m x x ⎡⎤-⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的解，求m 的值.21．已知3120x +=及方程|3|1x a +=-的解相同，求a 的值．22．列方程求解（1）m 为何值时，关于x 的一元一次方程4x ﹣2m=3x ﹣1的解是x=2x ﹣3m 的解的2倍．（2）已知|a ﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比12b ﹣a+m 多1，求m 的值．22．我们来定义一种运算: a b c d =ad-bc.例如2? 34? 5=2×5-3×4=-2;再如 21? 3x =3x-2.按照这种定义,当时,x 的值是多少?24．若24a =，2=b .a b的值；（1）求（2）若a+b＞0，①求a，b的值；②解关于x的方程.25．如果方程的解及关于x的方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求代数式a2＋a－1的值．参考答案1．D【解析】【分析】整理方程，得到mx=b的形式，根据k、x都是整数，确定k的个数．【详解】(k−2018)x−2016=6−2018(x+1)整理，得kx=4，由于x、k均为整数，所以当x=±1时，k=±4，当x=±2时，k=±2，当x=±4时，k=±1，所以k的取值共有6个.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的解，本题所给的方程较繁琐，能将方程整理为mx=b 是解题的关键，还需注意在最终判断k的个数时不能忽略负数.2．A【解析】【分析】利用一元一次方程的解法解出方程2x+2=0，根据同解方程的定义将解得的x的值代入13解答．【详解】解方程2x+2=0，得x=−1，由题意得，−2+5a=3，解得，a=1，故选A.【点睛】本题考查同解方程，解决本题的关键是理解方程解的定义，注意细心运算. 3．C【解析】【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】解：根据题意得：去分母得：2a+a-9=0，解得：a=3．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．4．C【解析】【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【详解】解：等式两边同时乘以6可得：3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程去分母的方法是两边都乘各分母的最小公倍数，一是不要漏乘不含分母的项，二是去掉分母后要把多项式的分子加括号.5．A【解析】【分析】根据互为相反数相加得零列式求解即可.【详解】由题意得x++51032x-=0，解之得x=1.故选A.【点睛】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，根据题意正确列出方程是解答本题的关键.6．B【解析】【分析】方程两边乘以8去分母得到结果，即可做出判断．【详解】方程去分母后正确的结果是2(2x−1)=8−(3−x)，故选B.【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则. 7．A【解析】试题解析：∵2（x-1）-6=0，∴x=4，∵，∴x=3a-3，∵原方程的解互为相反数，∴4+3a-3=0，解得，a=1.3故选A.8．C【解析】【分析】根据规定,可将转化为方程:()()2133x x ---=,解方程即可.【详解】因为,所以可得()()2133x x ---=,解得1x =,故选C.【点睛】本题主要考查新定义运算,解决本题的关键是要根据新定义规则列出方程.9．C【解析】【详解】设被阴影盖住的一个常数为k ，原方程整理得，k=-32y+12，把代入k=-32y+12，中得，k=-32×(53-)+12==3，故选C. 10．B【解析】∵|m﹣2|+（n﹣1）2=0，∴2010，，-=-=m n∴21，，==m n∴方程2m x n+=，解得3x+=可化为：41x=-.故选B.点睛：（1）一个代数式的绝对值、一个代数式的平方都是非负数；（2）若两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0.11．﹣1.【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】根据题意得：，去分母得：219612x x-+-=，移项合并得：44-=，x解得：1x=-，故答案为：﹣1.此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．x＝8 13【解析】【分析】先把y＝−1代入方程2y−3a＝7求出a的值，然后把a的值代入方程a（3x−1）＝4x＋a−2即可求解．【详解】解：∵y＝−1是方程2y−3a＝7的解，∴−2−3a＝7，∴a＝−3，把a＝−3代入方程a（3x−1）＝4x＋a−2得：−3（3x−1）＝4x−5，解得：x＝813，故答案为：x＝813．【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【解析】【分析】由于a≠0，可以把方程移项后两边同时除以a，而a、b互为相反数，由此即可得到方程的解．【详解】ax-b=0（a≠0），移项得：ax=b（a≠0），系数化1得：，∵a、b互为相反数，∴x=-1．故填-1.【点睛】本题考查解一元一次方程，相反数.能通过解方程的一般步骤将方程化为的形式，并根据相反数的定义，得出互为相反数的两个数（数不为0）的商为-1是解决此题的关键.14．1 5 .【解析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】根据题意得：3120a a-+=.移项、合并同类项得51a=，解得.故填1 5 .【点睛】本题考查相反数和解一元一次方程，能根据相反数的定义列出a的方程是解决此题的关键.15．答案不唯一,如2x=3等【解析】【分析】先解方程3x−x＝−1，求出方程的解，再根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程；它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）；根据题意，写一个符合条件的方程即可．【详解】x−x＝−1，方程3解得x=1.5，符合条件的方程有很多，如2x=3等．故答案是：答案不唯一,如2x=3等．【点睛】考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．注意方程的解是指能使方程成立的未知数的值．16．-2【解析】【分析】根据相反数的定义即可列出方程求出x的值．【详解】由题意可知：4x-8+3x+22=0，∴x=-2，故答案是：-2【点睛】考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法．17．正确【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤即可判断．【详解】解：去分母要在方程乘两边乘分母得最小公倍数，否则会加大计算量；根据等式的性质，不含分母的项也要乘此最小公倍数．故答案为：正确.【点睛】此题考查了解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一．18．0或1或2或5.【解析】【分析】方程整理后，根据解为正整数，求出m的值即可．【详解】解：方程整理得：（1＋m）x＝6，解得：x＝，由解为正整数，得到m＋1＝1或m＋1＝2或m＋1＝3或m＋1＝6，解得：m＝0或m＝1或m＝2或m＝5，故m的值为0或1或2或5.【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．19．当x取﹣74时，y1比y2小5．【解析】【分析】y2﹣y1=5即6-2x-（2x+8）=5，解出即可．【详解】解：根据题意得：y2﹣y1＝（6﹣2x）﹣（2x+8）＝5，解得：x＝﹣74，即当x=﹣74时，y1比y2小5．【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则. 20．.【解析】【分析】把x=3代入方程()131234m xx⎡⎤-⎛⎫++=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，解关于m的方程即可求出m的值.【详解】把x=3代入方程()131234m xx⎡⎤-⎛⎫++=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，得：，解得：.【点睛】本题考查一元一次方程的解.使一元一次方程两边等式恒成立的未知数的值叫做一元一次方程的解.21．1a=±【解析】【分析】求出第一个方程的解，把x 的值代入第一个方程，求出方程的解即可.【详解】解：解方程3120x +=得4x =-，把4x =-代入方程|3|1x a +=-，得33a =，所以1a =±．【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a 的方程．22．(1)-14;(2)0.【解析】试题分析：（1）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m 的值即可； （2）根据题意列出方程，利用非负数的性质求出a 及b 的值，代入计算即可求出m 的值．试题解析：解：（1）方程4x ﹣2m =3x ﹣1，解得：x =2m ﹣1．方程x =2x ﹣3m ，解得：x =3m ．由题意得：2m ﹣1=6m ，解得：m =﹣14； （2）由|a ﹣3|+（b +1）2=0，得到a =3，b =﹣1，代入方程21()122b a m b a m -+--+=，得： 51(3)122m m ----+=，整理得：， 去分母得：m ﹣5+1+6﹣2m =2解得：m =0．点睛：此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．x=-32.【解析】【详解】试题分析：认真阅读新定义的运算，然后直接代入运算格式，再解方程即可.试题解析：根据运算的规则 ,可化为2（2x -1）-2x=(x-1)-(-4)× 12, 化简可得-2x=3,即x=-32.24．（1）0或4或-4（2）①a=b=2②x=1【解析】试题分析：（1）根据乘方和绝对值求出a 、b 的值，然后代入求值即可；（2）根据前面求出的a 、b 的值，确定符合条件的a 、b ，然后代入求解方程即可.试题解析：因为：24a =，2b =所以a=±2，b ＝±2（1）当a=2，b=2时，a-b=0；当a=2，b=-2时，a-b=4；当a=-2，b=2时，a-b=-4；当a=-2，b=-2时，a-b=0故a-b 的值为0或±4.（2）①因为a+b ＞0，所以a=2，b=2，②把a=b=2代入方程.可得方程.解得x=125．x=10；a=-4；11.【解析】【分析】根据题意，可先求出方程的解，再将x 的值代入方程()431621x a x a -=-＋＋中，解出a 的值，代入代数式,求2a 1a -＋的值即可。

