初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练4(选择 附答案)

（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含答案一、选择题1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.3．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．3B 3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x，故本选项正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．由图象可知，a＜0，c=1，对称轴：x=b1 2a-=-，∴b=2a，①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；③abc=2a2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；⑤c−a=1−a＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．6．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12A B•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．7．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝2211a +＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a； ∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系13．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13＜a ＜23；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1∵-12ba ， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a，∴-2＜-3a＜-1，∴13＜a＜23；故③正确④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a，∵a＞0，∴b-c＞0，即b＞c；故④正确；故选B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQSt t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQSt t =⋅⋅=，函数图象为一次函数；故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．17．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。

中考数学《二次函数的最值》专项练习及答案一、单选题1．如果抛物线y=x2−6x+c−2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．-8或-142．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或B．- 或C．D．13．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O 两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2√7C．8D．64．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣25．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2−4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（−1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x= 1时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是（）A．6B．5C．4D．36．关于二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表，下列说法正确的是（）x…﹣3﹣201…y…7﹣2﹣27…(0，2)．图象的对称轴是直线x=1 C．y的最小值为-5D．图象与x轴有且只有一个交点7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－528．下列对抛物线y=−2（x−4）2+9性质的描写中，正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝9C．顶点坐标是（﹣4，9）D．函数y有最大值9．二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2﹣1有最小值﹣4，则实数m的值可能是（）A．﹣B．﹣3C．D．410．y=a(x−x1)(x−x2)+t(a>0)，点(x0，y0)是函数图象上任意一点，()<−a4(x1−x2)2A．若t<0，则y>−a4(x1−x2)2B．若t≥0，则y≤−a4(x1−x2)2C．若t<0，则y≥−a4(x1−x2)2D．若t≥0，则y11．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（）A．﹣1B．﹣1或5C．5D．﹣512．关于二次函数y=-x2+2x的最值，下列叙述正确的是()A．当x=2时，y有最小值0B．当x=2时，y有最大值0C．当x=1时，y有最小值1D．当x=1时，y有最大值1二、填空题13．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），围成一个由两个长方形组成的花圃，当花圃的边AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．14．抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为．15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t−62，飞机着陆至停下来共滑.5t16．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣461825元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、综合题19．已知二次函数y=−x2+4x+c.（1）该二次函数图象的对称轴是直线.（2）当4≤x≤6时，y的最大值是－3，求此二次函数解析式.20．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．21．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．22．已知二次函数y=x2+bx+2b（b为常数）．（1）若图象过（2，8），求函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当−2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(−2，0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？（3）已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，△ADM的周长最小？最小值是多少？24．