广东省汕头市潮阳南侨中学人教版高中数学选修2-2课件：211合情推理-归纳推理(共49张PPT)

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理问题导学一、归纳推理及其应用活动与探究1(1)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的一个通项公式．(2)观察下列各式：1＝1，1＋11＋2＝43， 1＋11＋2＋11＋2＋3＝64， 1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85． 由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．迁移与应用1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．302．(2012陕西高考，理11)观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为____________________．(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n 取具体值1,2,3,4，…，然后求得a 1，a 2，a 3，a 4，…的值或S 1，S 2，S 3，S 4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．(3)对于图形中的归纳推理问题，这类问题一般涉及某固定图形的个数，可从图形的变化规律入手求解，也可转化为数列问题求解．二、类比推理及应用活动与探究2(1)若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地有：若数列{C n }(n ∈N *)是等比数列，且C n ＞0，则数列d n ＝__________(n ∈N *)也是等比数列．(2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①___________________________________________________________； 充要条件②___________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件)迁移与应用1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形三条边的边长，r 为三角形内切圆的半径．利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________．3．我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大．将这个结论类比到空间，可以得到的结论是___________________________．(1)对于数列中的类比问题，除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外，还可以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广，与其他相关数列问题进行类比．(2)进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处和不同之处，找到可以类比的两个量，然后加以推测，最好能加以证明，以保证类比的正确性．(3)平面与空间的类比是一种常见的类比，一般地：平面图形中的点与空间图形中的线(线段)相类比；平面图形中的线与空间图形中的线或平面相类比；平面图形中的周长与空间图形中的表面积相类比；平面图形中的面积与空间图形中的体积相类比．平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体相类比；平面中的圆与空间中的球相类比等．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)全部对象 个别事实 (2)部分 整体 个别 一般预习交流1 (1)提示：不一定．归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，其推理的结论必然带有一定的猜测性，即由归纳推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的．(2)答案：123 454 3212．(1)另一类对象也具有这些特征 (2)特殊 特殊预习交流2 提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．(1)已有的事实 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想预习交流3 提示：(1)前提为真时结论可能为真的推理，是一种或然性推理．(2)是根据已有的事实、正确的结论、试验和实践结果以及个人经验推测某些结果的推理过程．(3)结论往往超出前提所控制的范围．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)先写出这个数列的前几项，再根据写出的项，归纳出通项公式．(2)观察给出的4个式子的特点，等式左边的部分注意从分式的项数、每个分式的分母找变化规律，等号右边的分数从分子、分母两个方面进行归纳．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14； …通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n． (2)通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． 这一结论的证明如下：由于11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝2n n ＋1． 迁移与应用 1．B 解析：由已知图形的规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28．2．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 解析：由前几个不等式可知1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＜2n －1n． 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116． 活动与探究2 思路分析：(1)等差与等比类比，和与积类比，倍数与乘方类比，由此猜想．(2)运用类比，由平面到空间，由四边形到四棱柱，四棱柱为平行六面体时其底面是平行四边形．答案：(1)n C 1C 2C 3…C n(2)两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等(答案不唯一)迁移与应用 1．C 解析：连结四面体内切球的球心与四面体的各个顶点，由分割法求体积的原理知V ＝13S 1h 1＋13S 2h 2＋13S 3h 3＋13S 4h 4＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)．2．b 2n －1n 解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n． 3．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大解析：平面图形的周长类比到空间应该是空间图形的表面积；平面图形的面积类比到空间应该是空间图形的体积；平面中的矩形、圆类比到空间中的图形应该是长方体、球．当堂检测1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案：A 解析：由图可知，三白二黑，为一周期进行排列，∵36＝5×7＋1，则第36颗珠子与第一颗颜色相同，为白色．2．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a b a b c c c+=+(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C3．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④答案：C 解析：①是类比推理，②和④是归纳推理，它们都是合情推理．4．在平面上，若两个正方形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间中，若两个正方体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案：1∶8 解析：由于正方体的体积等于棱长的立方，因此当两个正方体棱长比为1∶2时，体积比为1∶23＝1∶8．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22n na a +(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式． 答案：解：在{a n }中，a 1＝1，1212223a a a ==+，232212224a a a ===+，3432225a a a ==+，…， ∴{a n }的通项公式21n a n =+．。