培优专题08 巧用一元一次方程选择方案◎类型一：购买方案决策1．（2022·四川·宜宾市叙州区育才中学校七年级期中）为了打造年级体育啦啦队，某年级准备投入一笔资金为啦啦队队员配置一些花球，经过多方比较，准备在甲、乙两个商家中选择一个．已知花球单价是市场统一标价为20元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见表）：甲商家乙商家购买数量x（个）享受折扣购买数量（个）享受折扣x≤50的部分9.5折y≤100的部分9折50＜x≤200的部分8.8折100＜y≤200的部分8.5折x＞200的部分8折y＞200的部分8折(1)如果需要购买100个花球，请问在哪个商家购买会更便宜？(2)经年级学生干部商议，最终决定选择在乙商家购买花球，并根据实际需要分两次共购买了350个花球，且第一次购买数量小于第二次，共花费6140元，请问两次分别购买了多少个花球？【答案】(1)在乙商家购买会更便宜；(2)第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两个商家的优惠条件，即可分别求出在两个商家购买所需费用，比较后可得出在乙商家购买会更便宜；（2）设第一次购买m 个花球，则第二次购买（350﹣m ）个花球，分0＜m ≤100，100＜m ≤150及150＜m ＜175三种情况考虑，根据两次购买共花费6140元，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出第一次购买花球的数量，再将其代入（350﹣m ）中即可求出第二次购买花球的数量．（1）解：在甲商家购买所需费用为20×0.95×50+20×0.88×（100﹣50）＝20×0.95×50+20×0.88×50＝950+880＝1830（元）；在乙商家购买所需费用为20×0.9×100＝1800（元）．∵1830＞1800，∴在乙商家购买会更便宜．（2）解：设第一次购买m 个花球，则第二次购买（350﹣m ）个花球．当0＜m ≤100时，20×0.9m +20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m ﹣200）＝6140，解得：m ＝120（不合题意，舍去）；当100＜m ≤150时，20×0.9×100+20×0.85（m ﹣100）+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m ﹣200）＝6140，解得：m ＝140，∴350﹣m ＝350﹣140＝210；当150＜m ＜175时，20×0.9×100+20×0.85（m ﹣100）+20×0.9×100+20×0.85（350﹣m ﹣100）＝6150≠6140，∴不存在该情况．答：第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本20元．为了促销，甲说：“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出100本，则超出的部分打八折”(1)设该书店准备订购x 本图书()100x >，请用含x 的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为______元，在乙供应商所需支付的钱数为______元；(2)在（1）的条件下，当购进多少本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多？(3)已知该书店第一次从乙供应商处购进了500本图书，书店以每本24元全部售出．该书店第二次从乙供应商购进的数量比第一次多20%，如果第二次购进的图书也能全部售出，则第二次购进图书每本售价应为多少元时，书店两批图书的总利润率为50%？【答案】(1)()1816400x x +；(2)当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．(3)第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【分析】（1）根据题意列式即可；（2）利用两个代数式的值相等，进行计算即可；（3）设第二次购进图书每本售价为y 元，根据题意列方程求解即可．（1）解：由题意得：甲：200.918x x ´´=；乙：()20100100200.816400x x ´+-´´=+，故答案为：()1816400x x +；．（2）解：由题意得：1816400x x =+，解得：200x =，答：当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．（3）解：设第二次购进图书每本售价为y 元，由题意得：()()()()(){}2450016500400500120%16500120%4001650040016500120%40050%y ´-´++´+-´´++éùëû=´++´´++´éùëû ，整理得：3600600100009200y +-=，解得：26y =．所以第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出代数式，再根据题意正确的列出方程是解题的关键．3．（2021·河北·景县北留智镇中学七年级阶段练习）某校计划购买20个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A 、B 两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元，A 超市的优惠措施为每买一个书柜赠送一个书架，B 超市的优惠措施为所有商品八折出售．设该校购买x （x ＞20）个书架．(1)若该校到同一家超市选购所有书柜和书架，则到A 超市和B 超市需分别准备多少元货款（用含x 的式子表示）？(2)若规定只能到其中一家超市购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样？(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少需要准备多少元货款？班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析(2)一班的人数为45人，详见解析【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程：()´=´-，解200.8200.95a a方程即可．（1）解：由题意可知，方案1费用为：200.848768=´´（元），方案2费用为：()´´-（元），=200.9485774综上所述，方案1比较省钱；（2）设一班的人数为a人，由题意列方程为：()´=´-，a a200.8200.95解得：a=45，答：一班的人数为45人．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．◎类型二：上网计费方案决策5．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：月使用费主叫限定时间（分钟）主叫超时费（元／分钟）被叫方式一651600.20免费方式二1003800.25免费（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．【答案】(1)73，100，420t=或560分钟(2)存在，335(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为x分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①160t<…；t…；②160380③380t>；（3）根据（2）所求即可得出结论．（1）解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：650.20(200160)73+´-=（元)，设按方式二计费需100元，设主叫通话时间为x分钟，根据题意得x+-=，1000.25(380)110解得420x=．答：主叫通话时间为420分钟．故答案为73，100；420；（2）解：①当160t…时，不存在；②当160380t<…时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，+´-=，t650.20(160)100解得335t=，符合题意；③当380t>时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，+´-=+-，t t650.20(160)1000.25(380)解得560t=，故存在某主叫通话时间335t=或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）解：结合（2）知，当通话时间335t=或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；当每月通话时间少于335分钟时，650.20(160)100+´-<，故选择方式一省钱；t当每月通话时间大于560分钟时，650.20(160)1000.25(380)+´-<+-，故选择方式一省t t钱；当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时，650.20(160)1000.25(380)+´->+-故选t t择方式二省钱．