如图，抛物线y=x2+bx−c与x轴交A(−1,0)、B(3,0)两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】7；2114．【答案】﹣215．【答案】750m16．【答案】①②③17．【答案】①③④18．【答案】2219．【答案】（1）x=2（2）y=−x2+4x−320．【答案】（1）解：把（0，－3），（－6，－3）代入y＝−x2+bx+c 得b＝－6，c=－3（2）解：∵y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6又∵－4≤x≤0∴当x＝－3时，y有最大值为6．（3）解：①当－3＜m≤0时当x＝0时，y有最小值为－3当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3∴−m2−6m−3+(－3)＝2∴m＝－2或m＝－4（舍去）．②当m≤－3时当x ＝－3时y 有最大值为6 ∵y 的最大值与最小值之和为2 ∴y 最小值为－4 ∴−(m +3)2+6 =－4∴m ＝ −3−√10 或m ＝ −3+√10 （舍去）． 综上所述，m ＝－2或 −3−√10 ．21．【答案】（1）解：S 侧＝2[x(90－2x)＋x(40－2x)] ＝－8x 2＋260x＝－8(x － 654 )2＋ 42252．∵－8＜0，∴当x ＝ 654 时，S 侧最大＝ 42252（2）解：设EF ＝2m ，则EH ＝7m则侧面积为2(7mx ＋2mx)＝18mx ，底面积为7m·2m ＝14m 由题意，得18mx ：14m ＝9：7，∴m ＝x ． 则AD ＝7x ＋2x ＝9x ，AB ＝2x ＋2x ＝4x 由4x·9x ＝3600，且x ＞0 ∴x ＝1022．【答案】（1）解：∵图象经过点（2，8）∴8=4+2b +2b 解得b =1．∴此函数解析式为y =x 2+x +2．（2）解：y =x 2+x +2=(x +12)2+74．∵抛物线的开口向上∴当−2≤x ≤−12，y 随x 的增大而减小∴当x =−12时，y 的最小值为74当−12≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大∴当x =2时y 的最大值为(2+12)2+74=8答：最小值74，最大值8．（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上 ∴2b ≥0，即b ≥0∴对称轴直线x =−b2≤0，在y 轴左侧∴图象必在x 轴上方（包括x 轴）∴△=b2−8b≤0∴0≤b≤8．23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)∴{c=636a+6b+c=0 4a−2b+c=0∴{c=6a=−12b=2∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+6（2）解：设P点坐标为(x0，y0)∵点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，A(0，6)∴0<x0<6过P点作x轴的垂线，与x轴交于点H，如图∵S四边形AOBP =S△PAB+S△AOB=S梯形AOHP+S△PHB∴12(6+y0)x0+12(6−x0)y0=S△PAB+12×6×6可得S△PAB=3x0+3y0−18∵y0=−12x02+2x0+6∴S△PAB=3x0+3(−12x02+2x0+6)−18，得∴S△PAB=−32x02+9x0=−32(x0−3)2+272∴当x0=3时，S△PAB面积最大为272（3）解：做出点A关于x轴的对称点A′，则A′(0，−6)，设M点坐标为M(x1，0)根据对称性及两点间线段最短可知，当M 点刚好位于A ′D 与x 轴交点时，△ADM 的周长最小 ，且L △ADM =A ′D +AD∵ 抛物线解析式为y =−12x 2+2x +6=−12(x −2)2+8∴ D 点坐标为(2，8)设直线A ′D 解析式为y =kx +b∵A ′(0，−6)，D(2，8) ，代入直线解析式得 {b =−68=2k +b ，得{b =−6k =7∴直线A ′D 解析式为y =7x −6 M 点为直线A ′D 与x 轴交点，则7x 1−6=0 ，得x 1=67∴M(67，0)∵ A ′(0，−6)，A(0，6)∴L △ADM =A ′D +AD =√(0−2)2+(−6−8)2+√(0−2)2+(6−8)2=√4+196+√8=10√2+2√2=12√2∴当M 点坐标为M(67，0)时，△ADM 周长最小，最小值为12√2 24．【答案】（1）解：将A （﹣1，0），B （3，0）代入 y =x 2+bx −c得b=﹣2，c=3； ∴y =x 2−2x −3 ．将C 点的横坐标x=2代入 y =x 2−2x −3 得y=-3 ∴C （2，-3）；∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1（2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2−2x−3）；∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（y=x2−2x−3）= −x2+x+2∴当x= 12时，PE的最大值为94。

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值() A．-3B．3C．-6D．93．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√24．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(−2，−3)、(4，−3)，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A−B−C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()A．235B．254C．6D．56．已知0≤x≤32，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值194D．无最小值，也无最大值7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④8．已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）A．1B．-1C．±1D．无法确定9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 √2）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC=2点D是AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE，当△BED面积最大时，AD的长为（）A．2B．√5C．25√5D．4√5511．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72B．﹣2 √3或72C．﹣4 或2 √3D．﹣2 √3或2 √3 12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）A．4B．－1C．3D．4或－1二、填空题13．二次函数y=x2−2x+3的最小值是．14．当实数a满足2≤a≤5时，且代数式−a2+2ab−b2取最大值－1时，则b的值为．15．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是．)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；②抛物线的对称轴是直线x=12；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．17．