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(易错题精选)初中数学二次函数分类汇编附答案解析

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（易错题精选）初中数学二次函数分类汇编附答案解析

一、选择题

1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a12；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．

【详解】

由图象可得，

a＞0，b＞0，c＜0，

∴abc＜0，故①错误，

当x＝1时，y＝a+b+c＝2，故②正确，

当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

由a+b+c＝2得，a+c＝2﹣b，

则a﹣b+c＝（a+c）﹣b＝2﹣b﹣b＜0，得b＞1，故④正确，

∵12ba，a＞0，得122ba，故③正确，

故选C．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

2．二次函数y＝2axbxc（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2ab＝0；③当m≠1时，ab＞2ambm；④abc＞0；⑤若211axbx＝222axbx，且1x≠2x，则12xx＝2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断

【详解】

解：抛物线的开口向下，则a＜0；

抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a

∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；

由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2ambm+c不是顶点纵坐标，不是最大值

∴ab＞2ambm（故③正确）

：b＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc＜0 （故①错误）

由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）

⑤若211axbx＝222axbx得211axbx-(222axbx)=211axbx-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0

∵1x≠2x

∴a(x1+x2)+b=0

∴x1+x2=2baaa=2 （故⑤正确）

故选D．

考点：二次函数图像与系数的关系.

3．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0；②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )

A．②④ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

利用抛物线开口方向得到0a，利用对称轴在y轴的右侧得到0b，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到0c，则可对A进行判断；利用当1x时，0y可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12bxa，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．

【详解】

解：Q抛物线开口向上，

0a，

Q对称轴在y轴的右侧，

a和b异号，

0b，

Q抛物线与y轴的交点在x轴下方，

0c，

0bc，所以①错误；

Q当1x时，0y，

0abc，所以②错误；

Q抛物线经过点(1,0)和点(3,0)，

抛物线的对称轴为直线1x，

即12ba，

20ab，所以③正确；

Q抛物线与x轴有2个交点，

△240bac，

即24acb，所以④错误．

综上所述：③正确；①②④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)yaxbxca，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c决定抛物线与y轴交点(0,)c．抛物线与x轴交点个数由△决定．

4．如图，在四边形ABCD中，//ADBC，DCBC，4cmDC，6cmBC，3cmAD ，动点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BAADDC运动到点C，点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发st时，BPQ的面积为2 cmy，则y与t的函数图象大致是( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

分三种情况求出y与t的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．

【详解】

解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，

AB2=42+（6-3）2，

解得，AB=5cm．

下面分三种情况讨论: 当0≤t≤2.5时：P点由B到A，21442255ytttggg,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;

当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时，1422ytt, y是t的一次函数且最大值=21448cm2;

当4≤t≤6时，即P点从D到C时，21

1226,2ytttty是t的二次函数

故符合y与t的函数图象是B．

故选：B．

【点睛】

此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

5．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．

解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF

=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t

=﹣t2+4t

=﹣（t﹣4）2+8；

当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．

故选D．

考点：动点问题的函数图象．

6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）

A．①③④ B．①②3④ C．①②③ D．②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

【详解】

解：①由图象可知：a＜0，c＞0，

由对称轴可知：2ba＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①正确；

②由对称轴可知：2ba＝1，

∴b＝﹣2a，

∵抛物线过点（3，0），

∴0＝9a+3b+c，

∴9a﹣6a+c＝0，

∴3a+c＝0，故②正确； ③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，

当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，

即ax2+bx≤a+b，故③正确；

④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：

∴y1＝y2，故④错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）

A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【答案】D

【解析】

【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【详解】

解：设原数为m，则新数为21100m ，

设新数与原数的差为y

则2211100100ymmmm，

易得，当m＝0时，y＝0，则A错误

∵10100

当1m50122100ba﹣﹣﹣ 时，y有最大值．则B错误，D正确．

当y＝21时，21100mm＝21

解得1m＝30，2m＝70，则C错误．

故答案选：D．

【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

8．小明从如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＞0，②abc＜0，③a-b+c＞0，④2b＞4ac，⑤2a=－2b，其中正确结论是（ ）．

A．①②④ B．②③④ C．③④⑤ D．①③⑤

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；

②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；

∵对称轴在y轴右侧，对称轴为x=2ba>0，

又∵a>0，

∴b<0；

由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c<0，

故abc>0，故②错误；

③结合图象得出x=−1时，对应y的值在x轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确；

④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2−4ac>0，故④正确；

⑤由图象可知：对称轴为x=2ba=12

则2a=−2b，故⑤正确；

故正确的有：③④⑤．

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．

9．如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A出发，以1/cms的速度沿ADC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2/cms的速度沿ABC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()ts，APQV的面积为2cmS，则2cmS与()ts之间的函数图象大致是（ ）

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新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1)

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一、选择题

1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122yx上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）

A．a≤﹣2 B．a＜98 C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98

【答案】C

【解析】

【分析】

分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．

【详解】

∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，

∴令1122x＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0

∴△＝9﹣8a＞0

∴a＜98

①当a＜0时，110111aa

解得：a≤﹣2

∴a≤﹣2

②当a＞0时，110111aa

解得：a≥1

∴1≤a＜98

综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2

故选：C． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

2．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）

A．12＜t≤3 B．12＜t＜4 C．12＜t≤4 D．12＜t＜3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.

【详解】

解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，

∴b＝−2，

∴y＝－x2−2x＋3，

∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，

∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕

1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后 该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.

⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装 降价多少元？

⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？

【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销 售利润最大,最大利润4000元.

【解析】

【分析】

〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.

〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.

【详解】

解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,

解得：x=40,

60 - 40 = 20 元,

答：这一星期中每件童装降价20元：

〔2〕设利润为w,

根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000

=-10 〔x- 50〕 2+4000,

答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.

【点睛】

此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.

2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴 夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,

备用图 问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在

x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.

〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：

初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)

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二次函数习题讲解

一、二次函数的相关概念

1．若函数21(2)12ymxmxm的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）

A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2

2．当xm或xn（mn）时，代数式223xx的值相等，则xmn时，代数式223xx的值为 。

3．已知22xmn和2xmn时，多项式246xx的值相等，且20mn，则当3(1)xmn时，多项式246xx的值等于________。

二、二次函数的顶点问题

1．若抛物线2()(1)yxmm的顶点在第一象限，则m的取值范围为________。

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为22()yxhk，则下列结论正确的是（ ）

A．0h，0k B．0h，0k C．0h，0k D．0h，0k

三、二次函数的对称轴问题

1．已知二次函数22yxbxc，当1x时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）

A．1b B．1b C．1b D．1b

2．已知二次函数222yxmx，当2x时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是________。

3．已知二次函数2(1)1yxmx，当1x时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）

A．1m B．3m C．1m D．1m

四、二次函数的图象共存问题

1．在同一直角坐标系中，函数ymxm和222ymxx（m是常数，且0m）的图象可能是（ ）

A B C D

中考数学提高题专题复习二次函数练习题附答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）； （3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，