综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．（2019·广西·南宁市三美学校七年级阶段练习）某市上网有两种收费方案，用户可任选其一，A为计时制0.8元/时；B为包月制60元/月，此外每种上网方式都附加通讯费0.2元/时．(1)某用户每月上网50小时，选哪种方式比较合适？(2)某用户每月有100元钱用于上网，选哪种方式比较合算？(3)当每月上网多少小时时，A、B两种方案上网费用一样多？【答案】(1)每月上网50小时，选A方案合算．(2)每月100元上网B方案比较合算．(3)每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【分析】（1）根据题意计算即可得结论；（2）根据题意列方程求得结果进行比较即可得结论；（3）根据题意列方程即可求得结论．(1)A方案收费：50×（0.8+0.2）=50，B方案收费：60+50×0.2=70．答：每月上网50小时，选A方案合算．(2)设每月100元上网x小时．根据题意，得A方案上网：0.8x+0.2x=100，解得x=100B方案上网：60+0.2x=100，解得x=200答：每月100元上网B方案比较合算．(3)设每月上网x小时，A、B两种方案上网费用一样多．根据题意，得0.8x+0.2x=60+0.2x解得x=75．答：每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决方案类问题应用题的关键是根据题意分别列出算式或方程．7．（2021·云南大理·七年级期末）某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：方式A：月租费：40元，上网费：1元/小时；方式B：上网费：3元/小时；设某用户每月上网时间为x小时（1）用含x的式子分别写出两种收费方式下，该用户应付的上网费用；方式A应付费用为：方式B应付费用为：（2）若该用户计划1个月上网50小时，应选用哪种上网方式比较划算？（3）该用户每月上网多少小时的时候，两种上网方式的费用相等？【答案】（1）(40+x)；3x；（2）方式A；（3）20小时【分析】（1）根据两种方式的费用标准分别列出代数式；（2）当x=50时，分别计算两种方式的费用，然后进行比较，从而求解；（3）根据两种费用相等，列方程求解．【详解】解：（1）方式A应付费用为：(40+x)元方式B应付费用为：3x元故答案为：(40+x)；3x；（2）当x=50时，方式A应付费用：40+50=90（元）方式B应付费用：3×50=150（元）∵90＜150∴当上网50小时时，选择方式A比较划算（4）根据题意403x x+=，解得：20x=答：当上网时间是20小时的时候，两种上网方式的费用相等【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意正确列代数式及方程求解是解题关键．8．（2021·湖南长沙·七年级期末）下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．（月费固定收，主叫不超时，流量不超量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月费（元）主叫（分钟）流量（G B）接听超时（元/分钟）超流量（元/G B）方式一4920050免费0.203方式二6925060免费0.152（1）若某月小玲主叫通话时间为220分钟，上网流量为80 G B ，则她按方式一计费需_______元，按方式二计费需_______元；若她按方式二计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________G B ．（2）若上网流量为54 G B ，是否存在某主叫通话时间t （分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）143，109，90；（2）存在，t ＝240【分析】（1）分别按照方式一与方式二的方案进行计算，求解流量时，要注意先减去月费再用剩余的费用除以超流量的单价，最后要加上套餐内包含的流量；（2）分别在0≤t ＜200，200≤t ≤250，t ＞250中进行讨论求解即可．【详解】（1）方式一：49+(220-200)×0.2+(80-50)×3=143元，方式二：69+(80-60)×2=109元，使用流量：(129-69)÷2+60=90GB ，故答案为：143；109；90．（2）当0≤t ＜200时，49＋3(54﹣50)＝61≠69，∴此时不存在这样的t ；当200≤t ≤250时，49＋0.2(t ﹣200)＋3(54﹣50)＝69，解得t ＝240；当t ＞250时，49＋0.2(t ﹣200)＋3(54﹣50)＝69＋0.15(t ﹣250)，解得t ＝210（舍）．故若上网流量为54GB ，当主叫通话时间为240分钟时，两种方式的计费相同．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准数量关系正确进行计算和列方程是解题的关键．◎类型三：收费方案决策9．（2022·四川·成都七中七年级期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元/张，设学生人数是x ，甲旅行社收费为1y ，乙旅行社收费为2y ．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．(2)学生们通过计算发现，选择两家旅行社的费用一样多，则共有多少人参加旅游？【答案】(1)11200600y x =+，2720720y x =+(2)5【分析】（1）根据收费总额=学生人数´单价+校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；（2）令12y y =，求得4x =，然后求出总人数即可．（1）解：学生人数是x ，由题意可知，11200600y x =+，21200(1)0.6720720y x x =+´=+；（2）解：∵两家旅行社的费用一样多，∴12y y =，∴1200600720720x x +=+4x \=，\总人数为5，答：共有5人参加旅游．【点睛】本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程是关键．10．（2022·山西阳泉·七年级期末）“春节”期间，小明一家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天开始租用新能源汽车自驾出游，经了解，甲、乙两公司的收费标准如下：甲公司：一次性收取固定租金80元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；乙公司：无固定租金，直接以租车时间收费，每小时的租费是30元．(1)若租车时间为x 小时，则租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为元(结果用含x 的代数式表示)；(2)当租车时间为11小时时，选择哪一家公司比较合算？(3)当租车多少时间时，两家公司收费相同？联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，A 旅行社给的优惠条件是教师全额付款，学生按七折付款，B 旅行社给的优惠条件是全体师生按八折付款．(1)若两家旅行社的标价都是每人a （0a >）元，学生有x 人，请用含a ，x 的代数式分别表示选择A ，B 家旅行社时他们的旅游费用；(2)学生有多少人时，两家旅行社的收费相同？(3)现有学生20人，那么他们选择哪家旅行社旅游费用少？【答案】(1)A 旅行社：50.7a ax +，B 旅行社：0.8(5)x a +(2)10人(3)A 旅行社【分析】（1）根据学生人数和票价直接写出关系式即可；（2）根据收费相同，列出方程，解方程即可；（3）算出A 、B 两个旅行社需要的费用进行对比即可．(1)解：A 旅行社：50.7a ax +，B 旅行社：()0.85x a +；(2)根据题意得：()50.70.85a ax x a +=+，解得：10x =，答：学生10人时，两家旅行社的收费相同；(3)当学生有20人时，A 旅行社的费用为：50.750.72019a ax a a a +=+´=，B 旅行社的费用为：()0.852020a a ´+=，∵0a >，∴2019a a >，∴选择A 旅行社的费用少．