已知关于x的函数y=−x2−ax+1，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=．18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为.三、综合题19．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为x=1.（1）试用含a的代数式表示b、c.（2）当抛物线过点(2，3)时，求此抛物线的解析式.（3）求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=，∠AGH=°；（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；（3）设BG=x，DH=y，若∠ABG∠∠FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．21．如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN∠x轴于点N，交BC于点P.（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究∠ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（1）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x每天售出商品的数量（件）200190……每天售出商品的利润（元）20002090……23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】214．【答案】1或615．【答案】①③④16．【答案】517．【答案】-418．【答案】119．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点(0，3a)∴c=3a∵对称轴为x=1∴x=−b2a=1∴b=−2a（2）解：∵抛物线过点(2，3)∴3=a×22+2(−2a)+3a∴a=1∴b=−2a=−2，c=3a=3∴抛物线为y=x2−2x+3（3）解：∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6∴当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1，−2)20．【答案】（1）1：3；90（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1∴CG=1，CH=3∵CG∠DF，CH∠BE∴∠CGH∠∠BGE∠∠DFH∴GCHC=BGBE=DFDH，即13=3BE=DF1解得BE=9，DF= 1 3∴Rt∠BEG中，EG= √BG2+BE2= √32+92=3 √10（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y ∴CG=4﹣x，CH=4﹣y由（1）可得，∠FDH∠∠GCH，而∠ABG∠∠FDH∴∠ABG∠∠GCH∴ABGC=BGCH，即44−x=x4−y∴y与x之间的函数关系式为：y= 14x2﹣x+4∵44−x=x4−y∴4﹣y= x(4−x)4=﹣14x2+x∴当x=﹣12×(−14)=2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣14×4+2=1∴0＜4﹣y≤1解得3≤y＜4．21．【答案】（1）-1；0；0；-2（2）解：|OA|=1，|OC|=2，|OB|=4∠AOC=∠COB=90°∴OAOC=OCOB=12∴∠AOC∠∠COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt∠ACB的外接圆圆心为AB的中点∵A（-1，0）B（4，0）∴圆心的坐标（ 32，0 ）.（3）解：C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式y =12x −2 p(m ，12m −2) ，M （m ， 12m 2−32m −2 ）PM=（ 12m −2 ）-（ 12m 2−32m −2 ）PM =−12m 2+2m =−12(m −2)2+2 当m=2时，PM 最大值=2.22．【答案】（1）180；200﹣10x ；2160；（200﹣10x ）（10+x ）（2）解：y ＝（200﹣10x ）（10+x ）＝﹣10x 2+100x+2000＝﹣10（x ﹣5）2+2250 ∴当x ＝5时，y 取得最大值，此时y ＝2250即y ＝﹣10x 2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元23．【答案】（1）解：∵AB=xm ，铝合金材料长为18m∴AD=BC=18−3x 2∴S ＝x·18−3x2＝−32x 2+9x即S 与x 的函数表达式为：S ＝−32x 2+9x.（2）解：由题意得：2≤x ＜18−3x 2解得：2≤x ＜3.6∵S ＝−32x 2+9x ＝−32（x -3）2+272∵−32＜0，对称轴是直线x ＝3，且2≤x ＜3.6∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝−32（2-3）2+272＝12答：窗户总面积S 的最大值272m 2，最小值是12m 2．24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x 2﹣（m+1）x+ 12（m 2+1）=0∠=（m+1）2﹣2（m 2+1）=﹣m 2+2m ﹣1=﹣（m ﹣1）2 ∵方程有实数根∴﹣（m﹣1）2≥0∴m=1．（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）解：由{y=2x+ny=−x2−4x−2消去y得到x2+6x+n+2=0由题意∠≥0∴36﹣4n﹣8≥0∴n≤7∵n≤m，m=1∴1≤n≤7令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4n=7时，y′的值最大，最大值为21∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x=2时，y635=-，即顶点D的坐标为（2，635-）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222±，即：点C坐标为（5222+，0）或（5﹣222，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC 于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C （3, 0），可得a ＝－1． ∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3． （2）∵P （112t +，４）， 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝2144t -， ∴M （112t +，2144t -）， 设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：，将112x t =+代入得，∴N （112t +，），∴MN ，∴，∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ，∴四边形PNCQ 为平行四边形， ∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形， PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴，整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形， NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。