【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，方案选择问题，正确列出代数式，得到方程是解题的关键．12．（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）用A 4纸在某誊（teng ）印社复印文件，复印文件不超过20页时，每页收费0.15元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.1元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.12元．(1)根据题意，填写下表： 复印页数（页）1030……誊印社收费（元） 1.5……图书馆收费（元）……(2)复印张数为多少时，两处的收费相同?(3)某同学先后两次分别在誊印社、图书馆复印文件共花费12元（两处均有消费），该同学复印文件的最少页数可能为___________（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)50(3)95【分析】（1）根据两种复印方式的收费标准填表即可；（2）设复印x 张时，两处收费相同，根据题意列出方程求解即可；（3）使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，则复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，由此求解即可．解：设复印x张时，两处收费相同，由题意得：()x x´+-=，200.150.1200.12解得50x=，答：复印张数为50张时，两处的收费相同；(3)解：∵要使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，∴复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，∴在图书馆复印的花费=12-20×0.15=9元，∴在图书馆复印的页数=9÷0.12=75张，∴最少复印20+75=95页．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．◎类型四：运输方式方案决策13．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）库尔勒某乡A、B两村盛产香梨，A村有香梨20吨，B村有香梨30吨，现将这些香梨运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存24吨，D仓库可储存26吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C、D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨．费用C DA40元/吨45元/吨B25元/吨32元/吨(1)从A村运往D仓库的香梨为 吨；从B村运往D仓库的香梨为 吨．(用含x的代数式表示)(2)A村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？B村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？请分别用含x的代数式表示．(3)请问怎样调运，才能使两村的运费之和为1716元？请求出x的值．【答案】(1)（20﹣x），（6+x）(2)A村：﹣5x+900；B村：7x+792(3)12【分析】（1）由题意可直接求解；（2）由运费＝单价×吨数，可求解；（3）由两村的运费之和为1716元，列出方程可求解．(1)解：∵从A村运往C仓库的香梨为x吨，∴从A村运往D仓库的香梨为（20﹣x）吨，从B村运往D仓库的香梨＝26﹣（20﹣x）＝（6+x）吨，故答案为：（20﹣x），（6+x）；(2)解：由题意得：A村：40x+45（20﹣x）＝（﹣5x+900）元，B村：25（24﹣x）+32（6+x）＝（7x+792）元；(3)由题意得，﹣5x+900+7x+792＝1716，解得x＝12，答：x的值为12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键．14．（2022·江苏无锡·七年级期末）甲，乙两个仓库向A，B两地运送水泥，已知甲库可调出100t水泥，乙库可调出80t水泥，A地需70t水泥，B地需110t水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表：（表中运费栏“元/（t•km）”表示每t水泥运送1km所需人民币）路程（km）运费（元/t•km）运量（t）甲库乙库甲库乙库甲库乙库A15201212xB2025810设甲库运往A地水泥为x t，请填写好表．(1)设甲库运往A地水泥为x t，请填写好表．(2)根据这张表，甲库运往A地的总费用是 ，乙库运往B地的总费用是 ，所以全部费用是 ．(3)若所拨全部费用是35600元，写出一种可行的运输方案．乙库运往B地的总费用是25×10×（10+x）=250x+2500，所以全部费用是15×12x+20×8×（100-x）+20×12×（70-x）+25×10×（10+x）=180x+16000-160x+16800-240x+2500+250x=30x+35300．故答案为：180x，(250x+2500)，(30x+35300)；(3)根据题意得：30x+35300=35600，解得x=10．100-x=90，70-x=60，10+x=20，故甲向A 地运10吨，向B 地运90吨，乙向A 地运60吨，向B 地运20吨时，总运费为35600元．【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的实际应用问题．解题的关键是理解题意，读懂表格求解．15．（2022·重庆涪陵·七年级期末）榨菜鲜嫩香脆、鲜香可口，是经独特的加工工艺制成的风味产品．A ，B 两地分别有榨菜50吨和40吨，需要全部运送到C ，D 两地去销售，其中C 地需要榨菜30吨，D 地需要榨菜60吨；已知从A ，B 两地到C ，D 两地的运价如下表：到C 地到D 地A 地每吨20元每吨16元B 地每吨15元每吨10元请选择相关数据解决下列问题：(1)若从A 地需要运到C 地的榨菜为10吨，则从A 地需运到D 地的榨菜为_______吨，从A 地需运到D 地这部分榨菜的运输费为_______元；(2)设从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，若从B 地需运到D 地的这部分榨菜的运输费为300元，求x 的值．【答案】(1)40，640(2)x 的值是20【分析】（1）因为从A 地运到C 地的榨菜是10吨，剩下的都运往D 地，所以运往D 地的是50-10=40吨．运输费用＝吨数×每吨的运费；（2）从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，所以运往D 地的是(50-x )吨，则从B 地需运到D 地的这部分榨菜为[40-(50-x )]吨，根据运输费用＝吨数×每吨的运费列方程求解即可.(1)解：∵从A 地运到C 地的榨菜是10吨，剩下的都运往D 地，所以运往D 地的是50-10=40吨，运输费用＝40×16=640（元）；故答案为：40，640；(2)解：设从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，由题意，得：()403010300x éù--´=ëû，解得：20x =，答：x的值是20.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解答此题的关键．16．（2022·河北·巨鹿县实验中学七年级阶段练习）现甲、乙两地分别需要蔬菜120吨和180吨，已知丙地、丁地分别有蔬菜160吨和140吨，现要把这些蔬菜全部运往甲、乙两地．若丙地每吨蔬菜运到甲地的费用为30元，运往乙地的费用为35元；丁地每吨蔬菜运到甲地的费用为20元，运往乙地的费用为28元，设丙地运往甲地的蔬菜为x吨．（1）请根据题意将下表补充完整：目的地甲乙出发地丙x______丁____________（2）用含x的式子表示总运输费．（3）总运输费能是9010元吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．（2）总运输费为：30x+35（160﹣x）+20（120﹣x）+28（x+20），化简得，3x+8560；（3）根据总运输费是9010元，列方程得，3x+8560=9010，解得，x=150，∵甲地需要蔬菜120吨，小于150吨，总运输费不能是9010元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中数量关系，列出代数式和方程．。

一元一次方程的解法及练习（含答案）【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【知识梳理】技巧小结：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．技巧小结：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，bxa=；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．【活学活用】类型一、解较简单的一元一次方程例1．（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）【答案与解析】解：方程去括号得：5x=3x﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解bxa =．举一反三：【变式】下列方程变形正确的是( )． A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3 B．由x+3＝2-4x，得5x＝5C．由2332x-=，得x＝-1D．由3＝x-2，得-x＝-2-3【答案】D类型二、去括号解一元一次方程例2．解方程：()()1221107x x+=+()()()232123x x-+=-【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+ 移项合并得：65x -= 解得：56x =-（2）去括号得：32226x x --=- 移项合并得：47x -=-解得：74x =【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．举一反三：【变式】解方程： 5(x-5)+2x ＝-4．【答案】解： 去括号得：5x-25+2x ＝-4． 移项合并得： 7x ＝21．解得： x ＝3．类型三、解含分母的一元一次方程例3．（2016春•新乡期末）解方程﹣2=．【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x 系数化为1的步骤，即可求出解．【答案与解析】解：去分母得：2（2x ﹣1）﹣12=3（3x+2）， 去括号得：4x ﹣2﹣12=9x+6， 移项合并得：5x=﹣20， 解得：x=﹣4．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】（2015•岳池县模拟）解方程：x+=﹣．【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，移项合并得：﹣9x=﹣14，解得：x=．类型四、解较复杂的一元一次方程例4．解方程：0.170.21 0.70.03x x--=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】原方程可以化成：1017201 73x x--=．去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．系数化成1，得：1417x=．【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．例5. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122()22233x x x-+=-再去中括号得：1112224433x x x-+=-移项，合并得：5111212x-=-系数化为1，得：115x=解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243x x x-+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得115 x=【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．举一反三：【变式】32[(1)2]2 234xx---=【答案】解：去中括号得：3(1)22 42xx--⨯-=去小括号，移项合并得：364x-=，解得x＝-8类型五、解含绝对值的方程例6．解方程|x|-2＝0【答案与解析】解：原方程可化为：2x=当x≥0时，得x=2，当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．所以原方程的解是x＝2或x＝-2．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b=的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解．【巩固练习】一、选择题1．方程|2x ﹣1|=2的解是（ ）A. x=B. x=﹣C. x=或x=﹣D. x=﹣2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )． A ．方程2x+6＝-3变形为2x ＝-3+6 B ．方程2x-6＝-3变形为2x ＝-3+6 C ．方程3x ＝4-x 变形为3x+x ＝4 D ．方程4-x ＝3x 变形为x+3x ＝43. 方程1143x =的解是 （ ）． A ．12x = B ．112x = C ．43x = D ．34x =4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是( )．A ．4x-1-x-3＝1B ．4x-1-x+3＝1C ．4x-2-x-3＝1D ．4x-2-x+3＝1 5．方程1302x --=可变形为( )． A ．3-x-1＝0 B ．6-x-1＝0 C ．6-x+1＝0 D ．6-x+1＝2 6．3x-12的值与13-互为倒数，则x 的值为( )． A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 7．（2016•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）A ．2x ﹣1+6x=3（3x+1）B ．2（x ﹣1）+6x=3（3x+1）C ．2（x ﹣1）+x=3（3x+1）D ．（x ﹣1）+x=3（x+1）8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）． A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏二、填空题9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x ＝-2-3，这种变形叫________． (2)方程-3x ＝5，利用________，把方程两边都_______，把x 的系数化为1，得x ＝________．10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x ＝-1，k 的值是_______． 11．如果|a+3|=1，那么a= ． 12．（2016春•南江县校级月考）在解方程﹣=2时，去分母得 ．13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a-b ．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．14．一列长为150m 的火车，以15m/s 的速度通过600m 的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ．三、解答题15．解下列方程：(1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)； (2)12323x xx---=-；(3)0.10.213 0.020.5x x-+-=．16.（2015春•宜阳县期中）当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+）的解相同？17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为31155x x++•=-，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是14，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．【参考答案】一、选择题1.【答案】C.【解析】由题意，2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=，或x=﹣2. 【答案】A【解析】A中移项未改变符号．3. 【答案】C【解析】系数化为1，两边同乘以4即可．4. 【答案】D【解析】A中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C 中，去掉第2个括号时，-3没变号． 5．【答案】C【解析】A 中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B 中，去分母时-1没变号；D 中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2． 6．【答案】A 【解析】-3x-12与13-互为倒数，所以3x-12＝-3，x ＝3． 7. 【答案】B【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x ﹣1）+6x=3（3x+1），故选B ． 8. 【答案】B【解析】设有x 盏，则有(1)x -个灯距，由题意可得：36(1061)70(1)x -=-，解得：55x =．二、填空题9．【答案】(1)等式性质1，移项； (2)等式性质2，除以-3，53-10．【答案】k ＝-6【解析】将1x =-代入得：2152k -++=--，解得：6k =-． 11.【答案】﹣2或﹣4．【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4． 12．【答案】3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．【解析】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．故答案为：3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．13．【答案】x ＝3【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x ＝3． 14．【答案】50 【解析】6001505015+=(秒) ．三、解答题 15．【解析】解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x 8x-15x+3x ＝6+4+6 -4x ＝16x ＝-4 (2)12323x x x ---=- 6x-3(1-x)＝18-2(x-2)11x ＝25 2511x =(3)原方程可化为：10201010325x x -+-=，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x ＝15，系数化为1，得x ＝5． 16.【解析】解2（2x ﹣3）=1﹣2x ，得 x=，把x=代入8﹣k=2（x+），得 8﹣k=2（+）， 解得k=4，当k=4时，关于x 的方程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同． 17．【解析】解：将14x =代入，得： 113144155⨯++•=-． 解得：3•=．所以被污染的数字为3．。

第六讲一元一次方程—解法大比拼等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。

等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。

等式的类型：恒等式的类型：恒等 式 条件等式条件等式 矛盾等式矛盾等式等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。

，所得结果仍是等式。

若a b =，则a c b c ±=±。

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式。

，结果仍是等式。

若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ¹，则a bc c=。

方程：含有未知数的等式。

方程：含有未知数的等式。

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

解方程：求方程的解的过程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次的整式方程叫做一元一次方程。

方程。

一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ¹，a ，b 为已知数）为已知数） 一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ¹，a ，b 是已知数）是已知数）注意：⑴判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证。

如方程 22216x x x ++=-是一元一次方程。

是一元一次方程。

⑵对于方程ax b =的解要分类讨论：的解要分类讨论：①当0a ¹时，方程的解是bx a=；②当0a =且0b =时，方程的解是任意数；时，方程的解是任意数；③当0a =且0b ¹时，方程无解。

时，方程无解。

一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑴去分母； ⑵去括号；⑵去括号； ⑶移项；⑶移项；⑷合并同类项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1。

易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。

解一元一次方程及答案一元一次方程是代数学中基础的内容之一，通过解一元一次方程可以找到方程的解。

在数学学习中，学生经常需要应用一元一次方程来解决实际问题。

下面将介绍一元一次方程的基本概念、解法和一些实际问题的解答。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的代数方程，其中a与b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程即是要找到满足方程的x的值。

二、解一元一次方程的步骤解一元一次方程的基本步骤如下：1.将方程化为标准形式ax+b=0。

2.移项，将未知数的系数系数移到方程等号的另一侧。

3.化简方程，将常数项合并在一起。

4.求解未知数x。

下面通过一个具体的例子进行说明：假设要解方程2x−5=1：第一步，将方程化为标准形式：2x−5=1；第二步，移项得到：2x=1+5，即2x=6；第三步，化简方程：x=6/2，因此x=3。

三、实例分析例1：小明和小华的年龄之和是30岁，小华比小明大6岁。

求小明和小华各自的年龄。

设小明的年龄为x，小华的年龄为x+6。

根据题意，得到方程：x+(x+6)=30化简得到：2x+6=30移项可得：2x=24解得：x=12因此，小明的年龄为 12 岁，小华的年龄为 18 岁。

例2：某商品原价是120元，现在打八折出售，打折后的价格是多少？设打折后的价格为x，根据题意，得到方程：$$ 0.8 \\times 120 = x $$化简得到：x=96因此，打折后的价格是 96 元。

四、总结通过以上介绍，我们了解了一元一次方程的定义、解法以及实际问题的解答方法。

解一元一次方程是数学学习的基础，通过练习可以提高解题能力。

希望本文能帮助读者更好地掌握一元一次方程的知识。

可编辑修改精选全文完整版一元一次方程应用培优一一、打折销售1. 某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．2．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（）．A．25% B．40% C．50% D．13．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）．A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．赢利3元 D．不赢不亏4. 白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，•把每件的销售价降低x%出售，•但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（）．A．1 B．1.8 C．2 D．105．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．6. 商店里有种皮衣，每件售价600元可获利20%，现在客户以2800元总价购买了若干件皮衣，而商家仍有12%的利润，问客户买了几件皮衣？二、行程问题1．甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米． (1)当两人同时同地背向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇； (2)两人同时同地同向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇．2. 甲、乙两站相距240千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行150千米。

（1）慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行。

快车开出小时后两车相遇。

（2）两车同时开出，相背而行小时后两车相距600千米。

（3）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，小时后快车追上慢车。

（4）两车同时开出，相向而行，小时后两车相距120千米。

3.一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以32米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为16米/分。

第二节 一元一次方程的解法1．一元一次方程的基本解法去分母、去括号、移项、合并同类项、x 项系数化为1．注：①去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘；②去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘；③移项的时候要变号；④方程的解的形式要写成x 在等号左边的形式． 2．解一元一次方程的技巧小数化为整数、整体思想、裂项、凑项． 3．含绝对值的一元方程运用分类讨论法去绝对值，转化成一元一次方程后，再求解． 4．求含参方程的解的情况对原方程整理后，可化为ax =b （a 和b 为参数，x 为未知数）的形式．求此类方程的解时需要对a 和b 的取值分类讨论． 5．同解方程两个方程的解相同的方程． 6．整数解方程解为整数的方程．1．解一元一次方程的技巧(1)整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体；(2)小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算；(3)若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解． 2．求含参方程的解的情况(1)先把方程整理成b ax =的形式； (2)分类讨论：①当0=/a 时，,abx =原方程有唯一解；②当0=a 且0=b 时．原方程有无数解： ③当a 0=且，0=/b 原方程无解． 3．同解方程问题(1)普通方程和含参方程的解相同：①解出普通方程的解；②将普通方程的解代入含参方程中； ③求出参数值；(2)两个含参方程的解相同：①将其中一个方程的解用参数表示出来；②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数； ③求出参数值． 4．方程的 整数解问题①将方程整理成b ax =的形式； ②解方程，得⋅=ab x ③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法．例1．解方程：⋅-=--05.035.22.04x x检测1．（四川雁江区期末）解方程：.2.15.023.01=+--x x 例2．解方程：.2016201720161262=⨯++++xx x x ΛΛ检测2．解方程：⋅=⨯++⨯+⨯+⨯2019120192017755331x x x x ΛΛ 例3．（广东普宁市期末）阅读下列解方程的过程，并完成(1)(2)小题的解答．解方程：.2|1|=-x解：当,01<-x 即1<x 时，原方程可化为：,2)1(=--x 解得,1-=x当≥-1x ,0即1≥x 时，原方程可化为：,21=-x 解得,3=x 综上所述，方程2|1|=-x 的解为1-=x 或.3=x (1)解方程：;8|32|=+x (2)解方程：.1|1||32|=--+x x检测3．解方程：.1|21|=--x x例4．(1)已知关于x 的方程)2(2)1(2--=-+m m x 的解比方程1)1(41)1(5+-=-+x x 的解大2，求m 的值；(2)已知方程1324+=+x m x 和方程1623+=+x m x 的解相同． ①求m 的值； ②求20202019)572()2(-⋅+m m 的值．检测4．（湖北黄冈期末）如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．例5．已知关于x 的方程b x ax -=+56有无数个解，试求b a +2的值．检测5．讨论关于x 的方程b x x a +-=-12的解的情况，其中a ，b 为已知数．例6．已知关于x 的方程),2(2)1(--=+x k x k 求当k 是取什么整数值时，方程的解是整数．检测6．（北京海淀区期末）已知关于x 的方程x kx -=7有正整数解，则整数k 的值为 例7．我们规定，若关于x 的一元一次方程b ax =的解为a b -则称该方程为定解方程，例如：293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程．请根据上边规定解下列问题： (1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程，则=m(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程，它的解为a ，则=a (3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2是定解方程，求代数式]2)[(21])[(3)24(222n m mn m m mn m ++-++++-的值，检测7．（福建永春县期末）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号},max{b a 表示a ，b 中的较大值，如：,4}4,2max{=按照这个规定解决下列问题： =--}2,3max{)1((2)方程23},max{+=-x x x 的解为第二节 一元一次方程的解法（建议用时 35分钟）实战演练1．(1)（湖南株洲中考）在解方程21331+=+-x x x 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) )13(3612.+=+-x x x A )13(36)1(2.+=+-x x x B )13(3)1(2.C +=+-x x x )1(3)1.(+=+-x x x D(2)（四川富顺县模拟）下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由312=-x 得132-=xB ．由2.11.01314++=+x x 得12110314++=+x x C ．由7675=-x 得7675-=xD.由123=-xx 得632=-x x2．已知,1=/a 则关于x 的方程a x a -=-1)1(的解是( )0.=x A 1.=x B 1.-=x C D ．无解3．（山东滕州市期末）规定一种计算法则为,c b d a db ca ⨯-⨯=如--⨯=-)2(12201,202-=⨯依此法则计算2423-=-x 中的x 值为4．a ．b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则关于x 的方程02)1(3)(2=--++x x cd x b a 的解为=x 5．马小哈在解一元一次方程923)x (+=-•x 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x 前的系数看不清了，他便问邻桌，邻桌不愿意告诉他，并用手遮住解题过程，但邻桌的最后一步“所以，原方程的解为x=-2”（邻桌的答案是正确的）露在手外被马小哈看到了，马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的系数是6．已知关于x 的方程439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的整数k 有 个 7．（四川岳池县期末）解方程：.14126110312-+=+--x x x 8．解方程：.02}2]2)231(31[31{31=----x9．解方程：⋅+=-++03.002.001.0355.09.05.0xx x10．已知方程,21)20191(541=-+x 求代数式)20191(203-+x 的值．11．（江苏东台市期末）我们定义一种新运算：ab b a b a +-=2*（等号右边为通常意义的运算）：(1)计算：)3(*2-的值；(2)解方程：.*21*3x x =12．解方程：.2020202032132121=+++++++++++ΛΛx x x x 13．（山东牡丹区期末）阅读下面的解题过程：解方程：.2|3|=+x解：当03≥+x 时，原方程可化成为,23=+x 解得,1-=x 经检验1-=x 是方程的解；当,03<+x 原方程可化为，,2)3(=+-x 解得,5-=x 经检验5-=x 是方程的解．所以原方程的解是.5,1-=-=x x 解答下面的两个问题： (1)解方程：;04|23|=--x(2)探究：当a 为何值时，方程,|2|a x =-①无解；②只有一个解；③有两个解．14．当m 为何值时，关于x 的方程524+=-x m x 的解比1)2(3)(2--=-x m x 的解小2． 15．（湖南祁阳县期末）方程0)1(32=+-x 的解与关于x 的方程x k xk 2232=--+的解互为倒数，求k 的值． 16．已知：关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，求a ，b 的值 17.解方程：.121115236362-=---xx x拓展创新18．若a ，b ，c 是正数，解方程：.3=--+--+--bac x a c b x c b a x 拓展1．若a ，b ，c 是正数，解方程：⋅++=-+-+-)111(222Cb a b cab xa bc a x c abc x拓展2．若a ，b ，c ，d 是正数且,1=abcd 解方程：⋅+++=+++)1111(||||||||2222dC b a d x abc b x acd a x bcd c x abd极限挑战19.若,1=abc 解方程：.1121212=++++++++c ca cxb bc bx a ab ax课堂答案培优答案11。

第三节一元一次方程及其解法-学而思培优一元一次方程是数学中最基础和常见的方程之一。

本节将介绍一元一次方程的概念以及解法。

一元一次方程的概念一元一次方程指的是只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一的方程。

一元一次方程的一般形式为：ax + b = c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

一元一次方程的解法解一元一次方程的方法主要包括两种：移项法和等效变形法。

1. 移项法移项法是通过将方程中的项移动到方程的另一侧，使得未知数的系数为1，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程中的常数项移动到方程的另一侧，形成形如ax = c - b 的方程。

2. 将方程中未知数的系数a除到未知数的一侧，得到形如x =(c - b) / a的方程。

3. 计算方程右侧的结果，即可得到未知数x的解。

2. 等效变形法等效变形法是通过对方程进行等价的变形，将方程转化为更简单的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 通过加减法、乘除法等运算对方程进行等价的变形，使得方程的形式更简单。

2. 持续地对方程进行等效变形，直到得到一个可以直接得到未知数x的值的简单方程。

3. 计算方程右侧的结果，即可得到未知数x的解。

总结一元一次方程是数学中最基础和常见的方程之一。

解一元一次方程的方法主要包括移项法和等效变形法。

通过研究和掌握这些解法，我们可以轻松地求解一元一次方程，并应用到实际问题中。

希望本节的内容能够帮助您更好地理解和掌握一元一次方程及其解法。

---学而思培优。

一元一次方程培优训练基础篇一、选择题1.把方程103.02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数，正确的是（ ） A.132177=--x x B.13217710=--x x C.1032017710=--x x D.132017710=--x x2.与方程x+2=3-2x 同解的方程是（ ） A.2x+3=11 B.-3x+2=1 C.132=-x D.231132-=+x x 3.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7ｍ，乙每秒跑6.5ｍ，甲让乙先跑5ｍ，设ｘ秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（ ）A.7ｘ＝6.5ｘ＋5B.7ｘ＋5＝6.5ｘC.（7－6.5）ｘ＝5D.6.5ｘ＝7ｘ－5 4.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 25.电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ） A.0.81a 元 B.1.21a 元 C.21.1a 元 D.81.0a 元6.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )道题。

A.17B.18C.19D.207.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米／时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米／时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ） Ａ.1.6秒Ｂ.4.32秒Ｃ.5.76秒Ｄ.345.6秒8.一项工程，甲单独做需x 天完成，乙单独做需y 天完成，两人合作这项工程需天数为（ ） A.y x +1 B.y x 11+ C.xy 1D. yx 111+9、若2x =-是关于x 的方程233x x a +=-的解，则代数式21a a -的值是（ ） A 、0 B 、283- C 、29- D 、2910、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（ ）A 、142857B 、157428C 、124875D 、175248 二、填空题12.当m ＝_____时，方程（m －3）x |m|-2＋m －3＝0是一元一次方程。